梯形面积公式推导的多样方法

梯形面积公式推导的多样方法

课本中介绍梯形面积公式推导的方法，通常只有一种方法，那就是用两个相同梯形拼成一个平行四边形，然后用这个平行四边形的面积推得其中梯形的面积。这种方法很简洁，实际上梯形面积公式推导还有其它方法，现介绍如下：方法一：把一个梯形剪拼成平行四边形。

把梯形两腰的中点用线连起来，顺着这一条线剪下，把上面的梯形翻转和下面的梯形拼在一起，就成了一个平行四边形。

S梯形＝S平行四边形=（上底+下底）×（高÷2）

=（上底+下底）×高÷2

方法二：把一个梯形剪拼成一个三角形。

找到BC的中点E，把D和E用线连起来，剪下，按箭头的方向翻转，就拼成一个三角形。

S梯形＝S△AFD=（上底+下底）×高÷2

方法三：如图所示，把梯形切割成两块，一块是平行四边形，一块是三角形。

平行四边形的底就是原梯形的上底，三角形的底是梯形的下底与上底之差，

而平行四边形和三角形的高都等于梯形的高。

所以，梯形的面积

= 平行四边形的面积＋三角形的面积

= 上底×高＋（下底－上底）×高÷2

=（2×上底）×高÷2＋（下底－上底）×高÷2

=（2×上底＋下底－上底）×高÷2

=（上底＋下底）×高÷2

因此梯形的面积 =（上底＋下底）×高÷2

方法四：把梯形分成两个三角形，分别算面积，然后计算它们的和。

把梯形分成两个三角形，如图所示，一个在左下，

一个在右上。

右上三角形的面积 = 上底×高÷2

左下三角形的面积 = 下底×高÷2

所以梯形的面积 = 上底×高÷2＋下底×高÷2

= （上底＋下底）×高÷2

因此梯形的面积 =（上底＋下底）×高÷2

方法五：如图所示，把梯形的缺角补上，正好补成一个长方形，则：长方形的面积=下底×高

而补上的两个小三角形的总面积为：

小三角形面积和=（下底－上底）×高÷2

所以梯形面积

= 长方形的面积－小三角形面积和

=下底×高－（下底－上底）×高÷2

= [下底－（下底－上底）÷2] ×高

= [2×下底－（下底－上底）] ×高÷2

=（上底＋下底）×高÷2

方法六：如图所示，分别沿梯形两腰中点向下底作垂线，与腰、下底正好围成两个直角三角形，把这两个三角形分别按逆时针或顺时针旋转1800角，使得原来的梯形被拼组成一个长方形。

梯形的上下底总长度，正好等于现在长方形两个长的总长度，即长方形的长=（上底＋下底）÷2。长方形的宽正好等于梯形的高。

长方形的面积 = 长×宽

所以梯形的面积 =[（上底＋下底）÷2 ]×高

=（上底＋下底）×高÷2

因此梯形的面积 =（上底＋下底）×高÷2

方法七：如图所示，在梯形的一侧补上一个三角形，使整个图形成为一个平行四边形。平行四边形的底就是梯形的下底，三角形

的底恰好是梯形的下底与上底之差。它们的高都

是析梯形的高。所以梯形的面积为：

下底×高－（下底－上底）×高÷2

= [下底－（下底－上底）÷2] ×高

= [2×下底－（下底－上底）] ×高÷2

=（上底＋下底）×高÷2

因此梯形的面积 =（上底＋下底）×高÷2