第三章 工业机器人静力计算及动力学
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机器人技术课件：工业机器人静力计算及动力学分析共43页文档
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
Байду номын сангаас
机器人技术课件：工业机器人静力计 算及动力学分析
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
Байду номын сангаас
机器人技术课件：工业机器人静力计 算及动力学分析
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
第3章工业机器人静力学及动力学分析
•
工业机器人动力学的任务
• 工业机器人动力学问题有两类： • (1)动力学正问题：已知关节的驱动力
，求工业机器人系统相应的运动参数， 包括关节位移、速度和加速度。 • (2)动力学逆问题：已知运动轨迹点上 的关节位移、速度和加速度，求出相应 的关节力矩。
•
研究工业机器人动力学的目的
• 动力学正问题对工业机器人运动仿真是 非常有用的。
•
• 图3-1所示二自由度平面关节型工业机器 人手部的速度为：
• 假如1及2是时间的函数，1=f1(t)， 2=f2(t)，则可由此式求出手部的瞬时速
度V＝f(t) 。
•
• 对于图3-1所示2R工业机器人，若令J1、
J2分别为式(3-9)所示雅可比的第一列矢量 和第二列矢量，则式(3-13)可写成：
• 通常J-1出现奇异解的情况有下面两种： • 1) 工作域边界上奇异。当臂全部伸展开
或全部折回而使手部处于工作域的边界 上或边界附近时，出现J-1奇异，这时工 业机器人相应的形位叫做奇异形位。 • 2) 工作域内部奇异。奇异也可以是由两 个或更多个关节轴线重合所引起的。
• dq＝[dq1 dq2 … dqn]T反映了关节空间的微 小运动。
• 手部在操作空间的运动参数用X表示，它 是关节变量的函数，即X＝X(q)，并且是 一个6维列矢量。
dX＝[dx dy dz x y z]T
• dX反映了操作空间的微小运动，它由工业 机器人手部微小线位移和微小角位移(微小 转动)组成。
•
3.2 工业机器人速度雅可比与速 度分析
• 3.2.1 工业机器人速度雅可比
• 数学上雅可比矩阵(Jacobian matrix)是一 个多元函数的偏导矩阵。
• 假设有六个函数，每个函数有六个变量 ，即：
工业机器人动力学的任务
• 工业机器人动力学问题有两类： • (1)动力学正问题：已知关节的驱动力
，求工业机器人系统相应的运动参数， 包括关节位移、速度和加速度。 • (2)动力学逆问题：已知运动轨迹点上 的关节位移、速度和加速度，求出相应 的关节力矩。
•
研究工业机器人动力学的目的
• 动力学正问题对工业机器人运动仿真是 非常有用的。
•
• 图3-1所示二自由度平面关节型工业机器 人手部的速度为：
• 假如1及2是时间的函数，1=f1(t)， 2=f2(t)，则可由此式求出手部的瞬时速
度V＝f(t) 。
•
• 对于图3-1所示2R工业机器人，若令J1、
J2分别为式(3-9)所示雅可比的第一列矢量 和第二列矢量，则式(3-13)可写成：
• 通常J-1出现奇异解的情况有下面两种： • 1) 工作域边界上奇异。当臂全部伸展开
或全部折回而使手部处于工作域的边界 上或边界附近时，出现J-1奇异，这时工 业机器人相应的形位叫做奇异形位。 • 2) 工作域内部奇异。奇异也可以是由两 个或更多个关节轴线重合所引起的。
• dq＝[dq1 dq2 … dqn]T反映了关节空间的微 小运动。
• 手部在操作空间的运动参数用X表示，它 是关节变量的函数，即X＝X(q)，并且是 一个6维列矢量。
dX＝[dx dy dz x y z]T
• dX反映了操作空间的微小运动，它由工业 机器人手部微小线位移和微小角位移(微小 转动)组成。
•
3.2 工业机器人速度雅可比与速 度分析
• 3.2.1 工业机器人速度雅可比
• 数学上雅可比矩阵(Jacobian matrix)是一 个多元函数的偏导矩阵。
• 假设有六个函数，每个函数有六个变量 ，即：
工业机器人静力计算及动力学ppt
应用到机器人动力学计算
将机器人的连杆和关节视为刚体，利用牛顿-欧拉方法计算各关节的力和扭矩 ，从而得到机器人的动力学行为。
基于拉格朗日方法的机器人动力学计算
拉格朗日方法
这是一种通过分析系统的动能和势能来计算动力学的方法。
应用到机器人动力学计算
利用拉格朗日方法建立机器人的动力学模型，计算各关节的力和扭矩，从而得到 机器人的动力学行为。
基于牛顿-欧拉方法的机器人静力学建模
03
工业机器人静力学的计算
刚体静力学基础
刚体的静力学基本概念
了解刚体的概念、刚体的基本形态、刚体的分类等。
刚体的静力学基本原理
掌握静力学基本原理，如力的合成与分解、力的平衡等。
工业机器人的刚体模型
工业机器人的基本结构
了解工业机器人的基本结构，如机械臂、腕部、手部等。
介绍MATLAB、Simulink的基本概念、功能及特点，以 及在机器人控制系统设计中的应用。
基于MATLAB/Simulink的机…
详细阐述利用MATLAB/Simulink进行机器人控制系统设 计的步骤和方法，包括模型建立、控制器设计、系统仿 真等。
