【数学】黑龙江省哈三中2019-2020学年高二下学期期末考试(理)
2019-2020学年哈尔滨三中高二下学期期末数学试卷(理科)(含答案解析)
2019-2020学年哈尔滨三中高二下学期期末数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设i是虚数单位，则复数z=5i(i+2)的虚部为()A. −2B. 2C. −1D. −2i2.如果log9(mn)=2(m>0,n>0)，那么m+n的最小值是()A. 18B. 9C. 4√3D. 43.曲线y=cosx(0≤x≤32π)与两坐标轴所围成图形的面积为()A. 4B. 3C. 52D. 24.已知i为虚数单位，z−是复数z的共轭复数，若z−=cos2π3+isin2π3，则z在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.已知函数f(x)=4x−24x2−4x+5−(2x−1)3+12，则∑f2018i=1(k2019)=()A. 0B. 1009C. 2018D. 20196.下面说法：①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的：③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；⑤运用三段论推理时，大前提和小前提都不可以省略．其中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.已知命题p：∃x∈R，x−2>log2x，命题q：∀x∈R，x2>0，则()A. p∨q是假命题B. p∨(￢q)是假命题C. p∧q是真命题D. p∧(￢q)是真命题8.已知命题p：∀x∈R，x2≤1，则命题p的否定()A. ∃x∈R，x2≥1B. ∀x∈R，x2≥1C. ∃x∈R，x2>1D. ∀x∈R，x2>19.已知向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(x,y).则“x=−2且y=−4”是“a⃗//b⃗ ”的()A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. “α=π4”是“角α的终边过点(2,2)”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件11. 丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数f(x)在(a,b)上的导函数为f(x)，f′(x)在(a,b)上的导函数为f′′(x)，若在(a,b)上f′′(x)<0恒成立，则称函数f′(x)在(a,b)上为“凸函数已知f(x)=e x −xlnx −m 2x 2在(1,4)上为“凸函数”，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,2e −1]B. [e −1,+∞)C. [e 4−14,+∞)D. (e,+∞)12. 过点(0,−1)的直线l 与两曲线y =lnx 和x 2=2py 均相切，则p 的值为( )A. 14B. 12C. 2D. 4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 由曲线y =1x 和直线x =13，x =3及x 轴所围图形的面积为______ ． 14. 已知a n =n 2015，把数列{a n }中的各项排成如图所示的三角形形状，记A(m,n)表示第m 行的第n 个数，则A(9,13)表示的数为______ ． 15. 已知椭圆E ：x 24+y 23=1的左顶点为A ，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，过点A 作斜率为k(k >0)的直线交椭圆E 于另一点B ，直线BF 2交椭圆E 于点C ，若F 1C ⊥AB ，则实数k 的值是______．16. 对实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ={a(b +1),a ≥b b(a +1),a <b，则(2tan 5π4)⊗cos 7π3+lg100⊗(13)−1=______ ．三、解答题（本大题共5小题，共58.0分） 17. 设函数f(x)=a x −a −x (a >0且a ≠1)．(1)判断并证明：当a >1时，函数f(x)在R 上的单调性；(2)已知a =3，若f(3x)≥λf(x)对于x ∈[1,2]恒成立，求满足条件的最大整数λ的值．18. 求由曲线y =x 3在点(3,27)处的切线，曲线y =x 3和x 轴围成的区域的面积．19. 在极坐标系中，曲线的极坐标方程为p 2=41+3sin 2θ，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为{x =6t −my =√3t (t 为参数，m ∈R)． (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若曲线C 上的动点M 到直线l 的最大距离为6√1313，求m 的值．20. 已知直线l 的参数方程为{x =−1+ty =2+t(t 为参数)，在直角坐标系xOy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C 的极坐标方程为ρ2=4√2ρsin(θ−π4)−6． (Ⅰ)求直线l 与圆C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设A(−1,2)，P ，Q 为直线l 与圆C 的两个交点，求|PA|+|AQ|．21. (1)已知实数a >0，若关于x 的不等式sinx −xcos a x ≥0在0≤x ≤π2上恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若0<x <π2，求证：1sin 2x −1x 2<1−4π2．【答案与解析】1.答案：A解析：解：z =5i(i+2)=5−1+2i =−1−2i 故其虚部为：−2 故选：A ．化简复数可得z =−1−2i ，由复数实虚部的定义可得答案．本题为复数虚部的求解，正确运用复数的运算化简复数式是解决问题的关键，属基础题．2.答案：A解析：本题主要考查基本不等式，属于基础题，先由log 9(mn)=2，得mn =81.再利用基本不等式即可得出．解：∵log 9(mn)=2，得mn =81．∵m >0，n >0，∴m +n ≥2√mn =2√81=18，当且仅当m =n =9时取等号． 故选：A ．3.答案：B解析：解：当0≤x ≤π2时，cosx ≥0， 当π≤x ≤32π时，cosx ≤0，∴所求面积S =∫|3π20cosx|dx =∫cos π20xdx +∫|3π2π2(−cosx)dx =sinx| 0π2−sinx| π23π2=sin π2−sin3π2+sin π2=1+1+1=3，故选：B ．根据积分的几何意义，即可求出曲线围成的面积．本题主要考查积分的应用，利用积分即可求出曲线面积，注意要对函数进行分段求值，4.答案：C解析：由三角函数的求值化简z ，进一步求得z −所对应点的坐标得答案． 本题考查复数代数形式的运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 解：∵z =cos2π3+isin2π3=−12+√32i ，∴z −=−12−√32i ， 则z −在复平面内对应的点的坐标为(−12,−√32)，位于第三象限角．故选：C ．5.答案：B解析：解：函数f(x)=4x−24x 2−4x+5−(2x −1)3+12， 所以：f(x)=2(2x−1)(2x−1)2+4−(2x −1)3+12， 故函数f(x)的图象关于(12,12)成中心对称． f(12019)+f(20182019)=f(22019)+f(20172019)=⋯=1，所以∑f 2018i=1(k2019)=1009． 故选：B ．首先求出函数关系式的对称中心，进一步利用关系式的规律求出结果．本题考查的知识要点：函数的关系式的应用，直接利用关系式的变换求出函数的对称中心，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6.答案：C解析：演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决于前提是否真实和推理的形式是否正确，演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论．本题考查演绎推理的意义，演绎推理是由一般性的结论推出特殊性命题的一种推理模式，演绎推理的前提与结论之间有一种蕴含关系．解：演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，故①正确，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决于前提是否真实，推理的形式是否正确，故②不正确，演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提、小前提和结论，故③正确， 演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关，④正确， 运用三段论推理时，大前提、小前提都可以省略，⑤不正确． 故选C ．7.答案：D解析：解：命题p：∃x∈R，x−2>log2x，例如x=8，不等式成立，所以命题p是真命题；对命题q：∀x∈R，x2>0，当x=0时，命题不成立，所以命题q为假命题．所以￢q为真命题．所以p∧(￢q)是真命题为真命题．故选：D．判定出命题p与q的真假，根据复合命题的真值表得出正确选项．本题考查的知识点是复合命题的真假判定，属于基础题目．8.答案：C解析：解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即命题p的否定：∃x∈R，x2>1，故选：C．根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．9.答案：B解析：解：若“a⃗//b⃗ ”，则满足y=2x，由x=−2，y=−4能推出y=2x，是充分条件，由y=2x推不出x=−2，y=−4，不是必要条件，故选：B．根据向量平行的性质及判定得到y=2x，进而判断“y=2x”和“x=−2，y=−4”的关系即可．本题考查了充分必要条件，考查了平行向量问题，是一道基础题．10.答案：A解析：解：“α=π4”⇒“角α的终边过点(2,2)”，反之不成立，例如α=π4+2kπ(k∈Z)，∴“α=π4”是“角α的终边过点(2,2)”的充分不必要条件，故选：A．“α=π4”⇒“角α的终边过点(2,2)”，反之不成立，例如α=π4+2kπ(k∈Z)，即可判断出结论．本题考查了终边相同的角的几何、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：C解析：解：∵f(x)=e x−xlnx−m2x2在(1,4)上为“凸函数，∴f′(x)=e x−lnx−mx−1，∴f″(x)=e x−1x−m<0在(1,4)上恒成立，∵f″(x)=e x−1x−m在(1,4)上单调递增，∴f″(x)<e4−m−14，∵f″(x)<0恒成立，∴e4−m−14≤0，∴m≥e4−14．故选：C．求函数导数，结合导数不等式进行求解，构造函数，利用函数的单调性研究函数的最值即可．本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，构造函数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键．12.答案：C解析：解：设直线l与两曲线y=lnx和x2=2py相切的切点分别是A(x1,lnx1)，B(x2,x222p)，∵y=lnx的导数为y′=1x ，x2=2py即y=x22p的导数为y′=x p，∴直线l的斜率为1x1=x2p，又直线l过(0,−1)，∴直线l的斜率且为lnx1+1x1=x222p+1x2，∴x1=1，x2=p，p22p+1=p，∴p=2．故选C．分别设出两切点，再求出两函数的导数，并用两种形式写出切线的斜率，再结合两点的斜率公式，列方程解出x1，x2，从而求出p的值．本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，抓住在某点处的导数即为在这点处切线的斜率，同时注意运用两点的斜率公式，是一道中档题．13.答案：2ln3解析：解：∵曲线y=1x 和直线x=13，x=3及x轴所围图形的面积S=∫1 x 31 3dx=lnx|133=ln3−ln13=2ln3．故答案为：2ln3作出曲线y=1x 和直线x=13，x=3的图象，得出它们的交点横坐标，可得所求面积为函数y=1x 在区间[13,3]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．14.答案：772015解析：解：由题意知第一行的最后一个数字是数列{a n}的第1项，第二行的最后一个数字是数列{a n}的第4项，第三行的最后一个数字是数列{a n}的第9项，∴第m−1的最后一个数是数列{a n}的第(m−1)2项，∴A(9,13)是数列{a n}的第82+13=77项；∵a n=n2015，∴A(9,13)=a77=772015，故答案为：772015由题意知第m−1的最后一个数是数列{a n}的第(m−1)2项，故A(9,13)是数列{a n}的第82+13=77项，代入通项公式，可得答案．归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．15.答案：√612解析：解：设点B(x B,y B)，直线AB的方程为y=k(x+2)，联立x24+y23=1得，(3+4k2)x2+16k2x+16k2−12=0，∴−2x B =16k 2−123+4k 2，即x B =−8k 2+63+4k 2，∴y B =k(x B +2)=12k 3+4k 2，即B(−8k 2+63+4k 2,12k 3+4k 2).易知F 2(1,0)，k BF 2=4k1−4k 2，k CF 1=−1k ，所以直线BF 2，CF 1方程分别为y =4k1−4k 2(x −1)，y =−1k (x +1)， 可得4k1−4k 2(x −1)=−1k (x +1)，解得C(8k 2−1,−8k)， 代入椭圆E ：x 24+y 23=1，得192k 4+208k 2−9=0，即(24k 2−1)(8k 2+9)=0， 得k 2=124， 所以k =√612．故答案为：√612．根据题意，设点B(x B ,y B )，直线AB 的方程为y =k(x +2)，与椭圆的方程联立解可得x B 的值，将x B 的值代入直线方程可得y B 的值，即可得答案；由椭圆的标准方程可得F 2坐标，由直线的点斜式方程可得直线BF 2，CF 1方程，联立可得C(8k 2−1,−8k)，代入椭圆E ：x 24+y 23=1中解可得k 2的值，即可得答案．本题考查椭圆的几何性质，关键是由椭圆的标准方程求出点A ，F 1，F 2的坐标．16.答案：12解析：解：∵2tan 5π4=2tan(π+π4)=2tan π4=2，cos7π3=cos(2π+π3)=cos π3=12，由a ⊗b ={a(b +1),a ≥b b(a +1),a <b 及2>12，得(2tan 5π4)⊗cos 7π3=2⊗1=2×(12+1)=3．又由lg100=2<(13)−1=3知，lg100⊗(13)−1=2⊗3=3(2+1)=9． ∴原式=3+9=12． 故填12．先计算2tan5π4，cos7π3，lg100，(13)−1，再由a⊗b中a，b的大小确定a⊗b运算规则，即可得原式的值．1.本题属于实数运算的新概念问题，关键弄清a，b的大小关系，从而确定a⊗b的运算规则．2.处理分段函数问题时，应注意分段的标准是什么，即应对临界点处的情况进行细致地分析．