第1讲-有理数的相关概念

第1讲-有理数的相关概念一、正数和负数在数学发展历史上，从发现自然数开始，随着人类文明进步，我们又逐渐定义了分数和小数等.在生活和学习中，我们会需要记录一些具有相反意义的量，比如：零下4︒C 和零上6︒C ，收入20元和支出30元，向东30米和向西100米等等．这些数据不仅意义相反，而且表示一定的量，为了表示它们，我们定义了正负数：1．用正负数表示相反意义的量： 我们把一种意义的量规定为正的，把另一种与它具有相反意义的量规定为负的，分别用正数和负数表示，给数字前面加上正号表示正数，加上负号表示负数．【例】以上几个例子分别记为：4-︒C 和6+︒C ，20+元和20-元，30+米和100-米.2．正数：像30、+6、12、π这样的数叫做正数，正数都大于零；3．负数：在正数前面加上“-”号的数叫做负数，比如：20-、 3.14-、0.001-、172-．【注】①表示正数时，“+”号可以省略，但表示负数时，“-”号一定不能省略；②数0既不是正数也不是负数．二、有理数的概念及分类1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类：（1）有理数按性质分类：⎧⎧⎫⎪⎪⎬⎨⎪⎭⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数负整数正分数分数负分数 （2）有理数按符号分类 ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零（既不是正数，也不是负数）负整数负有理数负分数（3）小数的分类【注】注意以下几个概念的区分：非负数：正数和零；非正数：负数和零；非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零；非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零．⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数——不可化成分数，是无理数——可化成分数，是有理数三、数轴1．数轴：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 【注】原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素；①原点：表示数0的点；②正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正方向； ③单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度.2．数轴的画法（1）画一条水平直线；（2）在这条直线上取一点作为原点； （3）一般用箭头表示正方向；（4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方．【例】一个标准的数轴： 【注】画数轴的常见错误：①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样；③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱．3．数轴与有理数的关系①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示； 但数轴上的点不一定代表有理数，比如π． ②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大；③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数． 4．数轴与数学思想①数形结合思想：数轴形象地反映了数和点之间的对应关系；②分类讨论思想：数轴表现了有理数的一种分类方法，即分成正数、负数和零． 四、相反数&倒数1．相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0．【例】5+与5-互为相反数；5-是5+的相反数；【注】相反数必须成对出现，单独一个数不能说是相反数.“5-是相反数”是错误的. 2．相反数的性质：（1）代数性质：若a 与b 互为相反数，则0a b +=；反之，若0a b +=，则a 与b 互为相反数．（2）几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两点是关于原点对称的．3．倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数．【例】2与12，3-与13-，38-与83-． 4．负倒数：乘积为1-的两个有理数互为负倒数．【例】2与12-，3-与13，38-与83．【注】①0没有倒数，也没有负倒数；②倒数是它的本身的数1或-1．五、绝对值1．绝对值：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作a ． 2．绝对值运算：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩3．绝对值的性质： （1）非负性：||0a ≥；（2）双解性：若||||a b =，则a b =或a b =-．【注】如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0．例如，若||||||a b c ++=0，则a =0，b =0，c =0． 【例1】（1）仔细思考以下各对量： ①胜二局与负三局；②气温为3C -︒与气温升高30C ︒； ③盈利5万元与亏损5万元；④增加10%与减少20%．