基于ADAMS的机器人控制系统联合仿真
ADAMS软件简介
介绍ADAMS软件的基本概念、功能及特点，以及在 机器人控制系统联合仿真中的应用。
基于ADAMS的机器人控制
系统联合仿真流程
详细阐述利用ADAMS进行机器人控制系统联合仿真 的步骤和方法，包括模型建立、动力学分析、控制策 略实现等。
07
结论与展望
研究成果总结
1 2
工业机器人静力计算方法
提出了基于物理模型的静力计算方法，并验证 了其有效性。
工业机器人静力计算及动 力学ppt
将机器人的连杆和关节视为刚体，利用牛顿-欧拉方法计算各关节的力和扭矩 ，从而得到机器人的动力学行为。
基于拉格朗日方法的机器人动力学计算
拉格朗日方法
这是一种通过分析系统的动能和势能来计算动力学的方法。
应用到机器人动力学计算
利用拉格朗日方法建立机器人的动力学模型，计算各关节的力和扭矩，从而得到 机器人的动力学行为。
基于牛顿-欧拉方法的机器人静力学建模
03
工业机器人静力学的计算
刚体静力学基础
刚体的静力学基本概念
了解刚体的概念、刚体的基本形态、刚体的分类等。
刚体的静力学基本原理
掌握静力学基本原理，如力的合成与分解、力的平衡等。
工业机器人的刚体模型
工业机器人的基本结构
了解工业机器人的基本结构，如机械臂、腕部、手部等。
介绍MATLAB、Simulink的基本概念、功能及特点，以 及在机器人控制系统设计中的应用。
基于MATLAB/Simulink的机…
详细阐述利用MATLAB/Simulink进行机器人控制系统设 计的步骤和方法，包括模型建立、控制器设计、系统仿 真等。
基于ADAMS的机器人控制系统联合仿真
ADAMS软件简介
介绍ADAMS软件的基本概念、功能及特点，以及在 机器人控制系统联合仿真中的应用。
基于ADAMS的机器人控制
系统联合仿真流程
详细阐述利用ADAMS进行机器人控制系统联合仿真 的步骤和方法，包括模型建立、动力学分析、控制策 略实现等。
07
结论与展望
研究成果总结
1 2
工业机器人静力计算方法
提出了基于物理模型的静力计算方法，并验证 了其有效性。
工业机器人静力计算及动 力学ppt
《工业机器人技术及应用》教学课件—03工业机器人运动学和动力学
规定:
①列阵［a b c 0］T中第四个元素为零, 且a2+b2+c2=1, 表示某轴(或某矢量)的方向;
图3-2 坐标轴方向的描述
②列阵［a b c ω］T中第四个元素不为零, 则表示空间某点的位置。
3.1 工业机器人的运动学
例如, 在图3-2中, 矢量v的方向用(4×1)列阵表示为
其中: a=cosα, b=cosβ, c=cosγ。
当α=60°, β=60°, γ=45°时, 矢量为
3.1 工业机器人的运动学
4. 动坐标系位姿的描述就是用位姿矩阵对动坐标系原点位
置和坐标系各坐标轴方向的描述。该位姿矩阵为(4×4)的方 阵。如上述直角坐标系可描述为:
3.1 工业机器人的运动学
5. 刚体位姿的描述 机器人的每一个连杆均可视为一个刚体, 若给定了刚体
(3-1)
图3-1 点的位置描述
其中, px、 py、pz是点P的三个位置坐标分量。
3.1 工业机器人的运动学
2. 点的齐次坐标 如用四个数组成的(4×1)列阵表示三维空间直角坐标系
{A}中点P, 则该列阵称为三维空间点P的齐次坐标, 如下:
(3-2)
齐次坐标并不是惟一的, 当列阵的每一项分别乘以一个
X
同理，手部坐标系Y’与Z’轴的方向可分别用单位
矢量o和α 来表示。
手部位姿可用矩阵表达为：
3.1 工业机器人的运动学
7. 目标物位姿的描述 任何一个物体在空间的位置和姿态都可以用齐次矩阵
来表示, 如图3-5所示。楔块Q在(a)图的情况下可用6个点 描述,
图 3-5 目标物的位置和姿态描述
3.1 工业机器人的运动学
的旋转如图3-8所示。A(x, y,
机器人技术课件
项；
•
含有D211的项表示关节1速度引起的向心力对关节2的藕合力矩
项。
35
• (3)含有 1、 2的项表示由于哥氏力引起的关节力矩项 ,其中：
• 含有D112的项表示哥氏力对关节1的精合力短项； • 含有D212的项表示哥氏力对关节2的精合力矩项。
• (4)只含关节变量θ1 、 θ2的项表示重力引起的关节力矩
延长了机器人作业循环的时间。
37
• 三、关节空间和操作空间动力学 • 1.关节空间和操作空间 • n个自由度操作臂的末端位姿X由n个关节变量
所决定,这n个关节变量也叫做n维关节矢量q所 有关节矢量q构成了关节空间。而末端操作器 的作业是在直角坐标空间中进行的，即操作臂 末端位姿X是在直角坐标空间中描述的，因此 把这个空间叫做操作空间。运动学方程X=X(q) 就是关节空间向操作空间的映射，而运动学逆 解则是由映射求其在关节空间中的原像。在关 节空间和操作空间中操作臂动力学方程有不同 的表示形式，并且两者之间存在着一定的对应 关系。
• 3.操作空间动力学方程
•
与关节空间动力学方程相对应，在笛卡尔操作空
间中，可以用直角坐标变量即末端操作器位姿的矢量X
来表示机器人动力学方程。因此，操作力F与末端加速
度X之间的关系可表示为
40
• 式中Mx(q)Ux(q, )和Gx(q)分别为操作空间中的惯性 矩阵、离心力和哥氏力矢量、重力矢量,它们都是在操 作空间中表示的；F是广义操作力矢量。
•
关节空间动力学方程和操作空间动力学方程之间
的对应关系可以通过广义操作力F与广义关节力τ之间
的关系
