相似三角形基本图形精讲
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即 5m = (3 + 即:BP BA=BD BQ
有公共角∠ 有公共角∠B,
“A”型相似 ”
13 13 )(3 + − m) 4 4
125 36
解得： 解得： m =
如图，已知抛物线与x轴交于A 如图，已知抛物线与x轴交于A、B X=4 两点， 轴交于C 两点，与y轴交于C点,且A(2,0),C(0,3) y 求此抛物线的解析式； （1）求此抛物线的解析式； P 3 抛物线上有一点P （2）抛物线上有一点P，满足 C PBC=90° 求点P的坐标； ∠PBC=90°，求点P的坐标； 2 6 O A B Qx 的条件下，问在y （3）在（2）的条件下，问在y轴 上是否存在点E 使得以A 上是否存在点E，使得以A、O、E 为顶点的三角形与⊿PBC相似 相似？ 为顶点的三角形与⊿PBC相似？若 存在，求出点E的坐标；若不存在， 存在，求出点E的坐标；若不存在， 请说明理由. 请说明理由.
小结： 小结：相似三角形中的基本图形
A D
E A
A D B C
D C B
E C
B
A O
C
A C O B
A C
D
B
D
B
D
回顾与反思
相似三角形的性质： 相似三角形的性质： 1.相似三角形对应角相等，对应边成比例。 相似三角形对应角相等，对应边成比例。 相似三角形对应角相等 2 .相似三角形对应高线比，对应中线比，对应角平分线 相似三角形对应高线比 相似三角形对应高线比，对应中线比， 等于相似比 相似比。 比等于相似比 3.相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相 相似三角形周长比等于相似比， 相似三角形周长比等于相似比 似比的平方。 似比的平方。
构造相似图形间接求 构造相似图形间接求
学会从复杂图形中分解出基本图形
思考题
请在x轴上找一点D 使得⊿BDA与 BAC相似 （1）请在x轴上找一点D，使得⊿BDA与⊿BAC相似 不包含全等），并求出点D的坐标； ），并求出点 （不包含全等），并求出点D的坐标； 的条件下，如果P 分别是BA BD上 BA、 （2）在（1）的条件下，如果P、Q分别是BA、BD上 的动点，连结PQ PQ， BP＝DQ＝ 的动点，连结PQ，设BP＝DQ＝m， 是否存在这样的m 使得⊿BPQ与 BDA相似 相似？ 问：是否存在这样的m，使得⊿BPQ与⊿BDA相似？ 如存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。 如存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。
(4) B
B D C A D ∠BAD=∠C ∠ ∠ACB=90°， ° AB2=BD·BC CD⊥AB ⊥
问题： 问题：
如图，在正方形 如图，在正方形ABCD中,E为BC上任意一点 中 为 上任意一点 不重合） 观察图形： （与B、C不重合）∠AEF=90°.观察图形： 、 不重合 ° 观察图形 （2） △ABE 与△ECF 是否相似？并证明你的结论。 是否相似？并证明你的结论。 ） 为 的中点，连结AF,图中有哪些相似 （1） 若E为BC的中点，连结 ） 图中有哪些相似 三角形？ 三角形？ △ABE∽ △ECF ∽ △AEF ∽
相似三角形
1.如图，在△ABC中．∠ACB=90°，CD⊥AB于 如图， 如图 中 ° ⊥ 于
点D，则图中相似三角形共有（ C ） ，则图中相似三角形共有（ A A. 1对 B. 2对 C. 3对 D．4对 对 对 对 ． 对 D
B C 2.如图，在梯形 如图， 对角线AC,BD相 如图 在梯形ABCD中，AD//CB,对角线 中 对角线 相 1:3 交于点O,若 交于点 若AD=1，BC=3，则AO:CO= —— ， ， A O B C D
基本图Leabharlann Baidu2 基本图形
A” “A”字型
ADE＝ 当∠ADE＝∠C 时， ADE∽⊿ ⊿ADE∽⊿ACB.
基本图形2 基本图形
F
A
B
C
添加一个条件使得⊿ 添加一个条件使得⊿ACF∽ ⊿ABC. ∽ BCF∽ ⊿BCF∽ ⊿BAC.
基本图形2 基本图形
F F F B B
A A A
BCF＝ 当∠BCF＝∠A 时， BCF∽⊿ ⊿BCF∽⊿BAC.
