2地图投影方法及应用
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—— 以正轴圆锥投影为例
经线 投影为放射直线，经差 与投影面上d成正比：d = c· （c为 圆锥系数，0 < c < 1）。 纬线 投影为同心圆弧，其半径 r 是纬度 的函数， r = f（）。 圆锥投影的一般公式为：
X = r s - r cosδ
Y = r sin d
r = f( ) d = c·
ds ' ds
V 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
表示长度比，V表示长度变形
三.地图投影的变形 ——地图投影分析
2 9
• 面积比和面积变形：
– 投影平面上微小面积（变形椭圆面积）与球 面上相应的微小面积（微小圆面积）之比。 – 面积比是变量，随位置的不同而变化。
dF ' πab P 2 a b dF πl
k k r 2 tan (45 / 2) U
tan(45 / 2) U tan e (45 / 2)
sin esin
三.地图投影的变形 ——地图投影变形的概念
1 2
• 地图投影变形的概念
– 指球面转换成平面后，地图上所产生的长度、 角度和面积误差。
二.地图投影的基本方法
1 1
A ' B ' dr m AB Rd A' D ' r dd m AD R cos d
P mn mn sin 2 mn
等角投影条件：ω=0，m=n，构成
dr r dd cr Rd R cos d R cos
经移项、积分、整理得：
– 椭圆上两方向线的夹角和小圆上相应两方向
线的夹角的比较——角度变形；
三.地图投影的变形 ——地图投影分析
2 7
三.地图投影的变形 ——地图投影分析
2 8
• 长度比和长度变形：
– 投影面上一微小线段（变形椭圆半径）和球面 上相应微小线段（球面上微小圆半径，已按规 定的比例缩小）之比。
– 长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。
四.地图投影的分类 ——按变形性质分类
4 0
• 等角投影：
– 投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应 两线段夹角相等，即角度变形为零 ω=0（或 a=b， m=n）。
• 等积投影：
– 投影面与椭球面上相应区域的面积相等，即面积变 形为零 Vp=0（或 P=1，a=1/b）。
• 任意投影：
– 投影图上，长度、面积和角度都有变形，它既不等 角又不等积。其中，等距投影是在特定方向上没有 长度变形的任意投影（m=1）。
二.地图投影的基本方法
9
• 几何透视法
– 是利用透视的关系，将地球体面上的点投影到投影 面上的一种投影方法。 – 把椭球面直接透视到平面上，或透视到可展开的曲 面上，如平面、圆柱面和圆锥面。
– 缺点：难于纠正投影变形，精度较低。
二.地图投影的基本方法
1 • 数学解析法 0 – 是在球面与投影面之间建立点与点的函数关系，通过 数学的方法确定经纬线交点位置的一种投影方法。 – 大多数数学解析法是在透视投影的基础上，建立球面 与投影面之间点与点的函数关系
– 伪方位投影
– 伪圆柱投影
– 伪圆锥投影 – 多圆锥投影
四.地图投影的分类 ——伪方位投影
3 6
• 伪方位投影：在方位投影的基础上，根据某些条 件改变经线形状而成，除中央经线为直线外，其 余均投影为对称中央经线的曲线。
四.地图投影的分类 ——伪圆柱投影
3 7
• 伪圆柱投影：在圆柱投影基础上，根据某些条件 改变经线形状而成，无等角投影。除中央经线为 直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。
四.地图投影的分类 ——按构成方法分类
3 4
• 几何(简单)投影：是把地球球面上的经纬线 网投影到几何面上，然后将几何面展为平面 而得到的。
–方位投影
–圆柱投影 –圆锥投影
四.地图投影的分类 ——按构成方法分类
3 5
• 非几何(条件) 投影：根据某些条件，用数学解
析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。
a b sin 2 ab
b tan( 45 ) 2 a
m 2 n 2 2mn sin q 若已知 m, n, q ，则： sin 2 m 2 n 2 2mn sin q
三.地图投影的变形 ——地图投影变形的分布规律
3 3
• 任何地图都有投影变形 • 不同区域大小的投影其投影变形不同 • 地图上存在没有变形的点(线)—标准点(线) • 距没有变形的点（线）越远，投影变形越 大，反之亦然 • 地图投影反映的实地面积越大，投影变形 越大，反之越小
Vp p 1
