【数学】黑龙江省哈三中2019-2020学年高二下学期期末考试(理)
2019-2020学年哈尔滨三中高二下学期期末数学试卷(理科)(含答案解析)
2019-2020学年哈尔滨三中高二下学期期末数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设i是虚数单位，则复数z=5i(i+2)的虚部为()A. −2B. 2C. −1D. −2i2.如果log9(mn)=2(m>0,n>0)，那么m+n的最小值是()A. 18B. 9C. 4√3D. 43.曲线y=cosx(0≤x≤32π)与两坐标轴所围成图形的面积为()A. 4B. 3C. 52D. 24.已知i为虚数单位，z−是复数z的共轭复数，若z−=cos2π3+isin2π3，则z在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.已知函数f(x)=4x−24x2−4x+5−(2x−1)3+12，则∑f2018i=1(k2019)=()A. 0B. 1009C. 2018D. 20196.下面说法：①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的：③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；⑤运用三段论推理时，大前提和小前提都不可以省略．其中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.已知命题p：∃x∈R，x−2>log2x，命题q：∀x∈R，x2>0，则()A. p∨q是假命题B. p∨(￢q)是假命题C. p∧q是真命题D. p∧(￢q)是真命题8.已知命题p：∀x∈R，x2≤1，则命题p的否定()A. ∃x∈R，x2≥1B. ∀x∈R，x2≥1C. ∃x∈R，x2>1D. ∀x∈R，x2>19.已知向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(x,y).则“x=−2且y=−4”是“a⃗//b⃗ ”的()A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. “α=π4”是“角α的终边过点(2,2)”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件11. 丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数f(x)在(a,b)上的导函数为f(x)，f′(x)在(a,b)上的导函数为f′′(x)，若在(a,b)上f′′(x)<0恒成立，则称函数f′(x)在(a,b)上为“凸函数已知f(x)=e x −xlnx −m 2x 2在(1,4)上为“凸函数”，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,2e −1]B. [e −1,+∞)C. [e 4−14,+∞)D. (e,+∞)12. 过点(0,−1)的直线l 与两曲线y =lnx 和x 2=2py 均相切，则p 的值为( )A. 14B. 12C. 2D. 4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 由曲线y =1x 和直线x =13，x =3及x 轴所围图形的面积为______ ． 14. 已知a n =n 2015，把数列{a n }中的各项排成如图所示的三角形形状，记A(m,n)表示第m 行的第n 个数，则A(9,13)表示的数为______ ． 15. 已知椭圆E ：x 24+y 23=1的左顶点为A ，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，过点A 作斜率为k(k >0)的直线交椭圆E 于另一点B ，直线BF 2交椭圆E 于点C ，若F 1C ⊥AB ，则实数k 的值是______．16. 对实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ={a(b +1),a ≥b b(a +1),a <b，则(2tan 5π4)⊗cos 7π3+lg100⊗(13)−1=______ ．三、解答题（本大题共5小题，共58.0分） 17. 设函数f(x)=a x −a −x (a >0且a ≠1)．(1)判断并证明：当a >1时，函数f(x)在R 上的单调性；(2)已知a =3，若f(3x)≥λf(x)对于x ∈[1,2]恒成立，求满足条件的最大整数λ的值．18. 求由曲线y =x 3在点(3,27)处的切线，曲线y =x 3和x 轴围成的区域的面积．19. 在极坐标系中，曲线的极坐标方程为p 2=41+3sin 2θ，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为{x =6t −my =√3t (t 为参数，m ∈R)． (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若曲线C 上的动点M 到直线l 的最大距离为6√1313，求m 的值．20. 已知直线l 的参数方程为{x =−1+ty =2+t(t 为参数)，在直角坐标系xOy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C 的极坐标方程为ρ2=4√2ρsin(θ−π4)−6． (Ⅰ)求直线l 与圆C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设A(−1,2)，P ，Q 为直线l 与圆C 的两个交点，求|PA|+|AQ|．21. (1)已知实数a >0，若关于x 的不等式sinx −xcos a x ≥0在0≤x ≤π2上恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若0<x <π2，求证：1sin 2x −1x 2<1−4π2．【答案与解析】1.答案：A解析：解：z =5i(i+2)=5−1+2i =−1−2i 故其虚部为：−2 故选：A ．化简复数可得z =−1−2i ，由复数实虚部的定义可得答案．本题为复数虚部的求解，正确运用复数的运算化简复数式是解决问题的关键，属基础题．2.答案：A解析：本题主要考查基本不等式，属于基础题，先由log 9(mn)=2，得mn =81.再利用基本不等式即可得出．解：∵log 9(mn)=2，得mn =81．∵m >0，n >0，∴m +n ≥2√mn =2√81=18，当且仅当m =n =9时取等号． 故选：A ．3.答案：B解析：解：当0≤x ≤π2时，cosx ≥0， 当π≤x ≤32π时，cosx ≤0，∴所求面积S =∫|3π20cosx|dx =∫cos π20xdx +∫|3π2π2(−cosx)dx =sinx| 0π2−sinx| π23π2=sin π2−sin3π2+sin π2=1+1+1=3，故选：B ．根据积分的几何意义，即可求出曲线围成的面积．本题主要考查积分的应用，利用积分即可求出曲线面积，注意要对函数进行分段求值，4.答案：C解析：由三角函数的求值化简z ，进一步求得z −所对应点的坐标得答案． 本题考查复数代数形式的运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 解：∵z =cos2π3+isin2π3=−12+√32i ，∴z −=−12−√32i ， 则z −在复平面内对应的点的坐标为(−12,−√32)，位于第三象限角．故选：C ．5.答案：B解析：解：函数f(x)=4x−24x 2−4x+5−(2x −1)3+12， 所以：f(x)=2(2x−1)(2x−1)2+4−(2x −1)3+12， 故函数f(x)的图象关于(12,12)成中心对称． f(12019)+f(20182019)=f(22019)+f(20172019)=⋯=1，所以∑f 2018i=1(k2019)=1009． 故选：B ．首先求出函数关系式的对称中心，进一步利用关系式的规律求出结果．本题考查的知识要点：函数的关系式的应用，直接利用关系式的变换求出函数的对称中心，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6.答案：C解析：演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决于前提是否真实和推理的形式是否正确，演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论．本题考查演绎推理的意义，演绎推理是由一般性的结论推出特殊性命题的一种推理模式，演绎推理的前提与结论之间有一种蕴含关系．解：演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，故①正确，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决于前提是否真实，推理的形式是否正确，故②不正确，演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提、小前提和结论，故③正确， 演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关，④正确， 运用三段论推理时，大前提、小前提都可以省略，⑤不正确． 故选C ．7.答案：D解析：解：命题p：∃x∈R，x−2>log2x，例如x=8，不等式成立，所以命题p是真命题；对命题q：∀x∈R，x2>0，当x=0时，命题不成立，所以命题q为假命题．所以￢q为真命题．所以p∧(￢q)是真命题为真命题．故选：D．判定出命题p与q的真假，根据复合命题的真值表得出正确选项．本题考查的知识点是复合命题的真假判定，属于基础题目．8.答案：C解析：解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即命题p的否定：∃x∈R，x2>1，故选：C．根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．9.答案：B解析：解：若“a⃗//b⃗ ”，则满足y=2x，由x=−2，y=−4能推出y=2x，是充分条件，由y=2x推不出x=−2，y=−4，不是必要条件，故选：B．根据向量平行的性质及判定得到y=2x，进而判断“y=2x”和“x=−2，y=−4”的关系即可．本题考查了充分必要条件，考查了平行向量问题，是一道基础题．10.答案：A解析：解：“α=π4”⇒“角α的终边过点(2,2)”，反之不成立，例如α=π4+2kπ(k∈Z)，∴“α=π4”是“角α的终边过点(2,2)”的充分不必要条件，故选：A．“α=π4”⇒“角α的终边过点(2,2)”，反之不成立，例如α=π4+2kπ(k∈Z)，即可判断出结论．本题考查了终边相同的角的几何、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：C解析：解：∵f(x)=e x−xlnx−m2x2在(1,4)上为“凸函数，∴f′(x)=e x−lnx−mx−1，∴f″(x)=e x−1x−m<0在(1,4)上恒成立，∵f″(x)=e x−1x−m在(1,4)上单调递增，∴f″(x)<e4−m−14，∵f″(x)<0恒成立，∴e4−m−14≤0，∴m≥e4−14．