专题五 方案设计

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ath 7.如图，一圆柱母线AB长为5cm，BC是底面直径，设底面半径长度为
acm，求点P从A点出发沿圆柱表面移动到点C的最短路线.
方案设计 某班数学兴趣小组设计了两种方案：
图 1 是方案一的示意图，该方案中点 P 的移动路线的长度为 l1 ，则 l1=
产开始后，调研部门发现： 1名熟练工人和 2名新工人每月可安装 8 辆 电动汽车；2名熟练工人和3名新工人每月可安装14辆电动汽车.
（1）每名熟练工人和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽 调的熟练工人刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人
400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%. (1)今年A型车每辆售价多少元？(用列方程的方法解答) (2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数 量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：
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4.如图，在正方形网格中有一边长为 4的平行四边形ABCD，请将其剪 拼成一个有一边长为6的矩形.(要求：在图中画出裁剪线即可)
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ath 5.在一次数学兴趣小组活动课上，老师出了这样一道题：“要在长4米， 宽3.5米的一块矩形地面上植树苗，要求株距为1米，并且假设边界上 可以种树，请问应怎样排列，可使所植树苗最多？” 很快小丽设计出了一种方案 (如图1)，但爱动脑筋的小明说：“老师， 我还有一种方案，所植树苗可比她更多……”
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(2)设今年新进A型车a辆，则B型车(60-a)辆，获利y元.由题意，得
y=(1600-1100)a+(2000-1400)(60-a)，
即y=-100a+36000. ∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍， ∴60-a≤2a，∴a≥20. ∵y=-100a+36000，-100＜0， ∴y随a的增大而减小. ∴当a=20时，y最大=34000. ∴B型车的数量为60-20=40（辆）. 答：新进A型车20辆，B型车40辆，才能使这批车获利最多.
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解答下列问题：
(1)填空：小丽的方案可植树苗
棵;
(2)请你把小明同学说的方案设计出来(在图2中画出示意图)，并说明理 由.
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6.在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室 .现有平行四 边形 ABCD 的邻边长分别为 1 ， a(a ＞ 1) 的纸片，先剪去一个菱形，余 下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个 四边形……依此类推，请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的 各种示意图，并求出a的值.
∵40,6y都是偶数，
∴5x也是偶数，∴x是偶数. ∴ x=2或8 ,即有
2
种分组方案.
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焦点2
例2
利用一元一次不等式设计最优方案
2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁悬
浮线正式开通运营，该线路连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大 交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将会给乘客 带来美的享受.星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派 出大、小两种型号的渣土运输车运输土方.已知2辆大型渣土运输车与3 辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小 型渣土运输车一次共运输土方70吨. (1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？ (2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与运 输土方，若每次运输土方总量不小于148吨，且小型渣土运输车至少 派出2辆，则有哪几种派车方案？ 中考2号·河北专版
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河北怎么考
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焦点1
例1
利用方程的有关知识设计方案
为推进课改，王老师把班级里40名学生分成若干小组，每
小组只能是5人或6人，则分组方案有（ C ） A.4种 B.3种 C.2种 D.1种
［解析］根据总人数为40人，被分成若干小组，建立方程，利用二元 一次方程的整数解设计方案. 设5人和6人组分别有x组,y组,则 5x+6y=40.
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解题方法要旨
1.有关代数的方案设计问题：
（1）多利用二元一次方程的整数解； （2）利用一元一次不等式； （3）不等式与一次函数结合，给出最优方案. 2.有关几何的方案设计问题： （1）几何背景下的作图设计是利用图形性质设计符合要求的新图形， 考生由于对性质不能灵活运用，而感觉较难，往往没有思路； （2）方案设计问题又常常利用全等、相似或三角函数的计算来解决， 这类题难度不大，把实际问题转化成相应的相似、三角函数等数学问 题后，就会迎刃而解. 中考2号·河北专版
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焦点6
例6
利用图形的性质设计图案
下列Leabharlann Baidu×3网格都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中
有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列 要求涂上阴影： （ 1 ）选取1 个涂上阴影，使 4个阴影小正方形组成一个轴对称图形， 但不是中心对称图形； （ 2）选取1 个涂上阴影，使 4个阴影小正方形组成一个中心对称图形， 但不是轴对称图形；
ath 延伸拓展 在一般情况下，设圆柱的底面半径为rcm，高为hcm. (1)若l21=l22，求h与r之间的关系； (2)假定r取定值，那么h取何值时，l1＜l2? (3)假定r取定值，那么h取何值时，l1＞l2?