其中具有相反意义的量有（ ） A ．1对 B ．2对C ．3对D ．4对（2）①我国现采用国际通用的公历纪年法，如果我们把公元2017年记作+2017年，那么，处于公元前500年的春秋战国时期可表示为___________．②如果80m 表示向东走80m ，那么60m -表示________________．③A ，B 两地海拔高度分别是120米，10-米，则B 地比A 地低________米．（3）学而思饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030(ml)±””字样，请问“60030(ml)±”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603ml ，611ml ，589ml ，573ml ，627ml ，问抽查产品的容量是否合格？【解析】（1）C ；[①③④具有相反意义]；（2）①500-年，②向西走60m ，③130；（3）“(ml)600±30”表示每瓶饮料容量最小可以是()ml 600-30，最大可以是()ml 600+30，抽出的5瓶容量均在()ml 600-30与()ml 600+30之间，因此合格．【例2】（1）下列说法错误的是（ ） A ．0既不是正数也不是负数B ．正整数和负整数统称整数C ．整数和分数统称有理数D ．正有理数包括正整数和正分数（2）把下列各数分别填在所属分类里：5-，0， 3.14-，32， 2.4-，227，327，π， 5.5-，.24，311-，3.14159，34-，2003①正数：{” }； ②负数：{ ”}； ③非负整数：{ ”}； ④分数：{ ”}； ⑤非正有理数：{ ”}；【解析】（1）B ；（2）①正数：{32，227，327，π，.24，3.14159，2003}； ②负数：{5-，34-， 3.14-， 2.4-， 5.5-，311-}；③非负整数：{0，32，2003}；④分数：{ 3.14-， 2.4-，227，327， 5.5-，.24，311-，3.14159，34-}；⑤非正有理数：{5-，0， 3.14-， 2.4-， 5.5-，311-，34-}；49【例3】（1）下面图形是数轴的是（ ）A ．”””””””””””””””””B ．”””””””””””””””C ．””””””””””””””””””D ．（2）如图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_______．（3）已知：点A 在数轴上的位置如图所示，点B 也在数轴上，且A 、B 两点之间的距离是2，则点B 表示的数是______．（4）在数轴上标出下列各数：0， 4.2，132，2，+7，113，并用“<”连接．【解析】（1）C ；（2）-1，0，1，2； （3）1-或5-；（4）图略，114.22013732-<-<<<<+．【例4】（1）一个点沿着数轴的正方向从原点起移动2个单位长度后，又向反方向移动6个单位长度，则这个点表示的数是__________．（2）一个小虫在数轴上先向右爬2个单位，再向左爬6个单位，所在位置正好距离数轴原点2个单位，则小虫的起始位置所表示的数是________．（3）数轴上的点A 对应的数是1-，一只蚂蚁从A 点出发沿着数轴向右以每秒3个单位长度的速度爬行至B 点后，用2秒的时间吃光了B 点处的蜜糖，又沿原路以原速度返回A 点，共用去6秒，则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度？B 点与A 点的距离是多少个单位长度？B 点对应的数是多少？【解析】（1）4-（2）6或2；（3）蚂蚁6s 共爬行()6-2⨯3=12个单位长度；B 点到A 点的距离为12÷2=6个单位长度； 所以B 点对应的数是5．【例5】（1）2017-的相反数是________，2017与________互为相反数．（2）已知有理数a 、b 在数轴上表示如图，则a 、b 、a -、b -的大小，正确的是（””””） A ．a b a b -<-<< ””B ．a b b a <-<<-C ．b a a b -<<-< ””D ．a b b a <<-<-（3）下列说法正确的是（””””） A ．一个数的相反数一定是负数” B ．π和.-314互为相反数 C ．所有的有理数都有相反数””””””””D ．13和31互为相反数【解析】（1）2017，2017-；（2）C ；（3）C ． 【例6】我们可以用字母表示数，比如a 、b 都能代表一个数，在一个数的前面添上“-”号，就得到这个数的相反数．（1）5的相反数是_______；13的相反数是_______，0的相反数是_______，数a 的相反数是________；（2）5-的相反数是_______，12-的相反数是________，4-的相反数是________；数a -的相反数是________；（3）(2)--的相反数是________；(5)+-的相反数是________，数()a -+的相反数是________，数()a --的相反数是_______；()a b ---与________互为相反数．【例7】如果a <0，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数 ①()a -+； ②()a --； ③[()]a -+-； ④[()]a ---； ⑤{[()]}a -+--； ⑥{{{{{[()]}}}}}a -----+--【解析】①()a a -+=-，正数；②()a a --=，负数；③[()]a a -+-=，负数；④a -，正数；⑤{[()]}a a -+--=-，正数；⑥{{{{{[()]}}}}}a a -----+---=，正数． 