故选：C．求函数导数，结合导数不等式进行求解，构造函数，利用函数的单调性研究函数的最值即可．本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，构造函数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键．12.答案：C解析：解：设直线l与两曲线y=lnx和x2=2py相切的切点分别是A(x1,lnx1)，B(x2,x222p)，∵y=lnx的导数为y′=1x ，x2=2py即y=x22p的导数为y′=x p，∴直线l的斜率为1x1=x2p，又直线l过(0,−1)，∴直线l的斜率且为lnx1+1x1=x222p+1x2，∴x1=1，x2=p，p22p+1=p，∴p=2．故选C．分别设出两切点，再求出两函数的导数，并用两种形式写出切线的斜率，再结合两点的斜率公式，列方程解出x1，x2，从而求出p的值．本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，抓住在某点处的导数即为在这点处切线的斜率，同时注意运用两点的斜率公式，是一道中档题．13.答案：2ln3解析：解：∵曲线y=1x 和直线x=13，x=3及x轴所围图形的面积S=∫1 x 31 3dx=lnx|133=ln3−ln13=2ln3．故答案为：2ln3作出曲线y=1x 和直线x=13，x=3的图象，得出它们的交点横坐标，可得所求面积为函数y=1x 在区间[13,3]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．14.答案：772015解析：解：由题意知第一行的最后一个数字是数列{a n}的第1项，第二行的最后一个数字是数列{a n}的第4项，第三行的最后一个数字是数列{a n}的第9项，∴第m−1的最后一个数是数列{a n}的第(m−1)2项，∴A(9,13)是数列{a n}的第82+13=77项；∵a n=n2015，∴A(9,13)=a77=772015，故答案为：772015由题意知第m−1的最后一个数是数列{a n}的第(m−1)2项，故A(9,13)是数列{a n}的第82+13=77项，代入通项公式，可得答案．归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．15.答案：√612解析：解：设点B(x B,y B)，直线AB的方程为y=k(x+2)，联立x24+y23=1得，(3+4k2)x2+16k2x+16k2−12=0，∴−2x B =16k 2−123+4k 2，即x B =−8k 2+63+4k 2，∴y B =k(x B +2)=12k 3+4k 2，即B(−8k 2+63+4k 2,12k 3+4k 2).易知F 2(1,0)，k BF 2=4k1−4k 2，k CF 1=−1k ，所以直线BF 2，CF 1方程分别为y =4k1−4k 2(x −1)，y =−1k (x +1)， 可得4k1−4k 2(x −1)=−1k (x +1)，解得C(8k 2−1,−8k)， 代入椭圆E ：x 24+y 23=1，得192k 4+208k 2−9=0，即(24k 2−1)(8k 2+9)=0， 得k 2=124， 所以k =√612．故答案为：√612．根据题意，设点B(x B ,y B )，直线AB 的方程为y =k(x +2)，与椭圆的方程联立解可得x B 的值，将x B 的值代入直线方程可得y B 的值，即可得答案；由椭圆的标准方程可得F 2坐标，由直线的点斜式方程可得直线BF 2，CF 1方程，联立可得C(8k 2−1,−8k)，代入椭圆E ：x 24+y 23=1中解可得k 2的值，即可得答案．本题考查椭圆的几何性质，关键是由椭圆的标准方程求出点A ，F 1，F 2的坐标．16.答案：12解析：解：∵2tan 5π4=2tan(π+π4)=2tan π4=2，cos7π3=cos(2π+π3)=cos π3=12，由a ⊗b ={a(b +1),a ≥b b(a +1),a <b 及2>12，得(2tan 5π4)⊗cos 7π3=2⊗1=2×(12+1)=3．又由lg100=2<(13)−1=3知，lg100⊗(13)−1=2⊗3=3(2+1)=9． ∴原式=3+9=12． 故填12．先计算2tan5π4，cos7π3，lg100，(13)−1，再由a⊗b中a，b的大小确定a⊗b运算规则，即可得原式的值．1.本题属于实数运算的新概念问题，关键弄清a，b的大小关系，从而确定a⊗b的运算规则．2.处理分段函数问题时，应注意分段的标准是什么，即应对临界点处的情况进行细致地分析．17.答案：解：(1)函数f(x)在R上的单调递增，下面用定义法证明：任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=a x1−a−x1−(a x2−a−x2)=(a x1−a x2)+(1a x2−1a x1)，∵a>1，x1<x2，∴a x1−a x2<0，1a x2−1a x1<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上单调递增．(2)由题意，得33x−3−3x≥λ(3x−3−x)在x∈[1,2]时恒成立，令t=3x−3−x，t∈[83,809]，则(3x−3−x)(32x+1+3−2x)≥λ(3x−3−x)在x∈[1,2]时恒成立，∴t(t2+3)≥λt，在t∈[83,809]时恒成立，即λ≤t2+3，在t∈[83,809]时恒成立，又在t∈[83,809]时，(t2+3)min=919，∴λ≤919，则λ的最大整数为10．解析：(1)函数f(x)在R上的单调递增，然后利用定义法证明即可；(2)f(3x)≥λf(x)对于x∈[1,2]恒成立，令t=3x−3−x，则λ≤t2+3，在t∈[83,809]时恒成立，然后求出t2+3在t∈[83,809]时的最小值即可得到λ的范围，进一步得到λ的最大整数．本题考查了利用定义法证明函数的单调性和不等式恒成立问题，考查了转化思想和计算能力，属中档题．18.答案：解：求导函数，可得y′=3x2，当x=3时，y′=27，∴曲线y=x3在点(3,27)处的切线方程为y−27=27(x−3)，即y=27x−54．∴所求区域的面积为S=∫(30x3−27x+54)dx=(14x4−272x2+54x)|03=274．解析：利用导数的几何意义，求出切线方程，确定被积函数与被积区间，求出原函数，即可得到结论．本题考查导数的几何意义，考查切线方程，考查学生的计算能力，确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数是解题的关键．19.答案：解：(1)曲线的极坐标方程为p 2=41+3sin 2θ，转换为直角坐标方程为：x 2+4y 2=4，整理得：x 24+y 2=1，直线l 的参数方程为{x =6t −m y =√3t(t 为参数，m ∈R)． 转换为直角坐标方程为：x −2√3y +m =0，(2)把x 24+y 2=1转换为参数方程为：{x =2cosθy =sinθ(θ为参数)，由于：线C 上的动点M(2cosθ,sinθ)到直线l 的最大距离为6√1313， 则：d =√3sinθ−m|√13=√13， 当m >0时，13=6√1313， 解得：m =2，当m <0时，√13=6√1313， 解得：m =2(舍去)，故：m =2．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)直接利用点到直线的距离和三角函数关系式的恒等变变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．20.答案：解：(Ⅰ)直线l 的参数方程为{x =−1+t y =2+t (t 为参数)，消去t 可得x −y +3=0； 圆C 的极坐标方程为ρ2=4√2ρsin(θ−π4)−6=4ρsinθ−4ρcosθ−6，∴x 2+y 2=4y −4x −6，即(x +2)2+(y −2)2=2；(Ⅱ)易知A 在直线l 上，且在圆内，则|PA|+|AQ|=|PQ|圆心C(−2,2)到直线l 的距离d =√2=√2，圆C 半径R =√2， ∴(12|PQ|)2+d 2=R 2，解得|PQ|=√6，∴|PA |+|AQ |=√6．解析：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．(Ⅰ)消去参数，可得直线l 的普通方程；ρ2=4√2ρsin(θ−π4)−6=4ρsinθ−4ρcosθ−6，可得圆C 的直角坐标方程；(Ⅱ)求出圆心C 到直线l 的距离d ，利用(12|PQ|)2+d 2=R 2，可求|PA|+|AQ|=|PQ|． 21.答案：证明：(1)设f(x)=sinxcos a x −x ，则若关于x 的不等式sinx −xcos a x ≥0在0≤x ≤π2上恒成立，可以转化为f(x)≥0，在0≤x ≤π2上恒成立，对f(x)求函数导数得：f ′(x)=cosx ⋅cos a x −sinx ⋅αcos a−1x ⋅(−sinx)cos 2a x −1=cos 1−a x +αsin 2xcos −a−1x −1,f ′(0)=0 f″(x)=(1−a)cos −a x ⋅(−sinx)+2asinx ⋅cosxcos −a−1x +asin 2x ⋅(−a −1)⋅cos −a−2x ⋅(−sinx)=(1−a)cos −a x ⋅(−sinx)+2asinx ⋅cos −a x −asin 3x ⋅(−a −1)⋅cos −a−2x=sinx ⋅cos −a x[(3a −1)+a(a +1)tan 2x]，①在a ≥13时，有f′′(x)≥0，则f′(x)在0≤x ≤π2为增函数，而f′(0)=0∴f′(x)≥f′(0)=0，因此f(x)在0≤x <π2为增函数，有f(x)≥f(0)=0从而f(x)≥0．所以a ≥13符合要求．②在0<a <13时，而f ″(x)=sinx ⋅cos −a x ⋅[(3a −1)+a(a +1)sin 2xcos −2x]=sinx ⋅cos −a x ⋅[(3a −1)+a(a +1)tan 2x]=sinx ⋅cos −a x ⋅[tan 2x −1−3a (1+a)a](a +1)a 由f′′(x)=0可知：tan 2x =1−3a (1+a)a ，令tan 2x 0=1−3a (1+a)a ，x 0∈(0,π2)，因此f′(x)在(0,x 0)为减函数，则f′(x)≤0，f(x)单调递减，于是有f(x)≤f(0)=0在(0,x 0)恒成立，从而矛盾，因此0<a <13不符合．综合讨论可知：a ≥13．(2)设g(x)=1sin 2x −1x 2，对g(x)求函数导数得：g ′(x)=−2sin −3x ⋅cosx −(−2)x −3=2(1x 3−cosx sin 3x) 由(1)可知当a =13时，sinx −xcos 13x ≥0在0≤x ≤π2上恒成立，即sinx ≥xcos 13x 在0≤x ≤π2上恒成立，所以sin 3x ≥x 3cosx 在0≤x ≤π2上恒成立，即1x 3≥cosx sin 3x 在0≤x ≤π2上恒成立，可知：g′(x)≥0，∴g(x)在(0,π2)上为增函数，则g(x)≤g(π2)=1−4π2．解析：(1)设f(x)=sinx cos a x −x ，问题可以转化为f(x)≥0，在0≤x ≤π2上恒成立，先求f(x)，再求f″(x)=sinx ⋅cos −a x[(3a −1)+a(a +1)tan 2x]，分两种情况：①在a ≥13时，②在0<a <13时，分析f″(x)的正负，f′(x)的增减，得f(x)的增减，进而得f(x)的函数值取值范围．是否符合题意，进而得出结论．(2)设g(x)=1sin x −1x ，对g(x)求函数导数得：g′(x)=2(1x −cosx sin x )，由(1)可知当a =13时，sinx −xcos 13x ≥0在0≤x ≤π2上恒成立，得1x 3≥cosx sin 3x 在0≤x ≤π2上恒成立，g′(x)≥0，g(x)在(0,π2)上为增函数，则g(x)≤g(π2)，进而得出结论．本题考查导数的综合应用，三角函数化简，属于中档题．。