A D A D
F B E C B E
F
C
A
△ABE∽ △ECF （）点E为BC上任意一点 ， ∽ 1） 为 上任意一点 上任意一点， ） 为 上任意一点 （2） 点E为BC上任意一点
F
B
E
C
若 ∠B= ∠C=60°, ° 若 ∠B= ∠C= α, ∠AEF= ∠AEF= ∠ C,则 ECF与 则 ∠ C,则△ABE 与 △ABE与 则 的关系还成立吗？ △ ECF的关系还成立吗？ 的关系还成立吗 的关系还成立吗？ 的关系还成立吗？ 说明理由 A
BF=4
结论： 、 结论：1、⊿ACF∽ ⊿ABC∽ ⊿CBF ∽ ∽ 2、CD²=AD×BD 、 × BC²=BD× BC²=BD×AB AC²=AD×AB ×
相似的基本图形
(1) D B A E C DE∥BC ∥ A (5) B DE∥BC ∥ C (6) A C B ∠D=∠C ∠ E D E (2) A C B D (3) D A E C
练一练
基本图形1 基本图形
M
E
D
N
M
N H
平行法
过D作DH∥EC交BC延长线于点H DH∥EC交BC延长线于点H 延长线于点 (1)试找出图中的相似三角形? (1)试找出图中的相似三角形?⊿ADE∽ ⊿ABC ∽ ⊿DBH 试找出图中的相似三角形 ∽
2：3 ： (2)若AE:AC=1:2,则 (2)若AE:AC=1:2,则AC:DH=_______;
y
B(-3,0)
O
tan∠ABC= ∠
3 4
∽⊿BAC （1）∵⊿ ）∵⊿BDA∽⊿ ∽⊿ ∴∠CAD＝∠ABC ∴∠ ＝ A 3 ∴tan∠CAD＝tan∠ABC= 4 ∠ ＝ ∠ ∵BC=4 ∴AC=BC·tan ∠ABC=3 3 9 × D ∴CD=AC·tan ∠CAD=3× 4 = 4 C 9 13 (1,0) x ∴OD=OC+CD=1+ 4 = 4 13 ,0) ∴D( 4
回顾与反思
判定两个三角形相似的方法： 判定两个三角形相似的方法
1.定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三 定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三 定义 角形相似。 角形相似。 2.平行于三角形一边的直线和其他两边 (或两边的延长 平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长 所构成的三角形与原三角形相似. 线)相交,所构成的三角形与原三角形相似 所构成的三角形与原三角形相似 3.三边对应成比例的两个三角形相似。 三边对应成比例的两个三角形相似。 三边对应成比例的两个三角形相似 4.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 5. 两角对应相等的两个三角形相似。 两角对应相等的两个三角形相似 的两个三角形相似。
A A F F F
60° α° 60° α° B BB
α60° 60° α° °
E E E
α° 60° 60° α° C C C
变式：.直角梯形，把DA沿AF对折，使D与 ， 变式： 直角梯形ABCF中,∠B＝90°,CB=14， 中 90° 1.矩形直角梯形 矩形ABCD中 对折， 矩形 中 沿 对折 与 CF=4, AB=6, CF∥AB,在边 上找一点 使以 在边CB上找一点 ∥ 注意分类讨论的 善于在复杂图形 CB边上的点 重合，若AD=10, AB= 8, 边上的点E重合 边上的点 重合， 在边 上找一点E,使以 中寻找基本型 数学思想 E、A、B为顶点的三角形和以 、C、F为顶点 为顶点的三角形和以E、 、 为顶点 、 、 为顶点的三角形和以 5 ， 则EF=______ 则CE=_______或12 5.6或2或 或 的三角形相似， 的三角形相似
思考题
PP
(1)当PQ∥AD时 (1)当PQ∥AD时，⊿BPQ∽ ⊿BAD
