二次函数应用题选讲PPT课件
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二次函数的应用课件ppt课件ppt课件ppt
要点一
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
中考数学专题：二次函数应用专题(共17张ppt)
解：当S＝288时
s
－2(x－15)2＋450＝288
500
450
∴x1＝6，x2＝24
400 300
288
当S≥288时，
200
由图象可知 6≤x≤24. 又∵墙长为36m，
100
6
24
O 5 10 15 20 25 30 x
∴ 12≤x<30
综上所述：12≤x≤24.
变式5.如图，若将60m的篱笆改为79m，墙长为36m， 为了方便进出，在平行于墙的一边开一个1m宽的门. (1)求菜园的最大面积；(2)若菜园面积不小于750m2，求 x的取值范围.
解：设矩形垂直墙的一边为xm，
则平行墙的一边为(60－2x)m.
S＝(60－2x)x＝－2x2＋60x
s
＝－2(x－15)2＋450
500
450
400
∵x>0且60－2x>0，∴ 0<x<30 300
Hale Waihona Puke ∵a＝－2<0， ∴S有最大值
200 100
当x＝15时，S的最大值是450m2 O
则：60－2x＝30(m)
墙20m
解：S＝(60－2x) x＝－2x2＋60x
＝－2(x－15)2＋450
s
∵x>0且0<60－2x≤20
500
450
∴ 20≤x<30
400 300
∵a＝－2<0，对称轴x=15.
200
∴当x>15时，S随x的增大而减小. 100
∵20≤x<30，
O 5 10 15 20 25 30 x
∴当x＝20时，S的最大值是400m2.
二次函数的简单应用PPT
经济学中收益与成本分析
总收益与总成本模型
01
在经济学中，总收益和总成本往往可以表示为产量的二次函数，
通过分析这些函数可以找出最大利润点。
边际收益与边际成本
02
利用二次函数的导数表示边际收益和边际成本，进而分析企业
的盈利状况。
价格与需求关系
03
在某些情况下，价格与需求之间的关系可以近似为二次函数，
通过分析这种关系可以制定合适的定价策略。
运动学问题中速度与时间关系
1 2
匀加速直线运动
根据匀加速直线运动的速度与时间关系，构建二 次函数模型求解位移、速度等参数。
竖直上抛运动
利用竖直上抛运动的速度、时间和高度之间的关 系，建立二次函数模型分析运动过程。
3
曲线运动中的速度与时间关系
在某些曲线运动中，速度与时间的关系可以近似 为二次函数，从而进行求解和分析。
在给定速度、距离等条件下，通过二次函数模型求解使得时间最短 的运动方案。
06 总结与展望
二次函数简单应用知识点总结
二次函数的对称轴
$x = -frac{b}{2a}$。
二次函数的判别式
$Delta = b^2 - 4ac$，用于 判断二次方程的根的情况。
二次函数的一般形式
$f(x) = ax^2 + bx + c$，其 中 $a neq 0$。
周长问题
对于某些特定形状的几何图形（如抛物线型、椭圆型等），可以通过二次函数表示其周长 ，并讨论周长的性质和最值问题。
综合应用
结合多种几何图形和二次函数的性质，可以解决更复杂的面积、周长等问题，如最优布局 、路径规划等实际问题。
05 二次函数在优化问题中的 应用
二次函数ppt课件
22.1.1 二次函数
年 级：九年级 学 科：数学（人教版）
1.函数的定义：
3.一元二次方程的一般形式是什么？
2．一次函数的定义是什么？
知识回顾
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？
实际问题
归纳、抽象
数学模型
（1） 写出 <m></m> 与 <m></m> 的函数关系式；
（2） 当 <m></m> 时，求 <m></m> 的值.
解：（1）其中一直角边长为 <m></m> ，则另一直角边长为 <m></m> ，依题意得 <m>
（2）当 <m></m> 时， <m></m> .