和操作空间与关节空间之间的速度、加速度3-1所示二自由度平面关节机器人的速度雅可
第03章 机器人的运动学和动力学
教案首页课程名称农业机器人任课教师李玉柱第3章机器人运动学和动力学计划学时 3教学目的和要求：1.概述，齐次坐标与动系位姿矩阵，了解平移和旋转的齐次变换；2.机器人的运动学方程的建立与求解*；3.机器人的动力学*重点：1.机器人操作机运动学方程的建立及求解；2.工业机器人运动学方程3.机器人动力学难点：1. 机器人动力学方程及雅可比矩阵基本原理思考题：1.简述齐次坐标与动系位姿矩阵基本原理。
2.连杆参数及连杆坐标系如何建立？3.机器人动力学方程及雅可比矩阵基本原理是什么？第3章机器人运动学和动力学教学主要内容：3.2 齐次坐标与动系位姿矩阵3.3 齐次变换3.4 机器操作机运动学方程的建立与求解3.5 机器人运动学方程3.6 机器人动力学本章将主要讨论机器人运动学和动力学基本问题。
先后引入了齐次坐标与动系位姿矩阵、齐次变换，通过对机器人的位姿分析，介绍了机器人运动学方程；在此基础上有对机器人运动学方程进行了较为深入的探讨。
3.1 概述机器人，尤其是关节型机器人最有代表性。
关节型机器人实质上是由一系列关节连接而成的空间连杆开式链机构，要研究关节型机器人，必须对运动学和动力学知识有一个基本的了解。
分析机器人连杆的位置和姿态与关节角之间的关系，理论称为运动学，而研究机器人运动和受力之间的关系的理论则是动力学。
3.2 齐次坐标与动系位姿矩阵3.2.1 点的位置描述在关节型机器人的位姿控制中，首先要精确描述各连杆的位置。
为此，先定义一个固定的坐标系，其原点为机器人处于初始状态的正下方地面上的那个点，如图3-1（a）所示。
记该坐标系为世界坐标系。
在选定的直角坐标系{A}中，空间任一点P的位置可以用3×1的位置向量A P表示，其左上标表示选定的坐标系{A}，此时有A P=XYZ P P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦式中：P X、P Y、P Z—点P在坐标系{A}中的三个位置坐标分量，如图3-1（b）。
3.2.2 齐次坐标将一个n维空间的点用n+1维坐标表示，则该n+1维坐标即为n维坐标的齐次坐标．．．．。
第3章工业机器人运动学和动力学概要
第3章工业机器人运动学和动力学概要工业机器人运动学和动力学概要工业机器人是现代工业生产中的重要设备之一，它通过精确的运动控制来实现各种复杂的操作，如搬运、装配和焊接等。
在实际应用中，了解工业机器人的运动学和动力学是至关重要的。
本文将介绍工业机器人运动学和动力学的概要，以便读者对其有一个全面的了解。
1. 运动学概述工业机器人的运动学研究机器人的位置、速度和加速度之间的关系。
它涉及到坐标系的定义、机器人臂的关节角度、位置和姿态的表示等内容。
1.1 坐标系的定义工业机器人常用的坐标系有世界坐标系、基坐标系和工具坐标系。
世界坐标系是一个固定不变的参考系，用来描述物体在整个工作区域内的位置。
基坐标系是机器人臂的起始位置的参考系，它通常位于机器人基座上。
工具坐标系是机器人末端执行器的参考系，它用于描述机器人进行任务时末端执行器的位置和姿态。
1.2 关节角度、位置和姿态的表示工业机器人的姿态可以用欧拉角、四元数或旋转矩阵表示。
关节角度表示机器人各个关节的角度值，它反映了机器人臂的当前状态。
位置表示机器人末端执行器的空间位置，可以用笛卡尔坐标系或关节坐标系表示。
2. 动力学概述工业机器人的动力学研究机器人的力学特性和运动状态之间的关系。
它涉及到力学模型、运动方程和运动控制等内容。
2.1 力学模型工业机器人的力学模型是描述机器人在运动过程中所受到的力和力矩的数学模型。
常用的力学模型有刚体模型和柔性模型。
刚体模型假设机器人的各个部件都是刚性的，柔性模型考虑了机器人部件的弯曲和振动等变形情况。
2.2 运动方程工业机器人的运动方程用来描述机器人的力学特性和运动状态之间的关系。
它由动力学方程和约束方程组成。
动力学方程描述机器人关节角度、速度和加速度之间的关系，约束方程描述机器人末端执行器的位置和姿态。
2.3 运动控制工业机器人的运动控制是指通过控制机器人的电机和执行器来实现机器人的预定运动轨迹。
常用的运动控制方法有逆运动学、轨迹规划和力控制等。
1第三章机器人力学分析及动力学模型
§3.1机器人动力学
刚体的惯性张量
三维空间中自由运动的刚体是用惯性张量来描述它的质量分布和性质 的。以刚体的质心C为原点定义一个坐标系{C},惯性张量在{C}中表示为 一个3 × 3 对角矩阵。 I XX = ∫∫∫ y 2 + z 2 ρ dv I XY = ∫∫∫ xyρdv V ⎡ I XX I XY I XZ ⎤ V ⎢I ⎥ 其中 I = I YY = ∫∫∫ x 2 + z 2 ρ dv xzρdv I C = ⎢ XY I YY I YZ ⎥ XZ ∫∫∫V V I ZZ = ∫∫∫ y 2 + x 2 ρ dv ⎢ I XZ I YZ I ZZ ⎥ I YZ = yzρdv ⎣ ⎦
第三章
机器人力学分析及动力学模型
§3.1 机器人静力学分析 §3.2 机器人动力学方程 动力学概述：
1. 内容： 力——运动 2. 描述方法：一组微分方程 3. 任务：建立机器人的动力学模型 1）正模型——已知力求产生的运动 2）逆模型——已知运动求所需的力
1
§3.1机器人静力学
研究内容