y A
B(-3,0) Q O Q tan∠ABC= ∠
BP BQ = 则 BA BD 13 3+ −m m 4 D 即： = 13 5 C (1,0) x 3+ 4 3 解得： 解得： m = 25 9 4 (2)当 BD时 BPQ∽⊿ (2)当PQ⊥BD时，⊿BPQ∽⊿BDA BP BQ = 则 BD BA
若⊿ABC的周长为4,则⊿BDH的周长为_____. ABC的周长为4,则 BDH的周长为_____. 的周长为4, 的周长为 6 若⊿ABC的面积为4,则⊿BDH的面积为_____. ABC的面积为4,则 BDH的面积为_____. 的面积为4, 的面积为 9
相似三角形
E
E
F
M
F N
G
G
若G为BC中点,EG交AB于点F, BC中点,EG AB于点 中点,EG交 于点F, 且EF:FG=2:3, 试求AF:FB的值. 试求AF:FB的值. AF:FB的值 添平行线构造相似三角形的基本图形。 添平行线构造相似三角形的基本图形。
A
D
例1如图，梯形ABCD中,AD∥BC， 如图，梯形ABCD中,AD∥BC， ABCD ∠ABC=90°,AD=9,BC=12，AB=10， ABC=90°,AD=9,BC=12，AB=10， 在线段BC上任取一点P BC上任取一点 在线段BC上任取一点P，作射线 E PE⊥PD，与线段AB交于点E. AB交于点 PE⊥PD，与线段AB交于点E. B P H C 试确定CP=3时点E的位置； CP=3时点 （1）试确定CP=3时点E的位置； （2）若设CP=x，BE=y，试写出y关 若设CP=x，BE=y，试写出y CP=x 过D作 的函数关系式 于自变量xDH⊥BC于 的函数关系式， 于自变量xDH⊥BC于H， ，并求出自 由题意， 变量x的取值范围. 变量由题意，得CH=3, x的取值范围. 又CP=3 2 3 18 1 y = − 与H重合 2 x − 5 10 x + ∴P与 重合, 重合 3 ≤ x ≤ 12 从而E与 友情提醒：要善于构造基本图形，对你 从而 与B重合 重合 友情提醒：要善于构造基本图形， 的解题会起到事半功倍的效果！ 的解题会起到事半功倍的效果！
.O
C C
BC=6,AF=5,你能求出BF的长吗 (1) 则⊿ACF∽ ⊿你能求出BF的长吗? 若BC=6,AF=5,你能求出BF的长吗? ∽ ABC∽ ⊿CBF ∽ (2) BC是圆O的切线，切点为C. BC是圆 的切线，切点为C. 是圆O (3) 移动点A,使AC成为⊙O的直径,你还能 移动点A,使AC成为⊙ 的直径, A, 成为 得到哪些结论? 得到哪些结论?
D A A
F
F
C E
C E B
E
E
B
2.已知：D为BC上一点， ∠B= ∠C= 已知： 为 上一点 上一点， 已知 ∠EDF=60°, BE=6 , CD=3 , CF=4 , °
7 则AF=_______
A
E F
B
D
C
相似基本图形 的运用
方程思想 整体思想 转化思想 分类思想
已知相似图形直接求
有公共角∠ 有公共角∠B,
“A”型相似 ”
13 13 )(3 + − m) 4 4
125 36
解得： 解得： m =
如图，已知抛物线与x轴交于A 如图，已知抛物线与x轴交于A、B X=4 两点， 轴交于C 两点，与y轴交于C点,且A(2,0),C(0,3) y 求此抛物线的解析式； （1）求此抛物线的解析式； P 3 抛物线上有一点P （2）抛物线上有一点P，满足 C PBC=90° 求点P的坐标； ∠PBC=90°，求点P的坐标； 2 6 O A B Qx 的条件下，问在y （3）在（2）的条件下，问在y轴 上是否存在点E 使得以A 上是否存在点E，使得以A、O、E 为顶点的三角形与⊿PBC相似 相似？ 为顶点的三角形与⊿PBC相似？若 存在，求出点E的坐标；若不存在， 存在，求出点E的坐标；若不存在， 请说明理由. 请说明理由.