17.答案：解：(1)函数f(x)在R上的单调递增，下面用定义法证明：任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=a x1−a−x1−(a x2−a−x2)=(a x1−a x2)+(1a x2−1a x1)，∵a>1，x1<x2，∴a x1−a x2<0，1a x2−1a x1<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上单调递增．(2)由题意，得33x−3−3x≥λ(3x−3−x)在x∈[1,2]时恒成立，令t=3x−3−x，t∈[83,809]，则(3x−3−x)(32x+1+3−2x)≥λ(3x−3−x)在x∈[1,2]时恒成立，∴t(t2+3)≥λt，在t∈[83,809]时恒成立，即λ≤t2+3，在t∈[83,809]时恒成立，又在t∈[83,809]时，(t2+3)min=919，∴λ≤919，则λ的最大整数为10．解析：(1)函数f(x)在R上的单调递增，然后利用定义法证明即可；(2)f(3x)≥λf(x)对于x∈[1,2]恒成立，令t=3x−3−x，则λ≤t2+3，在t∈[83,809]时恒成立，然后求出t2+3在t∈[83,809]时的最小值即可得到λ的范围，进一步得到λ的最大整数．本题考查了利用定义法证明函数的单调性和不等式恒成立问题，考查了转化思想和计算能力，属中档题．18.答案：解：求导函数，可得y′=3x2，当x=3时，y′=27，∴曲线y=x3在点(3,27)处的切线方程为y−27=27(x−3)，即y=27x−54．∴所求区域的面积为S=∫(30x3−27x+54)dx=(14x4−272x2+54x)|03=274．解析：利用导数的几何意义，求出切线方程，确定被积函数与被积区间，求出原函数，即可得到结论．本题考查导数的几何意义，考查切线方程，考查学生的计算能力，确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数是解题的关键．19.答案：解：(1)曲线的极坐标方程为p 2=41+3sin 2θ，转换为直角坐标方程为：x 2+4y 2=4，整理得：x 24+y 2=1，直线l 的参数方程为{x =6t −m y =√3t(t 为参数，m ∈R)． 转换为直角坐标方程为：x −2√3y +m =0，(2)把x 24+y 2=1转换为参数方程为：{x =2cosθy =sinθ(θ为参数)，由于：线C 上的动点M(2cosθ,sinθ)到直线l 的最大距离为6√1313， 则：d =√3sinθ−m|√13=√13， 当m >0时，13=6√1313， 解得：m =2，当m <0时，√13=6√1313， 解得：m =2(舍去)，故：m =2．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)直接利用点到直线的距离和三角函数关系式的恒等变变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．20.答案：解：(Ⅰ)直线l 的参数方程为{x =−1+t y =2+t (t 为参数)，消去t 可得x −y +3=0； 圆C 的极坐标方程为ρ2=4√2ρsin(θ−π4)−6=4ρsinθ−4ρcosθ−6，∴x 2+y 2=4y −4x −6，即(x +2)2+(y −2)2=2；(Ⅱ)易知A 在直线l 上，且在圆内，则|PA|+|AQ|=|PQ|圆心C(−2,2)到直线l 的距离d =√2=√2，圆C 半径R =√2， ∴(12|PQ|)2+d 2=R 2，解得|PQ|=√6，∴|PA |+|AQ |=√6．解析：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．(Ⅰ)消去参数，可得直线l 的普通方程；ρ2=4√2ρsin(θ−π4)−6=4ρsinθ−4ρcosθ−6，可得圆C 的直角坐标方程；(Ⅱ)求出圆心C 到直线l 的距离d ，利用(12|PQ|)2+d 2=R 2，可求|PA|+|AQ|=|PQ|． 21.答案：证明：(1)设f(x)=sinxcos a x −x ，则若关于x 的不等式sinx −xcos a x ≥0在0≤x ≤π2上恒成立，可以转化为f(x)≥0，在0≤x ≤π2上恒成立，对f(x)求函数导数得：f ′(x)=cosx ⋅cos a x −sinx ⋅αcos a−1x ⋅(−sinx)cos 2a x −1=cos 1−a x +αsin 2xcos −a−1x −1,f ′(0)=0 f″(x)=(1−a)cos −a x ⋅(−sinx)+2asinx ⋅cosxcos −a−1x +asin 2x ⋅(−a −1)⋅cos −a−2x ⋅(−sinx)=(1−a)cos −a x ⋅(−sinx)+2asinx ⋅cos −a x −asin 3x ⋅(−a −1)⋅cos −a−2x=sinx ⋅cos −a x[(3a −1)+a(a +1)tan 2x]，①在a ≥13时，有f′′(x)≥0，则f′(x)在0≤x ≤π2为增函数，而f′(0)=0∴f′(x)≥f′(0)=0，因此f(x)在0≤x <π2为增函数，有f(x)≥f(0)=0从而f(x)≥0．所以a ≥13符合要求．②在0<a <13时，而f ″(x)=sinx ⋅cos −a x ⋅[(3a −1)+a(a +1)sin 2xcos −2x]=sinx ⋅cos −a x ⋅[(3a −1)+a(a +1)tan 2x]=sinx ⋅cos −a x ⋅[tan 2x −1−3a (1+a)a](a +1)a 由f′′(x)=0可知：tan 2x =1−3a (1+a)a ，令tan 2x 0=1−3a (1+a)a ，x 0∈(0,π2)，因此f′(x)在(0,x 0)为减函数，则f′(x)≤0，f(x)单调递减，于是有f(x)≤f(0)=0在(0,x 0)恒成立，从而矛盾，因此0<a <13不符合．综合讨论可知：a ≥13．(2)设g(x)=1sin 2x −1x 2，对g(x)求函数导数得：g ′(x)=−2sin −3x ⋅cosx −(−2)x −3=2(1x 3−cosx sin 3x) 由(1)可知当a =13时，sinx −xcos 13x ≥0在0≤x ≤π2上恒成立，即sinx ≥xcos 13x 在0≤x ≤π2上恒成立，所以sin 3x ≥x 3cosx 在0≤x ≤π2上恒成立，即1x 3≥cosx sin 3x 在0≤x ≤π2上恒成立，可知：g′(x)≥0，∴g(x)在(0,π2)上为增函数，则g(x)≤g(π2)=1−4π2．解析：(1)设f(x)=sinx cos a x −x ，问题可以转化为f(x)≥0，在0≤x ≤π2上恒成立，先求f(x)，再求f″(x)=sinx ⋅cos −a x[(3a −1)+a(a +1)tan 2x]，分两种情况：①在a ≥13时，②在0<a <13时，分析f″(x)的正负，f′(x)的增减，得f(x)的增减，进而得f(x)的函数值取值范围．是否符合题意，进而得出结论．(2)设g(x)=1sin x −1x ，对g(x)求函数导数得：g′(x)=2(1x −cosx sin x )，由(1)可知当a =13时，sinx −xcos 13x ≥0在0≤x ≤π2上恒成立，得1x 3≥cosx sin 3x 在0≤x ≤π2上恒成立，g′(x)≥0，g(x)在(0,π2)上为增函数，则g(x)≤g(π2)，进而得出结论．本题考查导数的综合应用，三角函数化简，属于中档题．。
哈尔滨市第三中学校2019_2020学年高二数学下学期期末考试试题文含解析
【详解】解:（1）由 ，解得 ，所以
又 ，
因为 ，解得 ，所以 ．
当 时， ，
又 为真， , 都为真，所以 ．即
（2)由p是q的充分不必要条件，即 ， ，所以
所以 解得 ，即
【点睛】本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断，属于中档题．
18。 在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为 ，以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，已知M点的直角坐标为 ，直线l的参数方程为 （t为参数）,直线l与曲线C交于A,B两点。
对应点的坐标为： ,
∴z对应的点位于第四象限，
故选：D
【点睛】本题主要考查复数几何意义的应用,结合复数基本运算法则进行化简是解决本题的关键．
6。 下列说法正确的是（ ）
A。 命题“若 ,则 ”为真命题
B. 命题“若 ，则 "的逆命题为假命题
C. 命题“若 ,则 "的逆否命题为“若 ，则 ”
D. 命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2）求 的值。
【答案】(1) ， ;(2)2.
【解析】
【分析】
(1）利用 即可求出曲线C的直角坐标方程;消参可求出直线l的普通方程.
(2）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用韦达定理以及参数 的几何意义即可求解。
【详解】（1）由 ，则 ，
即 ，整理可得 。
三、解答题（本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17。 已知 , ,其中 。
（1）若 且 为真，求实数x的取值范围;
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围。
2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题理(29).doc
2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题理(29)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只且仅有一项是符合题目要求的）1.已知31iz i=-，则复数z 在复平面对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2.已知集合}0)1)(2(|{},30|{>-+=<<=x x x B x x A ，则=B A （ ）()3,0.A ()3,1.B ()3,2.C ()()∞+-∞-，02,. D3．下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间(0,1)内单调递增的是（ ）A ．y =B ．sin y x x =C ．1lg1x y x-=+ D ．x xy e e -=- 4.”“3πα=是”“21cos =α成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 函数()x x f x 2log 2+=的零点个数为（ ） A.0B.1C.2D.36.已知随机变量ξ服从正态分布()22σ，N ，且()8.04=<ξP ,则()=<<20ξP （ ）A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3 7.已知3log ,21log ,3213131===c b a ，则（ ） c b a A >>. a c b B >>. a b c C >>. c a b D >>.8. 甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表所示：从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是（ ）.A 甲.B 乙.C 丙 .D 丁9.函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为（ ）10. 在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步， 程序B 和C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（ ） A ． 34种 B ．48种 C ．64种 D ．96种11.函数[]2()2,55f x x x x =--∈-，,定义域内任取一点0x ，使0()0f x ≤的概率是（ ）101.A 103.B 32.C 54.D12.设函数()(21)xf x e x ax a =-+-，其中1a >-，若关于x 不等式()0f x <的整数解有且只有一个，则实数a 的取值范围为（ ） A. 3(1,]2e- B ．3(1,]2e -- C ．33(,]42e -- D ． 33(,]42e -第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置）13. 若92a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的常数项是84，则实数a = .14.已知函数()x f y =的图象在点())1(1f M ，处的切线方程是221+=x y ，则)1(')1(f f + = .15.在区间[]1,1-上随机取两个数,x y ，则满足21y x ≥-的概率为 .D16.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬 币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为 .三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3,(1,=-⎧⎨=+⎩x t t y t 为参数). 在以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线:.4⎛⎫=- ⎪⎝⎭πρθC（1） 求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程; （2） 求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.18．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数()2321f x x x =++-. （1）求不等式()8f x <的解集；（2）若关于x 的不等式()31f x m +≤有解，求实数m 的取值范围．19. （本小题满分12分）某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温.（1）求线性回归方程；(440,112024141=∑=∑==i n i i n x y x )（2）根据（1）的回归方程估计当气温为10℃时的用电量.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：∑∑=-=--Λ--=ni ini ii xn xyx n y x b 1221，-Λ-Λ-=x b y a20. （本小题满分12分）如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ，2==AB PA ，4=BC ,E 是PD 的中点． （1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （2）求二面角D AC E --的余弦值．21. （本小题满分12分）设椭圆)0(1:2222>>=+b a bx a y M 的离心率与双曲线122=-y x 的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.（1）求椭圆M 的方程； （2）若直线m x y +=2交椭圆M 于B A ,两点，)21(，P 为椭圆M 上一点，求PAB ∆面积的最大值.22. （本小题满分14分）已知()().3,ln 22-+-==ax x x g x x x f （1）求函数()x f 的最小值；（2）若存在()+∞∈,0x ，使()()x g x f ≤成立，求实数a 的取值范围.