哈尔滨市第三中学校2019_2020学年高二数学下学期期末考试试题文含解析
【详解】解:（1）由 ，解得 ，所以
又 ，
因为 ，解得 ，所以 ．
当 时， ，
又 为真， , 都为真，所以 ．即
（2)由p是q的充分不必要条件，即 ， ，所以
所以 解得 ，即
【点睛】本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断，属于中档题．
18。 在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为 ，以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，已知M点的直角坐标为 ，直线l的参数方程为 （t为参数）,直线l与曲线C交于A,B两点。
对应点的坐标为： ,
∴z对应的点位于第四象限，
故选：D
【点睛】本题主要考查复数几何意义的应用,结合复数基本运算法则进行化简是解决本题的关键．
6。 下列说法正确的是（ ）
A。 命题“若 ,则 ”为真命题
B. 命题“若 ，则 "的逆命题为假命题
C. 命题“若 ,则 "的逆否命题为“若 ，则 ”
D. 命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2）求 的值。
【答案】(1) ， ;(2)2.
【解析】
【分析】
(1）利用 即可求出曲线C的直角坐标方程;消参可求出直线l的普通方程.
(2）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用韦达定理以及参数 的几何意义即可求解。
【详解】（1）由 ，则 ，
即 ，整理可得 。
三、解答题（本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17。 已知 , ,其中 。
（1）若 且 为真，求实数x的取值范围;
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围。
2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题理(29).doc
2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题理(29)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只且仅有一项是符合题目要求的）1.已知31iz i=-，则复数z 在复平面对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2.已知集合}0)1)(2(|{},30|{>-+=<<=x x x B x x A ，则=B A （ ）()3,0.A ()3,1.B ()3,2.C ()()∞+-∞-，02,. D3．下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间(0,1)内单调递增的是（ ）A ．y =B ．sin y x x =C ．1lg1x y x-=+ D ．x xy e e -=- 4.”“3πα=是”“21cos =α成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 函数()x x f x 2log 2+=的零点个数为（ ） A.0B.1C.2D.36.已知随机变量ξ服从正态分布()22σ，N ，且()8.04=<ξP ,则()=<<20ξP （ ）A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3 7.已知3log ,21log ,3213131===c b a ，则（ ） c b a A >>. a c b B >>. a b c C >>. c a b D >>.8. 甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表所示：从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是（ ）.A 甲.B 乙.C 丙 .D 丁9.函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为（ ）10. 在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步， 程序B 和C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（ ） A ． 34种 B ．48种 C ．64种 D ．96种11.函数[]2()2,55f x x x x =--∈-，,定义域内任取一点0x ，使0()0f x ≤的概率是（ ）101.A 103.B 32.C 54.D12.设函数()(21)xf x e x ax a =-+-，其中1a >-，若关于x 不等式()0f x <的整数解有且只有一个，则实数a 的取值范围为（ ） A. 3(1,]2e- B ．3(1,]2e -- C ．33(,]42e -- D ． 33(,]42e -第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置）13. 若92a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的常数项是84，则实数a = .14.已知函数()x f y =的图象在点())1(1f M ，处的切线方程是221+=x y ，则)1(')1(f f + = .15.在区间[]1,1-上随机取两个数,x y ，则满足21y x ≥-的概率为 .D16.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬 币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为 .三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3,(1,=-⎧⎨=+⎩x t t y t 为参数). 在以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线:.4⎛⎫=- ⎪⎝⎭πρθC（1） 求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程; （2） 求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.18．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数()2321f x x x =++-. （1）求不等式()8f x <的解集；（2）若关于x 的不等式()31f x m +≤有解，求实数m 的取值范围．19. （本小题满分12分）某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温.（1）求线性回归方程；(440,112024141=∑=∑==i n i i n x y x )（2）根据（1）的回归方程估计当气温为10℃时的用电量.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：∑∑=-=--Λ--=ni ini ii xn xyx n y x b 1221，-Λ-Λ-=x b y a20. （本小题满分12分）如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ，2==AB PA ，4=BC ,E 是PD 的中点． （1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （2）求二面角D AC E --的余弦值．21. （本小题满分12分）设椭圆)0(1:2222>>=+b a bx a y M 的离心率与双曲线122=-y x 的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.（1）求椭圆M 的方程； （2）若直线m x y +=2交椭圆M 于B A ,两点，)21(，P 为椭圆M 上一点，求PAB ∆面积的最大值.22. （本小题满分14分）已知()().3,ln 22-+-==ax x x g x x x f （1）求函数()x f 的最小值；（2）若存在()+∞∈,0x ，使()()x g x f ≤成立，求实数a 的取值范围.龙海二中2016-2017学年第二学期期末考高二数学（理科）试题参考答案一、选择题: 本大题共12小题，每小题5分，共60分B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13、1 14、3 15、6516、3211三、解答题：本大题共6小题，共70分17.（本小题满分10分）解：（1）由3,1,=-⎧⎨=+⎩x ty t消去t得直线l的普通方程为40+-=x y, …………2分由4⎛⎫=-⎪⎝⎭πρθcos cos sin sin2cos2sin44⎫=+=+⎪⎭ππθθθθ, …3分得22cos2sin=+ρρθρθ. ………………………………………4分将222,cos,sin=+==ρρθρθx y x y代入上式,得曲线C的直角坐标方程为2222+=+x y x y, 即()()22112-+-=x y. ……5分（2）设曲线C上的点为()1,1ααP, ……………………………6分则点P到直线l的距离为d=…………8分当sin14⎛⎫+=-⎪⎝⎭πα时,max=d……………………………………9分所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为……………………………10分18．