P = a· b = m ·n (q = 90) P = m ·n ·sinq (q ≠ 90) P 表示面积比 Vp 表示面积变形
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
三.地图投影的变形 ——地图投影分析
3 0
• 角度变形：
– 投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相 应的两方向线夹角之差，称为角度变形。 – 以ω表示角度最大变形。
1 4 • 所有经线圈都是通过两极的大圆；长度相等；
• 所有纬线除赤道是大圆外，其余都是小圆，并且 从赤道向两极越来越小，极地成为一点。
三.地图投影的变形 ——地球仪上经纬网的特点
1 5 • 经线和纬线是相互垂直的。 ——角度 • 纬差相等的经线弧长相等；同一条 纬线上经差相等的纬线弧长相等， 在不同的纬线上，经差相等的纬线 弧长不等，而是从赤道向两极逐渐 缩小的。 ——长度 • 同一纬度带内，经差相同的经纬线 网格面积相等，不同纬度带内，网 格面积不等，同一经度带内，纬度 越高，梯形面积越小。由低纬向高 纬逐渐缩小。 ——面积
设A点的坐标为（x、y），A′点的坐标为(x′、y′)，则
y tan x y' tan ' x'
y' x' b a y x
三.地图投影的变形 ——地图投影分析
3 1
by b tan ' tan ax a
将上式两边各减和加 tan 即：
b b tan tan ' tan tan (1 ) tan a a b b tan tan ' tan tan (1 ) tan a a sin( ') a b tan 将两式相除，得： cos cos ' a sin( ') a b sin( ') a b
• （主比例尺与局部比例尺）
–面积变形(Vp)：(微分圆)面比P与1的差值
–角度变形：投影后与投影前角度之差ω
• 变形的表示：变形椭圆、等变形线
三.地图投影的变形 ——等变形线
2 2
• 等变形线： –就是变形值相等的各点的连线，它是根据计算 的各种变形的数值（如p,w）绘于经纬线网格 内的，如面积等变形线。 – 常用等变形线来表示制图区域的变形分布特征
四.地图投影的分类 ——按变形性质分类
4 1
形状不变
四.地图投影的分类 ——按变形性质分类
4 2
等角投影
等积投影
等距投影
任意投影
四.地图投影的分类
4 3
按变形性质分为：
等积投影、等角投影、任意投影
按承影面的形状分为：
方位投影、圆锥投影、园柱投影
按承影面与地轴的关系分为：
正轴投影、横轴投影、斜轴投影
物体
承影面
（投）影
一.地图投影的概念
7
•概念
–地图投影就是在球面与平面之间建立其经纬度 与直角坐标函数关系的数学方法
• 实质
– 是研究将地球椭球面上的经纬线网按照一定的 数学法则转移到平面上的方法及其变形问题。
球 面
平面
F(,)=f(x,y)
二.地图投影的基本方法
8
–几何透视法 –数学解析法
长轴方向（极大值）a
短轴方向（极小值）b
经线方向 m ；纬线方向 n 统称 主方向
据阿波隆尼定理，有 m2 + n2 = a2 + b2
m· n· sinq = a· b
三.地图投影的变形 ——地图投影分析
2 6
• 地图投影分析：借助变形椭圆和微小圆的 比较，说明变形的性质和大小。
– 椭圆半径与小圆半径的比较——长度变形； – 椭圆面积与小圆面积的比较——面积变形；
1
目录：
2
一、地图投影的概念 二、地图投影的基本方法
三、地图投影的变形
四、地图投影的分类 五、地图投影的命名
一.地图投影的概念
3
地图表面和地球球面的矛盾
一.地图投影的概念
4
一.地图投影的概念
5
一.地图投影的概念
6
地图投影是在几何投影基础上发展起来的 数学上的几何投影－－透视原理
灯源
三.地图投影的变形 ——投影后地图的经纬网特点
1 6
三.地图投影的变形 ——投影后地图的经纬网特点
1 7
1 8
方 位 等 积 投 影
1 9
等积圆锥投影
2 0
等角圆锥投影
三.地图投影的变形 ——分类与表示
2 1
• 变形的分类
Hale Waihona Puke Baidu–长度变形(Vμ) • （微分线段）长度比μ
• （投影后与投影前之比）与1的差值
• 变形是必然的－－球面不可展
• 没有变形的投影是不存在的
• 制图时：
–有些投影图上没有角度或面积变形
–有些投影图上沿某一方向无长度变形
三.地图投影的变形 ——地图投影变形的概念
1 3
把地图上和地球仪上的经纬线网进行比较， 可以发现变形表现在三个方面：
– 长度 – 面积 – 角度
三.地图投影的变形 ——地球仪上经纬网的特点
按承影面与地表的关系分为：
切投影、割投影
几 何 投 影
按投影条件分为：——非几何投影
伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影、多圆锥投影