龙海二中2016-2017学年第二学期期末考高二数学（理科）试题参考答案一、选择题: 本大题共12小题，每小题5分，共60分B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13、1 14、3 15、6516、3211三、解答题：本大题共6小题，共70分17.（本小题满分10分）解：（1）由3,1,=-⎧⎨=+⎩x ty t消去t得直线l的普通方程为40+-=x y, …………2分由4⎛⎫=-⎪⎝⎭πρθcos cos sin sin2cos2sin44⎫=+=+⎪⎭ππθθθθ, …3分得22cos2sin=+ρρθρθ. ………………………………………4分将222,cos,sin=+==ρρθρθx y x y代入上式,得曲线C的直角坐标方程为2222+=+x y x y, 即()()22112-+-=x y. ……5分（2）设曲线C上的点为()1,1ααP, ……………………………6分则点P到直线l的距离为d=…………8分当sin14⎛⎫+=-⎪⎝⎭πα时,max=d……………………………………9分所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为……………………………10分18．（本小题满分10分）解：（1）不等式()8f x<，即23218x x++-<,可化为①3,223218x x x ⎧<-⎪⎨⎪---+<⎩或②31,2223218x x x ⎧-⎪⎨⎪+-+<⎩≤≤或③1,223218x x x ⎧>⎪⎨⎪++-<⎩， …3分 解①得2325-<<-x ，解②得3122x -≤≤，解③得2321<<x 综合得 2325<<-x ，即原不等式的解集为5322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. ……………………5分（2）因为()2321|(23)(21)|4f x x x x x =++-+--=≥，当且仅当3122x -≤≤时，等号成立，即4)(min =x f ，……………………………8分 又不等式()31f x m +≤有解，则314m +≥,解得53m -≤或1m ≥.………10分 19. （本小题满分12分）解：（1）由表可得：30438342622,104681214=+++==+++=--y x ………3分 又440,112024141=∑=∑==i n i i n x y x∴2104440301041120442412241-=⨯-⨯⨯-=--=∑∑=-=--Λi ii ii xxy x yx b ∴5010)2(30=⨯--=-=-Λ-Λx b y a ………………………………………6分 ∴线性回归方程为：502+-=Λx y ………………………………………8分 （2）由（1）可得回归方程为：502+-=Λx y ∴当10=x 时，3050102=+⨯-=y∴估计当气温为C o10时的用电量为30度. ………………………12分20. （本小题满分12分） （1）ABCD PA 平面⊥CD PA ⊥∴………………………2分又CD AD ⊥ PAD CD 平面⊥∴…4分 ∴平面PDC ⊥平面PAD ………………6分（2）AD PA AB PA ABCD PA ⊥⊥∴⊥,,平面 又AD AB ⊥∴分别以轴建立空间直角坐标系轴、轴、为、、Ａz y x AP D AB xyz o - 则()()()()1,2,0,2,0,0,0,4,2,0,0,0E P ，C A()()()1,2,0,0,4,2,2,0,0===∴→→→AE AC AP ………………………7分设()的法向量为平面ACE z y x n ,,=→，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅→→→→02042z y AE n y x AC n令()2,1,22,1-=∴==-=→n z x y 则………………………9分又 平面ABC 的法向量()2,0,0=→AP ………………………10分322232,cos =⨯=⋅⋅>=<∴→→→→→→APn APn AP n解：（1）依题意可得：椭圆M 的离心率4222===a a c e ，……………2分 22,2222=-=∴==∴c a b c a∴椭圆M 的方程为12422=+x y ……………………………4分 （2）联立方程04224,12422222=-++⎪⎩⎪⎨⎧=++=m m x x x y mx y 得：………………5分 由2222,0)4(162222<<->--=∆m m m 得：）（………6分设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+,44,22),,(),,(221212211m x x m x x y x B y x A 则………………………7分2-434)(32122122121m x x x x x x AB ⋅=-+⋅=-+=∴ 又P 到直线AB 的距离为3m d =324321212mm d AB S PAB⋅-⋅==∴∆………………………10分22)8(221)8(2212222=-+⋅≤-=m m m m当且仅当2±=m 等号成立，2max =∴∆）（PAB S .………………………12分 22. （本小题满分14分）解：（1）()x f 的定义域为），（∞+0，……………………………………………………2分令()0'=x f ，得ex 1=， 当)1,0(ex ∈时，()0'<x f ；当)1(∞+∈，ex 时，()0'>x f ，…………………………5分 所以()x f 在)1,0(e x ∈上单调递减；在)1(∞+∈，ex 上单调递增， 故当e x 1=时()x f 取最小值为e2-. ……………7分 （2）存在()+∞∈,0x ，使()()x g x f ≤成立，即3ln 22-+-≤ax x x x 在()+∞∈,0x 能成立，等价于xx x a 3ln 2++≥在()+∞∈,0x 能成立； 等价于min 3ln 2）（x x x a ++≥ …………………………………………………………9分记xx x x h 3ln 2)(++=，()+∞∈,0x则()22)1)(3(312'x x x x x x h -+=-+=………………………………………………………11分当()1,0∈x 时，()0'<x h ；当()+∞∈,1x 时，()0'>x h ，所以当1=x 时()x h 取最小值为4，故4≥a .………………………………………………14分。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市数学高二第二学期期末质量检测试题含解析
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市数学高二第二学期期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．6(2)x x-的展开式中的常数项是（ ） A ．192 B ．192-C ．160D ．160-【答案】D 【解析】分析：利用二项展开式的通项公式66622166(2)1()12r rr rrr r r r r T C x C x x----+=⋅〈-=-⋅⋅⋅（）（），令x 的幂指数为0，求得r 的值，从而可得62x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项．详解：设二项展开式的通项为1r T +，则66622166(2)1()12r rr rrr r r r r T C x C x x----+=⋅〈-=-⋅⋅⋅（）（）， 令6022r r--=得：3r = ， ∴62x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为3633612160.C --⋅⋅=-（） 故选D ．点睛：本题考查二项展开式的通项公式，考查运算能力，属于中档题． 2．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= （ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】 D试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x 0）表示曲线f （x ）在x=x 0处的切线斜率，再代入计算． 解：，∴y′（0）=a ﹣1=2， ∴a=1． 故答案选D ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．3．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-8【答案】B 【解析】根据流程图可得：第1次循环：2,1,11y x y x x y i i =+==-=-=+= ； 第2次循环：1,2,13y x y x x y i i =+==-=-=+= ； 第3次循环：1,1,13y x y x x y i i =+=-=-=-=+= ； 第4次循环：2,1,14y x y x x y i i =+=-=-==+= ； 此时程序跳出循环，输出1x y +=- . 本题选择B 选项. 4．设103iz i=+，则z 的共轭复数为 A ．13i -+ B ．13i --C ．13i +D ．13i -【答案】D 【解析】 试题分析：()()()1031013,333i i i z i z i i i -===+∴++-的共轭复数为13i -，故选D ． 考点：1.复数的四则运算；2.共轭复数的概念．5．2019年5月31日晚，大连市某重点高中举行一年一度的毕业季灯光表演.学生会共安排6名高一学生到学校会议室遮挡4个窗户，要求两端两个窗户各安排1名学生，中间两个窗户各安排两名学生，不同的安排方案共有（ ） A ．720 B ．360C ．270D ．180【答案】D【解析】 【分析】由题意分两步进行，第一步为在6名学生中任选2名安排在两端两个窗户，可得方案数量，第二步为将剩余的6名学生平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个窗户，两者方案数相乘可得答案. 【详解】解：根据题意，分两步进行：① 在6名学生中任选2名安排在两端两个窗户，有2630A =中情况；② 将剩余的6名学生平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个窗户，有222422226C C A A =种情况， 则一共有306180⨯=种不同的安排方案， 故选：D. 【点睛】本题主要考查排列、组合及简单的计数问题，相对不难，注意运算准确. 6．已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：2log 1a e =>，()21ln 20,1log b e ==∈，12221log log 3log 3c e ==>， 据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．7．已知8a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为1120，实数是常数，则展开式中各项系数的和是A ．82B ．83C ．813或D ．812或【答案】C 【解析】分析：由展开式通项公式根据常数项求得a ，再令1x =可得各项系数和． 详解：展开式通项为882188()()r rr r r r r aT C xa C x x--+=-=-，令820r -=，则4r =，∴448()1120a C -=，2a =±，所以展开式中各项系数和为8(1)1a -=或83．故选C ．点睛：赋值法在求二项展开式中系数和方面有重要的作用，设展开式为2012()nn f x a a x a x a x L =++++，如求所有项的系数和可令变量1x =，即系数为(1)f ，而奇数项的系数和为(1)(1)2f f +-，偶数项系数为(1)(1)2f f --，还可以通过赋值法证明一些组合恒等式．8．已知方程2mx e x =在(]0,16上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1ln 2,82⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1ln 2,162⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．ln 22,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,8e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】由于0mx e >恒成立，构造函数2()1mx xf x e =-，则方程2mx e x =在(]0,16上有两个不等的实数根等价于函数2()1mx x f x e =-在(]0,16上有两个不同的零点，利用导数研究函数2()1mx xf x e=-在(]0,16的值域即可解决问题。
哈尔滨三中2019-2020学年高二(下)第一次段考数学试卷(理科)(3月份)(含答案解析)
哈尔滨三中2019-2020学年高二(下)第一次段考数学试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 函数f(x)=x 2−sinx 在[0,π]上的平均变化率为( )A. 1B. 2C. πD. π22. 若f′(x 0)=−3，则ℎ→0lim f(x 0+ℎ)−f(x 0−3ℎ)ℎ=( )A. −3B. −12C. −9D. −63. 沿直线运动的物体从时间t 到t +Δt 时，物体的位移为Δs ，那么lim Δt→0ΔsΔt 为( )A. 从时间t 到t +Δt 时物体的平均速度B. t 时刻物体的瞬时速度C. 当时间为Δt 时物体的速度D. 从时间t 到t +Δt 时位移的平均变化率4. 若函数f(x)=ax 2−x +ln x 在区间(1,4)上单调递增，则a 的取值范围是 ( )A. [0,+∞)B. [14,+∞)C. [18,+∞) D. [332,+∞)5. 曲线y =x 3−x +3在点(1,3)处的切线的斜率等于( )A. 2B. 4C. 12D. 66. 函数f(x)=2sinx −x 在区间[0,π2]上的最大值为( )A. 0B. 2−π2C. √3−π3D. 1−π67. 若函数f (x )=x −lnx 的单调递增区间是( )A. (0,1)B. (0,e )C. (0,+∞)D. (1,+∞)8. 若函数f(x)=13x 3+12mx 2+x +1在上有极值点，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,−2)∪(2,+∞)B. (−∞,−2)∪[2，+∞)C. (−2,2)D. [−2,2]9. 已知函数f(x)=x +e −x ，若存在x ∈R ，使得f(x)≤ax 成立，则实数a 的取值范围是()A. (−∞,l −e]B. (l,+∞)C. (1−e,1]D. (−∞,1−e]∪(1，+∞)10.若关于x的不等式2x3+ax2>ln x2在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围为()A. [−2,+∞)B. (−2,+∞)C. [−1,+∞)D. (−1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.函数f(x)=13x3−2x2+3x−1的单调递增区间为____________．12.函数f(x)=2xe1−x−1的极大值是__________..13.若函数f(x)=x2lg a−2x+1的图象与x轴有两个交点，则实数a的取值范围是____.14.