（本小题满分10分）解：（1）不等式()8f x<，即23218x x++-<,可化为①3,223218x x x ⎧<-⎪⎨⎪---+<⎩或②31,2223218x x x ⎧-⎪⎨⎪+-+<⎩≤≤或③1,223218x x x ⎧>⎪⎨⎪++-<⎩， …3分 解①得2325-<<-x ，解②得3122x -≤≤，解③得2321<<x 综合得 2325<<-x ，即原不等式的解集为5322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. ……………………5分（2）因为()2321|(23)(21)|4f x x x x x =++-+--=≥，当且仅当3122x -≤≤时，等号成立，即4)(min =x f ，……………………………8分 又不等式()31f x m +≤有解，则314m +≥,解得53m -≤或1m ≥.………10分 19. （本小题满分12分）解：（1）由表可得：30438342622,104681214=+++==+++=--y x ………3分 又440,112024141=∑=∑==i n i i n x y x∴2104440301041120442412241-=⨯-⨯⨯-=--=∑∑=-=--Λi ii ii xxy x yx b ∴5010)2(30=⨯--=-=-Λ-Λx b y a ………………………………………6分 ∴线性回归方程为：502+-=Λx y ………………………………………8分 （2）由（1）可得回归方程为：502+-=Λx y ∴当10=x 时，3050102=+⨯-=y∴估计当气温为C o10时的用电量为30度. ………………………12分20. （本小题满分12分） （1）ABCD PA 平面⊥CD PA ⊥∴………………………2分又CD AD ⊥ PAD CD 平面⊥∴…4分 ∴平面PDC ⊥平面PAD ………………6分（2）AD PA AB PA ABCD PA ⊥⊥∴⊥,,平面 又AD AB ⊥∴分别以轴建立空间直角坐标系轴、轴、为、、Ａz y x AP D AB xyz o - 则()()()()1,2,0,2,0,0,0,4,2,0,0,0E P ，C A()()()1,2,0,0,4,2,2,0,0===∴→→→AE AC AP ………………………7分设()的法向量为平面ACE z y x n ,,=→，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅→→→→02042z y AE n y x AC n令()2,1,22,1-=∴==-=→n z x y 则………………………9分又 平面ABC 的法向量()2,0,0=→AP ………………………10分322232,cos =⨯=⋅⋅>=<∴→→→→→→APn APn AP n解：（1）依题意可得：椭圆M 的离心率4222===a a c e ，……………2分 22,2222=-=∴==∴c a b c a∴椭圆M 的方程为12422=+x y ……………………………4分 （2）联立方程04224,12422222=-++⎪⎩⎪⎨⎧=++=m m x x x y mx y 得：………………5分 由2222,0)4(162222<<->--=∆m m m 得：）（………6分设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+,44,22),,(),,(221212211m x x m x x y x B y x A 则………………………7分2-434)(32122122121m x x x x x x AB ⋅=-+⋅=-+=∴ 又P 到直线AB 的距离为3m d =324321212mm d AB S PAB⋅-⋅==∴∆………………………10分22)8(221)8(2212222=-+⋅≤-=m m m m当且仅当2±=m 等号成立，2max =∴∆）（PAB S .………………………12分 22. （本小题满分14分）解：（1）()x f 的定义域为），（∞+0，……………………………………………………2分令()0'=x f ，得ex 1=， 当)1,0(ex ∈时，()0'<x f ；当)1(∞+∈，ex 时，()0'>x f ，…………………………5分 所以()x f 在)1,0(e x ∈上单调递减；在)1(∞+∈，ex 上单调递增， 故当e x 1=时()x f 取最小值为e2-. ……………7分 （2）存在()+∞∈,0x ，使()()x g x f ≤成立，即3ln 22-+-≤ax x x x 在()+∞∈,0x 能成立，等价于xx x a 3ln 2++≥在()+∞∈,0x 能成立； 等价于min 3ln 2）（x x x a ++≥ …………………………………………………………9分记xx x x h 3ln 2)(++=，()+∞∈,0x则()22)1)(3(312'x x x x x x h -+=-+=………………………………………………………11分当()1,0∈x 时，()0'<x h ；当()+∞∈,1x 时，()0'>x h ，所以当1=x 时()x h 取最小值为4，故4≥a .………………………………………………14分。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市数学高二第二学期期末质量检测试题含解析
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市数学高二第二学期期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．6(2)x x-的展开式中的常数项是（ ） A ．192 B ．192-C ．160D ．160-【答案】D 【解析】分析：利用二项展开式的通项公式66622166(2)1()12r rr rrr r r r r T C x C x x----+=⋅〈-=-⋅⋅⋅（）（），令x 的幂指数为0，求得r 的值，从而可得62x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项．详解：设二项展开式的通项为1r T +，则66622166(2)1()12r rr rrr r r r r T C x C x x----+=⋅〈-=-⋅⋅⋅（）（）， 令6022r r--=得：3r = ， ∴62x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为3633612160.C --⋅⋅=-（） 故选D ．点睛：本题考查二项展开式的通项公式，考查运算能力，属于中档题． 2．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= （ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】 D试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x 0）表示曲线f （x ）在x=x 0处的切线斜率，再代入计算． 解：，∴y′（0）=a ﹣1=2， ∴a=1． 故答案选D ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．3．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-8【答案】B 【解析】根据流程图可得：第1次循环：2,1,11y x y x x y i i =+==-=-=+= ； 第2次循环：1,2,13y x y x x y i i =+==-=-=+= ； 第3次循环：1,1,13y x y x x y i i =+=-=-=-=+= ； 第4次循环：2,1,14y x y x x y i i =+=-=-==+= ； 此时程序跳出循环，输出1x y +=- . 本题选择B 选项. 4．设103iz i=+，则z 的共轭复数为 A ．13i -+ B ．13i --C ．13i +D ．13i -【答案】D 【解析】 试题分析：()()()1031013,333i i i z i z i i i -===+∴++-的共轭复数为13i -，故选D ． 考点：1.复数的四则运算；2.共轭复数的概念．5．2019年5月31日晚，大连市某重点高中举行一年一度的毕业季灯光表演.学生会共安排6名高一学生到学校会议室遮挡4个窗户，要求两端两个窗户各安排1名学生，中间两个窗户各安排两名学生，不同的安排方案共有（ ） A ．720 B ．360C ．270D ．180【答案】D【解析】 【分析】由题意分两步进行，第一步为在6名学生中任选2名安排在两端两个窗户，可得方案数量，第二步为将剩余的6名学生平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个窗户，两者方案数相乘可得答案. 【详解】解：根据题意，分两步进行：① 在6名学生中任选2名安排在两端两个窗户，有2630A =中情况；② 将剩余的6名学生平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个窗户，有222422226C C A A =种情况， 则一共有306180⨯=种不同的安排方案， 故选：D. 【点睛】本题主要考查排列、组合及简单的计数问题，相对不难，注意运算准确. 6．已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：2log 1a e =>，()21ln 20,1log b e ==∈，12221log log 3log 3c e ==>， 据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．7．已知8a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为1120，实数是常数，则展开式中各项系数的和是A ．82B ．83C ．813或D ．812或【答案】C 【解析】分析：由展开式通项公式根据常数项求得a ，再令1x =可得各项系数和． 详解：展开式通项为882188()()r rr r r r r aT C xa C x x--+=-=-，令820r -=，则4r =，∴448()1120a C -=，2a =±，所以展开式中各项系数和为8(1)1a -=或83．故选C ．点睛：赋值法在求二项展开式中系数和方面有重要的作用，设展开式为2012()nn f x a a x a x a x L =++++，如求所有项的系数和可令变量1x =，即系数为(1)f ，而奇数项的系数和为(1)(1)2f f +-，偶数项系数为(1)(1)2f f --，还可以通过赋值法证明一些组合恒等式．8．已知方程2mx e x =在(]0,16上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1ln 2,82⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1ln 2,162⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．ln 22,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,8e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】由于0mx e >恒成立，构造函数2()1mx xf x e =-，则方程2mx e x =在(]0,16上有两个不等的实数根等价于函数2()1mx x f x e =-在(]0,16上有两个不同的零点，利用导数研究函数2()1mx xf x e=-在(]0,16的值域即可解决问题。