【例8】（1）2017-的倒数是________，2017与________互为负倒数．（2）一个数的倒数等于它本身，这个数是_________；一个数的倒数等于它的相反数，则这个数________．54BA 13-1（3）已知a 、b 为有理数，在数轴上如图所示，则（””””）A ．a b 11<1<B ．a b 11<<1C ．b a 11<<1D ．b a 111<<（1）12017-；12017-；（2）1或-1，不存在；（2）B ．【例9】（1）2017-的绝对值是_________，|2017|--的相反数是________，|2017|-与________互为倒数．（2）①绝对值不大于3的整数有________；②绝对值大于2而小于5的负整数是________．（3）①若m 、n 满足||||=m n -2+-30，则mn 的值等于________；②||||x y =--7，则xy =________．（4）已知|5|a =，||2b =，则||a b -的值是__________．（2）①0，±1，±2，±3；②-4，-3； （3）6，0； （4）3或7．【例10】（1）下列说法正确的个数（””””） ①()a --表示正数；②||a 一定是正数，||a -一定是负数；③绝对值等于本身的数只有两个，是0和1；④如果||||a b >，则a b >． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个（2）若x 表示有理数，则||x --一定是（””””） A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数（3）下列说法正确的是（””””）A ．若a 表示有理数，则a -表示非正数B ．和为零的两数互为相反数C ．一个数的绝对值必是正数D ．若||||a b >，则a b <<0【解析】（1）A ；（2）C ；（3）B ．1-a 01b【课后作业】 【练1】（1）如果节约16吨水记作+16吨，则浪费6吨水记作__________．（2）在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记做+0.22，那么小东跳出了3.85米，记作___________．（3）把下列各数填入表示它所在的大括号：.-24，3，2.008，10-3，114，.-015，0，()--2，3.14，||--4．正有理数：{ } 非负整数：{ } 负分数：{ }【解析】（1）-6吨；（2）.-015；”（3）正有理数：3，2.008，114，()--2，3.14；非负整数：3，0，()--2；负分数：.-24，10-3，.-015．【练2】（1）下列说法正确的是（ ）A ．在有理数中，零的意义仅仅表示没有B ．正有理数和负有理数组成全体有理数C ．0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数D ．零既不是正数，也不是负数（2）下列说法不正确的是（ ） A ．绝对值等于本身的数是非负数 B ．倒数等于本身的数有2个 C ．有理数可分为整数和分数D ．两个负数比较大小，绝对值越大的数越大【解析】（1）D ；（2）D ．【练3】（1）如图，表示数轴正确的是（””””）”””””””””””””””””A ．”””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””B ．”””””””””””””””””””C ．”””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””D ．（2）已知点A ，点B 在数轴上，点A 表示数为-2，A 、B 两点的距离为5，则点B 表示的数是________．（3）在数轴上标出下列各数，并用“<”比较它们的大小：-3，+1，122，.-15，5．（4）已知，a b 为有理数，在数轴上的位置如图所示，则a 1，b1，0，1的大小关系为_______________．【解析】（1）C ；””（2）3或-7；（3）大小关系如下：13 1.51252-<-<+<<；（4）1101a b<<<．【练4】（1）点A 在数轴上距原点为3个单位，且位于原点左侧，若将A 向右移动4个单位，再向左移动2个单位，这时A 点表示的数是________．（2）一只小虫在数轴上先向右爬3个单位，再向左爬7个单位，正好停在-2的位置，则小虫的起始位置所表示的数是（ ） A ．-4 B ．4 C ．2 D ．0【解析】（1）1-；（2）C ． 【练5】（1）37与________互为相反数；a 1-2是________的相反数．（2）()--2的相反数是________；b +4是________的相反数．（3）{[()]}--+-4=________；{[()]}----5与________互为相反数．”【练6】（1）||||x y 2-2+7-3=0，求xy =________．（2）4-27的倒数是________，3.75的负倒数是___________．（3）给出下面说法：①互为相反数的两数的绝对值相等；②一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；③若||m m >，则0m <；④若||||a b >，则a b >，其中正确的有______．【解析】（1）6；（2）7-18；4-15；（3）①②③．。