五.地图投影的命名
4 4
根据几何投影的几个特性组合命名 例：横轴等积方位投影、正轴等角割圆锥投影、 正轴等角切圆柱投影（墨卡托Mercator投影）
N N N
三.地图投影的变形 ——地图投影分析
3 2 显然当（ + ‘）= 90°时，右端取最大值，则 最大方向变形：
a b sin( ') sin( ') ab
a b sin( ') 以表示角度最大变形： ab ' (180 2 ') (180 2 ) 2( ')
四.地图投影的分类 ——伪圆锥投影
3 8
• 伪圆锥投影：在圆锥投影基础上，根据某些条件 改变经线形状而成，无等角投影。除中央经线为 直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。
四.地图投影的分类 ——多圆锥投影
3 9
• 多圆锥投影：设想有更多的圆锥面与球面相切， 投影后沿一母线剪开展平。纬线投影为同轴圆弧， 其圆心都在中央经线的延长线上。中央经线为直 线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线。
S
S
S
正轴 切园柱投影
横轴 割园锥投影
斜轴 切方位投影
4 5
2 4
X' m X
2
Y' n Y
2
代入： X + Y = 1，得
X' Y' 2 1 2 m n
2
2
微小圆 → 变形椭圆
该方程证明：地球面上的微小圆，投影后通常 会变为椭圆，即：以O'为原点，以相交成q角的 两共轭直径为坐标轴的椭圆方程式。
三.地图投影的变形 ——变形椭圆
2 5
特别方向： 变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向
三.地图投影的变形 ——变形椭圆
2 3
• 变形椭圆：
– 取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响， 把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为 椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变 形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。
Y' X' n 为纬线长度比 m 为经线长度比； Y X
三.地图投影的变形 ——变形椭圆
经线 投影为放射直线，经差 与投影面上d成正比：d = c· （c为 圆锥系数，0 < c < 1）。 纬线 投影为同心圆弧，其半径 r 是纬度 的函数， r = f（）。 圆锥投影的一般公式为：
X = r s - r cosδ
Y = r sin d
r = f( ) d = c·
ds ' ds
V 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
表示长度比，V表示长度变形
三.地图投影的变形 ——地图投影分析
2 9
• 面积比和面积变形：
– 投影平面上微小面积（变形椭圆面积）与球 面上相应的微小面积（微小圆面积）之比。 – 面积比是变量，随位置的不同而变化。
dF ' πab P 2 a b dF πl
k k r 2 tan (45 / 2) U
tan(45 / 2) U tan e (45 / 2)
sin esin
三.地图投影的变形 ——地图投影变形的概念
1 2
• 地图投影变形的概念
– 指球面转换成平面后，地图上所产生的长度、 角度和面积误差。
二.地图投影的基本方法
1 1
A ' B ' dr m AB Rd A' D ' r dd m AD R cos d
P mn mn sin 2 mn
等角投影条件：ω=0，m=n，构成
dr r dd cr Rd R cos d R cos
经移项、积分、整理得：
– 椭圆上两方向线的夹角和小圆上相应两方向
线的夹角的比较——角度变形；
三.地图投影的变形 ——地图投影分析
2 7
三.地图投影的变形 ——地图投影分析
2 8
• 长度比和长度变形：
– 投影面上一微小线段（变形椭圆半径）和球面 上相应微小线段（球面上微小圆半径，已按规 定的比例缩小）之比。
– 长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。
四.地图投影的分类 ——按变形性质分类
4 0
• 等角投影：
– 投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应 两线段夹角相等，即角度变形为零 ω=0（或 a=b， m=n）。
• 等积投影：
– 投影面与椭球面上相应区域的面积相等，即面积变 形为零 Vp=0（或 P=1，a=1/b）。