引入新课
观察这三个函数关系式有什么共同特点？
1.都有两个变量2.整式3.自变量最高次数是2次
讲授新课
二次函数的概念
二次
一元二次方程？
一次？
总结
二次函数的概念
陋室铭
例1:判断下列函数中，哪些是二次函数？若是二次函数，请指出二次项系数、一次项系数、常数项。
×
×
×
×
√
×
√
√
例题讲解
函数
二次项系数
布置作业
3、如图，在 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> , <m></m> .动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动;动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动.如果 <m></m> , <m></m> 两点同时出发，那么 <m></m> 的面积 <m></m> 随出发时间 <m></m> 如何变化?写出函数关系式.
年 级：九年级 学 科：数学（人教版）
1.函数的定义：
3.一元二次方程的一般形式是什么？
2．一次函数的定义是什么？
知识回顾
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？
实际问题
归纳、抽象
数学模型
（1） 写出 <m></m> 与 <m></m> 的函数关系式；
（2） 当 <m></m> 时，求 <m></m> 的值.
解：（1）其中一直角边长为 <m></m> ，则另一直角边长为 <m></m> ，依题意得 <m>
（2）当 <m></m> 时， <m></m> .
引入新课
观察这三个函数关系式有什么共同特点？
1.都有两个变量2.整式3.自变量最高次数是2次
讲授新课
二次函数的概念
二次
一元二次方程？
一次？
总结
二次函数的概念
陋室铭
例1:判断下列函数中，哪些是二次函数？若是二次函数，请指出二次项系数、一次项系数、常数项。
×
×
×
×
√
×
√
√
例题讲解
函数
二次项系数
布置作业
3、如图，在 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> , <m></m> .动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动;动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动.如果 <m></m> , <m></m> 两点同时出发，那么 <m></m> 的面积 <m></m> 随出发时间 <m></m> 如何变化?写出函数关系式.
二次函数的应用ppt课件
②根据题意，得绿化区的宽为
= （x-20）（m），
∴y=100×60-4x（x-20）.又 ∵28≤100-2x≤52，∴24≤x≤36. 即 y 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围为 y=-4x2+80x+6 000 （24≤x≤36）；
-7-
2.4 二次函数的应用
（2）y=-4x2+80x+6 000=-4（x-10）2+6 400. ∵a=-4＜0，抛物线的开口向下，对称轴为直线 x= 10. 当 24≤x≤36 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 x=24 时，y 最大=5 616，即停车场的面积 y 的最大值为 5 616 m2； （3）设费用为 w. 由题意，得 w=100（-4x2+80x+6 000）+50×4x（x- 20）=-200（x-10）2 +620 000， ∴ 当 w=540 000 时，解得 x1=-10，x2=30. ∵24≤x≤36，∴30≤x≤36，且 x 为整数， ∴ 共有 7 种建造方案． 题型解法：本题是确定函数表达式及利用函数的性质设计工程方案的问题. 解题过程中应理解：（1）工程总造价是绿化区造价和停车场造价两部分的和； （2）根据投资额得出方程，结合图象的性质求出完成工程任务的所有方案.
（1）解决此类问题的关键是建立恰当的平面直角坐标系； 注意事项
（2）根据题目特点，设出最容易求解的函数表达式形式
-9-
2.4 二次函数的应用
典题精析 例 1 赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系， 其函数的关系式为 y=- x2，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 m 时，水面宽 度 AB 为 （ ） A． -20 m B． 10 m C． 20 m D． -10 m
二次函数应用(共7张PPT)
∵x>0且0.5(8-3x)>0 斜边长有最小值y=
,
∴0<x<8/3 (8-3x)/2 ∴0<x<8/3
解：设窗框的一边长为x米，
,(属于0<yx<=8/03的.范5围()8-3x)x=-1.5x2+4x (0<x<8/3)
⑵5(8又-3若x∵)-x4=a≤-x1≤.=-3，-1该.函5数<的最0大,值∴、二最小次值分函别为数（的值）有、（最大）值。
4
最小值分别为（ 所以：当x＝1时，(属于0<x<2的范围)
5(8-3x)x=-1.