定义在(−π2,π2)上的奇函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(1)=0.当x>0时，f(x)<tanx·f′(x)，则不等式f(x)<0的解集为_______．三、解答题（本大题共4小题，共50.0分）15.求曲线y=x3的过(1,1)的切线方程．16.求函数的单调区间f(x)=−13ax3+x2+1(a≤0)．17.设函数f(x)=(x−1)e x−kx2(其中k∈R).(Ⅰ)当k=1时，求函数f(x)的单调区间;,1]时，求函数f(x)在[0,k]上的最大值M．(Ⅱ)当k∈(1218.(Ⅰ)求证：不等式lnx≤k√x−1对k≥1恒成立．(Ⅱ)设数列{a n}的通项公式为a n=√2，前n项和为S n，求证：S n≥ln(2n+1)2n−1【答案与解析】1.答案：C解析：【试题解析】本题考查变化率的计算，注意平均变化率的计算公式，属于基础题．根据题意，由函数的解析式计算可得f(0)、f(π)的值，进而由变化率公式计算可得答案． 解：根据题意，f(x)=x 2−sinx ，则f(0)=0，f(π)=π2−sinπ=π2，则f(x)在[0,π]上的平均变化率为Δy Δx =f(π)−f(0)π−0=π2−0π−0=π；故选：C ．2.答案：B解析：本题主要考查了导数的定义及其导数的运算，考查学生的计算能力，属于基础题．解：∵f′(x 0)=−3，则ℎ→0lim f(x 0+ℎ)−f(x 0−3ℎ)ℎ=m →0lim [4·f(x 0+4m)−f(x 0)4m ]=4m →0lim(f(x 0+4m)−f(x 0)4m )=4f′(x 0)=4×(−3)=−12，故选B ．3.答案：B解析：本题主要考查导数的应用，熟悉导数的定义是解答本题的关键，属于基础题．解：由题意可知物体从时间t 到t +Δt 时，位移为Δs ，则limΔt→0Δs Δt 的意义即为t 时刻物体的瞬时速度．故选B ．4.答案：C解析：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，属于中档题．求出函数的导数，问题转化为a ≥x−12x 2在(1,4)恒成立，令g(x)=x−12x 2，x ∈(1,4)，根据函数的单调性求出a 的范围即可．解：f ′(x)=2ax −1+1x=2ax 2−x+1x ， 若f(x)在(1,4)递增，则2ax 2−x +1≥0在(1,4)恒成立，即a ≥x−12x 2在(1,4)恒成立，令g(x)=x−12x 2，x ∈(1,4)， g ′(x)=2−x2x 3，令g ′(x)>0，解得：1<x <2，令g ′(x)<0，解得：2<x <4，故g(x)在(1,2)递增，在(2,4)递减，故a ≥g(x)max =g(2)=18，故选C ． 5.答案：A解析：本题考查导数的几何意义，属于基础题．求出导数，然后由导数的几何意义即可求解．解：因为y =x 3−x +3，所以y′=3x 2−1，所以曲线在点(1,3)处的切线斜率k=y′|x=1=2．故选A．6.答案：C解析：本题主要考查利用导函数求函数闭区间上的最值，属于基础题．先求导函数，然后求极值，得出极大值就是最大值．解：∵f(x)=2sinx−x，∴f′(x)=2cosx−1，令f′(x)=2cosx−1=0，得cosx=12，∵x∈[0,π2]，∴由cosx=12，得x=π3，∴当x∈[0,π3)时，f′(x)>0，f(x)递增；当x∈(π3,π2]时，f′(x)<0，f(x)递减；当x=π3时，f(x)=2sinx−x在[0,π2]上的极大值是2sinπ3−π3=√3−π3．所以函数的最大值是√3−π3．故选C．7.答案：D解析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性.求出函数的导数，令导数大于零即可解答．解：函数f(x)=x−lnx的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1−1x =x−1x，令f′(x)>0，解得x>1．故选D．8.答案：A解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的导数求函数的极值，属于中档题．求出原函数的导函数f′(x)，由f(x)在上有极值，说明方程x2+mx+1=0有两不等实数根，由判别式大于0求得m的取值范围．解：由f(x)=13x3+12mx2+x+1，得f′(x)=x2+mx+1．若f(x)在上有极值，导函数是二次函数，方程x2+mx+1=0有两不等实数根，∴Δ=m2−4>0，解得：m<−2或m>2；综上m的取值范围是(−∞,−2)∪(2,+∞)．故选：A．9.答案：A解析：解：函数f(x)=x+e−x，若存在x∈R，使得f(x)≤ax成立，即：存在x∈R，x+e−x−ax≤0成立．令g(x)=x+e−x−ax，即g(x)min≤0成立．∴g′(x)=1−a−(1 e )x令g′(x)=0，即1−a=(1e)x，∵(1e)x>0，∴当a≥1时，不存在x．当a<1时，存在x．∴x=−ln(1−a)，∴当x∈(−∞,−ln(1−a))时，g′(x)<0，x∈(−ln(1−a),+∞)时，g′(x)>0，∴x=−ln(1−a)时，g(x)min=(a−1)ln(1−a)+(1−a)≤0，解得：a≤1−e，∵a<1，∴实数a的取值范围是(−∞,l−e]，故选：A．分别讨论a的取值范围，构造新函数，结合导数研究函数的最值即可得到结论．本题考查了导数的运算法则和函数的最值问题，以及不等式的解法，属于中档题10.答案：B解析：本题为恒成立问题，考查利用导数研究函数的单调性、求解函数的最值，考查利用导数求解恒成立问题，题目有一定的难度．由题意得在(0,+∞)上恒成立，令，易求得x∈(0,1)时，函数f(x)为增函数；x∈(1,+∞)时，函数f(x)为减函数，故x=1时，f(x)取得最大值f(1)=−2，故a>−2，问题得解．解：不等式2x3+ax2>ln x2在(0,+∞)上恒成立，即在(0,+∞)上恒成立，令，所以，令f′(x)=0，解得x=1．当x∈(0,1)时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数；当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数．所以当x=1时，f(x)取得最大值f(1)=−2，所以a>−2，所以实数a的取值范围为(−2,+∞)．故选B．11.答案：(−∞,1)，(3,+∞)x3−2x2+3x−1，所以f′(x)=x2−4x+3，解析：解：因为f(x)=13由f′(x)=x2−4x+3>0，得：x<1或x>3，所以原函数的单调增区间为(−∞,1)，(3,+∞)．故答案为(−∞,1)，(3,+∞)．x3−2x2+3x−1的单调递增区间，先求该函数的导函数，让导函数大于0求解x的求函数f(x)=13范围。
哈尔滨三中2019-2020期中高二数学理科试题含答案
2019年黑龙江省学业水平考试数学（理科）试卷一、选择题（本大题共14小题，每小题4分，共56分）1.椭圆C ：22194x y +=的离心率是（）A.3B.139C.3D.592.两平行直线1:210l x y +-=与2:230l x y ++=间距离为（）A.5B.5C.5D.53.若双曲线C:()222109x y a a -=>的渐近线方程为32y x =±，则a 的值为（）A.2B.4C.6D.84.当圆C:224220x y x my m +--+=的面积最小时，m 的取值是（）A.2B.3C.2D.15.()00,P x y 是抛物线24y x =上一点，点P 到焦点的距离是点P 到y 轴距离的3倍，则0x =（）A.12B.1C.32D.26.已知12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 为C 上一点，且12PF PF ⊥，若12PF F ∆的面积是9，则b =（）A.1B.2C.3D.47.以抛物线210x y =-210mx my -+=相切，则m =（）A.215-或1 B.25或1 C.215-或25D.25或1-8.已知两点()()2,0,0,4A B ，O 为坐标原点，动点(),P x y 在线段AB （不含端点）上运动，过P 点分别向,x y 轴作垂线，垂足分别为,M N ，则四边形PMON 的面积的最大值为（）B.2C. D.89.双曲线2233x y t -=的一个焦点坐标为()0,4，则t =（）A.4- B.2- C.2D.410.直线l 过抛物线2:y 2C x =的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点（点A 在第一象限）若2BF =，则AF =A.25B.23C.125D.8311.若直线l ：20x y -=与双曲线224x ay -=()0a >的右支仅有一个公共点，则a 的取值范围是（）A.()4,+∞ B.[)4,+∞ C.()0,4 D.(]0,412.已知点()1,2M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若090AMB ∠=，则k =（）A.1B.2C.3D.413.已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>的右支与焦点为F 的抛物线()22:x 20C py p =>交于A ，B 两点，若6AF BF OF +=，则双曲线1C 的渐近线方程为（）A.12x ±B.y x =±C.22x ±D.14.已知过椭圆()222210,0x y a b a b +=>>的左焦点为1F 且斜率为b a 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点.若椭圆上存在一点P ，满足0OA OB OP ++=（其中O 为坐标原点），则椭圆的离心率为（）A.3B.12C.2D.2二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）15.已知双曲线22:13x C y -=左、右焦点分别为1F ，2F ，点(),P x y 在C 右支上，若22PF =，则1PF =16.已知圆221:2440C x y x y +-+-=，圆222:2220C x y x y ++--=，则两圆的公切线条数是17.点(),P x y 在抛物线24y x =上，则点P 到()0,3的距离与点P 到准线的距离之和的最小值是18.已知椭圆()222:124x y C a a +=>左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆C 上存在四个不同的点P 满足12PF F S ∆=则a 的取值范围是19.已知定点()()122,0,2,0F F -，N 是圆22:1O x y +=上任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹方程是20.如图，过抛线2:2C y px =()0p >的焦点F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，且,A B两点在准线上的射影分别为,M N .若MFN AFM S S λ∆∆=，BFN MFN S S μ∆∆=，则λμ=三、解答题（本大题共6小题，共70分）21.（本小题满分10分）已知直线20l y -+=，22:4410C x y x y ++--=（1）判断直线l 与圆C 的位置关系，并证明；（2）若直线l 与圆C 相交，求出圆C 被直线l 截得的弦长；否则，求出圆上的点到直线l 的最短距离.22.（本小题满分12分）已知双曲线的中心在原点，焦点在x，过点(4,.（1）求双曲线标准方程；（2）若直线()1y k x =-与双曲线有两个不同的公共点，求k 的取值范围.23.（本小题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 为圆()2211x y -+=的圆心，O 为坐标原点.（1）求已知抛物线C 的方程；（2）过抛物线C 焦点F ，作斜率为43的直线l 交C 于,A B 两点（A 点在第一象限），若AF FB λ= ，求λ的值.24.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>点()0,2A 与点P 在椭圆C 上.已知()2,0B ，O 为坐标原点，且62OA OB +=.（1）求已知椭圆C 的方程；（2）已知()0,8M ，若Q 是椭圆C 上一动点，求QM 的最大值，并写出此时Q 点坐标.25.（本小题满分12分）如图，已知直线l 与抛物线2y x =相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，O 为坐标原点，直线l 与x 轴相交于点M ，且121y y =-.（1）求证：OA OB ⊥；（2）求点M 的横坐标；（3）过A ，B 点分别作抛物线的切线，两条切线交于点Q ，求QM ABk k ⋅26.（本小题满分12分）已知椭圆222:18x y C b +=的一个顶点为抛物线28x y =的焦点，点()00,P x y 在椭圆C 上且000x y ⋅≠，P 关于原点O 的对称点Q ，过P 作OP 的垂线交椭圆于另一点T ，连QT 交x 轴于M（1）求椭圆C 的方程；（2）求证PM ⊥x 轴；（3）记POM ∆的面积为1S ，PQT ∆的面积为2S ，求12S S 的取值范围.答案一、选择题1-5：CDADA 6-10:CCBAB 11-14:CABC二、填空题15.2+16.217.18.()4,+∞19.2213y x -=20.4三、解答题21.（1）相交（2）22.（1）22166x y -=（2）(),11,11,55⎛⎫⎛--- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 23.（1）24y x =（2）4λ=24.（1）22184x y +=（2）()0,2Q -时最大值为1025.（1）略（2）1（3）14-26.（1）22184x y +=（2）略（3）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2019_2020学年高二数学6月阶段性测试试题理含解析
【解析】
【分析】
（1）根据 化圆C和直线l极坐标方程为直角坐标方程；
（2）根据圆心到直线距离加半径得圆C上的点P到直线l的最大距离.
【详解】（1） ；
（2）
所以圆心到直线距离为
因此圆C上的点P到直线l的最大距离为
【点睛】本题考查极坐标化直角坐标、直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题.
【详解】（1）因为直线l恒过定点 且倾斜角为 ，所以 为参数
（2）直线l的参数方程代入C的直角坐标方程得
设M、N对应参数分别为 ，则
因为
因此
点睛】本题考查直线参数方程、极坐标化直角坐标，直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.
18.已知函数 的图象在点 处的切线为 .
（1）求函数 的解析式；
，即 在 上单调递减；
（2）当 时，
当 时 ，此时 无极值；
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，因此 有极大值 ，无极小值；
综上： 时， 有极大值 ，无极小值； 时， 无极值.
【点睛】本题考查利用导数证单调性、利用导数研究函数极值，考查综合分析求解与论证能力，属中档题.
17.在直角坐标系 中，直线l恒过定点 且倾斜角为 ；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为 .
【答案】
【解析】
【分析】
根据转移法求曲线C的方程
【详解】因为 ，且 ，所以
故答案为：
【点睛】本题考查伸缩变换、求曲线方程，考查基本分析化简能力，属基础题.
13.下列命题中，真命题的序号有____________.
