《数学条件概率》PPT课件
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4 3 2 6 4 3 4 6 3 6 5 4 4 10 9 8 10 9 8 10 9 8 10 9 8 10
可将此类问题பைடு நூலகம்广到一般情况。
例1.18
… … … B …
A2
A1 An …
事件组A1,A2,…,An组成样本空间S的一个完备事件组
2、全概率公式
例1.14 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽
取两次，每次取一个，取后不放回。
(1)已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率；
(2)求第二次取到红球的概率；
(3)求两次均取到红球的概率。
解 设A——第一次取到红球,B——第二次取到红球 2 1 3 2 2 1 (2) P( B) (1) P( B | A) 2 P5 5 4 2 1 1 (3) P( AB) 2 P5 10
例1.18
4 甲抽到难签的概率 P ( A) 10
乙抽到难签的概率，注意到 ( B AB A B)
P( B) P( AB) P( A B) P( A) P( B A) P( A ) P( B A )
4 3 6 4 4 10 9 10 9 10
丙抽到难签的概率，注意到 C ABC A BC AB C A B C
2 11 C13 C39 P( AB) 13 C52
2 11 C13 C39 13 2 11 C52 C13 C39 P( AB) P( B A) 13 13 13 13 P( A) C52 C39 C 52 C39 13 C52 5 2 6 5 8 C C C 13 13 26 C13 C39 P ( BC ) P(C ) 13 13 C 52 C52 5 2 6 C13 C13 C 26 13 2 6 C 52 C13 C 26 P ( BC) P( B C ) 5 8 8 P (C ) C13 C 39 C 39 13 C 52
A——第一次取到红球,
B——第二次取到红球
S=
A B
显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个
事件，其中A含有nA个样本点，AB含有nAB个样本点，
则
nAB P( B | A) nA
n AB P ( AB) n nA P ( A) n
定义 设A、B是S中的两个事件，P(A)>0，则
此公式称为全概率公式。
特例 : n 2, P(B) P(A)P(B A) P( A )P(B A )
例 1.20 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌 产品，已知三家工厂的市场占有率分别为 1/4 、 1/4 、 1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求 市场上该品牌产品的次品率。 解 设B：买到一件次品；
二、概率的乘法公式
设A、B、C为随机事件，P(A)>0，则有乘法公式
P(AB)＝P(A)P(B|A)
当P(AB)>0时，上式还可推广到三个事件的情形：
P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)
一般地，n个随机事件A1,A2,…,An，且
P(A1A2…An-1)>0,有下列公式：
P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2)...P(An|A1…An－1)
10 10 C97 C98 P( B2 ) 0.4, P( A B2 ) 10 0.809 P( B3 ) 0.2, P( A B3 ) 10 0.727 C100 C100
10 C96 P( B4 ) 0.1, P( A B4 ) 10 0.652 C100
3、贝叶斯公式(Bayes)（逆概率公式）
定理1.2 设试验E的样本空间为S，B为E的事件。事件 组A1,A2,…,An组成样本空间S的一个完备事件组，且 P(Ak)>0,(k=1,2,…n),及P(B)>0，则
P(A k B) P(A k ) P(B A k ) k 1,2,, n
可以验证，条件概率 P(· |A) 符合概率所需满足的 三条基本性质： ①非负性：对任意一个事件B，均有 0≤P(B|A)≤1； ②规范性：P(S|A)=1； ③可列可加性：若B1，B2，…，An，…两两 互不相容，则有
P( Bn A) P( Bn A)
n 1 n 1
条件概率也满足概率的基本性质 • 条件概率的一般计算方法： • (1)根据A发生以后的情况直接计算A发 生的条件下， B发生的条件概率。“缩 减样本空间” • (2)先计算P(A)，P(AB)，再用公式
例1.21 某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的 次品最多不超过4件，且具有如下的概率： 一批产品中的次品数 0 1 2 3 4 概 率0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 现进行抽样检验，从每批中随机抽取10件来检验，若发现其中有 次品，则认为该批产品不合格。求一批产品通过检验的概率。