）、
2
13 （ ∵x>0且0.
）。
7
0
x
-4 -2
2
求函数的最值问题，
应注意对称轴是否在自变量的取值范围内。
第3页，共7页。
图中窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆,下部分是矩形.如 果制作一个窗户边框的材料的总长度为8米,那么如何设计这个窗户边 框的尺寸,使透光面积最大?(结果精确到0.01米)
解:设半圆的半径为x米，如图，矩形的一边长为y米，
根据题意，有5x+πx+2x+2y=8,
y π+7 y ＞0 即： =4－0.5( 所以：当x=2时，y 达到最大值为4.
∴0<x<8/3
)x
8 解：设窗框的一边长为x米，
又因为： ＞0且x
x
所以： 4－0.5(π+7)x＞0 则：0＜x＜ 2、用长为8米的铝合金制成如图窗框，一边靠2cm的墙问窗框的宽和高各为多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
4a
第2页，共7页。
二次函数应用PPT课件
(1) 求抛物线的解析式；有几种方法？
(2)若点P是抛物线上位于X轴上方的一个动点， 求ΔABP面积的最大值。
例4: 抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0） 两点，与y轴交于点C（0，3），
（1）若点M是抛物线上一个动点（除C点
外），求使S △ABM=S △ABC成立的点M的坐标.
(2)、在过B、C点的直线上取一
=-2 x 2+(a+b)x
B
ab
x=
4
例2:如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，点P、Q分别从A、C两
点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知点P沿射线AB运
动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线相交于点D。
(1)设 AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式；
(2)当AP的长为何值时，S△PCQ= S△ABC
示的坐标系，其函数的解析式为y= - 1 x2 ， 当水位线在AB位
25
置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h是（ ）
A、5米
B、6米； C、8米； D、9米
D
y
0
h
x
A
B
问题3如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相同
的抛物线落下。建立如图所示的坐标系，如果喷头所在处A（0，
二次函数的应用
问题1：如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围
成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面
积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
解： (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
(2)若点P是抛物线上位于X轴上方的一个动点， 求ΔABP面积的最大值。
例4: 抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0） 两点，与y轴交于点C（0，3），
（1）若点M是抛物线上一个动点（除C点
外），求使S △ABM=S △ABC成立的点M的坐标.
(2)、在过B、C点的直线上取一
=-2 x 2+(a+b)x
B
ab
x=
4
例2:如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，点P、Q分别从A、C两
点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知点P沿射线AB运
动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线相交于点D。
(1)设 AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式；
(2)当AP的长为何值时，S△PCQ= S△ABC
示的坐标系，其函数的解析式为y= - 1 x2 ， 当水位线在AB位
25
置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h是（ ）
A、5米
B、6米； C、8米； D、9米
D
y
0
h
x
A
B
问题3如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相同
的抛物线落下。建立如图所示的坐标系，如果喷头所在处A（0，
二次函数的应用
问题1：如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围
成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面
积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
解： (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
二次函数的应用ppt课件
∴Q的坐标为(4,0);∠GCF=90°不存在,
综上所述,点Q的坐标为(4,0)或(9,0).
2.4
二次函数的应用(2)
北师大版 九年级数学下册
目
录
00 名师导学
01 基础巩固
02 能力提升
C O N TA N T S
数学
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◆ 名师导学 ◆
知识点 最大利润问题
(一)这类问题反映的是销售额与单价、销售量以及利润与每
(3)存在.∵y= x +2x+1= (x+3) -2,∴P(-3,-2),
3
3
∴PF=yF-yP=3,CF=xF-xC=3,
∴PF=CF,∴∠PCF=45°.
同理,可得∠EAF=45°,∴∠PCF=∠EAF,
∴在直线AC上存在满足条件的点Q.
设Q(t,1)且AB=9 2,AC=6,CP=3 2.