机器人与环境接触时，界 面上将产生相互作用力和力矩。 机器人的每个关节都由一个 驱动器驱动，相应的输入关节 力矩通过杆件传送给末端执行 器作用在环境和对象上。 静力学讨论当机器人静止时 在驱动器扭矩和由它产生的施加在机器人末点的力和力矩之 间的关系，这对机器人的控制是重要的。
移动关节 ⎧ b j −1 =⎨ ⎩b j −1 × r j −1,ci 旋转关节
J
(i ) Aj
⎧ 0 =⎨ ⎩b j −1
移动关节 旋转关节
系统动能(3)
整理可得
1 n 1 T (i ) T ( i )T ( i ) T ( i )T T = ∑ m i q J L J L q + q J A I i J A q = q Hq 2 i =1 2
工业机器人
杆2质心k2的速度平方为
2.系统动 能
3.系统势能
4.拉格朗日函数
5.系统动力学方 程
根据拉格朗日方程
可计算各关节上的力矩,得到系统动力学方程。
三、关节空间和操作空间动力 学 1.关节空间和操作空间
n个自由度操作臂的末端位姿 X 由 n个关节变量所决定,这n个关节变 量也叫做 n 维关节矢量 q ,所有关节矢量 q 构成了关节空间。而末端操作 器的作业是在直角坐标空间中进行的,即操作臂末端位姿 X 是在直角坐标 空间中描述的,把这个空间叫做操作空间。
3.2工业机器人力雅可比与静力计算
一、机器人力雅可比
假定关节无摩擦,并忽略各杆件的重力,则广义关节力矩τ与机器人手部 端点力 F 的关系可用式τ=JTF描述，式中:JT为n×6阶机器人力雅可比 矩阵或力雅可比,并且是机器人速度雅可比J的转置矩阵。
考虑各个关节的虚位移为 δqi,末端操作器的虚位移为 δX , δX= d 及 δq=[δq1 δq2 … δqn] T δ 式中: d =[ dx dy dz]T和δ=[δx δy δz]T分别对应于末端操作器 的线虚位移和角虚位移;δq为由各关节虚位移δqi组成的机器 人关节虚位移矢量。
y1=f1(x1,x2,x3,x4,x5,x6) y2=f2(x1,x2,x3,x4,x5,x6) ┆ y6=f6(x1,x2,x3,x4,x5,x6) 将其微分,得 可写成 Y=F(X)
也可简写成 式(3-3)中的6×6矩阵 叫做雅可比矩阵。
在工业机器人速度分析和以后的静力分析中都将遇到类似的矩阵,我们称 之为机器人雅可比矩阵,或简称雅可比。下图为二自由度平面关节机器人。 端点位置x 、y与关节θ1、θ2的关系为 x=l1c1+l2c12 y=l1s1+l2s12
第3章工业机器人静力计算及动力学分析
(3.3) 称为雅可比矩阵。
第3章 工业机器人静力计算及动力学分析
以二自由度平面关节机器人为例,如图3-1所示,机器人的
手部坐标(x,y)相对于关节变量(θ1,θ2)有
(3.4)
即
(3.5)
图3-1 二自由度平面关节机器人
第3章 工业机器人静力计算及动力学分析 求微分有 (3.6) 写成矩阵为
① 工作域边界上的奇异: 机器人手臂全部伸开或全部
折回时,叫奇异形位。该位置产生的解称为工作域边界上的 奇异。 ② 工作域内部奇异: 机器人两个或多个关节轴线重合 引起的奇异。当出现奇异形位时,会产生退化现象, 即在某 空间某个方向(或子域)上, 不管机器人关节速度怎样选择, 手部也不可能动。
第3章 工业机器人静力计算及动力学分析
(3.14)
. 若已知关节上θ1与θ2是时间的函数,θ1=f1(t),θ2=f2(t), 则可 求出该机器人手部在某一时刻的速度V=f(t), 即手部瞬时速 度。反之,给定机器人手部速度,可由V=J(q)q解出相应的关 节速度，q=J-1V，式中J-1为机器人逆速度雅可比矩阵。
第3章 工业机器人静力计算及动力学分析 逆速度雅可比J-1出现奇异解的情况如下:
第3章 工业机器人静力计算及动力学分析 例3-2 由图所示的一个二自由度平面关节机械手，已知手部 端点力F=[Fx Fy]T,求相应于端点力F的关节力矩（不考虑摩 擦）。
F=[Fx Fy]T τ2 Y0 τ1 l1
Θ1
Fy l2
Θ2
F Fx τ2 Θ2=90° X0
X0
l2 Y0 Θ1=0° l1 τ1
变量,即末端操作器的位姿矢量来表示机器人动力学方程。 操作空间动力 学方程如下: (3.28)
第3章 工业机器人静力学及动力学分析
l2s12
l1s12
l2s12
(3-15)
[例3-1] 解（续）
• 已知端点速度为：
V
vx
v
y
1 0
因此，由式(3-14)可得：
12
J 1V
1 l1l2s2
l2c12 l1c1 l2c12
l2s12 1
y
1
x
2
y
2
(3-6) (3-7)
式(3-6)可简写为：
dX＝Jd
(3-8)
式中：
dX ddyx；
d
d1
d
2
• 我们将J称为图3-1所示二自由度平面关节 型工业机器人的速度雅可比，它反映了关
节空间微小运动d与手部作业空间微小位
y1 f1(x1, x2 , x3, x4 , x5, x6 )
y2
f2 (x1, x2 , x3, x4 , x5, x6 )
(3-1)
y6 f6 (x1, x2 , x3, x4 , x5, x6 )
可写成： Y＝F(X)
将其微分，得：
dy1
f1 x1
)
l2sin(1 2 )
l 2 c os (1
2)
12
ll11csoins11
l2sin(1 l2c(1
2 )1 2 )1
l2sin(1 2 )2 l2cos(1 2 )2
• 动力学逆问题对实现工业机器人实时控 制是相当有用的。
机器人静力学动力学
• 质心速度
.