例1.18 甲、乙、丙三人参加面试抽签，每人的试题 通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题中 有4个难题签，按甲、乙、丙次序抽签，试求甲抽到 难题签，甲和乙都抽到难题签，甲没抽到难题签而乙 抽到难题签，甲、乙、丙都抽到难题签的概率。
解 设A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难题签的事件
4 2 P( A) 10 5
返回
P( A) P( Bk )P( A Bk )
k 0
4
0.1 02. 0.900 0.4 0.809 0.2 0.727 0.1 0.652 0.814
例1.21的结果提供给人们这样的信息，即若工厂生产 了1000批产品，则可以通过检验，以合格品出产的约 有814批，而作为合格品出售的产品，每批中仍可能 含有i(i=0,1,2,3,4)件次品。因此，就顾客而言，希 望所买的产品中含次品少的概率要大，即概率 P(Bi|A) (i=0,1,2,3,4)中最大的一个所对应i的越小越好，这 就是下面讨论的另一个重要公式。
P(A ) P(B A )
i 1 i i
n
此式称为Bayes公式。
例1.21中，顾客买到的一批合格品中，含次品数为0 的概率是多少？
P( B0 | A)
P( B0 ) P( A | B0 )
P( B ) P( A | B )
i 0 i i
4
0.11 0.123 0.814
例1.17 某种动物出生后活到20岁的概率为0.7，活 到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活 到25岁的概率。
解 设A表示事件“活到20岁以上”，B表示事件 “活到25岁以上”，显然
B A
P( A) 0.7
P( B) 0.56 P( AB) P( B) 0.56
P( AB) 0.56 P( B A) 0.8 P( A) 0.7
A1：买到一件甲厂的产品； A2：买到一件乙厂的产品； A3：买到一件丙厂的产品。
P( B) P( BA 1 ) P( BA 2 ) P( BA 3) P( B | A1 ) P( A1 ) P( B | A2 ) P( A2 ) P( B | A3 ) P( A3 )
1 1 1 0.02 0.01 0.03 0.0225 4 4 2
类似可以计算顾客买到的一批合格品中，含次品数为 1、2、3、4件的概率分别约为0.221、0.398、0.179、 0.080。
1.4 条件概率
袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，
十人依次从袋中各取一球(不放回)，问
第一个人取得红球的概率是多少？
第二 个人取得红球的概率是多少？
若已知第一个人取到的是白球，则第二个人 取到红球的概率是多少？ 若已知第一个人取到的是红球， 则第二个人取到红球的概率又是 多少？ 一、条件概率 已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为 在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，简 称为B对A的条件概率，记作P(B|A)。
例1.19 盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一 只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜 色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取 得白球、第3、4次取得红球的概率。 解 设Ai为第i次取球时取到白球，则
P( A1 A2 A3 A4 ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )P( A4 | A1 A2 A3 )
定理1.1 设试验E的样本空间为S，B为E的事件。
设事件组A1,A2,…,An组成样本空间S的一个完备事件组
且设 P(Ak)>0,(k=1,2,…n),则
P(B)＝ P(A k ) P(B | A k )
k 1
n
P(A1 ) P(B | A1 ) P(A 2 ) P(B | A 2 ) P(A k ) P(B | A k )
n AB 2 P( B | A) nA 3
例1.16 设某人从一副扑克中(52张)任取13张，设A 为“至少有一张红桃”， B为“恰有2张红桃”，C为 “恰有5张方块”，求条件概率P(B|A)，P(B|C) 解
13 13 13 C39 C52 C39 P( A) 1 P( A ) 1 13 13 C52 C52
P(AB) P( B A) P( A)
称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率