• 任意投影：
– 投影图上，长度、面积和角度都有变形，它既不等 角又不等积。其中，等距投影是在特定方向上没有 长度变形的任意投影（m=1）。
二.地图投影的基本方法
9
• 几何透视法
– 是利用透视的关系，将地球体面上的点投影到投影 面上的一种投影方法。 – 把椭球面直接透视到平面上，或透视到可展开的曲 面上，如平面、圆柱面和圆锥面。
– 缺点：难于纠正投影变形，精度较低。
二.地图投影的基本方法
1 • 数学解析法 0 – 是在球面与投影面之间建立点与点的函数关系，通过 数学的方法确定经纬线交点位置的一种投影方法。 – 大多数数学解析法是在透视投影的基础上，建立球面 与投影面之间点与点的函数关系
– 伪方位投影
– 伪圆柱投影
– 伪圆锥投影 – 多圆锥投影
四.地图投影的分类 ——伪方位投影
3 6
• 伪方位投影：在方位投影的基础上，根据某些条 件改变经线形状而成，除中央经线为直线外，其 余均投影为对称中央经线的曲线。
四.地图投影的分类 ——伪圆柱投影
3 7
• 伪圆柱投影：在圆柱投影基础上，根据某些条件 改变经线形状而成，无等角投影。除中央经线为 直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。
四.地图投影的分类 ——按构成方法分类
3 4
• 几何(简单)投影：是把地球球面上的经纬线 网投影到几何面上，然后将几何面展为平面 而得到的。
–方位投影
–圆柱投影 –圆锥投影
四.地图投影的分类 ——按构成方法分类
3 5
• 非几何(条件) 投影：根据某些条件，用数学解
析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。
a b sin 2 ab
b tan( 45 ) 2 a
m 2 n 2 2mn sin q 若已知 m, n, q ，则： sin 2 m 2 n 2 2mn sin q
三.地图投影的变形 ——地图投影变形的分布规律
3 3
• 任何地图都有投影变形 • 不同区域大小的投影其投影变形不同 • 地图上存在没有变形的点(线)—标准点(线) • 距没有变形的点（线）越远，投影变形越 大，反之亦然 • 地图投影反映的实地面积越大，投影变形 越大，反之越小
Vp p 1
P = a· b = m ·n (q = 90) P = m ·n ·sinq (q ≠ 90) P 表示面积比 Vp 表示面积变形
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
三.地图投影的变形 ——地图投影分析
3 0
• 角度变形：
– 投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相 应的两方向线夹角之差，称为角度变形。 – 以ω表示角度最大变形。
1 4 • 所有经线圈都是通过两极的大圆；长度相等；
• 所有纬线除赤道是大圆外，其余都是小圆，并且 从赤道向两极越来越小，极地成为一点。
三.地图投影的变形 ——地球仪上经纬网的特点
1 5 • 经线和纬线是相互垂直的。 ——角度 • 纬差相等的经线弧长相等；同一条 纬线上经差相等的纬线弧长相等， 在不同的纬线上，经差相等的纬线 弧长不等，而是从赤道向两极逐渐 缩小的。 ——长度 • 同一纬度带内，经差相同的经纬线 网格面积相等，不同纬度带内，网 格面积不等，同一经度带内，纬度 越高，梯形面积越小。由低纬向高 纬逐渐缩小。 ——面积
设A点的坐标为（x、y），A′点的坐标为(x′、y′)，则
y tan x y' tan ' x'
y' x' b a y x
三.地图投影的变形 ——地图投影分析
3 1
by b tan ' tan ax a
将上式两边各减和加 tan 即：
b b tan tan ' tan tan (1 ) tan a a b b tan tan ' tan tan (1 ) tan a a sin( ') a b tan 将两式相除，得： cos cos ' a sin( ') a b sin( ') a b
• （主比例尺与局部比例尺）
–面积变形(Vp)：(微分圆)面比P与1的差值
–角度变形：投影后与投影前角度之差ω
• 变形的表示：变形椭圆、等变形线
三.地图投影的变形 ——等变形线
2 2
• 等变形线： –就是变形值相等的各点的连线，它是根据计算 的各种变形的数值（如p,w）绘于经纬线网格 内的，如面积等变形线。 – 常用等变形线来表示制图区域的变形分布特征
四.地图投影的分类 ——按变形性质分类
4 1
形状不变
四.地图投影的分类 ——按变形性质分类
4 2
等角投影
等积投影
等距投影
任意投影
四.地图投影的分类
4 3
按变形性质分为：
等积投影、等角投影、任意投影
按承影面的形状分为：