① ， ；
②若 ，则 ；
2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高二下学期期末数学试卷(理科) (解析版)
2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高二第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知复数z满足（1﹣i）z═a+i，且z为纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．22．某中学有高中生480人，初中生240人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容为n的样本，其中高中生有12人，那么n等于（）A．6B．9C．12D．183．两个线性相关变量x与y的统计数据如表：x99.51010.511y1110865其回归直线方程是，则相对应于点（11，5）的残差为（）A．0.1B．0.2C．﹣0.1D．﹣0.24．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2表示没有击中目标，3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A．0.55B．0.6C．0.65D．0.75．已知函数在点x＝x0处的切线的倾斜角是，则x0的值为（）A．B．C．D．16．为做好社区新冠疫情防控工作，需将四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有（）种A．36B．48C．60D．167．（）dx＝（）A．﹣1B．1C．2D．48．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）A．23B．75C．77D．1399．某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A．，s2+1002B．+100，s2+1002C．，s2D．+100，s210．已知函数f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f（e）＝（）A．﹣e B．e C．﹣1D．111．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．12．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足（1﹣x）f（x）+xf'（x）＞0，则关于x不等式：f（2x﹣1）﹣e x﹣3f（x+2）＜0的解集为（）A．（）B．（3，+∞）C．（1，3）D．（，+∞）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），且P（ξ＞2）＝0.85，则P（3＜ξ＜4）＝．14．如图，在边长为2的正六边形内随机地撒一把豆子，落在正六边形ABC﹣DEF内的豆子粒数为626，落在阴影区域内的豆子粒数为313，据此估计阴影的面积为．15．若（x+）n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项的值为．16．已知函数f（x）＝（xe x﹣m）x﹣2e x（x∈R），若m＝0，则f（x）的极大值点为；若f（x）有3个极值点，则实数m的取值范围是．三.解答题（本题共6小题，共70分.其中17题10分，18-22题每题12分.）17．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．18．已知函数f（x）＝|x﹣3|+|x+a|（a＞0）．（1）若a＝1，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，求实数a的取值范围．19．某地为响应国家“脱贫攻坚战”的号召，帮助贫困户脱贫，安排贫困人员参与工厂生产．现用A，B两条生产线生产某产品．为了检测该产品的某项质量指标值（记为Z），现随机抽取这两条生产线的产品各100件，由检测结果得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）分别估计A，B两条生产线的产品质量指标值的平均数（同一组数据中的数据用该组区间的中点值作代表），从平均数结果看，哪条生产线的质量指标值更好？（Ⅱ）计算A生产线的产品质量指标值的众数和中位数（中位数计算结果精确到小数点后两位）．（Ⅲ）该公司规定当Z≥92时，产品为超优品，根据所检测的结果填写2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产超优品是否与生产线有关”．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.0500.0100.0050.001k0 3.841 6.6357.87910.828 2×2列联表A生产线B生产线总计超优品非超优品总计20．已知两个定点A（0，4），B（0，1），动点P满足|PA|＝2|PB|，设动点P的轨迹为曲线E，直线l：y＝kx﹣4．（1）求曲线E的轨迹方程；（2）若l与曲线E交于不同的C、D两点，且∠COD＝120°（O为坐标原点），求直线l的斜率；（3）若k＝1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线OM、ON，切点为M、N，探究：直线MN是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由．21．某班组织“2人组”投篮比赛，每队2人．在每轮比赛中，每队中的两人各投篮1次，规定：每队中2人都投中，则该队得3分；若只有1人投中，则该队得1分；若没有人投中，则该队得﹣1分．A队由甲、乙两名同学组成，甲投球一次投中的概率为，乙投球一次投中的概率为，且甲、乙投中与否互不影响，在各轮比赛中投中与否也互不影响．（Ⅰ）求A队在一轮比赛中的得分不低于1分的概率；（Ⅱ）若共进行五轮比赛，记“A队在一轮比赛中得分不低于1分”恰有X次，求X的期望和方差；（Ⅲ）若进行两轮比赛，求A队两轮比赛中得分之和Y的分布列和期望．22．已知函数f（x）＝axe x（a∈R），g（x）＝lnx+kx+1（k∈R）．（Ⅰ）若k＝﹣1，求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若k＝1时有f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知复数z满足（1﹣i）z═a+i，且z为纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用实部为0且虚部不为0列式求解．解：由（1﹣i）z═a+i，得z＝，由题意得，，即a＝1．故选：B．2．某中学有高中生480人，初中生240人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容为n的样本，其中高中生有12人，那么n等于（）A．6B．9C．12D．18【分析】利用分层抽样的性质列出方程，由此能求出结果．解：由分层抽样的性质得：＝，解得n＝18．故选：D．3．两个线性相关变量x与y的统计数据如表：x99.51010.511y1110865其回归直线方程是，则相对应于点（11，5）的残差为（）A．0.1B．0.2C．﹣0.1D．﹣0.2【分析】由已知求得样本中心点的坐标，代入线性回归方程求得，则回归方程可求，取x＝11求得，再由残差公式求残差．解：，，由8＝10+40，得，∴，取x＝11，得＝﹣3.2×11+40＝4.8．∴相对应于点（11，5）的残差为5﹣4.8＝0.2．故选：B．4．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2表示没有击中目标，3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A．0.55B．0.6C．0.65D．0.7【分析】由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示种射击4次至少击中3次的有多少组，可以通过列举得到共多少组随机数，根据概率公式，得到结果．解：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：7527 9857 0347 4373 8636 9647 46986233 8045 3661 9597 7424，共12组随机数，∴所求概率为0.6．故选：B．5．已知函数在点x＝x0处的切线的倾斜角是，则x0的值为（）A．B．C．D．1【分析】根据切线的倾斜角求出斜率，然后令导数等于斜率，即可解出x0的值．解：易知，因为在x＝x0处，切线倾斜角为，故，解得．故选：A．6．为做好社区新冠疫情防控工作，需将四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有（）种A．36B．48C．60D．16【分析】根据题意，先将四名志愿者分成3组，再将分好的3组全排列，分配到3个小区，问题得以解决．解：根据题意，先将四名志愿者分成3组，有C42＝6种分组方法，再将分好的3组全排列，分配到3个小区，有A33＝6种情况，则不同的分配方案共有有C42•A33＝36种，故选：A．7．（）dx＝（）A．﹣1B．1C．2D．4【分析】（）dx＝dx+dx，前者的被积函数是偶函数，定积分为0；后者直接运用定积分的运算法则求解即可．解：（）dx＝dx+dx，因为函数y＝为偶函数，所以dx＝0；dx＝＝1﹣（﹣1）＝2，所以（）dx＝0+2＝2．故选：C．8．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）A．23B．75C．77D．139【分析】根据数字的变化规律即可求出．解：观察每个图形最上边的正方形中的数字规律为1，3，5，7，9，11，左下角数字的变化规律为2，22，23，24，25，26，右下角的数字等于前图形的两个数字之和，所以a＝26+11＝75，故选：B．9．某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A．，s2+1002B．+100，s2+1002C．，s2D．+100，s2【分析】根据变量之间均值和方差的关系和定义，直接代入即可得到结论．解：由题意知y i＝x i+100，则＝（x1+x2+…+x10+100×10）＝（x1+x2+…+x10）＝+100，方差s2＝[（x1+100﹣（+100）2+（x2+100﹣（+100）2+…+（x10+100﹣（+100）2]＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]＝s2．故选：D．10．已知函数f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f（e）＝（）A．﹣e B．e C．﹣1D．1【分析】利用求导法则求出f（x）的导函数，把x＝e代入导函数中得到关于f′（e）的方程，求出方程的解即可得到f′（e）的值．解：求导得：f′（x）＝2f'（e）+，把x＝e代入得：f′（e）＝e﹣1+2f′（e），解得：f′（e）＝﹣e﹣1，∴f（e）＝2ef′（e）+lne＝﹣1，故选：C．11．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．【分析】先计算n（AB）、n（A），再利用P（B|A）＝，即可求得结论．解：由题意，n（AB）＝＝13，n（A）＝＝40∴P（B|A）＝＝．故选：B．12．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足（1﹣x）f（x）+xf'（x）＞0，则关于x不等式：f（2x﹣1）﹣e x﹣3f（x+2）＜0的解集为（）A．（）B．（3，+∞）C．（1，3）D．（，+∞）【分析】先将不等式转化为，进而考虑令，再结合函数单调性即可求解．解：因为（1﹣x）f（x）+xf'（x）＞0，所以，令，x∈（0，+∞），则g'（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上单调递增，不等式⇔⇔g（2x ﹣1）＜g（x+2），于是有，解得，故选：A．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），且P（ξ＞2）＝0.85，则P（3＜ξ＜4）＝0.35．【分析】由已知求得μ，再由正态分布曲线的对称性求得P（2＜ξ＜3），则答案可求．解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），∴μ＝3，∵P（ξ＞2）＝0.85，∴P（2＜ξ＜3）＝0.85﹣0.5＝0.35，则P（3＜ξ＜4）＝P（2＜ξ＜3）＝0.35，故答案为：0.35．14．如图，在边长为2的正六边形内随机地撒一把豆子，落在正六边形ABC﹣DEF内的豆子粒数为626，落在阴影区域内的豆子粒数为313，据此估计阴影的面积为．【分析】由已知求出正方形面积，根据几何概型的概率公式，即可以进行估计，得到结论．解：因为边长为2的正六边形的面积．据题设分析知阴影区域面积．故答案为：3．15．若（x+）n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项的值为20．【分析】利用二项式的系数和列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0，求出展开式的常数项．解：展开式的二项式系数和为2n∴2n＝64解得n＝6∴展开式的通项为T r+1＝C6r x6﹣2r令6﹣2r＝0得r＝3故展开式的常数项为C63＝20故答案为2016．已知函数f（x）＝（xe x﹣m）x﹣2e x（x∈R），若m＝0，则f（x）的极大值点为；若f（x）有3个极值点，则实数m的取值范围是（0，6e﹣4）．【分析】当m＝0 时，利用导数求得f（x）的极大值点；根据f（x）有三个极值点，利用分离常数法求得m的取值范围．解：当m＝0 时，f（x）＝（x2﹣2）e x，f′（x）＝（x2+2x﹣2）e x，令f′（x）＝0，解得，所以f（x）在（﹣∞，x1）和（x2，+∞）上递增，在（x1，x2）上递减，所以f（x）的极大值点为；f（x）＝（x2﹣2）e x﹣mx，f′（x）＝（x2+2x﹣2）e x﹣m，构造函数g（x）＝（x2+2x﹣2）e x，g′（x）＝（x2+4x）e x＝x（x+4）e x，所以g（x）在（﹣∞，﹣4），（0，+∞）上递增，在（﹣4，0）上递减，所以g（x）的极大值为g（﹣4）＝6e﹣4，极小值为g（0）＝﹣2，注意到当x＜x1时，（x2+2x﹣2）e x＞0，所以由f（x）有3个极值点，可得0＜m＜6e﹣4，所以实数m的取值范围是（0，6e﹣4）．故答案为：．三.解答题（本题共6小题，共70分.其中17题10分，18-22题每题12分.）17．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【分析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ＝1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|＝|ρ1﹣ρ2|即可得出．解：（I）利用cos2φ+sin2φ＝1，把圆C的参数方程为参数）化为（x ﹣1）2+y2＝1，∴ρ2﹣2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1＝θ2，∴|PQ|＝|ρ1﹣ρ2|＝2．∴|PQ|＝2．18．已知函数f（x）＝|x﹣3|+|x+a|（a＞0）．（1）若a＝1，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）由题意可得|x﹣3|+|x+1|≥6，由绝对值的意义、去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由题意可得f（x）min≥a2﹣2a﹣1，运用绝对值不等式的性质可得f（x）的最小值，再由二次不等式的解法，可得所求解集．解：（1）不等式f（x）≥6，即为|x﹣3|+|x+1|≥6，等价为或或，解得x≥4或x∈∅或x≤﹣2，可得原不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）；（2）f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，即为f（x）min≥a2﹣2a﹣1，由a＞0时，f（x）＝|x﹣3|+|x+a|≥|x﹣3﹣x﹣a|＝|﹣3﹣a|＝a+3，当﹣a≤x≤3时，上式取得等号，则a+3≥a2﹣2a﹣1，即为a2﹣3a﹣4≤0，解得﹣1≤a≤4，但a＞0，可得0＜a≤4．19．某地为响应国家“脱贫攻坚战”的号召，帮助贫困户脱贫，安排贫困人员参与工厂生产．现用A，B两条生产线生产某产品．为了检测该产品的某项质量指标值（记为Z），现随机抽取这两条生产线的产品各100件，由检测结果得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）分别估计A，B两条生产线的产品质量指标值的平均数（同一组数据中的数据用该组区间的中点值作代表），从平均数结果看，哪条生产线的质量指标值更好？（Ⅱ）计算A生产线的产品质量指标值的众数和中位数（中位数计算结果精确到小数点后两位）．（Ⅲ）该公司规定当Z≥92时，产品为超优品，根据所检测的结果填写2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产超优品是否与生产线有关”．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.0500.0100.0050.001 k0 3.841 6.6357.87910.8282×2列联表A生产线B生产线总计超优品非超优品总计【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中的数据求出A，B两条生产线的产品质量指标值的平均数，平均数越大，则生产线的质量指标值更好．