“条件概率”是“概率”吗？
概率定义 何时P(A|B)=P(A)? 设E是随机试验， S是它的样本空间，对于 E的每一个 事件A，赋予一个实数P(A)与之对应，如果集合函数P(· )具 有如下性质：何时P(A|B)>P(A)? ①非负性：对任意一个事件A，均有P(A)≥0 ； P(A|B)<P(A)? ②规范性：P何时 (S)=1； ③可列可加性：若 A1 ， A2 ， … ， An ， … 是两两互不相容 的事件序列，即Ai∩Aj=φ(i≠j, i, j=1,2,…)，有 P(A1∪A2∪…∪An∪…)= P(A1)+ P(A2) +…+ P(An)+… 则称P(A)为事件A的概率。
P(C) P( ABC) P( A BC) P( AB C) P( A B C) P( A) P( B A) P(C AB) P( A ) P( B A ) P(C A B)
P( A) P( B A) P(C AB) P( A ) P( B A ) P(C A B )
解 设A表示事件“一批产品通过检验”，Bi(i=0,1,2,3,4)表示“一 批产品含有i件次品”，则B0,B1, B2, B3, B4组成样本空间的一个划 10 C99 分， P(B0 ) 0.1, P( A B0 ) 1 P( B1 ) 0.2, P( A B1 ) 10 0.900 C100
P( AB) P( B A) P( A)
例1.15 一盒中混有100只新、旧乒乓球，各 有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取 出一球，若取得的是一只红球，试求该红球 是新球的概率。
红 白
设A--从盒中随机取到一只红球。
B--从盒中随机取到一只新球。
新 40 旧 20
30 10
nA 60
nAB 40
2 P ( A1 ) 5
3 P ( A2 | A1 ) 6
3 P( A3 | A1 A2 ) 7 4 P ( A4 | A1 A2 A3 ) 8
三、全概率公式与贝叶斯公式
• 在概率论中，我们经常利用已知的简单事件的概 率，推算出未知的复杂事件的概率。为此，常须 把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事 件的和，再由简单事件的概率求得最后结果。 • 如在例1.18中，如果把甲、乙、丙抽到难题签的 事件作为上述的复杂事件，则可用分解的方法计 算如下：
4 3 2 P( AB ) P ( A) P( B A) 10 9 15
6 4 4 返回 P( A B) P( A ) P( B A ) 10 9 15 4 3 2 1 P( ABC ) P( A) P( B A) P(C AB ) 10 9 8 30
可将此类问题பைடு நூலகம்广到一般情况。
例1.18
… … … B …
A2
A1 An …
事件组A1,A2,…,An组成样本空间S的一个完备事件组
2、全概率公式
例1.14 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽
取两次，每次取一个，取后不放回。
(1)已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率；
(2)求第二次取到红球的概率；
(3)求两次均取到红球的概率。
解 设A——第一次取到红球,B——第二次取到红球 2 1 3 2 2 1 (2) P( B) (1) P( B | A) 2 P5 5 4 2 1 1 (3) P( AB) 2 P5 10
例1.18
4 甲抽到难签的概率 P ( A) 10
乙抽到难签的概率，注意到 ( B AB A B)
P( B) P( AB) P( A B) P( A) P( B A) P( A ) P( B A )
4 3 6 4 4 10 9 10 9 10
丙抽到难签的概率，注意到 C ABC A BC AB C A B C
2 11 C13 C39 P( AB) 13 C52
2 11 C13 C39 13 2 11 C52 C13 C39 P( AB) P( B A) 13 13 13 13 P( A) C52 C39 C 52 C39 13 C52 5 2 6 5 8 C C C 13 13 26 C13 C39 P ( BC ) P(C ) 13 13 C 52 C52 5 2 6 C13 C13 C 26 13 2 6 C 52 C13 C 26 P ( BC) P( B C ) 5 8 8 P (C ) C13 C 39 C 39 13 C 52
A——第一次取到红球,
B——第二次取到红球
S=
A B
显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个
事件，其中A含有nA个样本点，AB含有nAB个样本点，
则
nAB P( B | A) nA
n AB P ( AB) n nA P ( A) n
定义 设A、B是S中的两个事件，P(A)>0，则
此公式称为全概率公式。
特例 : n 2, P(B) P(A)P(B A) P( A )P(B A )