.
..
x2 l1 cos1 1 l2 cos(1 2 )(12 )
.
.
..
y2 l1 sin1 1 l2 sin(1 2 )(12 )
• 质心速度:
v22
.
y
2
2
.
x22
.
.
..
.
.
..
l12 12 l22 (12 21 2 22 ) 2l1l2 cos2 (12 1 2 )
JT
例题 二自由度平面关节机器人，知端点力，略摩擦、重
力，求关节力矩。 1 0 2 90 F [FX , FY ]T
解：
J
l1s1 l2 s12
l1c1
l2c12
l2 s12
l 2 c12
JT
l1s1 l2 s12 l2 s12
l1c1 l2c12
l 2 c12
1
关节虚位移
q1
q
2
q
qq43
q5
q6
虚位移原理：
W 1q1 2q2 F1 x F2 y F3 z F4
W Tq F TP
W 0
W Tq F TP Tq F T Jq ( J T F )T q 0
( J T F )T 0
JTF
雅可比转置矩阵
• 三、静力学两类问题： • 1、 正向静力学—知各关节驱动力（力矩），求手部
端点能输出的力（力矩） 。
• 2、 逆向静力学—知手部端点作用力（力矩），求关 节需施加的力（力矩）。
• 机器人通常是逆向力学问题。
• §4—2 机器人动力学
• 一、动力学两类问题： • 1、 正向动力学—知各关节驱动力（力矩），求末端
第三章 工业机器人动力学
Step函数 Step函数是一种特殊的连接方式，在常数和函数之间起到 连接过渡的作用。普通的Step函数是三阶多项式，Step函数的 粗略形式，它的一阶导数连续，但二阶导数在x=x0，x=x1点 不连续，其表达形式为:
step(x，x0，h0，x1，h1)
式中：x：独立变量，也可以使函数表达式; x0：特殊的函数值，代表函数的起点; h0：函数的初始值; x1：特殊的函数值，代表函数的末点; h1：函数的结束值。
求解：
仿真求解器
仿真时间 仿真步长
后处理：
接触力曲线
等效弹性变形力
等效物体单侧的变形量
等效物体单侧的变形速度
分析二：
当我们要扩张的物体刚度和强度较高时，负载力逐 渐增大，液压缸输出最大力为系统额定压力，即溢流阀 的调定压力。 此时动力系统的驱动参数可设置为活塞杆的作用力： step(time,0,0,0.5,220000)
cos1 cos (1 2 ) 2 l2sin 2 l1sin 2 cos 30 cos (30-60) 4rad/s 0.5 sin (-60) 0.5 sin (-60)
实 例 讲 解
“液压破拆救援设备—液压扩张器”
因此，逆速度雅可比为：
l2s12 1 l2c12 J l c l c l s l s l1l2s2 1 1 2 12 1 12 2 12
1
(3-15)
[例3-1]
• 已知端点速度为：
解（续）
v x 1 V v y 0
•
• 从J中元素的组成可见，J矩阵的值是 1及2的函数 。
假如已知关节上 1和2 是时间 的函数，则可求出该机器人手部在 某一时刻的速度 V f (t ) ，即手部 瞬时速度。
第三章机器人静力分析与动力学
团结 信赖 创造 挑战
团结 信赖 创造 挑战
2.3.3 平面关节机器人动力学分析
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从上面推导可以看出，很简单的二自由度平面关节型 机器人的动力学方程已经很复杂，包含了很多因素， 这些因素都在影响机器人的动力学特性。对于比较复 杂的多自由度机器人，其动力学方程更庞杂，推导过 程更为复杂，不利于机器人的实时控制。故进行动力
2.3.1 欧拉方程
• 欧拉方程又称为牛顿-欧拉方程，应用欧拉方程建立机器 人机构的动力学方程是指：研究构件质心的运动使用牛顿 方程，研究相对于构件质心的转动使用欧拉方程。欧拉方 程表征了力、力矩、惯性张量和加速度之间的关系。
团结 信赖 创造 挑战来自2.3.2 拉格朗日方程
• 在机器人的动力学研究中，主要应用拉 格朗日方程建立起机器人的动力学方程。 这类方程可直接表示为系统控制输入的函 数，若采用齐次坐标，递推的拉格朗日方 程也可建立比较方便而有效的动力学方程 。
团结 信赖 创造 挑战
新员工培训课程
工作指导原则： 1、我们改变不了别人，我们改变自己 2、把每件事情做到100分 3、今天的事情今天做完 4、把坏事变成好事
团结 信赖 创造 挑战
新员工培训课程
公司对人的要求：
1、有很强的责任心、爱岗、敬业 2、有很好的专业形象 3、有能顶得住压力的能力 4、有不断迎接挑战的决心 5、有很强的团队意识和工作意愿 6、愿意接受和服从公司的管理及价值体系 7、愿意与公司共同发展 8、强调并重视积极工作态度、良好工作方法、学习能力、 发展潜力
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2.3.3 平面关节机器人动力学分析
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从上面推导可以看出，很简单的二自由度平面关节型 机器人的动力学方程已经很复杂，包含了很多因素， 这些因素都在影响机器人的动力学特性。对于比较复 杂的多自由度机器人，其动力学方程更庞杂，推导过 程更为复杂，不利于机器人的实时控制。故进行动力
2.3.1 欧拉方程
• 欧拉方程又称为牛顿-欧拉方程，应用欧拉方程建立机器 人机构的动力学方程是指：研究构件质心的运动使用牛顿 方程，研究相对于构件质心的转动使用欧拉方程。欧拉方 程表征了力、力矩、惯性张量和加速度之间的关系。
团结 信赖 创造 挑战来自2.3.2 拉格朗日方程
• 在机器人的动力学研究中，主要应用拉 格朗日方程建立起机器人的动力学方程。 这类方程可直接表示为系统控制输入的函 数，若采用齐次坐标，递推的拉格朗日方 程也可建立比较方便而有效的动力学方程 。
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工作指导原则： 1、我们改变不了别人，我们改变自己 2、把每件事情做到100分 3、今天的事情今天做完 4、把坏事变成好事