（Ⅱ）A生产线的产品质量指标值的众数为80．先分别计算前两组和前三组的频率和，与0.5比较大小后，可发现中位数在区间[76，84]，设为x，然后根据中位数的性质列出关于x的方程，解之即可．（Ⅲ）填写完2×2列联表，再根据公式计算K2的观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断．解：（Ⅰ）设A，B两条生产线的产品质量指标值的平均数分别为，，由频率分布直方图可得，＝（0.00625×64+0.01875×72+0.05375×80+0.035×88+0.01125×96）×8＝81.68，＝（0.00625×64+0.02×72+0.0625×80+0.03375×88+0.0025×96）×8＝80.4，所以＞，故A生产线的质量指标值更好．（Ⅱ）A生产线的产品质量指标值的众数为80．由A生产线的产品质量指标值频率分布直方图得，前两组频率和为0.00625×8+0.01875×8＝0.2＜0.5，前三组频率和为0.00625×8+0.01875×8+0.05375×8＝0.63＞0.5，故中位数在区间[76，84]，设为x，则0.00625×8+0.01875×8+0.05375×（x﹣76）＝0.5，解得x≈5.58+76＝81.58，故A生产线的产品质量指标值的中位数约为81.58．（Ⅲ）2×2列联表如下：A生产线B生产线总计超优品9211非超优品9198189总计100100200∴K2＝≈4.714＞3.841．故有95%的把握认为“生产超优品是否与生产线有关”．20．已知两个定点A（0，4），B（0，1），动点P满足|PA|＝2|PB|，设动点P的轨迹为曲线E，直线l：y＝kx﹣4．（1）求曲线E的轨迹方程；（2）若l与曲线E交于不同的C、D两点，且∠COD＝120°（O为坐标原点），求直线l的斜率；（3）若k＝1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线OM、ON，切点为M、N，探究：直线MN是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由．【分析】（1）设点P的坐标为（x，y），根据|PA|＝2|PB|列方程化简可得轨迹方程；（2）OC＝OD＝2，且∠COD＝120°，则点O到CD边的距离为1，列方程求解即可；（3）依题意，ON⊥QN，OM⊥QM，则M，N都在以OQ为直径的圆F上，Q是直线l：y＝x﹣4上的动点，设Q（t，t﹣4），联立两个圆的方程求解即可．解：（1）设点P的坐标为（x，y），|PA|＝2|PB|，即＝2，整理得x2+y2＝4，所以曲线E的轨迹方程为x2+y2＝4；（2）依题意，OC＝OD＝2，且∠COD＝120°，则点O到CD边的距离为1，即点O（0，0）到直线l：kx﹣y﹣4＝0的距离d＝＝1，解得k＝±；（3）依题意，ON⊥QN，OM⊥QM，则M，N都在以OQ为直径的圆F上，因为Q是直线l：y＝x﹣4上的动点，设Q（t，t﹣4），则圆F的圆心为（，），且经过坐标原点，即圆的方程为x2+y2﹣tx﹣（t﹣4）y＝0．又因为M，N在曲线E：x2+y2＝4上，由，可得tx+（t﹣4）y ﹣4＝0，即直线MN的方程为tx+（t﹣4）y﹣4＝0．由t∈R且t（x+y）﹣4y﹣4＝0可得，，解得，所以直线MN是过定点（1，﹣1）．21．某班组织“2人组”投篮比赛，每队2人．在每轮比赛中，每队中的两人各投篮1次，规定：每队中2人都投中，则该队得3分；若只有1人投中，则该队得1分；若没有人投中，则该队得﹣1分．A队由甲、乙两名同学组成，甲投球一次投中的概率为，乙投球一次投中的概率为，且甲、乙投中与否互不影响，在各轮比赛中投中与否也互不影响．（Ⅰ）求A队在一轮比赛中的得分不低于1分的概率；（Ⅱ）若共进行五轮比赛，记“A队在一轮比赛中得分不低于1分”恰有X次，求X的期望和方差；（Ⅲ）若进行两轮比赛，求A队两轮比赛中得分之和Y的分布列和期望．【分析】（Ⅰ）设事件“A队在一轮比赛中的得分不低于1分”为事件B，“甲在一轮中投中”为事件C，“乙在一轮中投中”为事件D，则C，D相互独立，且P（C）＝，P（D）＝，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出A队在一轮比赛中的得分不低于1分的概率．（Ⅱ）推导出X～B（5，），由此能求出X的期望和方差．（Ⅲ）Y的可能取值为﹣2，0，2，4，6，分别求出相应的概率，由此能求出Y的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）设事件“A队在一轮比赛中的得分不低于1分”为事件B，“甲在一轮中投中”为事件C，“乙在一轮中投中”为事件D，则C，D相互独立，且P（C）＝，P（D）＝，∴A队在一轮比赛中的得分不低于1分的概率为：P（B）＝P（）＝P（CD）+P（）+P（C）＝＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）知“A队在一轮比赛中的得分不低于1分”的概率为，共进行五轮比赛，记“A队在一轮比赛中得分不低于1分”恰有X次，则X的可能取值为0，1，2，3，4，5，且X～B（5，），X的期望E（X）＝5×＝，方差D（X）＝＝．（Ⅲ）进行两轮比赛，A队两轮比赛中得分之和为Y．则Y的可能取值为﹣2，0，2，4，6，P（Y＝﹣2）＝＝，P（Y＝0）＝＝，P（Y＝2）＝（）2+＝，P（X＝4）＝（）×（）×2＝，P（X＝6）＝（）2＝，∴Y的分布列为：Y﹣20246PE（Y）＝+6×＝．22．已知函数f（x）＝axe x（a∈R），g（x）＝lnx+kx+1（k∈R）．（Ⅰ）若k＝﹣1，求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若k＝1时有f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）k＝﹣1时，g（x）＝lnx﹣x+1的定义域为（0，+∞），，利用导数性质能求出g（x）的单调区间．（Ⅱ）当k＝1时，f（x）≥g（x）恒成立，即axe x≥lnx+x+1恒成立，从而a≥，令h（x）＝，则，利用导数性质能求出a的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）k＝﹣1时，g（x）＝lnx﹣x+1的定义域为（0，+∞），．……（1分）令＞0，得0＜x＜1，令，得x＞1，所以g（x）在（0，1）上是增函数，（1，+∞）上是减函数．……（Ⅱ）当k＝1时，f（x）≥g（x）恒成立，即axe x≥lnx+x+1恒成立．因为x＞0，所以a≥．……令h（x）＝，则．……令p（x）＝﹣lnx﹣x，，故p（x）在（0，+∞）上单调递减，且p（）＝1﹣，p（1）＝﹣1＜0，故存在x0∈（，1），使得p（x0）＝﹣lnx0﹣x0＝0，故lnx0+x0＝0，即．当x∈（0，x0）时，p（x）＞0，h′（x）＞0；当x∈（x0，+∞）时，p（x）＜0，h′（x）＜0；∴h（x）在（0，x0）单调递增，在（x0，+∞）单调递减，……∴h（x）max＝h（x0）＝＝1，……故a的取值范围是[1，+∞）．……。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨三中高二(下)期末数学试卷(理科)(附答案详解)
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨三中高二（下）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z=2+i1−i，其中i为虚数单位，则z的虚部是()A. 12B. 32C. 32i D. −32i2.命题“若ab>0，则ba +ab≥2”的逆命题、否命题、逆否命题的真假分别为()A. 假，假，假B. 假，假，真C. 真，真，真D. 真，假，真3.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在√2+√2+√2+⋅⋅⋅中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程√2+x=x确定出来x=2，类似的不难得到1+11+11+1⋅⋅⋅=()A. −√5−12B. √5−12C. √5+12D. −√5+124.曲线f(x)=ax−xlnx在点(1,f(1))处的切线与直线x+y=0垂直，则a=()A. −1B. 0C. 1D. 25.执行如图所示的程序框图，若输出y=4，则输入的x为()A. −√6B. 4C. 2−√2D. 2+√26.设x∈R，则1+x3−x≥0是|x−1|≤2的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.命题“∀n≥3，n∈N∗，x n+y n=z n无正整数解．”的否定是()A. ∀n≥3，n∈N∗，x n+y n=z n有正救数解B. ∀n≥3，n∉N∗，x n+y n=z n有正整数解C. ∃n0≥3，n0∉N∗，x n0+y n0=z n0有正整数解D. ∃n0≥3，n0∈N∗，x n0+y n0=z n0有正整数解8.“更相减损术”是一种用于求两个正整数的最大公约数的方法，将该方法用算法流程图表示如图，若输入a=63，b=35，i=0，则输出的结果为()A. a=7，i−4B. a=7，i=6C. a=7，i=5D. a=7，i=79.已知命题p：∀x>0，lnx≤x−1；命题q：若x>y，则|x+1|>y.下列命题为真命题的是()A. p∧qB. ￢p∧qC. p∧￢qD. ￢p∧￢q10.已知函数y=f(x)是R上的可导函数，f′(x)+f(x)>1且f(100)=2021，则不等式f(x)−1>2020e100−x的解集为()A. (−∞,100)B. (100,+∞)C. (−∞,2020)D. (2020,+∞)11.在极坐标系中，曲线C1：ρ=2sinθ，曲线C2：ρ=4cosθ，过极点的直线与曲线C1，C2分别交于异于极点的A，B两点，则|AB|的最大值为()A. √5B. 4C. 2√5D. 512.已知函数f(x)=x+1+lnx，g(x)=x(e2x+a)，若存在x>0，使f(x)>g(x)成立，则实数a的取值范围为()A. (−∞,−1)B. (−∞,1)C. (−∞,−e)D. (−∞,e)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）x+sinx)dx的值等于______．13.∫(π14.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)，且P(ξ<4)=0.8，则P(0<ξ<2)=______．15. 设a ，b ，c ∈R ，若a +2b +c =3，则(a +1)2+(2b +3)2+(c −1)2的最小值为______．16. 四面体ABCD 中，AB =CD =√5，AD =BC =√13，AC =BD =√10，则直线AB和平面BCD 所成角的正弦值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 哈三中高二数学备课组对学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，所得数据如表所示：(Ⅰ)请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；(Ⅱ)根据(Ⅰ)中求出的线性回归方程，预测记忆力为9的学生的判断力． (参考公式：b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2−∑x i n i=1y i −nxy−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −．18. 已知函数f(x)=|x +m|+|x −5|．(Ⅰ)当m =1时，求不等式f(x)≤8的解集； (Ⅱ)若f(x)>2m +3恒成立，求实数m 的取值范围．19.已知函数f(x)=xlnx−a(x−1)．(Ⅰ)当a=2时，求函数y=f(x)的极值；(Ⅱ)若x≥1时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．20.在直角坐标系中，曲线C方程为x29+y24=1，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ+2ρsinθ+a=0．(Ⅰ)当a=10时，在曲线C上求一点M，使点M到直线l的距离最大，并求出最大距离；(Ⅱ)当a=1时，直线l与曲线C交于A，B两点，弦AB的中点为Q，定点P(3,−2)，求|PQ||PA|⋅|PB|的值．21.如图，四棱锥P−ABCD中，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=√5，侧面PAD⊥平面ABCD，且三角形PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°．(Ⅰ)求证：PD⊥平面PAB；(Ⅱ)设Q为线段PA上一点，若BQ//平面PCD，求二面角P−CD−Q的余弦值．22.已知函数f(x)=e x+ln(x+1)−asinx，其中a>0．(Ⅰ)求证：e x≥x+1；(Ⅱ)若函数y=f(x)为定义域上的增函数，求a的取值范围；(Ⅲ)若函数g(x)=f(x)−ln(x+1)在(0,π)上有两个零点x1，x2，求参数a的取值范围，并证明：x1+x2<π．答案和解析1.【答案】B【解析】解：复数z=2+i1−i =(2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=12+32i，则z的虚部是32．故选：B．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由基本不等式可知，命题“若ab>0，则ba +ab≥2”为真命题，则逆否命题为真命题，逆命题为“若ba +ab≥2，则ab>0”，因为ba +ab=b2+a2ab≥2，则ab>0，故逆命题为真命题，所以否命题为真命题，则命题“若ab>0，则ba +ab≥2”的逆命题、否命题、逆否命题的真假分别为真、真、真．故选：C．利用基本不等式判断原命题的为真，再判断逆命题的真假，然后由互为逆否命题同真假的结论，即可得到答案．本题考查了命题真假的判断，四种命题的关系，基本不等式的应用，解题的关键是掌握互为逆否命题同真假的结论，考查了逻辑推理能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：可以令1+11+11+⋯=t(t>0)，由1+1t=t解的其值为√5+12，故选：C．由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解(舍去负根)，可得要求的式子本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道基础题4.【答案】D【解析】解：f(x)=ax −xlnx 的导数为f′(x)=a −1−lnx ， 可得在点(1,f(1))处的切线的斜率为a −1， 由切线与直线x +y =0垂直，可得a −1=1， 解得a =2， 故选：D ．求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得a 的方程，解方程可得所求值．本题考查导数的几何意义，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：框图显示的算法函数为y ={−(x +2)2−2,x <−2,x,−2≤x ≤2,(x −2)2+2,x ≥2,，∵y =4，又∵当x ≥2时，f(x)=(x −2)2+2，∴(x −2)2+2=4，解得x =2+√2 或x =2−√2(舍去)， 故x =2+√2． 故选：D ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.【答案】A【解析】解：∵1+x 3−x ≥0，∴{(x +1)(x −3)≤0x −3≠0，∴−1≤x <3，∵|x −1|≤2，∴−2≤x −1≤2，∴−1≤x ≤3，∵{x|−1≤x<3}⊊{x|−1≤x≤3}，≥0是|x−1|≤2的充分不必要条件，∴则1+x3−x故选：A．先解出分式不等式和绝对值不等式的解集，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题考查了分式不等式和绝对值不等式的解法、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃n0≥3，n0∈N∗，x n0+y n0=z n0有正整数解，故选：D．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．8.【答案】B【解析】解：由程序框图可得，输入a=63，b=35，i=0，第1次循环，i=1，a=28，b=35，第2次循环，i=2，a=28，b=7，第3次循环，i=3，a=21，b=7，第4次循环，i=4，a=14，b=7，第5次循环，i=5，a=7，b=7，第6次循环，i=6，a=1，b=7，循环结束，输出a=7，i=6．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a，i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.【答案】A【解析】解：令f(x)=lnx−x+1(x>0)，则f′(x)=1x −1=1−xx，令f′(x)=0，则x=1，当0<x<1时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，当x>1时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，所以当x=1时，f(x)取得最大值f(1)=0，则f(x)≤0，故lnx≤x−1恒成立，所以命题p为真命题，命题q：若x>y，则|x+1|>y，当y≤0时，若x>y，则|x+1|>y成立，当y>0时，因为x>y>0，则x+1>y>0，故|x+1|>y成立，所以命题q为真命题，则p∧q为真命题，￢p∧q为假命题，p∧￢q为假命题，￢p∧￢q为假命题．故选：A．