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请完成《练测本》P70~71专题练测五
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专题五 方案设计
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河北考什么
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河北中考热点命题展望
方案设计问题，在全国各地的中考卷里，无论是解答题，还是选 择、填空题，都是常常出现的.河北各地中考模拟中，这类题也为命题 人所喜欢.在近几年中考说明里曾多处涉及，如：不等式与优化设计； 相似或三角函数的计算与决策；利用图形性质设计方案 .这类题难度不 大，然而由于它与实际结合多，学生生活经验少，常常读不懂题，因 此丢分.
（3）选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形.
（请将三个小题依次作答在图 1 、图 2、图3 中，均只需画出符合条件 的一种情形）
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［分析］(1)方案1，在Rt△AGE中，依据正切函数求得 AG的长，进而
求得 DG 的长，然后与汽车的宽比较即可；方案 2 ，在 Rt △ ALH 中，依
据正切函数求得AL的长，进而求得DL的长，然后与汽车的长比较即可. （ 2 ）让汽车平行于 AB停放，作矩形 MNQP内接于四边形ABCD ，依 据正弦函数和余弦函数求得矩形的长和宽，然后与汽车的长与宽比较 即可.
（5+2a）cm；
图2是方案二的示意图，设l2是把圆柱沿AB侧面展开后线段AC的长度，
则l2= 中考2号·河北专版 cm(保留π).
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计算探究
（1）当a=3时，l1
＞
l2(填“＞”“=”或“＜”)； l2(填“＞”“=”或“＜”).
（2）当a=4时，l1 ＜
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当每套楼房赠送装修基金多于10560元时，选择方案一更加合算；
当每套楼房赠送装修基金等于10560元时，两种方案购房款一样； 当每套楼房赠送装修基金少于10560元时，选择方案二更加合算.
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3.山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某
车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低
如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6,将该矩形纸片剪去
3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（ C） A.6 B.3 C.2.5 D.2
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［解析］将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形的方案很多，所有方案 中，尽可能地剪出大的等腰直角三角形，比如下面给出的两种方案： 左图剩余部分的面积是 3 ；右边剩余部分的面积是 2.5 .
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课堂小练
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1. 某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装 240辆.由 于抽调不出足够的熟练工人来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招
聘一些新工人.他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装.生
式；
(2)老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他 计算哪种优惠方案更加合算.
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ath (2)当x=16时，按方案一每套楼房总费用为 w1=120(50×16＋3600)×92%-a=485760-a； 按方案二每套楼房总费用为 w2=120(50×16＋3600)×90%=475200. ∴当w1＜w2，即485760-a＜475200时，a＞10560； 当w1=w2，即485760-a=475200时，a=10560； 当w1＞w2，即485760-a＞475200时，a＜10560. 因此：
的招聘方案？
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（2）设调熟练工人m名.由题意,得 12（4m+2n）=240，即n+2m=10. ∵0＜n＜10，n为偶数，m为正整数，∴当n=2，4，6，8时，m=4， 3，2，1. ∴工人有4种招聘方案： ①调熟练工人1名，新工人8名；②调熟练工人2名，新工人6名；③调 熟练工人3名，新工人4名；④调熟练工4名，新工人2名.
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焦点3
例3
利用一次函数的性质给出最好方案
现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展.小
明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合 适.甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1 千克，超过的部分按每千克15元收费.乙公司表示：按每千克16元收费， 另加包装费3元.设小明快递物品x千克. （1）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x （千克）之间的函数关系式； （2）小明选择哪家快递公司更省钱？
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ath 2.新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售 .某楼盘共23层，销售 价格如下：第八层楼房售价为 4000 元／米2 ，从第八层起每上升一层， 每平方米的售价提高 50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价 降低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120米2. 若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案： 方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元装修基金； 方案二：降价10%，没有其他赠送. (1)请写出售价y(元／米2)与楼层x(1≤x≤23，x取整数)之间的函数关系
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焦点4
例4
利用三角形相似或全等解决方案设计问题
运用三角形的知识，请你设计一个方案测量一条河流的宽度
AB(画出示意图，并简要说明理由).
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焦点5
例5
作图——应用与设计作图