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1、有很强的责任心、爱岗、敬业 2、有很好的专业形象 3、有能顶得住压力的能力 4、有不断迎接挑战的决心 5、有很强的团队意识和工作意愿 6、愿意接受和服从公司的管理及价值体系 7、愿意与公司共同发展 8、强调并重视积极工作态度、良好工作方法、学习能力、 发展潜力
教学课件：第三章-工业机器人静力计算及动力学
建立工业机器人动力学模型的方法包括拉格朗日法、牛顿-欧拉法 等。
动力学模型参数辨识
通过实验数据对工业机器人动力学模型参数进行辨识，以提高模型 精度。
控制器设计
基于工业机器人动力学模型，设计控制器以实现精确的运动控制。
04 工业机器人控制策略
控制策略的原理与分类
原理
控制策略是指导机器人如何响应输入 信号，以实现期望输出的方法。
稳定性和精度。
案例二：工业机器人装配应用
总结词
装配应用是工业机器人应用的另一个重要领域，主要 涉及机器人的定位、抓取、组装和检测等动作。
详细描述
在装配应用中，工业机器人需要具备高精度的定位和 抓取能力，以便能够准确地将零部件组装在一起。为 了实现这一目标，需要对机器人的静力进行计算，以 确保机器人在装配过程中能够承受零部件的重量和摩 擦力等作用力。同时，还需要考虑机器人的动力学特 性，以确保机器人在运动过程中能够快速、准确地完 成装配任务。
03 工业机器人动力学
动力学的概念与原理
01
02
03
动力学定义
动力学是研究物体运动和 力之间关系的科学，包括 运动学和动力学两个部分。
牛顿第二定律
物体加速度与作用力成正 比，与物体质量成反比， 即F=ma。
达朗贝尔原理
任何处于平衡状态的物体 或系统，如果不受外力作 用，将保持静止状态或匀 速直线运动状态。
静力学原理
静力学的基本原理包括力的合成 与分解、力的矩、力的平衡等。 这些原理是解决静力学问题的基 础。
工业机器人的负载分析
负载类型
工业机器人可能承载的负载包括工具负载、附加负载和自重负载。工具负载是 指机器人末端执行器上搭载的工具的重量，附加负载包括电缆、气瓶等其他附 加在机器人上的重量，自重负载则是机器人自身的重量。
动力学模型参数辨识
通过实验数据对工业机器人动力学模型参数进行辨识，以提高模型 精度。
控制器设计
基于工业机器人动力学模型，设计控制器以实现精确的运动控制。
04 工业机器人控制策略
控制策略的原理与分类
原理
控制策略是指导机器人如何响应输入 信号，以实现期望输出的方法。
稳定性和精度。
案例二：工业机器人装配应用
总结词
装配应用是工业机器人应用的另一个重要领域，主要 涉及机器人的定位、抓取、组装和检测等动作。
详细描述
在装配应用中，工业机器人需要具备高精度的定位和 抓取能力，以便能够准确地将零部件组装在一起。为 了实现这一目标，需要对机器人的静力进行计算，以 确保机器人在装配过程中能够承受零部件的重量和摩 擦力等作用力。同时，还需要考虑机器人的动力学特 性，以确保机器人在运动过程中能够快速、准确地完 成装配任务。
03 工业机器人动力学
动力学的概念与原理
01
02
03
动力学定义
动力学是研究物体运动和 力之间关系的科学，包括 运动学和动力学两个部分。
牛顿第二定律
物体加速度与作用力成正 比，与物体质量成反比， 即F=ma。
达朗贝尔原理
任何处于平衡状态的物体 或系统，如果不受外力作 用，将保持静止状态或匀 速直线运动状态。
静力学原理
静力学的基本原理包括力的合成 与分解、力的矩、力的平衡等。 这些原理是解决静力学问题的基 础。
工业机器人的负载分析
负载类型
工业机器人可能承载的负载包括工具负载、附加负载和自重负载。工具负载是 指机器人末端执行器上搭载的工具的重量，附加负载包括电缆、气瓶等其他附 加在机器人上的重量，自重负载则是机器人自身的重量。
第3章工业机器人运动学和动力学概要
第3章工业机器人运动学和动力学机器人操作臂可看成一个开式运动链，它是由一系列连杆通过转动或移动关节串联而成。
开链的一端固定在基座上，另一端是自由的，安装着工具，用以操作物体，完成各种作业。
关节由驱动器驱动，关节的相对运动导致连杆的运动，使手爪到达所需的位姿。
在轨迹规划时，最感兴趣的是末端执行器相对于固定参考系的空间描述。
为了研究机器人各连杆之间的位移关系，可在每个连杆上固接一个坐标系，然后描述这些坐标系之间的关系。
Denavit和Hartenberg提出一种通用方法，用一个4*4的齐次变换矩阵描述相邻两连杆的空间关系，从而推导出“手爪坐标系”相对于“参考系”的等价齐次变换矩阵，建立出操作臂的运动方程。
称之为D-H矩阵法。
3.1 工业机器人的运动学教学时数：4学时教学目标：理解工业机器人的位姿描述和齐次变换；掌握齐次坐标和齐次变换矩阵的运算；理解连杆参数、连杆变换和运动学方程的求解；教学重点：掌握齐次变换及运动学方程的求解教学难点：齐次变换及运算教学方法：讲授教学步骤：齐次变换有较直观的几何意义，而且可描述各杆件之间的关系，所以常用于解决运动学问题。
已知关节运动学参数，求出末端执行器运动学参数是工业机器人正向运动学问题的求解；反之，是工业机器人逆向运动学问题的求解。
3.1.1 工业机器人位姿描述1.点的位置描述在选定的指教坐标系{A}中，空间任一点P的位置可用3*1的位置矢量表示，其左上标代表选定的参考坐标系。
2.点的齐次坐标如果用四个数组成4*1列阵表示三维空间直角坐标系{A}中点P，则该列阵称为三维空间点P的齐次坐标，如下：必须注意，齐次坐标的表示不是惟一的。
我们将其各元素同乘一个非零因子后，仍然代表同一点P，即其中：，，。
该列阵也表示P点，齐次坐标的表示不是惟一的。
3.坐标轴方向的描述用i、j、k分别表示直角坐标系中X、Y、Z坐标轴的单位向量，用齐次坐标来描述X、Y、Z轴的方向，则有，，从上可知，我们规定：4*1列阵中第四个元素为零，且，则表示某轴（某矢量）的方向。
第三章 工业机器人静力计算及动力学
动力学研究物体的运动和作用力之间的关系。机器 人动力学问题有两类。
，即机器人关节位 (1)给出已知的轨迹点上的 , , 置、速度和加速度，求相应的关节力矩向量T。这对实 现机器人动态控制是相当有用的。
(2)已知关节驱动力矩，求机器人系统相应的各瞬时的 运动。也就是说，给出关节力矩向量τ，求机器人所产 生的运动 , , 。这对模拟机器人的运动是非常有 用的。