哈尔滨三中2019-2020学年高二(下)第一次段考数学试卷(理科)(3月份)(含答案解析)
哈尔滨三中2019-2020学年高二(下)第一次段考数学试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 函数f(x)=x 2−sinx 在[0,π]上的平均变化率为( )A. 1B. 2C. πD. π22. 若f′(x 0)=−3，则ℎ→0lim f(x 0+ℎ)−f(x 0−3ℎ)ℎ=( )A. −3B. −12C. −9D. −63. 沿直线运动的物体从时间t 到t +Δt 时，物体的位移为Δs ，那么lim Δt→0ΔsΔt 为( )A. 从时间t 到t +Δt 时物体的平均速度B. t 时刻物体的瞬时速度C. 当时间为Δt 时物体的速度D. 从时间t 到t +Δt 时位移的平均变化率4. 若函数f(x)=ax 2−x +ln x 在区间(1,4)上单调递增，则a 的取值范围是 ( )A. [0,+∞)B. [14,+∞)C. [18,+∞) D. [332,+∞)5. 曲线y =x 3−x +3在点(1,3)处的切线的斜率等于( )A. 2B. 4C. 12D. 66. 函数f(x)=2sinx −x 在区间[0,π2]上的最大值为( )A. 0B. 2−π2C. √3−π3D. 1−π67. 若函数f (x )=x −lnx 的单调递增区间是( )A. (0,1)B. (0,e )C. (0,+∞)D. (1,+∞)8. 若函数f(x)=13x 3+12mx 2+x +1在上有极值点，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,−2)∪(2,+∞)B. (−∞,−2)∪[2，+∞)C. (−2,2)D. [−2,2]9. 已知函数f(x)=x +e −x ，若存在x ∈R ，使得f(x)≤ax 成立，则实数a 的取值范围是()A. (−∞,l −e]B. (l,+∞)C. (1−e,1]D. (−∞,1−e]∪(1，+∞)10.若关于x的不等式2x3+ax2>ln x2在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围为()A. [−2,+∞)B. (−2,+∞)C. [−1,+∞)D. (−1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.函数f(x)=13x3−2x2+3x−1的单调递增区间为____________．12.函数f(x)=2xe1−x−1的极大值是__________..13.若函数f(x)=x2lg a−2x+1的图象与x轴有两个交点，则实数a的取值范围是____.14.定义在(−π2,π2)上的奇函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(1)=0.当x>0时，f(x)<tanx·f′(x)，则不等式f(x)<0的解集为_______．三、解答题（本大题共4小题，共50.0分）15.求曲线y=x3的过(1,1)的切线方程．16.求函数的单调区间f(x)=−13ax3+x2+1(a≤0)．17.设函数f(x)=(x−1)e x−kx2(其中k∈R).(Ⅰ)当k=1时，求函数f(x)的单调区间;,1]时，求函数f(x)在[0,k]上的最大值M．(Ⅱ)当k∈(1218.(Ⅰ)求证：不等式lnx≤k√x−1对k≥1恒成立．(Ⅱ)设数列{a n}的通项公式为a n=√2，前n项和为S n，求证：S n≥ln(2n+1)2n−1【答案与解析】1.答案：C解析：【试题解析】本题考查变化率的计算，注意平均变化率的计算公式，属于基础题．根据题意，由函数的解析式计算可得f(0)、f(π)的值，进而由变化率公式计算可得答案． 解：根据题意，f(x)=x 2−sinx ，则f(0)=0，f(π)=π2−sinπ=π2，则f(x)在[0,π]上的平均变化率为Δy Δx =f(π)−f(0)π−0=π2−0π−0=π；故选：C ．2.答案：B解析：本题主要考查了导数的定义及其导数的运算，考查学生的计算能力，属于基础题．解：∵f′(x 0)=−3，则ℎ→0lim f(x 0+ℎ)−f(x 0−3ℎ)ℎ=m →0lim [4·f(x 0+4m)−f(x 0)4m ]=4m →0lim(f(x 0+4m)−f(x 0)4m )=4f′(x 0)=4×(−3)=−12，故选B ．3.答案：B解析：本题主要考查导数的应用，熟悉导数的定义是解答本题的关键，属于基础题．解：由题意可知物体从时间t 到t +Δt 时，位移为Δs ，则limΔt→0Δs Δt 的意义即为t 时刻物体的瞬时速度．故选B ．4.答案：C解析：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，属于中档题．求出函数的导数，问题转化为a ≥x−12x 2在(1,4)恒成立，令g(x)=x−12x 2，x ∈(1,4)，根据函数的单调性求出a 的范围即可．解：f ′(x)=2ax −1+1x=2ax 2−x+1x ， 若f(x)在(1,4)递增，则2ax 2−x +1≥0在(1,4)恒成立，即a ≥x−12x 2在(1,4)恒成立，令g(x)=x−12x 2，x ∈(1,4)， g ′(x)=2−x2x 3，令g ′(x)>0，解得：1<x <2，令g ′(x)<0，解得：2<x <4，故g(x)在(1,2)递增，在(2,4)递减，故a ≥g(x)max =g(2)=18，故选C ． 5.答案：A解析：本题考查导数的几何意义，属于基础题．求出导数，然后由导数的几何意义即可求解．解：因为y =x 3−x +3，所以y′=3x 2−1，所以曲线在点(1,3)处的切线斜率k=y′|x=1=2．故选A．6.答案：C解析：本题主要考查利用导函数求函数闭区间上的最值，属于基础题．先求导函数，然后求极值，得出极大值就是最大值．解：∵f(x)=2sinx−x，∴f′(x)=2cosx−1，令f′(x)=2cosx−1=0，得cosx=12，∵x∈[0,π2]，∴由cosx=12，得x=π3，∴当x∈[0,π3)时，f′(x)>0，f(x)递增；当x∈(π3,π2]时，f′(x)<0，f(x)递减；当x=π3时，f(x)=2sinx−x在[0,π2]上的极大值是2sinπ3−π3=√3−π3．所以函数的最大值是√3−π3．故选C．7.答案：D解析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性.求出函数的导数，令导数大于零即可解答．解：函数f(x)=x−lnx的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1−1x =x−1x，令f′(x)>0，解得x>1．故选D．8.答案：A解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的导数求函数的极值，属于中档题．求出原函数的导函数f′(x)，由f(x)在上有极值，说明方程x2+mx+1=0有两不等实数根，由判别式大于0求得m的取值范围．解：由f(x)=13x3+12mx2+x+1，得f′(x)=x2+mx+1．若f(x)在上有极值，导函数是二次函数，方程x2+mx+1=0有两不等实数根，∴Δ=m2−4>0，解得：m<−2或m>2；综上m的取值范围是(−∞,−2)∪(2,+∞)．故选：A．9.答案：A解析：解：函数f(x)=x+e−x，若存在x∈R，使得f(x)≤ax成立，即：存在x∈R，x+e−x−ax≤0成立．令g(x)=x+e−x−ax，即g(x)min≤0成立．∴g′(x)=1−a−(1 e )x令g′(x)=0，即1−a=(1e)x，∵(1e)x>0，∴当a≥1时，不存在x．当a<1时，存在x．∴x=−ln(1−a)，∴当x∈(−∞,−ln(1−a))时，g′(x)<0，x∈(−ln(1−a),+∞)时，g′(x)>0，∴x=−ln(1−a)时，g(x)min=(a−1)ln(1−a)+(1−a)≤0，解得：a≤1−e，∵a<1，∴实数a的取值范围是(−∞,l−e]，故选：A．分别讨论a的取值范围，构造新函数，结合导数研究函数的最值即可得到结论．本题考查了导数的运算法则和函数的最值问题，以及不等式的解法，属于中档题10.答案：B解析：本题为恒成立问题，考查利用导数研究函数的单调性、求解函数的最值，考查利用导数求解恒成立问题，题目有一定的难度．由题意得在(0,+∞)上恒成立，令，易求得x∈(0,1)时，函数f(x)为增函数；x∈(1,+∞)时，函数f(x)为减函数，故x=1时，f(x)取得最大值f(1)=−2，故a>−2，问题得解．解：不等式2x3+ax2>ln x2在(0,+∞)上恒成立，即在(0,+∞)上恒成立，令，所以，令f′(x)=0，解得x=1．当x∈(0,1)时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数；当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数．所以当x=1时，f(x)取得最大值f(1)=−2，所以a>−2，所以实数a的取值范围为(−2,+∞)．故选B．11.答案：(−∞,1)，(3,+∞)x3−2x2+3x−1，所以f′(x)=x2−4x+3，解析：解：因为f(x)=13由f′(x)=x2−4x+3>0，得：x<1或x>3，所以原函数的单调增区间为(−∞,1)，(3,+∞)．故答案为(−∞,1)，(3,+∞)．x3−2x2+3x−1的单调递增区间，先求该函数的导函数，让导函数大于0求解x的求函数f(x)=13范围。
哈尔滨三中2019-2020期中高二数学理科试题含答案