例 1.20 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌 产品，已知三家工厂的市场占有率分别为 1/4 、 1/4 、 1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求 市场上该品牌产品的次品率。 解 设B：买到一件次品；
二、概率的乘法公式
设A、B、C为随机事件，P(A)>0，则有乘法公式
P(AB)＝P(A)P(B|A)
当P(AB)>0时，上式还可推广到三个事件的情形：
P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)
一般地，n个随机事件A1,A2,…,An，且
P(A1A2…An-1)>0,有下列公式：
P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2)...P(An|A1…An－1)
10 10 C97 C98 P( B2 ) 0.4, P( A B2 ) 10 0.809 P( B3 ) 0.2, P( A B3 ) 10 0.727 C100 C100
10 C96 P( B4 ) 0.1, P( A B4 ) 10 0.652 C100
3、贝叶斯公式(Bayes)（逆概率公式）
定理1.2 设试验E的样本空间为S，B为E的事件。事件 组A1,A2,…,An组成样本空间S的一个完备事件组，且 P(Ak)>0,(k=1,2,…n),及P(B)>0，则
P(A k B) P(A k ) P(B A k ) k 1,2,, n
可以验证，条件概率 P(· |A) 符合概率所需满足的 三条基本性质： ①非负性：对任意一个事件B，均有 0≤P(B|A)≤1； ②规范性：P(S|A)=1； ③可列可加性：若B1，B2，…，An，…两两 互不相容，则有
P( Bn A) P( Bn A)
n 1 n 1
条件概率也满足概率的基本性质 • 条件概率的一般计算方法： • (1)根据A发生以后的情况直接计算A发 生的条件下， B发生的条件概率。“缩 减样本空间” • (2)先计算P(A)，P(AB)，再用公式
例1.21 某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的 次品最多不超过4件，且具有如下的概率： 一批产品中的次品数 0 1 2 3 4 概 率0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 现进行抽样检验，从每批中随机抽取10件来检验，若发现其中有 次品，则认为该批产品不合格。求一批产品通过检验的概率。
例1.18 甲、乙、丙三人参加面试抽签，每人的试题 通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题中 有4个难题签，按甲、乙、丙次序抽签，试求甲抽到 难题签，甲和乙都抽到难题签，甲没抽到难题签而乙 抽到难题签，甲、乙、丙都抽到难题签的概率。
解 设A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难题签的事件
4 2 P( A) 10 5
返回
P( A) P( Bk )P( A Bk )
k 0
4
0.1 02. 0.900 0.4 0.809 0.2 0.727 0.1 0.652 0.814
例1.21的结果提供给人们这样的信息，即若工厂生产 了1000批产品，则可以通过检验，以合格品出产的约 有814批，而作为合格品出售的产品，每批中仍可能 含有i(i=0,1,2,3,4)件次品。因此，就顾客而言，希 望所买的产品中含次品少的概率要大，即概率 P(Bi|A) (i=0,1,2,3,4)中最大的一个所对应i的越小越好，这 就是下面讨论的另一个重要公式。
P(A ) P(B A )
i 1 i i
n
此式称为Bayes公式。
例1.21中，顾客买到的一批合格品中，含次品数为0 的概率是多少？
P( B0 | A)
P( B0 ) P( A | B0 )
P( B ) P( A | B )
i 0 i i
4
0.11 0.123 0.814
例1.17 某种动物出生后活到20岁的概率为0.7，活 到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活 到25岁的概率。
解 设A表示事件“活到20岁以上”，B表示事件 “活到25岁以上”，显然
B A
P( A) 0.7
P( B) 0.56 P( AB) P( B) 0.56
P( AB) 0.56 P( B A) 0.8 P( A) 0.7
A1：买到一件甲厂的产品； A2：买到一件乙厂的产品； A3：买到一件丙厂的产品。
P( B) P( BA 1 ) P( BA 2 ) P( BA 3) P( B | A1 ) P( A1 ) P( B | A2 ) P( A2 ) P( B | A3 ) P( A3 )
1 1 1 0.02 0.01 0.03 0.0225 4 4 2
类似可以计算顾客买到的一批合格品中，含次品数为 1、2、3、4件的概率分别约为0.221、0.398、0.179、 0.080。