方位投影、圆锥投影、园柱投影
按承影面与地轴的关系分为：
正轴投影、横轴投影、斜轴投影
物体
承影面
（投）影
一.地图投影的概念
7
•概念
–地图投影就是在球面与平面之间建立其经纬度 与直角坐标函数关系的数学方法
• 实质
– 是研究将地球椭球面上的经纬线网按照一定的 数学法则转移到平面上的方法及其变形问题。
球 面
平面
F(,)=f(x,y)
二.地图投影的基本方法
8
–几何透视法 –数学解析法
长轴方向（极大值）a
短轴方向（极小值）b
经线方向 m ；纬线方向 n 统称 主方向
据阿波隆尼定理，有 m2 + n2 = a2 + b2
m· n· sinq = a· b
三.地图投影的变形 ——地图投影分析
2 6
• 地图投影分析：借助变形椭圆和微小圆的 比较，说明变形的性质和大小。
– 椭圆半径与小圆半径的比较——长度变形； – 椭圆面积与小圆面积的比较——面积变形；
1
目录：
2
一、地图投影的概念 二、地图投影的基本方法
三、地图投影的变形
四、地图投影的分类 五、地图投影的命名
一.地图投影的概念
3
地图表面和地球球面的矛盾
一.地图投影的概念
4
一.地图投影的概念
5
一.地图投影的概念
6
地图投影是在几何投影基础上发展起来的 数学上的几何投影－－透视原理
灯源
三.地图投影的变形 ——投影后地图的经纬网特点
1 6
三.地图投影的变形 ——投影后地图的经纬网特点
1 7
1 8
方 位 等 积 投 影
1 9
等积圆锥投影
2 0
等角圆锥投影
三.地图投影的变形 ——分类与表示
2 1
• 变形的分类
Hale Waihona Puke Baidu–长度变形(Vμ) • （微分线段）长度比μ
• （投影后与投影前之比）与1的差值
• 变形是必然的－－球面不可展
• 没有变形的投影是不存在的
• 制图时：
–有些投影图上没有角度或面积变形
–有些投影图上沿某一方向无长度变形
三.地图投影的变形 ——地图投影变形的概念
1 3
把地图上和地球仪上的经纬线网进行比较， 可以发现变形表现在三个方面：
– 长度 – 面积 – 角度
三.地图投影的变形 ——地球仪上经纬网的特点
按承影面与地表的关系分为：
切投影、割投影
几 何 投 影
按投影条件分为：——非几何投影
伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影、多圆锥投影
五.地图投影的命名
4 4
根据几何投影的几个特性组合命名 例：横轴等积方位投影、正轴等角割圆锥投影、 正轴等角切圆柱投影（墨卡托Mercator投影）
N N N
三.地图投影的变形 ——地图投影分析
3 2 显然当（ + ‘）= 90°时，右端取最大值，则 最大方向变形：
a b sin( ') sin( ') ab
a b sin( ') 以表示角度最大变形： ab ' (180 2 ') (180 2 ) 2( ')
四.地图投影的分类 ——伪圆锥投影
3 8
• 伪圆锥投影：在圆锥投影基础上，根据某些条件 改变经线形状而成，无等角投影。除中央经线为 直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。
四.地图投影的分类 ——多圆锥投影
3 9
• 多圆锥投影：设想有更多的圆锥面与球面相切， 投影后沿一母线剪开展平。纬线投影为同轴圆弧， 其圆心都在中央经线的延长线上。中央经线为直 线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线。
S
S
S
正轴 切园柱投影
横轴 割园锥投影
斜轴 切方位投影
4 5
2 4
X' m X
2
Y' n Y
2
代入： X + Y = 1，得
X' Y' 2 1 2 m n
2
2
微小圆 → 变形椭圆
该方程证明：地球面上的微小圆，投影后通常 会变为椭圆，即：以O'为原点，以相交成q角的 两共轭直径为坐标轴的椭圆方程式。
三.地图投影的变形 ——变形椭圆
2 5
特别方向： 变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向
三.地图投影的变形 ——变形椭圆
2 3
• 变形椭圆：
– 取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响， 把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为 椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变 形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。
Y' X' n 为纬线长度比 m 为经线长度比； Y X
三.地图投影的变形 ——变形椭圆