2019年黑龙江省学业水平考试数学（理科）试卷一、选择题（本大题共14小题，每小题4分，共56分）1.椭圆C ：22194x y +=的离心率是（）A.3B.139C.3D.592.两平行直线1:210l x y +-=与2:230l x y ++=间距离为（）A.5B.5C.5D.53.若双曲线C:()222109x y a a -=>的渐近线方程为32y x =±，则a 的值为（）A.2B.4C.6D.84.当圆C:224220x y x my m +--+=的面积最小时，m 的取值是（）A.2B.3C.2D.15.()00,P x y 是抛物线24y x =上一点，点P 到焦点的距离是点P 到y 轴距离的3倍，则0x =（）A.12B.1C.32D.26.已知12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 为C 上一点，且12PF PF ⊥，若12PF F ∆的面积是9，则b =（）A.1B.2C.3D.47.以抛物线210x y =-210mx my -+=相切，则m =（）A.215-或1 B.25或1 C.215-或25D.25或1-8.已知两点()()2,0,0,4A B ，O 为坐标原点，动点(),P x y 在线段AB （不含端点）上运动，过P 点分别向,x y 轴作垂线，垂足分别为,M N ，则四边形PMON 的面积的最大值为（）B.2C. D.89.双曲线2233x y t -=的一个焦点坐标为()0,4，则t =（）A.4- B.2- C.2D.410.直线l 过抛物线2:y 2C x =的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点（点A 在第一象限）若2BF =，则AF =A.25B.23C.125D.8311.若直线l ：20x y -=与双曲线224x ay -=()0a >的右支仅有一个公共点，则a 的取值范围是（）A.()4,+∞ B.[)4,+∞ C.()0,4 D.(]0,412.已知点()1,2M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若090AMB ∠=，则k =（）A.1B.2C.3D.413.已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>的右支与焦点为F 的抛物线()22:x 20C py p =>交于A ，B 两点，若6AF BF OF +=，则双曲线1C 的渐近线方程为（）A.12x ±B.y x =±C.22x ±D.14.已知过椭圆()222210,0x y a b a b +=>>的左焦点为1F 且斜率为b a 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点.若椭圆上存在一点P ，满足0OA OB OP ++=（其中O 为坐标原点），则椭圆的离心率为（）A.3B.12C.2D.2二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）15.已知双曲线22:13x C y -=左、右焦点分别为1F ，2F ，点(),P x y 在C 右支上，若22PF =，则1PF =16.已知圆221:2440C x y x y +-+-=，圆222:2220C x y x y ++--=，则两圆的公切线条数是17.点(),P x y 在抛物线24y x =上，则点P 到()0,3的距离与点P 到准线的距离之和的最小值是18.已知椭圆()222:124x y C a a +=>左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆C 上存在四个不同的点P 满足12PF F S ∆=则a 的取值范围是19.已知定点()()122,0,2,0F F -，N 是圆22:1O x y +=上任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹方程是20.如图，过抛线2:2C y px =()0p >的焦点F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，且,A B两点在准线上的射影分别为,M N .若MFN AFM S S λ∆∆=，BFN MFN S S μ∆∆=，则λμ=三、解答题（本大题共6小题，共70分）21.（本小题满分10分）已知直线20l y -+=，22:4410C x y x y ++--=（1）判断直线l 与圆C 的位置关系，并证明；（2）若直线l 与圆C 相交，求出圆C 被直线l 截得的弦长；否则，求出圆上的点到直线l 的最短距离.22.（本小题满分12分）已知双曲线的中心在原点，焦点在x，过点(4,.（1）求双曲线标准方程；（2）若直线()1y k x =-与双曲线有两个不同的公共点，求k 的取值范围.23.（本小题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 为圆()2211x y -+=的圆心，O 为坐标原点.（1）求已知抛物线C 的方程；（2）过抛物线C 焦点F ，作斜率为43的直线l 交C 于,A B 两点（A 点在第一象限），若AF FB λ= ，求λ的值.24.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>点()0,2A 与点P 在椭圆C 上.已知()2,0B ，O 为坐标原点，且62OA OB +=.（1）求已知椭圆C 的方程；（2）已知()0,8M ，若Q 是椭圆C 上一动点，求QM 的最大值，并写出此时Q 点坐标.25.（本小题满分12分）如图，已知直线l 与抛物线2y x =相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，O 为坐标原点，直线l 与x 轴相交于点M ，且121y y =-.（1）求证：OA OB ⊥；（2）求点M 的横坐标；（3）过A ，B 点分别作抛物线的切线，两条切线交于点Q ，求QM ABk k ⋅26.（本小题满分12分）已知椭圆222:18x y C b +=的一个顶点为抛物线28x y =的焦点，点()00,P x y 在椭圆C 上且000x y ⋅≠，P 关于原点O 的对称点Q ，过P 作OP 的垂线交椭圆于另一点T ，连QT 交x 轴于M（1）求椭圆C 的方程；（2）求证PM ⊥x 轴；（3）记POM ∆的面积为1S ，PQT ∆的面积为2S ，求12S S 的取值范围.答案一、选择题1-5：CDADA 6-10:CCBAB 11-14:CABC二、填空题15.2+16.217.18.()4,+∞19.2213y x -=20.4三、解答题21.（1）相交（2）22.（1）22166x y -=（2）(),11,11,55⎛⎫⎛--- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 23.（1）24y x =（2）4λ=24.（1）22184x y +=（2）()0,2Q -时最大值为1025.（1）略（2）1（3）14-26.（1）22184x y +=（2）略（3）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2019_2020学年高二数学6月阶段性测试试题理含解析
【解析】
【分析】
（1）根据 化圆C和直线l极坐标方程为直角坐标方程；
（2）根据圆心到直线距离加半径得圆C上的点P到直线l的最大距离.
【详解】（1） ；
（2）
所以圆心到直线距离为
因此圆C上的点P到直线l的最大距离为
【点睛】本题考查极坐标化直角坐标、直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题.
【详解】（1）因为直线l恒过定点 且倾斜角为 ，所以 为参数
（2）直线l的参数方程代入C的直角坐标方程得
设M、N对应参数分别为 ，则
因为
因此
点睛】本题考查直线参数方程、极坐标化直角坐标，直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.
18.已知函数 的图象在点 处的切线为 .
（1）求函数 的解析式；
，即 在 上单调递减；
（2）当 时，
当 时 ，此时 无极值；
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，因此 有极大值 ，无极小值；
综上： 时， 有极大值 ，无极小值； 时， 无极值.
【点睛】本题考查利用导数证单调性、利用导数研究函数极值，考查综合分析求解与论证能力，属中档题.
17.在直角坐标系 中，直线l恒过定点 且倾斜角为 ；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为 .
【答案】
【解析】
【分析】
根据转移法求曲线C的方程
【详解】因为 ，且 ，所以
故答案为：
【点睛】本题考查伸缩变换、求曲线方程，考查基本分析化简能力，属基础题.
13.下列命题中，真命题的序号有____________.
① ， ；
②若 ，则 ；
2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高二下学期期末数学试卷(理科) (解析版)
2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高二第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知复数z满足（1﹣i）z═a+i，且z为纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．22．某中学有高中生480人，初中生240人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容为n的样本，其中高中生有12人，那么n等于（）A．6B．9C．12D．183．两个线性相关变量x与y的统计数据如表：x99.51010.511y1110865其回归直线方程是，则相对应于点（11，5）的残差为（）A．0.1B．0.2C．﹣0.1D．﹣0.24．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2表示没有击中目标，3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A．0.55B．0.6C．0.65D．0.75．已知函数在点x＝x0处的切线的倾斜角是，则x0的值为（）A．B．C．D．16．为做好社区新冠疫情防控工作，需将四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有（）种A．36B．48C．60D．167．（）dx＝（）A．﹣1B．1C．2D．48．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）A．23B．75C．77D．1399．某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A．，s2+1002B．+100，s2+1002C．，s2D．+100，s210．已知函数f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f（e）＝（）A．﹣e B．e C．﹣1D．111．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．12．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足（1﹣x）f（x）+xf'（x）＞0，则关于x不等式：f（2x﹣1）﹣e x﹣3f（x+2）＜0的解集为（）A．（）B．（3，+∞）C．（1，3）D．（，+∞）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），且P（ξ＞2）＝0.85，则P（3＜ξ＜4）＝．14．如图，在边长为2的正六边形内随机地撒一把豆子，落在正六边形ABC﹣DEF内的豆子粒数为626，落在阴影区域内的豆子粒数为313，据此估计阴影的面积为．