1.4 条件概率
袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，
十人依次从袋中各取一球(不放回)，问
第一个人取得红球的概率是多少？
第二 个人取得红球的概率是多少？
若已知第一个人取到的是白球，则第二个人 取到红球的概率是多少？ 若已知第一个人取到的是红球， 则第二个人取到红球的概率又是 多少？ 一、条件概率 已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为 在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，简 称为B对A的条件概率，记作P(B|A)。
例1.19 盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一 只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜 色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取 得白球、第3、4次取得红球的概率。 解 设Ai为第i次取球时取到白球，则
P( A1 A2 A3 A4 ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )P( A4 | A1 A2 A3 )
定理1.1 设试验E的样本空间为S，B为E的事件。
设事件组A1,A2,…,An组成样本空间S的一个完备事件组
且设 P(Ak)>0,(k=1,2,…n),则
P(B)＝ P(A k ) P(B | A k )
k 1
n
P(A1 ) P(B | A1 ) P(A 2 ) P(B | A 2 ) P(A k ) P(B | A k )
n AB 2 P( B | A) nA 3
例1.16 设某人从一副扑克中(52张)任取13张，设A 为“至少有一张红桃”， B为“恰有2张红桃”，C为 “恰有5张方块”，求条件概率P(B|A)，P(B|C) 解
13 13 13 C39 C52 C39 P( A) 1 P( A ) 1 13 13 C52 C52
P(AB) P( B A) P( A)
称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率
“条件概率”是“概率”吗？
概率定义 何时P(A|B)=P(A)? 设E是随机试验， S是它的样本空间，对于 E的每一个 事件A，赋予一个实数P(A)与之对应，如果集合函数P(· )具 有如下性质：何时P(A|B)>P(A)? ①非负性：对任意一个事件A，均有P(A)≥0 ； P(A|B)<P(A)? ②规范性：P何时 (S)=1； ③可列可加性：若 A1 ， A2 ， … ， An ， … 是两两互不相容 的事件序列，即Ai∩Aj=φ(i≠j, i, j=1,2,…)，有 P(A1∪A2∪…∪An∪…)= P(A1)+ P(A2) +…+ P(An)+… 则称P(A)为事件A的概率。
P(C) P( ABC) P( A BC) P( AB C) P( A B C) P( A) P( B A) P(C AB) P( A ) P( B A ) P(C A B)
P( A) P( B A) P(C AB) P( A ) P( B A ) P(C A B )
解 设A表示事件“一批产品通过检验”，Bi(i=0,1,2,3,4)表示“一 批产品含有i件次品”，则B0,B1, B2, B3, B4组成样本空间的一个划 10 C99 分， P(B0 ) 0.1, P( A B0 ) 1 P( B1 ) 0.2, P( A B1 ) 10 0.900 C100
P( AB) P( B A) P( A)
例1.15 一盒中混有100只新、旧乒乓球，各 有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取 出一球，若取得的是一只红球，试求该红球 是新球的概率。
红 白
设A--从盒中随机取到一只红球。
B--从盒中随机取到一只新球。
新 40 旧 20
30 10
nA 60
nAB 40
2 P ( A1 ) 5
3 P ( A2 | A1 ) 6
3 P( A3 | A1 A2 ) 7 4 P ( A4 | A1 A2 A3 ) 8
三、全概率公式与贝叶斯公式
• 在概率论中，我们经常利用已知的简单事件的概 率，推算出未知的复杂事件的概率。为此，常须 把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事 件的和，再由简单事件的概率求得最后结果。 • 如在例1.18中，如果把甲、乙、丙抽到难题签的 事件作为上述的复杂事件，则可用分解的方法计 算如下：
4 3 2 P( AB ) P ( A) P( B A) 10 9 15
6 4 4 返回 P( A B) P( A ) P( B A ) 10 9 15 4 3 2 1 P( ABC ) P( A) P( B A) P(C AB ) 10 9 8 30