构造函数f(x)=lnx−x+1(x>0)，利用导数证明f(x)≤0，则lnx≤x−1恒成立，从而判断命题p为真命题，再利用不等式的基本性质判断命题q为真命题，然后由复合命题真假的判定法则进行分析，即可得到答案．本题考查了命题真假的判断，不等式恒成立问题的证明，利用导数研究函数的性质的应用，复合命题真假判定法则的运用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：令g(x)=f(x)e x−e x=[f(x)−1]e x，∵f′(x)+f(x)>1∴g′(x)=[f′(x)+f(x)−1]e x>0，∴g(x)为增函数，又f(100)=2021，∴f(x)−1>2020e100−x⇔[f(x)−1]e x>[f(100)−1]e100，即g(x)>g(100)∴x>100，故选：B．可构造函数g(x)=[f(x)−1]e x，依题意知g(x)为增函数，又f(100)=2021，故f(x)−1>2020e100−x⇔[f(x)−1]e x>[f(100)−1]e100，即g(x)>g(100)，从而可得答案．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑推理能力运算求解能力，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：利用|AB|=ρ1−ρ2|=2sinθ−4cosθ|=2√5|sin(θ−α)|，当θ−α=π2时，|AB|的最大值为2√5．故选：C．直接利用极径的关系式和三角函数的关系式的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点极径的应用和三角函数的关系式的变换的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：存在x>0，使f(x)>g(x)成立，即x+1+lnx>x(e2x+a)，由于x>0，所以可得1+1 x +lnxx>e2x+a当x>0时，设m(x)=1+1x +lnxx，n(x)=e2x+a，由m′(x)=−lnxx2，可知m(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，由n′(x)=2e2x，可知n(x)在(0,+∞)上递增，若存在x>0时，m(x)>n(x)，则临界状态是m(x)图象与n(x)相切，且m(x)图象位于n(x)上方，如图设此时函数m(x)与n(x)的切点横坐标为t，则有1+1t +lntt=e2t+a，①−lnt t2=2e2t，②由②可得，e2t=1t，即lnt=−2t由①得，a=1+1 t +lntt−e2t=1+1t+−2tt−1t=−1所以要满足x>0时，m(x)>n(x)，只需a<−1即可．故选：A．由于f(x)>g(x)成立，即x+1+lnx>x(e2x+a)，变形得1+1 x +lnxx>e2x+a，然后利用不等号两侧函数的图象求得a的范围．本题考查导数与函数最值，解题时先进行一定的化简，然后利用函数图象解题，属于难题．13.【答案】π22+2【解析】解：∫(20x+sinx)dx=(12x2−cosx)|0π=(π22+1)−(−1)=π22+2．故答案为：π22+2．找出被积函数的原函数，利用牛顿莱布尼兹公式可得出答案．本题考查定积分的计算，解决这类问题的关键在于找出被积函数的原函数，属于基础题．14.【答案】0.3【解析】解：∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，μ=2，得对称轴是x=2．P(ξ<4)=0.8∴P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2，∴P(0<ξ<4)=0.6∴P(0<ξ<2)=0.3．故答案为：0.3．根据随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，P(0<ξ<4)，得到结果．根据正态曲线的特点，得到P(0<ξ<2)=12本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．15.【答案】12【解析】解：根据题意，若a+2b+c=3，则(a+1)+(2b+3)+(c−1)=6，则有[(a+1)2+(2b+3)2+(c−1)2](1+1+1)≥[1×(a+1)+1×(2b+3)+1×(c−1)]2，变形可得(a+1)2+(2b+3)2+(c−1)2≥12，即(a+1)2+(2b+3)2+(c−1)2的最小值为12；故答案为：12．根据题意，将a+2b+c=3变形可得(a+1)+(2b+3)+(c−1)=6，由柯西不等式可得[(a+1)2+(2b+3)2+(c−1)2](1+1+1)≥[1×(a+1)+1×(2b+3)+1×(c−1)]2，据此变形可得答案．本题考查柯西不等式的性质以及应用，注意柯西不等式的形式，属于基础题．16.【答案】12√535【解析】解：设四面体ABCD 所在的长方体如图所示，设长方体的棱长分别为a ，b ，c ，因为AB =CD =√5，AD =BC =√13，AC =BD =√10，所以{a 2+b 2=10b 2+c 2=13a 2+c 2=5，解得{a =1b =3c =2，建立空间直角坐标系如图所示，则C(0,0，2)，B(3,0，0)，D(0,1，0)，A(3,1，2)， 所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0,2),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,1,0)， 设平面BCD 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−3x +2z =0−3x +y =0，令x =2，则y =6，z =3， 故n⃗ =(2,6,3)， 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,−2)，所以|cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=12√4+36+9×√1+4=12√535， 则直线AB 和平面BCD 所成角的正弦值为12√535． 故答案为：12√535． 将四面体ABCD 放入长方体中，求出长方体的棱长，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面BCD 的法向量，由向量的夹角公式求解即可．本题考查了线面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得，x −=4+6+8+104=7，y −=2+3+5+64=4，∑x i 4i=1y i =8+18+40+60=126，∑x i 24i=1=16+36+64+100=216，故b ̂=126−4×7×4216−4×72=1420=0.7，则a ̂=y −−b ̂x −=4−0.7×7=−0.9，所以线性回归方程为y ̂=0.7x −0.9； (Ⅱ)当x =9时，y ̂=0.7×9−0.9=5.4， 故预测记忆力为9的学生的判断力为5.4．【解析】(Ⅰ)先求出样本中心，再利用公式求出回归系数，即可得到线性回归方程； (Ⅱ)将x =9代入回归方程求解即可．本题考查了线性回归方程的求解，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)当m =1时，不等式f(x)≤8即为|x +1|+|x −5|≤8，等价为{x ≤−1−x −1+5−x ≤8或{−1<x <5x +1+5−x ≤8或{x ≥5x +1+x −5≤8，解得−2≤x ≤−1或−1<x <5或5≤x ≤6， 所以原不等式的解集为[−2,6]；(Ⅱ)f(x)>2m +3恒成立，即为2m +3<f(x)min ， 由f(x)=|x +m|+|x −5|≥|−x −m +x −5|=|m +5|， 当(x +m)(x −5)≤0时取得等号． 所以2m +3<|m +5|，可得m +5>2m +3或m +5<−2m −3， 即为m <2或m <−83， 所以m 的取值范围是(−∞,2)．【解析】(Ⅰ)由绝对值的意义和零点分区间法，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(Ⅱ)f(x)>2m +3恒成立，即为2m +3<f(x)min ，由绝对值不等式的性质可得最小值，结合绝对值不等式的解法，可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题解法，注意运用绝对值的性质，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)当a =2时，f(x)=xlnx −2(x −1)，f′(x)=lnx +x ⋅1x −2=lnx −1，当x>e时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当0<x<e时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)极小值=f(e)=elne−2(e−1)=2−e，无极大值；(Ⅱ)若x≥1时，f(x)≥0恒成立，xlnx−a(x−1)≥0恒成立，令g(x)=xlnx−a(x−1)，x≥1g′(x)=lnx+x⋅1x−a=lnx+1−a，所以g′(x)在(1,+∞)上单调递增，①当1−a≥0，即a≤1时，g′(x)≥0，所以g(x)在[1,+∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1)=1×ln1−a(1−1)≥0，符合题意，②当1−a<0，即a>1时，令g′(x)=lnx+1−a=0，得x=e a−1，此时a>1，则e a−1>e0=1，所以在(1,e a−1)上，g′(x)<0，g(x)单调递减，在(e a−1,+∞)上，g′(x)>0，g(x)单调递增，由于g(1)=1×ln1−a(1−1)=0，所以在(1,e a−1)上，g(x)<g(1)=0，所以不符合x≥1时，f(x)≥0恒成立，所以a≤1，综上所述，a的取值范围为(−∞,1]．【解析】(Ⅰ)当a=2时，f(x)=xlnx−2(x−1)，求导分析f′(x)的正负，f(x)的单调性，即可得出答案．(Ⅱ)根据题意问题可转化为若x≥1时，xlnx−a(x−1)≥0恒成立，令g(x)=xlnx−a(x−1)，x≥1，分两种情况：①当1−a≥0，②当1−a<0，讨论g(x)min≥0时，a的取值范围．本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论，转化思想的应用，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)曲线C方程为x29+y24=1，转换为参数方程为{x=3cosθy=2sinθ(θ为参数)，当a=10时，直线l的极坐标方程为ρcosθ+2ρsinθ+a=0，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为直角坐标方程为x +2y +10=0．设M(3cosθ,2sinθ)，利用点到直线的距离公式d =|3cosθ+4sinθ+10|√12+22=|5cos(θ−α)+10|√5(cosα=35,sinα=45)，当θ=α时，d max =15√5=3√5，即点M(95,85).(Ⅱ)当a =1时，直线的直角坐标方程为x +2y +1=0． 转换为参数方程为{x =3−2√55ty =−2+√55t(t 为参数)，代入x 29+y 24=1，得到25t 2−84√5t +180=0， 所以t 1+t 2=84√525，t 1t 2=365，所以|PA||PB|=|t 1t 2|=365，|PQ|=|t 1+t 2|2=42√525， 所以|PQ||PA|⋅|PB|=42√525365=7√530．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，再利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的恒等变换及余弦型函数性质的应用求出最大值；(Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换，三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数性质的应用，点到直线的距离公式的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)证明：取AD 的中点O ，连接PO ，因为三角形PAD 为等腰直角三角形，所以PD ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且PAD ∩平面ABCD =AD ，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，又AB ⊂平面ABCD ， 则AB ⊥PO ，又AB ⊥AD ，且PO ∩AD =O ，PO ，AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ， 所以AB ⊥PD ，又∠APD =90°，即PD ⊥PA ， 因为AB ∩PA =A ，AB ，PA ⊂平面PAB ， 所以PD ⊥平面PAB ；(Ⅱ)因为AC =CD ，点O 为AD 的中点，所以OC ⊥AD ， 以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 则P(0,0，1)，D(0,−1,0)，C(2,0，0)，B(1,1，0)， 设Q(0,m ，1−m)，则BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,m −1,1−m)， PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−1),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,−1)， 设平面PCD 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x −z =0−y −z =0， 令x =1，则y =−2，z =2，故m⃗⃗⃗ =(1,−2,2)， 因为BQ//平面PCD ，所以BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−1−2(m −1)+2(1−m)=0，解得m =34，所以Q(0,34,14)，则DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,0),DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,74,14)， 设平面CDQ 的法向量为n⃗ =(a,b,c)， 则{n ⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2a +b =074b +14c =0，令a =1，则b =−2，c =14，故n ⃗ =(1,−2,14)， 所以|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√1+4+4×√1+4+196=11√201201，故二面角P −CD −Q 的余弦值为11√201201．【解析】(Ⅰ)利用面面垂直的性质定理证明PO ⊥平面ABCD ，再利用线面垂直的判定定理证明AB ⊥平面PAD ，可得PD ⊥AB ，结合PD ⊥PA ，由线面垂直的判定定理即可证明PD ⊥平面PAB ；(Ⅱ)建立合适的空间直角坐标系，设点Q(0,m ，1−m)，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的PCD 法向量，由BQ//平面PCD 结合向量垂直的坐标表示，求出点Q 的坐标，再利用待定系数法求出平面CDQ 的法向量，再由向量的夹角公式求解即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理，二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)证明：设ℎ(x)=e x−x−1，则ℎ′(x)=e x−1，所以当x<0时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(−∞,0)上单调递减，当x>0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，所以ℎ(x)≥ℎ(0)=e0−0−1=0，即e x−x−1≥0恒成立，所以e x≥x+1得证．(Ⅱ)f(x)=e x+ln(x+1)−asinx，(x>−1)，f′(x)=e x+1x+1−acosx，若函数y=f(x)为定义域上的增函数，所以f′(x)≥0对于x∈(−1,+∞)恒成立，则f′(0)=1+1−a⩾0⇒a⩽2，所以0<a⩽2．当0<a⩽2时，由(1)的结论可知f′(x)=e x+1x+1−acosx⩾x+1+1x+1−acosx⩾2−acosx⩾0，所以a的取值范围为(0,2]．(III)g(x)=e x−asinx，令g(x)=0，得e x−asinx=0在(0,π)上有两个解，所以a=e xsinx在(0,π)上有两个解，令F(x)=e xsinx，F′(x)=e x(sinx−cosx)sin2x =√2ex sin(x−π4)sin2x，当x∈(0,π4)时，F′(x)<0，F(x)单调递减，当x∈(π4,π)时，F′(x)>0，F(x)单调递增，所以F(x)≥F(π4)=√2eπ4，x→0时，sinx→0，e x→1，故F(x)→+∞，x→π时，sinx→0，e x→eπ，故F(x)→+∞，则a>√2eπ4时，满足条件，所以a的取值范围为(√2eπ4,+∞)．设y=a与y=F(x)图象的交点分别为x1，x2，且x1∈(0,π4)，x2∈(π4,π)，要证x1+x2<π，只需证π4<x2<π−x1，只需证F(x2)<F(π−x1)，又F(x1)=F(x2)=a，所以只需证F(x1)<F(π−x1)，即证F(x1)−F(π−x1)<0，F(x1)−F(π−x1)=e x1sinx1−eπ−x1sin(π−x1)=e x1−eπ−x1sinx1<0．故x1+x2<π．【解析】(I)构造函数ℎ(x)=e x−x−1，求出函数ℎ(x)的最小值为0，即可证明e x≥x+ 1；(II)题意转化为f′(x)≥0对于x∈(−1,+∞)恒成立，由f′(0)≥0得a⩽2，所以0<a⩽2.再证明当0<a⩽2时，f′(x)≥0成立，进而得到答案；(III)①题意转化为a=e xsinx 在(0,π)上有两个解，令F(x)=exsinx，利用导数求出函数的单调性和极值，数形结合可得a的取值范围；②要证x1+x2<π，只需证π4<x2<π−x1，只需证F(x2)<F(π−x1)，即证F(x1)−F(π−x1)<0，进而证明x1+x2<π．本题考查导数的应用，利用导数证明不等式，考查已知函数单调性求参数，利用导数研究函数的零点，考查数学抽象和逻辑推理的核心素养，属于难题．。