15．若（x+）n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项的值为．16．已知函数f（x）＝（xe x﹣m）x﹣2e x（x∈R），若m＝0，则f（x）的极大值点为；若f（x）有3个极值点，则实数m的取值范围是．三.解答题（本题共6小题，共70分.其中17题10分，18-22题每题12分.）17．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．18．已知函数f（x）＝|x﹣3|+|x+a|（a＞0）．（1）若a＝1，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，求实数a的取值范围．19．某地为响应国家“脱贫攻坚战”的号召，帮助贫困户脱贫，安排贫困人员参与工厂生产．现用A，B两条生产线生产某产品．为了检测该产品的某项质量指标值（记为Z），现随机抽取这两条生产线的产品各100件，由检测结果得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）分别估计A，B两条生产线的产品质量指标值的平均数（同一组数据中的数据用该组区间的中点值作代表），从平均数结果看，哪条生产线的质量指标值更好？（Ⅱ）计算A生产线的产品质量指标值的众数和中位数（中位数计算结果精确到小数点后两位）．（Ⅲ）该公司规定当Z≥92时，产品为超优品，根据所检测的结果填写2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产超优品是否与生产线有关”．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.0500.0100.0050.001k0 3.841 6.6357.87910.828 2×2列联表A生产线B生产线总计超优品非超优品总计20．已知两个定点A（0，4），B（0，1），动点P满足|PA|＝2|PB|，设动点P的轨迹为曲线E，直线l：y＝kx﹣4．（1）求曲线E的轨迹方程；（2）若l与曲线E交于不同的C、D两点，且∠COD＝120°（O为坐标原点），求直线l的斜率；（3）若k＝1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线OM、ON，切点为M、N，探究：直线MN是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由．21．某班组织“2人组”投篮比赛，每队2人．在每轮比赛中，每队中的两人各投篮1次，规定：每队中2人都投中，则该队得3分；若只有1人投中，则该队得1分；若没有人投中，则该队得﹣1分．A队由甲、乙两名同学组成，甲投球一次投中的概率为，乙投球一次投中的概率为，且甲、乙投中与否互不影响，在各轮比赛中投中与否也互不影响．（Ⅰ）求A队在一轮比赛中的得分不低于1分的概率；（Ⅱ）若共进行五轮比赛，记“A队在一轮比赛中得分不低于1分”恰有X次，求X的期望和方差；（Ⅲ）若进行两轮比赛，求A队两轮比赛中得分之和Y的分布列和期望．22．已知函数f（x）＝axe x（a∈R），g（x）＝lnx+kx+1（k∈R）．（Ⅰ）若k＝﹣1，求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若k＝1时有f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知复数z满足（1﹣i）z═a+i，且z为纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用实部为0且虚部不为0列式求解．解：由（1﹣i）z═a+i，得z＝，由题意得，，即a＝1．故选：B．2．某中学有高中生480人，初中生240人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容为n的样本，其中高中生有12人，那么n等于（）A．6B．9C．12D．18【分析】利用分层抽样的性质列出方程，由此能求出结果．解：由分层抽样的性质得：＝，解得n＝18．故选：D．3．两个线性相关变量x与y的统计数据如表：x99.51010.511y1110865其回归直线方程是，则相对应于点（11，5）的残差为（）A．0.1B．0.2C．﹣0.1D．﹣0.2【分析】由已知求得样本中心点的坐标，代入线性回归方程求得，则回归方程可求，取x＝11求得，再由残差公式求残差．解：，，由8＝10+40，得，∴，取x＝11，得＝﹣3.2×11+40＝4.8．∴相对应于点（11，5）的残差为5﹣4.8＝0.2．故选：B．4．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2表示没有击中目标，3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A．0.55B．0.6C．0.65D．0.7【分析】由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示种射击4次至少击中3次的有多少组，可以通过列举得到共多少组随机数，根据概率公式，得到结果．解：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：7527 9857 0347 4373 8636 9647 46986233 8045 3661 9597 7424，共12组随机数，∴所求概率为0.6．故选：B．5．已知函数在点x＝x0处的切线的倾斜角是，则x0的值为（）A．B．C．D．1【分析】根据切线的倾斜角求出斜率，然后令导数等于斜率，即可解出x0的值．解：易知，因为在x＝x0处，切线倾斜角为，故，解得．故选：A．6．为做好社区新冠疫情防控工作，需将四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有（）种A．36B．48C．60D．16【分析】根据题意，先将四名志愿者分成3组，再将分好的3组全排列，分配到3个小区，问题得以解决．解：根据题意，先将四名志愿者分成3组，有C42＝6种分组方法，再将分好的3组全排列，分配到3个小区，有A33＝6种情况，则不同的分配方案共有有C42•A33＝36种，故选：A．7．（）dx＝（）A．﹣1B．1C．2D．4【分析】（）dx＝dx+dx，前者的被积函数是偶函数，定积分为0；后者直接运用定积分的运算法则求解即可．解：（）dx＝dx+dx，因为函数y＝为偶函数，所以dx＝0；dx＝＝1﹣（﹣1）＝2，所以（）dx＝0+2＝2．故选：C．8．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）A．23B．75C．77D．139【分析】根据数字的变化规律即可求出．解：观察每个图形最上边的正方形中的数字规律为1，3，5，7，9，11，左下角数字的变化规律为2，22，23，24，25，26，右下角的数字等于前图形的两个数字之和，所以a＝26+11＝75，故选：B．9．某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A．，s2+1002B．+100，s2+1002C．，s2D．+100，s2【分析】根据变量之间均值和方差的关系和定义，直接代入即可得到结论．解：由题意知y i＝x i+100，则＝（x1+x2+…+x10+100×10）＝（x1+x2+…+x10）＝+100，方差s2＝[（x1+100﹣（+100）2+（x2+100﹣（+100）2+…+（x10+100﹣（+100）2]＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]＝s2．故选：D．10．已知函数f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f（e）＝（）A．﹣e B．e C．﹣1D．1【分析】利用求导法则求出f（x）的导函数，把x＝e代入导函数中得到关于f′（e）的方程，求出方程的解即可得到f′（e）的值．解：求导得：f′（x）＝2f'（e）+，把x＝e代入得：f′（e）＝e﹣1+2f′（e），解得：f′（e）＝﹣e﹣1，∴f（e）＝2ef′（e）+lne＝﹣1，故选：C．11．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．【分析】先计算n（AB）、n（A），再利用P（B|A）＝，即可求得结论．解：由题意，n（AB）＝＝13，n（A）＝＝40∴P（B|A）＝＝．故选：B．12．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足（1﹣x）f（x）+xf'（x）＞0，则关于x不等式：f（2x﹣1）﹣e x﹣3f（x+2）＜0的解集为（）A．（）B．（3，+∞）C．（1，3）D．（，+∞）【分析】先将不等式转化为，进而考虑令，再结合函数单调性即可求解．解：因为（1﹣x）f（x）+xf'（x）＞0，所以，令，x∈（0，+∞），则g'（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上单调递增，不等式⇔⇔g（2x ﹣1）＜g（x+2），于是有，解得，故选：A．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），且P（ξ＞2）＝0.85，则P（3＜ξ＜4）＝0.35．【分析】由已知求得μ，再由正态分布曲线的对称性求得P（2＜ξ＜3），则答案可求．解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），∴μ＝3，∵P（ξ＞2）＝0.85，∴P（2＜ξ＜3）＝0.85﹣0.5＝0.35，则P（3＜ξ＜4）＝P（2＜ξ＜3）＝0.35，故答案为：0.35．14．如图，在边长为2的正六边形内随机地撒一把豆子，落在正六边形ABC﹣DEF内的豆子粒数为626，落在阴影区域内的豆子粒数为313，据此估计阴影的面积为．【分析】由已知求出正方形面积，根据几何概型的概率公式，即可以进行估计，得到结论．解：因为边长为2的正六边形的面积．据题设分析知阴影区域面积．故答案为：3．15．若（x+）n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项的值为20．【分析】利用二项式的系数和列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0，求出展开式的常数项．解：展开式的二项式系数和为2n∴2n＝64解得n＝6∴展开式的通项为T r+1＝C6r x6﹣2r令6﹣2r＝0得r＝3故展开式的常数项为C63＝20故答案为2016．已知函数f（x）＝（xe x﹣m）x﹣2e x（x∈R），若m＝0，则f（x）的极大值点为；若f（x）有3个极值点，则实数m的取值范围是（0，6e﹣4）．【分析】当m＝0 时，利用导数求得f（x）的极大值点；根据f（x）有三个极值点，利用分离常数法求得m的取值范围．