∵以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似,
数学
返回目录
①当△CPQ∽△ABC时,
+6 3 2
∴ = ,∴ = ,∴t=-4,∴Q(-4,1);
6
9 2
②当△CQP∽△ABC时,
+6 3 2
∴ = ,∴ = ,∴t=3,∴Q(3,1).
9 2
6
综上所述,在直线AC上存在点Q,使得以C,P,Q为顶点的三角形
数学
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◆ 基础巩固◆
一、选择题
1.在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为 x(0<x<1)的小
正方形,如果设剩余部分的面积为y,那么y关于x的函数表达式
B
为
(
)
2
2
二次函数的应用经典ppt课件
轴两个交点坐标求。
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
二次函数的交点式
已知二次函数的图象与x轴交于（－2，0）和 （1，0）两点，又通过点（3，－5）， 求这个二次函数的解析式。 当x为何值时，函数有最值？最值是多少？
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
专题一： 待定系数法确定二次函数
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
最值应用题——运动观点
在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发， 沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B
的表达式的区别与联系，你发现了什么？
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
二次函数的交点式
已知二次函数的图象与x轴交于（－2，0）和 （1，0）两点，又通过点（3，－5）， 求这个二次函数的解析式。 当x为何值时，函数有最值？最值是多少？
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
专题一： 待定系数法确定二次函数
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
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最值应用题——运动观点
在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发， 沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B
的表达式的区别与联系，你发现了什么？
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第4讲二次函数的应用题复习课件(共60张PPT)
图1－4－4
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
解：(1)∵y＝ax2＋bx－75的图象经过点(5，0)，(7，16)， ∴4295aa＋＋75bb－－7755＝＝106，， 解得ab＝ ＝－20，1， 即y＝－x2＋20x－75＝－(x－10)2＋25， ∴当销售单价为10元时，最大利润为25元． (2)∵x＝10为抛物线的对称轴，且(7，16)在抛物线上， ∴(13，16)也在该抛物线上， ∴当7≤x≤13时，销售利润不低于16元．
令 x＝－1，∴m＝14×(－1)2—4＝－145，∴C－1，－145. ∵点 C 关于原点的对称点为 D，∴D1，145，∴CE＝DF＝ 145， S△BCD＝S△BOD＋S△BOC＝＝12OB·DF＋12OB·CE ＝12×4×145＋12×4×145＝15(m2)， ∴△BCD 的面积为 15 m2.
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
3．某种商品每天的销售利润y(元)与销 售单价x(元)之间满足关系y＝ax2＋bx－75， 其图象如图1－4－4所示．
(1)销售单价为多少元时，该种商品每 天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)销售单价在什么范围时，该种商品 每天的销售利润不低于16元？
大师导航 归类探ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 自主招生交流平台 思维训练
1．如图1－4－2，排球运动员站在O处练习发球，将球 从点O正上方2 m的点A处发出，把球看成点，其运行的高度 y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知 球网与原点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界点 的水平距离为18 m.
【思路生成】(1)设t与x的函数关系式为t＝kx＋b，将x＝ 38，t＝4；x＝36，t＝8分别代入求出k，b，即可得到t与x之 间的函数关系式．
二次函数的应用(公开课)精选PPT
度如何表示？
AD 40X 30 40
3 AD (40x)
4
M
(2)设矩形的面积为y,求y与x的函数关系式 D
C
30cm
并直接写出x的取值范围？ 当x取何值时,y的最大值是多少?