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第 三 章 工 二自由度机械手速度雅可比为： 业 机 器 人 l1s1 l2 s12 l2 s12 静 J 力 l1c1 l2 c12 l2 c12 学 计 算 及 动 力 学 分 析 机电工程学院—工业机器人及应用
第 三 章 工 业 机 器 人 静 力 学 计 算 及 动 力 学 分 析
l1s1 l2 s12 J l1c1 l2 c12
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l2 s12 l2 c12
对于n自由度机器人的情况，关节变量可用广义关节变 量q表示，q=[q1 q2 „ qn]T。
第 三 章 工 业 机 器 人 静 力 学 计 算 及 动 力 学 分 析
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2、拉格朗日方程
第 三 章 工 业 机 器 人 静 力 学 计 算 及 动 力 学 分 析
系统的拉格朗日方程为
式中：Fi称为关节广义驱动力。如果是移动关节， 则Fi为驱动力；如果是转动关节，则Fi为驱动力矩。
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3、用拉格朗日法建立机器人动力学方程的步骤
第 三 章 工 业 机 器 人 静 力 学 计 算 及 动 力 学 分 析
3.2 工业机器人速度雅可比与 静力计算
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第 三 章 工 业 机 器 人 静 力 学 计 算 及 动 力 学 分 析
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二自由度机器人手部速度为：
第 三 章 工 业 机 器 人 静 力 学 计 算 及 动 力 学 分 析
假如已知关节上θ1和θ2是时间的函数，θ1 =f1(t), θ2 =f2(t)， 则可求出该机器人手部在某一时刻的速度V=f(t),即手部瞬 时速度。
且vx=1m/s, vy=0 因此：
在该瞬时，两关节的位置和速度分别为θ1=300，θ2=600， θ1 =-2rad/s， θ2 =4 rad/s，手部瞬时速度为1m/s
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第 三 章 工 业 机 器 人 静 力 学 计 算 及 动 力 学 分 析
对于在三维空间中作业的一般六自由度工业机器人的情况，
解
已知该机械手的速度雅可比为：
则该机械手的力雅可比为：
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第 三 章 工 业 机 器 人 静 力 学 计 算 及 动 力 学 分 析
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3.3 工业机器人动力学分析
第 三 章 工 业 机 器 人 静 力 学 计 算 及 动 力 学 分 析
在控制方面，机器人的动态实时控制是机器人发展的必然 工业机器人 重载、高速、高精度、智能化 要求。需要对机器人的动力学进行分析。机器人是一个非线
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将其微分，得
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雅可比矩阵
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二自由度平面关节机器人。 端点位置x、y与关节θ1、θ2的关系为：
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5、系统动力学方程
第 三 章 工 业 机 器 人 静 力 学 计 算 及 动 力 学 分 析
根据拉格朗日方程：
关节1上的力矩τ1计算：
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第 三 章 工 业 机 器 人 静 力 学 计 算 及 动 力 学 分 析
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前章局限于静态位置问题的讨论，还未涉 及力、速度、加速度。
3.1 工业机器人速度雅可比与 速度分析
第 三 章 工 业 机 器 人 静 力 学 计 算 及 动 力 学 分 析
一、工业机器人速度雅可比
数学上雅可比矩阵(Jacobian Matrix)是一个多元函 数的偏导矩阵。
假设有六个函数，每个函数有六个变量，即
机器人速度雅可比J是一个6×6矩阵，q和V分别是6×1列 当l1l2s2=O时，J-1无解。当l1≠O，l2≠O，即θ2 =O或θ2 =1800 阵。手部速度矢量V是由3×1线速度矢量和3×1角速度矢 时，二自由度机器人逆速度雅可比J-1奇异。这时，该机器 量组合而成的6维列矢量。关节速度矢量q是由6个关节速 人二臂完全伸直，或完全折回，机器人处于奇异形位。在 度组合而成的6维列矢量。 这种奇异形位下，手部正好处在工作域的边界上，手部只 雅可比矩阵J的前三行代表手部线速度与关节速度的传递 能沿着一个方向(即与臂垂直的方向)运动，不能沿其他方 比；后三行代表手部角速度与关节速度的传递比。而雅可 向运动，退化了一个自由度。 比矩阵J的每一列则代表相应关节速度qt对手部线速度和角 速度的传递比。 机电工程学院—工业机器人及应用
当关节为转动关节时，qi=θi,当关节为移动关节时，
qi=di， dq=[dq1 dq2 „ dqn]T反映了关节空间的微小运动。
机器人末端在操作空间的位置和方位可用末端手爪的 位姿X表示，它是关节变量的函数，X=X(q),它是一个6维 列矢量X=[x y z φx φx φx ]T。 dX=[dx dy dz dφx dφx dφx ]T反映了操作空间的微小运