小结： 小结：相似三角形中的基本图形
A D
E A
A D B C
D C B
E C
B
A O
C
A C O B
A C
D
B
D
B
D
回顾与反思
相似三角形的性质： 相似三角形的性质： 1.相似三角形对应角相等，对应边成比例。 相似三角形对应角相等，对应边成比例。 相似三角形对应角相等 2 .相似三角形对应高线比，对应中线比，对应角平分线 相似三角形对应高线比 相似三角形对应高线比，对应中线比， 等于相似比 相似比。 比等于相似比 3.相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相 相似三角形周长比等于相似比， 相似三角形周长比等于相似比 似比的平方。 似比的平方。
构造相似图形间接求 构造相似图形间接求
学会从复杂图形中分解出基本图形
思考题
请在x轴上找一点D 使得⊿BDA与 BAC相似 （1）请在x轴上找一点D，使得⊿BDA与⊿BAC相似 不包含全等），并求出点D的坐标； ），并求出点 （不包含全等），并求出点D的坐标； 的条件下，如果P 分别是BA BD上 BA、 （2）在（1）的条件下，如果P、Q分别是BA、BD上 的动点，连结PQ PQ， BP＝DQ＝ 的动点，连结PQ，设BP＝DQ＝m， 是否存在这样的m 使得⊿BPQ与 BDA相似 相似？ 问：是否存在这样的m，使得⊿BPQ与⊿BDA相似？ 如存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。 如存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。
(4) B
B D C A D ∠BAD=∠C ∠ ∠ACB=90°， ° AB2=BD·BC CD⊥AB ⊥
问题： 问题：
如图，在正方形 如图，在正方形ABCD中,E为BC上任意一点 中 为 上任意一点 不重合） 观察图形： （与B、C不重合）∠AEF=90°.观察图形： 、 不重合 ° 观察图形 （2） △ABE 与△ECF 是否相似？并证明你的结论。 是否相似？并证明你的结论。 ） 为 的中点，连结AF,图中有哪些相似 （1） 若E为BC的中点，连结 ） 图中有哪些相似 三角形？ 三角形？ △ABE∽ △ECF ∽ △AEF ∽
相似三角形
1.如图，在△ABC中．∠ACB=90°，CD⊥AB于 如图， 如图 中 ° ⊥ 于
点D，则图中相似三角形共有（ C ） ，则图中相似三角形共有（ A A. 1对 B. 2对 C. 3对 D．4对 对 对 对 ． 对 D
B C 2.如图，在梯形 如图， 对角线AC,BD相 如图 在梯形ABCD中，AD//CB,对角线 中 对角线 相 1:3 交于点O,若 交于点 若AD=1，BC=3，则AO:CO= —— ， ， A O B C D
基本图Leabharlann Baidu2 基本图形
A” “A”字型
ADE＝ 当∠ADE＝∠C 时， ADE∽⊿ ⊿ADE∽⊿ACB.
基本图形2 基本图形
F
A
B
C
添加一个条件使得⊿ 添加一个条件使得⊿ACF∽ ⊿ABC. ∽ BCF∽ ⊿BCF∽ ⊿BAC.
基本图形2 基本图形
F F F B B
A A A
BCF＝ 当∠BCF＝∠A 时， BCF∽⊿ ⊿BCF∽⊿BAC.
A D A D
F B E C B E
F
C
A
△ABE∽ △ECF （）点E为BC上任意一点 ， ∽ 1） 为 上任意一点 上任意一点， ） 为 上任意一点 （2） 点E为BC上任意一点
F
B
E
C
若 ∠B= ∠C=60°, ° 若 ∠B= ∠C= α, ∠AEF= ∠AEF= ∠ C,则 ECF与 则 ∠ C,则△ABE 与 △ABE与 则 的关系还成立吗？ △ ECF的关系还成立吗？ 的关系还成立吗 的关系还成立吗？ 的关系还成立吗？ 说明理由 A
BF=4
结论： 、 结论：1、⊿ACF∽ ⊿ABC∽ ⊿CBF ∽ ∽ 2、CD²=AD×BD 、 × BC²=BD× BC²=BD×AB AC²=AD×AB ×
相似的基本图形
(1) D B A E C DE∥BC ∥ A (5) B DE∥BC ∥ C (6) A C B ∠D=∠C ∠ E D E (2) A C B D (3) D A E C
练一练
基本图形1 基本图形
M
E
D
N
M
N H
平行法
过D作DH∥EC交BC延长线于点H DH∥EC交BC延长线于点H 延长线于点 (1)试找出图中的相似三角形? (1)试找出图中的相似三角形?⊿ADE∽ ⊿ABC ∽ ⊿DBH 试找出图中的相似三角形 ∽
2：3 ： (2)若AE:AC=1:2,则 (2)若AE:AC=1:2,则AC:DH=_______;
y
B(-3,0)
O
tan∠ABC= ∠
3 4
∽⊿BAC （1）∵⊿ ）∵⊿BDA∽⊿ ∽⊿ ∴∠CAD＝∠ABC ∴∠ ＝ A 3 ∴tan∠CAD＝tan∠ABC= 4 ∠ ＝ ∠ ∵BC=4 ∴AC=BC·tan ∠ABC=3 3 9 × D ∴CD=AC·tan ∠CAD=3× 4 = 4 C 9 13 (1,0) x ∴OD=OC+CD=1+ 4 = 4 13 ,0) ∴D( 4