解：当m＝0 时，f（x）＝（x2﹣2）e x，f′（x）＝（x2+2x﹣2）e x，令f′（x）＝0，解得，所以f（x）在（﹣∞，x1）和（x2，+∞）上递增，在（x1，x2）上递减，所以f（x）的极大值点为；f（x）＝（x2﹣2）e x﹣mx，f′（x）＝（x2+2x﹣2）e x﹣m，构造函数g（x）＝（x2+2x﹣2）e x，g′（x）＝（x2+4x）e x＝x（x+4）e x，所以g（x）在（﹣∞，﹣4），（0，+∞）上递增，在（﹣4，0）上递减，所以g（x）的极大值为g（﹣4）＝6e﹣4，极小值为g（0）＝﹣2，注意到当x＜x1时，（x2+2x﹣2）e x＞0，所以由f（x）有3个极值点，可得0＜m＜6e﹣4，所以实数m的取值范围是（0，6e﹣4）．故答案为：．三.解答题（本题共6小题，共70分.其中17题10分，18-22题每题12分.）17．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【分析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ＝1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|＝|ρ1﹣ρ2|即可得出．解：（I）利用cos2φ+sin2φ＝1，把圆C的参数方程为参数）化为（x ﹣1）2+y2＝1，∴ρ2﹣2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1＝θ2，∴|PQ|＝|ρ1﹣ρ2|＝2．∴|PQ|＝2．18．已知函数f（x）＝|x﹣3|+|x+a|（a＞0）．（1）若a＝1，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）由题意可得|x﹣3|+|x+1|≥6，由绝对值的意义、去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由题意可得f（x）min≥a2﹣2a﹣1，运用绝对值不等式的性质可得f（x）的最小值，再由二次不等式的解法，可得所求解集．解：（1）不等式f（x）≥6，即为|x﹣3|+|x+1|≥6，等价为或或，解得x≥4或x∈∅或x≤﹣2，可得原不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）；（2）f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，即为f（x）min≥a2﹣2a﹣1，由a＞0时，f（x）＝|x﹣3|+|x+a|≥|x﹣3﹣x﹣a|＝|﹣3﹣a|＝a+3，当﹣a≤x≤3时，上式取得等号，则a+3≥a2﹣2a﹣1，即为a2﹣3a﹣4≤0，解得﹣1≤a≤4，但a＞0，可得0＜a≤4．19．某地为响应国家“脱贫攻坚战”的号召，帮助贫困户脱贫，安排贫困人员参与工厂生产．现用A，B两条生产线生产某产品．为了检测该产品的某项质量指标值（记为Z），现随机抽取这两条生产线的产品各100件，由检测结果得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）分别估计A，B两条生产线的产品质量指标值的平均数（同一组数据中的数据用该组区间的中点值作代表），从平均数结果看，哪条生产线的质量指标值更好？（Ⅱ）计算A生产线的产品质量指标值的众数和中位数（中位数计算结果精确到小数点后两位）．（Ⅲ）该公司规定当Z≥92时，产品为超优品，根据所检测的结果填写2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产超优品是否与生产线有关”．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.0500.0100.0050.001 k0 3.841 6.6357.87910.8282×2列联表A生产线B生产线总计超优品非超优品总计【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中的数据求出A，B两条生产线的产品质量指标值的平均数，平均数越大，则生产线的质量指标值更好．（Ⅱ）A生产线的产品质量指标值的众数为80．先分别计算前两组和前三组的频率和，与0.5比较大小后，可发现中位数在区间[76，84]，设为x，然后根据中位数的性质列出关于x的方程，解之即可．（Ⅲ）填写完2×2列联表，再根据公式计算K2的观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断．解：（Ⅰ）设A，B两条生产线的产品质量指标值的平均数分别为，，由频率分布直方图可得，＝（0.00625×64+0.01875×72+0.05375×80+0.035×88+0.01125×96）×8＝81.68，＝（0.00625×64+0.02×72+0.0625×80+0.03375×88+0.0025×96）×8＝80.4，所以＞，故A生产线的质量指标值更好．（Ⅱ）A生产线的产品质量指标值的众数为80．由A生产线的产品质量指标值频率分布直方图得，前两组频率和为0.00625×8+0.01875×8＝0.2＜0.5，前三组频率和为0.00625×8+0.01875×8+0.05375×8＝0.63＞0.5，故中位数在区间[76，84]，设为x，则0.00625×8+0.01875×8+0.05375×（x﹣76）＝0.5，解得x≈5.58+76＝81.58，故A生产线的产品质量指标值的中位数约为81.58．（Ⅲ）2×2列联表如下：A生产线B生产线总计超优品9211非超优品9198189总计100100200∴K2＝≈4.714＞3.841．故有95%的把握认为“生产超优品是否与生产线有关”．20．已知两个定点A（0，4），B（0，1），动点P满足|PA|＝2|PB|，设动点P的轨迹为曲线E，直线l：y＝kx﹣4．（1）求曲线E的轨迹方程；（2）若l与曲线E交于不同的C、D两点，且∠COD＝120°（O为坐标原点），求直线l的斜率；（3）若k＝1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线OM、ON，切点为M、N，探究：直线MN是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由．【分析】（1）设点P的坐标为（x，y），根据|PA|＝2|PB|列方程化简可得轨迹方程；（2）OC＝OD＝2，且∠COD＝120°，则点O到CD边的距离为1，列方程求解即可；（3）依题意，ON⊥QN，OM⊥QM，则M，N都在以OQ为直径的圆F上，Q是直线l：y＝x﹣4上的动点，设Q（t，t﹣4），联立两个圆的方程求解即可．解：（1）设点P的坐标为（x，y），|PA|＝2|PB|，即＝2，整理得x2+y2＝4，所以曲线E的轨迹方程为x2+y2＝4；（2）依题意，OC＝OD＝2，且∠COD＝120°，则点O到CD边的距离为1，即点O（0，0）到直线l：kx﹣y﹣4＝0的距离d＝＝1，解得k＝±；（3）依题意，ON⊥QN，OM⊥QM，则M，N都在以OQ为直径的圆F上，因为Q是直线l：y＝x﹣4上的动点，设Q（t，t﹣4），则圆F的圆心为（，），且经过坐标原点，即圆的方程为x2+y2﹣tx﹣（t﹣4）y＝0．又因为M，N在曲线E：x2+y2＝4上，由，可得tx+（t﹣4）y ﹣4＝0，即直线MN的方程为tx+（t﹣4）y﹣4＝0．由t∈R且t（x+y）﹣4y﹣4＝0可得，，解得，所以直线MN是过定点（1，﹣1）．21．某班组织“2人组”投篮比赛，每队2人．在每轮比赛中，每队中的两人各投篮1次，规定：每队中2人都投中，则该队得3分；若只有1人投中，则该队得1分；若没有人投中，则该队得﹣1分．A队由甲、乙两名同学组成，甲投球一次投中的概率为，乙投球一次投中的概率为，且甲、乙投中与否互不影响，在各轮比赛中投中与否也互不影响．（Ⅰ）求A队在一轮比赛中的得分不低于1分的概率；（Ⅱ）若共进行五轮比赛，记“A队在一轮比赛中得分不低于1分”恰有X次，求X的期望和方差；（Ⅲ）若进行两轮比赛，求A队两轮比赛中得分之和Y的分布列和期望．【分析】（Ⅰ）设事件“A队在一轮比赛中的得分不低于1分”为事件B，“甲在一轮中投中”为事件C，“乙在一轮中投中”为事件D，则C，D相互独立，且P（C）＝，P（D）＝，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出A队在一轮比赛中的得分不低于1分的概率．（Ⅱ）推导出X～B（5，），由此能求出X的期望和方差．（Ⅲ）Y的可能取值为﹣2，0，2，4，6，分别求出相应的概率，由此能求出Y的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）设事件“A队在一轮比赛中的得分不低于1分”为事件B，“甲在一轮中投中”为事件C，“乙在一轮中投中”为事件D，则C，D相互独立，且P（C）＝，P（D）＝，∴A队在一轮比赛中的得分不低于1分的概率为：P（B）＝P（）＝P（CD）+P（）+P（C）＝＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）知“A队在一轮比赛中的得分不低于1分”的概率为，共进行五轮比赛，记“A队在一轮比赛中得分不低于1分”恰有X次，则X的可能取值为0，1，2，3，4，5，且X～B（5，），X的期望E（X）＝5×＝，方差D（X）＝＝．（Ⅲ）进行两轮比赛，A队两轮比赛中得分之和为Y．则Y的可能取值为﹣2，0，2，4，6，P（Y＝﹣2）＝＝，P（Y＝0）＝＝，P（Y＝2）＝（）2+＝，P（X＝4）＝（）×（）×2＝，P（X＝6）＝（）2＝，∴Y的分布列为：Y﹣20246PE（Y）＝+6×＝．22．已知函数f（x）＝axe x（a∈R），g（x）＝lnx+kx+1（k∈R）．（Ⅰ）若k＝﹣1，求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若k＝1时有f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）k＝﹣1时，g（x）＝lnx﹣x+1的定义域为（0，+∞），，利用导数性质能求出g（x）的单调区间．（Ⅱ）当k＝1时，f（x）≥g（x）恒成立，即axe x≥lnx+x+1恒成立，从而a≥，令h（x）＝，则，利用导数性质能求出a的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）k＝﹣1时，g（x）＝lnx﹣x+1的定义域为（0，+∞），．……（1分）令＞0，得0＜x＜1，令，得x＞1，所以g（x）在（0，1）上是增函数，（1，+∞）上是减函数．……（Ⅱ）当k＝1时，f（x）≥g（x）恒成立，即axe x≥lnx+x+1恒成立．因为x＞0，所以a≥．……令h（x）＝，则．……令p（x）＝﹣lnx﹣x，，故p（x）在（0，+∞）上单调递减，且p（）＝1﹣，p（1）＝﹣1＜0，故存在x0∈（，1），使得p（x0）＝﹣lnx0﹣x0＝0，故lnx0+x0＝0，即．当x∈（0，x0）时，p（x）＞0，h′（x）＞0；当x∈（x0，+∞）时，p（x）＜0，h′（x）＜0；∴h（x）在（0，x0）单调递增，在（x0，+∞）单调递减，……∴h（x）max＝h（x0）＝＝1，……故a的取值范围是[1，+∞）．……。