动，它又机器人末端微小线位移(dx dy dz)和微小转动 (dφx dφx dφx)组成。
dX J (q)dq
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二、工业机器人速度分析
第 三 章 工 业 机 器 人 静 力 学 计 算 及 动 力 学 分 析
式中：V 为机器人末端在操作空间中的广义速度，V=X；q 为机器人关节在关节空间中的关节速度；J(q)为确定关节空 间速度q与操作空间速度V之间关系的雅可比矩阵。 机电工程学院—工业机器人及应用
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第 三 章 工 业 机 器 人 静 力 学 计 算 及 动 力 学 分 析
分析研究机器人动力学特性的方法很多，有拉格朗 日(Lagrange)方法，牛顿一欧拉(Newton—Euler)方法， 高斯(Gauss)方法，凯恩(Kane)方法等。
拉格朗日方法不仅能以最简单的形式求得非常复杂 的系统动力学方程，而且具有显式结构，物理意义比 较明确，对理解机器人动力学比较方便。
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二、二自由度平面关节机器人动力学方程
第 三 章 工 业 机 器 人 静 力 学 计 算 及 动 力 学 分 析
1、广义关节变量及广义力的选定
杆1质心k1的位置坐标为：
x1 p1s1 y1 p1c1
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第 三 章 工 业 机 器 人 静 力 学 计 算 及 动 力 学 分 析
第 三 章 工 业 机 器 人 静 力 学 计 算 及 动 力 学 分 析
(1)选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变 量qi，i=1,2，„，n。 (2)选定相应的关节上的广义力Fi，当qi是位移变量 时，则Fi为力；当qi是角度变量时，则Fi为力矩。 (3)求出机器人各构件的动能和势能，构造拉格朗日 函数。 (4)代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。
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3、系统势能
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4、拉格朗日函数
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动力学研究物体的运动和作用力之间的关系。机器 人动力学问题有两类。
，即机器人关节位 (1)给出已知的轨迹点上的 , , 置、速度和加速度，求相应的关节力矩向量T。这对实 现机器人动态控制是相当有用的。
(2)已知关节驱动力矩，求机器人系统相应的各瞬时的 运动。也就是说，给出关节力矩向量τ，求机器人所产 生的运动 , , 。这对模拟机器人的运动是非常有 用的。
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第 三 章 工 业 机 器 人 静 力 学 计 算 及 动 力 学 分 析
杆1质心k1的速度平方为：
杆2质心k2的位置坐标为：
x2 l1s1 p2 s12 y2 l1c1 p2 c12
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杆2质心k2的速度平方为：
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2、系统动能
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第 三 章 工 业 机 器 人 静 力 学 计 算 及 动 力 学 分 析
反之，假如给定机器人手部速度，可解出相应的关节速度。
式中J-1叫称为机器人逆速度雅可比。 我们希望工业机器人手部在空间按规定的速度进行作业， (1)工作域边界上奇异。当机器人臂全部伸展开或全部折回 当机器人处在奇异形位时，就会产生退化现象，丧失一个 那么可以计算出沿路径上每一瞬时相应的关节速度。但是， 而使手部处于机器人工作域的边界上或边界附近时，出现 或更多的自由度。这意味着在空间某个方向(或子域)上， 一般来说，求逆速度雅可比J-1是比较困难的，有时还会出 逆雅可比奇异，这时机器人相应的形位叫做奇异形位。 不管机器人关节速度怎样选择，手部也不可能实现移动。 现奇异解，就无法解算关节速度。 (2)工作域内部奇异。奇异并不一定发生在工作域边界上， 也可以是由两个或更多个关节轴线重合所引起的。
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一、工业机器人力雅可比
第 三 章 工 业 机 器 人 静 力 学 计 算 及 动 力 学 分 析
假定关节无摩擦，并忽略各杆件的重力，则广义关
节力矩T与机器人手部端点力F的关系可用下式描述：
J F
T
式中：J T为n×6阶机器人力雅可比矩阵或力雅可比， 并且是机器人速度雅可比J的转置矩阵。
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第 三 章 工 业 机 器 人 静 力 学 计 算 及 动 力 学 分 析
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J称为2R机器人速度雅可比，
它反映了关节空间微小运动d θ与手部作业空间微小位移dX 的关系。
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一个二自由度平面关节机械手， 已知手部端点力F=[Fx，Fy]T.
求相应于端点力F的关 节力矩(不考虑摩擦)
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