回顾与反思
判定两个三角形相似的方法： 判定两个三角形相似的方法
1.定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三 定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三 定义 角形相似。 角形相似。 2.平行于三角形一边的直线和其他两边 (或两边的延长 平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长 所构成的三角形与原三角形相似. 线)相交,所构成的三角形与原三角形相似 所构成的三角形与原三角形相似 3.三边对应成比例的两个三角形相似。 三边对应成比例的两个三角形相似。 三边对应成比例的两个三角形相似 4.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 5. 两角对应相等的两个三角形相似。 两角对应相等的两个三角形相似 的两个三角形相似。
A A F F F
60° α° 60° α° B BB
α60° 60° α° °
E E E
α° 60° 60° α° C C C
变式：.直角梯形，把DA沿AF对折，使D与 ， 变式： 直角梯形ABCF中,∠B＝90°,CB=14， 中 90° 1.矩形直角梯形 矩形ABCD中 对折， 矩形 中 沿 对折 与 CF=4, AB=6, CF∥AB,在边 上找一点 使以 在边CB上找一点 ∥ 注意分类讨论的 善于在复杂图形 CB边上的点 重合，若AD=10, AB= 8, 边上的点E重合 边上的点 重合， 在边 上找一点E,使以 中寻找基本型 数学思想 E、A、B为顶点的三角形和以 、C、F为顶点 为顶点的三角形和以E、 、 为顶点 、 、 为顶点的三角形和以 5 ， 则EF=______ 则CE=_______或12 5.6或2或 或 的三角形相似， 的三角形相似
思考题
PP
(1)当PQ∥AD时 (1)当PQ∥AD时，⊿BPQ∽ ⊿BAD
y A
B(-3,0) Q O Q tan∠ABC= ∠
BP BQ = 则 BA BD 13 3+ −m m 4 D 即： = 13 5 C (1,0) x 3+ 4 3 解得： 解得： m = 25 9 4 (2)当 BD时 BPQ∽⊿ (2)当PQ⊥BD时，⊿BPQ∽⊿BDA BP BQ = 则 BD BA
若⊿ABC的周长为4,则⊿BDH的周长为_____. ABC的周长为4,则 BDH的周长为_____. 的周长为4, 的周长为 6 若⊿ABC的面积为4,则⊿BDH的面积为_____. ABC的面积为4,则 BDH的面积为_____. 的面积为4, 的面积为 9
相似三角形
E
E
F
M
F N
G
G
若G为BC中点,EG交AB于点F, BC中点,EG AB于点 中点,EG交 于点F, 且EF:FG=2:3, 试求AF:FB的值. 试求AF:FB的值. AF:FB的值 添平行线构造相似三角形的基本图形。 添平行线构造相似三角形的基本图形。
A
D
例1如图，梯形ABCD中,AD∥BC， 如图，梯形ABCD中,AD∥BC， ABCD ∠ABC=90°,AD=9,BC=12，AB=10， ABC=90°,AD=9,BC=12，AB=10， 在线段BC上任取一点P BC上任取一点 在线段BC上任取一点P，作射线 E PE⊥PD，与线段AB交于点E. AB交于点 PE⊥PD，与线段AB交于点E. B P H C 试确定CP=3时点E的位置； CP=3时点 （1）试确定CP=3时点E的位置； （2）若设CP=x，BE=y，试写出y关 若设CP=x，BE=y，试写出y CP=x 过D作 的函数关系式 于自变量xDH⊥BC于 的函数关系式， 于自变量xDH⊥BC于H， ，并求出自 由题意， 变量x的取值范围. 变量由题意，得CH=3, x的取值范围. 又CP=3 2 3 18 1 y = − 与H重合 2 x − 5 10 x + ∴P与 重合, 重合 3 ≤ x ≤ 12 从而E与 友情提醒：要善于构造基本图形，对你 从而 与B重合 重合 友情提醒：要善于构造基本图形， 的解题会起到事半功倍的效果！ 的解题会起到事半功倍的效果！
.O
C C
BC=6,AF=5,你能求出BF的长吗 (1) 则⊿ACF∽ ⊿你能求出BF的长吗? 若BC=6,AF=5,你能求出BF的长吗? ∽ ABC∽ ⊿CBF ∽ (2) BC是圆O的切线，切点为C. BC是圆 的切线，切点为C. 是圆O (3) 移动点A,使AC成为⊙O的直径,你还能 移动点A,使AC成为⊙ 的直径, A, 成为 得到哪些结论? 得到哪些结论?
D A A
F
F
C E
C E B
E
E
B
2.已知：D为BC上一点， ∠B= ∠C= 已知： 为 上一点 上一点， 已知 ∠EDF=60°, BE=6 , CD=3 , CF=4 , °
7 则AF=_______
A
E F
B
D
C
相似基本图形 的运用
方程思想 整体思想 转化思想 分类思想
已知相似图形直接求