┐
A
B
N
40cm
y3(4 0x)x3(x2)0 230（0 0 ＜ x ＜ 40）
4
4
∴当x=20时，y的最大值是300
19
QB=x cm
则 y=1/2 x（8-2x）
P
= -（x - 2）2 + 4
（0<x<4）
C
Q
B
所以，当P、Q同时运动2秒后ΔPBQ的面积y最
大 最大面积是 4 cm2
25
一、学前准备
2、观察下列图形，指出如何求出阴影部分的面积
交点三角形
顶
点三 角 形
选择坐标轴上的边作为底边
26
二、重点知识
SAB CSAB DSCBD
H
F 6 =-2x2 + 16x
A
E
=-2（x-4）2 + 32
B
（0<x<6） 1 0 所以当x=4时，花园的最大面积为3222
2、探究活动: 已知有一张边长为10cm的正三角形纸板，
若要从中剪一个面积最大的矩形纸板， 应怎样剪？最大面积为多少？
Aห้องสมุดไป่ตู้
D BK
E
FC
23
如图，在ΔABC中，AB=8cm，BC=6cm，
活动一：
（1）将二次函数 y= -2x2-4x+8 化为顶点式。
y= -2（x+1）2+10
《二次函数》参考PPT课件
y=kx(k≠0),
反比x2+bx+c(a≠0).
可以发现,这些函数的名称都反映了函数 表达式与自变量的关系.
布置作业
• 预习下一章节
x
即： y =-2x2+40x (0<x<20) m
y m2
x m
当x＝12m时，菜园的面积为：（40-2x ）m
y =-2x2+40x＝-2×122+40×12
＝192（m2）
在实践中感悟
横看成岭侧成峰，远近高低各不同
——变换角度分析问题
若函数y=x2m+n － 2xm-n+3是以x为自变量的二次函 数，求m、n的值。
这种产品的原产量是20 t, 一年后的产量是 20(1+x) t,再经过一年后的产量是 20(1+x)2 t,即两年
后的产量为 y 201 x2
即 y 20 x2 40x 20③
③式表示了两年后的产量y与计划增产 的倍数x之间的关系,对于x的每一个值 , y都有一个对应值,即y是x的函数.
观察
场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛
是同一场比赛，所以比赛的场次数
m 1 n(n 1) 2
即
m1n21n 22
②
②式表示比赛的场次
数m与球队数n的关系,对
于n的每一个值,m都有一
个对应值,即m是n的函数
.
问题：
问题2 某种产品现在的年产量是20 t,计划今后两年增加产量
.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产 量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？
3.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.
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C2(0.2,0), C4(0.6,0),B1(-0.6,y1), B2(-0.2,y2), B3(0.2,y3),
B4(0.6,y4)∵B1、B2、B3、B4在函数 ∴y1=y4=0.32,y2=y3=0.48
y
1 2
x2
1 2
所以20总20年长10度月2日为(0.32+0.48)×100=80（m）
2020年10月2日
3
4.一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线y1x2 3.5 5
运行，然后准确落入篮框内.已知篮框中心离地面的距离 为3.05m. (1)球在空中运行的最大高度为多少m? (2)如果该运动员跳投时，球出手离地面高度为2.25m,请 问它距离篮框中心的水平距离是多少?
答案: (1)顶点(0,3.5)，所以球在 空中运行的最大高度为3.5m (2) 当y=3.05时，x= 1.5 因 x>0，所以x=1.5 当y=2.25时，x= 2.5因为x<0， 所以x=-2.5，所以水平距离为 |1.5|＋|－2.5|=4m。
2020年10月2日
7
喷泉与二次函数
解:(1)如图,建立如图所示的坐标系,根据题意得,A点坐标
为(0,1.25),顶点B坐标为(1,2.25).
y
●B(1,2.25)
●A(0,1.25)
数学化
●
D(-2.5,0) O
●x
C(2.5,0)
设抛物线为y=a(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式 为:y=-(x-1)2+2.25.
20பைடு நூலகம்0年10月2日
5
解:
(1)
∵抛物线 y25(x2)22 6 53
的顶点坐标为( 2 , 2 ),
53
∴ 运动员在空中运动的最大高度离水
面为10 2 米.
3
(2)当运动员距池边的水平距离为3 3 米
5
时，即 x3328 时，y25 (82)2216 .
