湘潭市中考数学压轴题总复习题

2021年湖南省湘潭市中考数学压轴题总复习解析版1．如图，边长为6的正方形ABCD中，E，F分别是AD，AB上的点，AP⊥BE，P为垂足．（1）如图1，AF＝BF，AE＝2√3，点T是射线PF上的一个动点，当△ABT为直角三角形时，求AT的长；

（2）如图2，若AE＝AF，连接CP，求证：CP⊥FP．

（1）解：在正方形ABCD中，可得∠DAB＝90°．

∵在Rt△BAE中，tan∠ABE=AE

AB

=2√36=√33，

∴∠ABE＝30°．

点T是射线PF上的一个动点，当△ABT为直角三角形时，分三种情况：①当点T在AB的上方，∠ATB＝90°，

显然此时点T和点P重合，即AT＝AP=1

2AB＝3；②当点T在AB的下方，∠ATB＝90°，

如图①所示．

在Rt△APB中，由AF＝BF，

可得：AF＝BF＝PF＝3，

∴∠BPF＝∠FBP＝30°，

∴∠BFT＝60°．

在Rt△ATB中，TF＝BF＝AF＝3，

∴△FTB是等边三角形，

∴TB＝3，AT=√AB2−BT2=3√3；

③当点T在AB的下方，∠ABT＝90°时，如图②所示．

在Rt△FBT中，∠BFT＝60°，BF＝3，BT＝BF•tan60°＝3√3．在Rt△ATB中：AT=√AB2+BT2=3√7．

综上所述：当△ABT为直角三角形时，AT的长为3或3√3或3√7；（2）证明：如图③所示，

∵四边形ABCD 是正方形，

∴AB ＝AD ＝BC ，AD ∥BC ，∠DAB ＝90°，

∴∠3＝∠4．

∵在Rt △EAB 中，AP ⊥BE ，

∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，

∴∠1＝∠3，

∴∠1＝∠3＝∠4，

∵tan ∠1=PB AP ，tan ∠3=AB AE ，

∴PB AP =AB AE ，

∵AE ＝AF ，AB ＝BC ，

∴PB AP =BC AF ，

∴△PBC ∽△P AF ，

∴∠5＝∠6．

∵∠6+∠7＝90°，

∴∠5+∠7＝90°，即∠CPF ＝90°，

∴CP ⊥FP ．

2．如图，A，B，C，D四点都在OO上，弧AC＝弧BC，连接AB，CD、AD，∠ADC＝45°．（1）如图1，AB是⊙O的直径；

（2）如图2，过点B作BE⊥CD于点E，点F在弧AC上，连接BF交CD于点G，∠FGC＝2∠BAD，求证：BA平分∠FBE；

（3）如图3，在（2）的条件下，MN与⊙O相切于点M，交EB的延长线于点N，连接

AM，若2∠MAD+∠FBA＝135°，MN=10

13AB，EN＝26，求线段CD的长．

解（1）如图1，连接BD．

∵AC

̂=BĈ，

∴∠BDC＝∠ADC＝45°，

∴∠ADB＝90°，

∴AB是圆O的直径．

（2）如图2，连接OG、OD、BD．

则OA＝OD＝OB，

∴∠OAD＝∠ODA，∠OBD＝∠ODB，

∴∠DOB＝∠OAD+∠ODA＝2∠BAD，

∵∠FGC＝2∠BAD，

∴∠DOB＝∠FGC＝∠BGD，

∴B、G、O、D四点共圆，

∴∠ODE＝∠OBG，

∵BE⊥CD，∠BDC＝45°，

∴∠EBD＝45°＝∠EDB，

∴∠OBE＝∠ODE＝∠OBG，

∴BA平分∠FBE．

（3）如图3，连接AC、BC、CO、DO、EO、BD．

∵AC＝BC，

∴AC＝BC，

∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA＝45°，CO⊥AB，

延长CO交圆O于点K，则∠DOK＝∠OCD+∠ODC＝2∠ODC＝2∠OBE＝2∠FBA，连接DM、OM，则∠MOD＝2∠MAD，

∵2∠MAD+∠FBA＝135°，

∴∠MOD+∠FBA＝135°，

∴2∠MOD+2∠FBA＝270°，

∴2∠MOD+∠DOK＝270°，

∵∠AOM+∠DOM+∠KOK＝270°，

∴∠AOM＝∠DOM，

∴AM＝DM，

连接MO并延长交AD于H，则∠MHA＝∠MHD＝90°，AH＝DH，

设MH与BC交于点R，连接AR，则AR＝DR，

∵∠ADC＝45°，

∴∠ARD＝∠ARC＝90°，△ADR是等腰直角三角形，

∴∠BRH＝∠ARH＝45°

∵∠ACR+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，

∴∠ACR＝∠CBE，

∴△ACR≌△CBE（AAS），

∴CR＝BE＝ED，

作EQ⊥MN于Q，则∠EQN＝∠EQM＝90°，

连接OE，则OE垂直平分BD，

∴OE∥AD∥MN，

∴四边形OEQM是矩形，

∴OM＝EQ，OE＝MQ，

延长DB交MN于点P，

∵∠PBN＝∠EBD＝45°，

∴∠BNP＝45°，

∴△EQN是等腰直角三角形，

∴EQ＝QN=√2

2EN＝13√2，