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 理考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷,第II 卷试题答案均答在答题卡上,交卷时只交答题卡．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)1． 某中学高二年级的一个研究性学习小组拟完成下列两项调查：①从某社区430户高收入家庭,980户中等收入家庭,290户低收入家庭中任意选出170户调查社会购买力的某项指标；②从本年级12名体育特长生中随机选出5人调查其学习负担情况； 则该研究性学习小组宜采用的抽样方法分别是 A ．①用系统抽样,②用简单随机抽样 B ．①用系统抽样,②用分层抽样 C ．①用分层抽样,②用系统抽样D ．①用分层抽样,②用简单随机抽样2． 在面积为S 的△ABC 边AB 上任取一点P ,则△PBC 的面积大于4S的概率是 A ．14 B ．12 C ．34 D ．233． 某电视台的夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为56,45,35,只有通过前一关才能进入下一关,且通过每关相互独立．一选手参加该节目,则该选手能进入第四关的概率为A ．25 B ．1225 C ．1425D ．35 4． 已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ, 且()40.84P X ≤=, 则()24P X <<=A ．0.84B ．0.68C ．0.32D ．0.165． 如图1为某省2019年1~4月快递业务量统计图,图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图,下列对统计图理解错误的是( )A ．2019年1~4月的业务量,3月最高,2月最低,差值接近2000万件B ．2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%,在3月最高C ．2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看,该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长6． 已知抛物线2:8C y x =上一点P ,直线1:2l x =-,2:30l x y -+=,则P 到这两条直线的距离之和的最小值为A ．522 B ．722 C ．32 D ．232+ 7． 263()x -的展开式中的常数项为 A ．603 B ． 63 C ． 135 D ．458． 甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军,若比赛为“三局两胜”制,甲在每局比赛中获胜的概率均为34,且各局比赛结果相互独立．则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了三局的概率为A ．13B ．25C ．23D ．459． 袋子中有四个小球,分别写有“文、明、中、国”四个字,有放回地从中任取一个小球,直到“中”“国”两个字都取到就停止,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,分别用0,1,2,3代表“文、明、中、国”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 013 320 122 103 233由此可以估计,恰好第三次就停止的概率为A ．91 B ．61 C ．92 D ．18510．若某同学连续三次考试的名次（第一名为1,第二名为2,以此类推且可以有名次并列的情况）均不超过3,则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续三次考试的名次数据,推断一定不是尖子生的是 A ．甲同学：平均数为2,中位数为2 B ．乙同学：平均数为2,方差小于1 C ．丙同学：中位数为2,众数为2 D ．丁同学：众数为2,方差大于111．6名同学参加4项社会实践活动,要求每项活动至少1人,则不同的参加方式共有A ．2640种B ．1560种C ．1080种D ．480种12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -,A 为双曲线C 的右支上一点,且12AF c =,1AF 与y 轴交于点B ,若2F B 是21AF F∠的平分线,则双曲线C 的离心率e =A ．51-B ．152+ C ．352+ D ．5第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（第13,14题每空4分,第15,16题每空3分,共20分,将答案填在答题卡相应的位置上．）13．某单位安排5位员工在10月3日至7日值班,每天安排1人,每人值班1天．若5位员工中的甲、乙不排在相邻两天,则不同的安排方案共有___________种．（用数字作答） 14．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立．该同学投了25次,X 表示投中的次数,则()E X =____________．15．椭圆22:14x E y +=,动圆222:O x y r +=与椭圆交于,,,A B C D 四点,则四边形ABCD 面积的最大值为_______,此时r =__________．16．已知集合{}123456,,,,,A x x x x x x =,函数()f x 定义于A 并取值于A ． （用数字作答）（1）若()f x x ≠对于任意的x A ∈成立,则这样的函数()f x 有_______个； （2）若至少存在一个x A ∈,使[]()f f f x x ⎡⎤≠⎣⎦,则这样的函数()f x 有____个． 三、解答题（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 17．一个盒子里装有标号为1,2,3,4,5的5张标签,随机的选取两张标签．（1）若标签的选取是无放回的,求两张标签上的数字为相邻整数的概率； （2）若标签的选取是有放回的,求两张标签上的数字至少有一个为5的概率．18．为了响应弘扬中国传统文化的号召,各大中小学都开展了关于经典诵读等丰富多彩的课外阅读活动．某校共有学生2000人,其中男生1100人,女生900人．为了调查该校学生每周平均课外阅读时间,采用分层抽样的方法收集该校100名学生每周平均课外阅读时间（单位：小时）（1） 应抽查男生与女生各多少人？（2） 如图,根据收集100人的样本数据,得到学生每周平均课外阅读时间的频率分布直方图,其中样本数据分组区间为[0,1],(1,2],(2,3],(3,4],(4,5],(5,6]．若在样本数据中有38名女学生平均每周课外阅读时间超过2小时,请完成每周平均课外阅读时间与性别的列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均课外阅读时间与性别有关”．男生 女生 总计每周平均课外阅读时间不超过2小时每周平均课外阅读时间超过2小时总计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥ 0．1000．050 0．010 0．0050k2．706 3．841 6．635 7．87919．在平面直角坐标系xOy 中,已知点(1,0)F ,动点Q 到点F 的距离比到直线2x =-的距离小1个单位长度．（1） 求动点Q 的轨迹方程C ；（2） 若过点F 的直线l 与曲线C 交于,A B 两点,8FA FB ⋅=-u u u r u u u r,求直线l 的方程．20．某书店刚刚上市了《中国古代数学史》,销售前该书店拟定了5种单价进行试销,每本单价（x 元）试销l 天,得到如表单价x （元）与销量y （册）数据：单价x （元） 5.895.9 10 5.10销量y （册）12119 7 6（1）已知销量y 与单价x 具有线性相关关系,求y 关于x 的线性回归方程；（2）若该书每本的成本为7.7元,要使得售卖时利润最大,请利用所求的线性相关关系确定单价应该定为多少元？（结果保留到整数）附：对于一组数据()11,x y ,()22,x y ,…,(),n n x y ,其回归直线a x y b =+$$$的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121n iii ni i x x y y bx x==--=-∑∑$1221niii ni i x ynx yx nx==-=-∑∑,$ay bx =-$．21．近年来,来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购．其中共享单车既响应绿色出行号召,节能减排,保护环境,又方便人们短距离出行,增强灵活性．某城市试投放3个品牌的共享单车分别为红车、黄车、蓝车,三种车的计费标准均为每15分钟（不足15分钟按15分钟计）1元,按每日累计时长结算费用,例如某人某日共使用了24分钟,系统计时为30分钟．A 同学统计了他1个月（按30天计）每天使用共享单车的时长如茎叶图所示,不考虑每月自然因素和社会因素的影响,用频率近似代替概率．设A 同学每天消费ξ元． （1）求ξ的分布列及数学期望；（2）各品牌为推广用户使用,推出APP 注册会员的优惠活动：红车月功能使用费8元,每天消费打5折；黄车月功能使用费20元,每天前15分钟免费,之后消费打8折；蓝车月功能使用费45元,每月使用22小时之内免费,超出部分按每15分钟1元计费．设321,,ηηη分别为红车,黄车,蓝车的月消费,写出321,,ηηη与ξ的函数关系式,参考（1）的结果,A 同学下个月选择其中一个注册会员,他选哪个费用最低？（3）该城市计划3个品牌的共享单车共3000辆正式投入使用,为节约居民开支,随机调查了100名用户一周的平均使用时长如下表：时长 (0,15] (15,30] (30,45] (45,60] 人数1645345在（2）的活动条件下,每个品牌各应该投放多少辆？0 8 7 8 1 0 7 5 2 7 2 0 4 3 1 4 9 8 3 2 3 2 5 5 1 8 6 6 4 4 1 4 8 5 422．已知,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>和双曲线22221x y a b-=的公共顶点,过原点的直线l 分别与椭圆和双曲线在第一象限交于,P Q 两点．（1） 若椭圆的离心率为12,求双曲线的渐近线方程； （2） 设,,,AP BP AQ BQ 的斜率分别为1234,,,k k k k ,求证：12340k k k k +=； （3） 设1,F F 分别为椭圆和双曲线的右焦点,若PF ∥1QF ,试求22221234k k k k +++的值．哈三中2019—2020学年度上学期 高二学年第二模块 数学（理）考试答案一、选择题 DCABD ACABD BC 二、填空题13.72 14.1515.4,210 16.15625,46575 三、解答题17.52,259 18. 55,451.010,否19. x y 42=,1-=x y 或1+-=x y20. 3.239.4y x ∧=-+,10 21.15)(=ξE 选红车480,1500,1020 22. x y 23±=,略,8。
黑龙江省哈尔滨市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题含解析
黑龙江省哈尔滨市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．有7张卡片分别写有数字1,1,1,2,2,3,4，从中任取4张，可排出不同的四位数个数为（ ） A ．78 B ．102C ．114D ．120【答案】C 【解析】分析：根据题意，分四种情况讨论：①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1,2,3,4；②取出四张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2；③若取出的四张卡片为2张1和2张2；④取出四张卡片中有3个重复数字，则重复数字为1，分别求出每种情况下可以排出四位数的个数，由分类计数原理计算可得结论. 详解：根据题意，分四种情况讨论：①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1,2,3,4；此时有4424A =种顺序，可以排出24个四位数.②取出四张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2，若重复的数字为1，在2,3,4中取出2个，有233C =种取法，安排在四个位置中， 有2412A =种情况，剩余位置安排数字1，可以排出31236⨯=个四位数同理，若重复的数字为2，也可以排出36个重复数字；③若取出的四张卡片为2张1和2张2，在4个位置安排两个1，有246C =种情况， 剩余位置安排两个2，则可以排出616⨯=个四位数；④取出四张卡片中有3个重复数字，则重复数字为1，在2,3,4中取出1个卡片，有133C =种取法，安排在四个位置中，有14C 4=种情况，剩余位置安排1，可以排出3412⨯=个四位数，则一共有243636612114++++=个四位数，故选C.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.2．已知三棱锥A BCD -的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标分别为()2,0,2A ，()2,1,2B ，()0,2,2C ，()1,2,0D ，画该三棱锥的三视图的俯视图时，以xOy 平面为投影面，得到的俯视图可以为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】点()2,0,2A 在0x y 的投影为()2,0,0，点()2,1,2B 在0x y 的投影为()2,1,0，()0,2,2C 在0x y 的投影为()0,2,0，()1,2,0D 在xOy 的投影为()1,2,0，连接四点，注意实线和虚线，得出俯视图，选C 3．已知函数()252ln f x x x x =-+，则函数()f x 的单调递增区间是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和(1,)+∞B ．(0,1)和(2,)+∞C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭和(2,)+∞D ．()1,2【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再求导，根据导数大于0解得x 的范围，继而得到函数的单调递增区间． 【详解】函数f(x)＝x 2－5x ＋2ln x 的定义域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x －5＋2x ＝2252x x x -+＝()()221x x x--＞0，解得0＜x ＜12或x ＞2，故函数f(x)的单调递增区间是102⎛⎫⎪⎝⎭，，(2，＋∞)．故选C 【点睛】本题考查了导数和函数的单调性的关系，易错点是注意定义域，属于基础题．4．设函数133,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()3f x ≤的x 的取值范围是（ ）A ．[0,)+∞B ．1,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[0,3]D ．1,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】讨论1x ≤和1x >两种情况，分别解不等式得到答案. 【详解】当1x ≤时，1()33xf x -=≤，故0x ≥，即[]0,1x ∈；当1x >时，3()1log 3f x x =-≤，解得19≥x ，即()1,x ∈+∞. 综上所述：[0,)x ∈+∞. 故选：A . 【点睛】本题考查了分段函数不等式，分类讨论是常用的数学技巧，需要熟练掌握.5．2017年1月我市某校高三年级1600名学生参加了全市高三期末联考，已知数学考试成绩()2100,X N σ~（试卷满分150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为 A ．120 B ．160C ．200D ．240【答案】C 【解析】结合正态分布图象的性质可得：此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为31416002002-⨯= .选C.6．若关于x 的不等式2ln 0ax x x --≥恒成立，则实数a 的取值范围（ ） A ．(1,)+∞ B ．[)1,+∞C ．(,)e +∞D ．[),e +∞【答案】B 【解析】 【分析】2ln 0ax x x --≥恒成立等价于()2ln 0x x a x x +>≥恒成立，令()2ln x xf x x +=， 则问题转化为()max a f x ≥，对函数()f x 求导，利用导函数求其最大值，进而得到答案 。