55
65 5 3 3
此时，运动员距水面的高为: 1016145
解: (1)设抛物线解析式为y=ax2+c(a≠ 0)
由图可得:B(0,0.5)，A(-1,0)，
∴ c 0.5 a c 0
解之得 a 1,c 1
22
∴ y 1 x2 1
22
(2)由图得A（－1,0)，C(1,0)，
所以x的取值范围为-1≤ x ≤ 1
(3) ∵ 每段护栏的间距为0.4m，∴ C1(-0.6,0), C2(-0.2,0),
因此，此次试跳会出现失误. 3 3
2020年10月2日
6
6 如图所示,桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面 处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷 头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流 形状较为漂亮,要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大 高度2.25m. (1)如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少m,才能使喷出 的水流不致落到池外？ (2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为3.5m,要使 水流不落到池外,此时水流的最大高度应达到多少m(精确到0.1m)？
由此可知,如果不计其它因素,那么水流的最大高度应达到约3.72m.
2020年10月2日
9
7 如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角 坐 标 系 , 左 面 的 一 条 抛 物 线 可 以 用 y=0.0225x²+0.9x+10 表 示,而且左右两条抛物线关手y轴对称．
1.有一抛物线形的拱形桥，其解析式为y=ax2,桥拱跨度为 12m，桥高4m.按规定，通过该桥下的载货车最高处与桥拱之 间的距离CD不得小于0.5m.今有一辆宽为3m，m(载货最高处 与地面AB的距离)的货车能否通过此桥孔?为什么?
由题意知y=ax2过点(6,-4)
a1
9
∴
抛物线的解析式为
y
1 9
x2
∴当x=1.5y＝-0.25，即C离桥面 0.25m。
∵ DE=3.0m， ∴CD=4-0.25-3.0=0.75>0.5 ∴能通过
2020年10月2日
1
2.某公园草地的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为 牢固起见，每段护栏需按间距0.4m加设立柱。为计算所需钢 管立柱的总长度，设计人员建立如下坐标系计算。 (1)求抛物线解析式; (2)自变量x的取值范围求;(3)总长度。
当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0);同理,点D的坐标为 (-2.5,0).
根据对称性,如果不计其它因素,那么水池的半径至少要
2.52m0,20才年1能0月使2日喷出的水流不致落到池外.
8
喷泉与二次函数
解:(2)如图,根据题意得,A点坐标为(0,1.25),点C坐标为(3.5,0).
yx112 729 7 196
y
●B(1.57,3.72)
●A(0,1.25)
数学化
●
D(-3.5,0) O
●x
C(3.5,0)
设抛物线为y=-(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式 为:y=-(x-11/7)2+729/196.
或设抛物线为y=-x2+bx+c,由待定系数法可求得抛物线表达式 为:y=-x2+22/7+5/4.
2
3.如图所示是我市一条高速公路上的隧道口在平面直角坐标
系上的示意图，点A和点A1，点B和B1分别关于y轴对称，隧 道拱部分BCB1为一段抛物线，最高点C离路面AA1的距离为8m， 点B离路面AA1的距离为6m，隧道的宽AA1为16m. (1)求隧道拱抛物线BCB1的解析式； (2)现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4m，
2020年10月2日
4
5.某跳水运动员进行10米跳台跳水训 练时,身体(看成一点)在空中的运动 路线是经过原点O的一条抛物线.在跳 某规定动作时,正常情况下,该运动员 在空中的最高处距水面32/3米,入水 处距池边的距离为4米,同时,运动员 在距水面高度为5米以前,必须完成规 定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否 则就会出现失误. (1)求这条抛物线的解析式； (2)在某次试跳中,测得运动员在空中 运动路线是(1)中的抛物线,且运动员 在空中调整好入水姿势时,距池边的 水平距离为18/5米,问此次跳水会不 会失误？并通过计算说明理由.
车载大型设备的顶部与路面距离为7m，它能否安全通过这个
隧道?说明理由.
答案:
(1)
y1x28(8x8) 32
设y=ax2+c(a≠ 0), ∵ B1(8,6),C(0,8)
∴ 6 64a c c 8
解得 a 1 ,c8
32
(2)此车能安全通过隧道，
因为当 x 142
2
y148777
32
8
时，