拉格朗日中值定理

一拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。

拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻陈旧，出现创新的一个进程。发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。

用现代的语言来描述，在一个自变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即

f(x+1)−f(x)

1≈0

这就是非常著名的费马定律，当一个函数f(x)在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则f′(x)=0。著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。

在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在闭区间[a,b]内任取两点x0和x1，并且函数f(x)在此闭区间内是连续的，f′(x)的最大值为A，f′(x)最小值为B，则f(x1)−f(x0)

的值必须是A和B之间的一个值。

1−x0

这是拉格朗日定理最初的证明。

下述就是拉格朗日中值定理所要求满足的条件。

如果存在一个函数满足下面两个条件，（1）函数f 在闭区间[a，b]上连续；

（2）函数f 在开区间（a，b）内可导；那么这个函数在此开区间内至少存在着一点，使得f′(ξ)=f(b)−f(a)

b−a

.

拉格朗日中值定理是导数的一个延伸概念，在导数运算中是的很基本概念。

例1：函数f(x)=2x2−8，即f′(x)=4x。当x在开区间(0,+∞)时，有f′(x) >0，f(x)在开区间(0,+∞)单调递增；当x在开区间(−∞,0)时，有f′(x)< 0，f(x)在开区间(−∞,0)单调递减。在x=0，有f′(0)=0，f(0)=−8。

由上述例子说明，想要确定一个函数的单调性可以通过求得这个函数的一阶导数来求得判断单调区间。当一个函数在某个确定的区间内，存在着f′(x)> 0，f(x)在这个确定的区间内单调递增；f′(x)<0，f(x)在这个确定的区间内是单调递减的。在f′(0)=0时，那么这一点就是这个函数的极值点。在例1中，

当1

3−2

=8=f′(2)，这就是拉格朗日中值定理最简单的形式。

在拉格朗日中值定理中，有两个要求条件，一个是在一个闭区间内连续，一个是在相同期间开区间可导，不满足这两个条件，拉格朗日中值定理在此种情况下是没有意义的。

例2：函数f(x)=1

x−1

，这个函数的区间[0,2]。

可以看出这个函数在区间[0,2]上是不连续的，f(1)这个值是不存在的，因此这个函数在此区间上面是不连续的。

这个函数在此闭区间[0,2]上是不可导的，根据可导函数的计算方法可以得到

f′(x)=−

1

(x−1)2

=

f(2)−f(0)

2−0=1

又−1

(x−1)2

=1，这种情况下x的值是不存在的，所以这个函数在此区间内是不可导的。

二拉格朗日中值定理的证明

在微积分相关知识的教材上面，一般情况下在证明拉格朗日中值定理时，经常采用罗尔定理来证明，证明过程中根据题意构建出一个辅助函数来证明定理。

在历史长河中，学者们在对拉格朗日中值定理进行证明的时候最主要的的有四种方法。最开始的一种证明方法出现在著作名为《解析函数论》一书中。这个证明相对来说是比较直观的，它是以这样一个概念为基础证明的：当导数f′(x)>0时，f(x)在一个固定区间内就是单调递增的；反之，则单调递减。利用微积分中的求导方法去确定一个函数的单调区间的方法。并且，此时对拉格朗日定理应用要求在一个闭区间中是连续的，也要求在此相同闭区间可导。假设一个变量在区间内连续的变化，那么这个变量相应的函数也会随着变化的变化而发生变化，有无数的中间值在两个值之间。

在19世纪初时，微积分发生了很大的变化，柯西等数学家在此做出了很大的贡献，人们对函数进行了很严格的定义，极限、连续和导数。在此基础上又给拉格朗日中值定理提出了新的严谨的证明。在19世纪初，学者们对于微分学的系统性定理的详细研究就拉开了序幕。因为拉格朗日中值定理在微分学中有着相当重要的地位，所以，历来学者们都对拉格朗日中值定理的研究十分重视，学者们对拉格朗日中值定理的相关研究也是非常多的。比如在历史上，许多学者都提出了对于拉格朗日中值定理的证明的方法。在历史长河中，学者们提出的关于拉格朗日中值定理的证明方式主要有四种方式。第一种方式，通过利用罗尔定理去构建一个中间函数去证明。第二种方式，根据先决条件，去建立一个相对更加广泛的中值定理，然后在缩小范围去证明。第三种形式，是充分利用积分和在证明过程中不会导致循环去证明一个知识点的其他的微积分定理去证明拉格朗日中

值定理。第四种形式时，充分利用拉格朗日中值定理中所限制的区间，然后采用属于实数方面的区间套理论去证明。

在柯西的著名著作《无穷小计算概论》中这样对拉格朗日中值定理进行了证明：如果一个导数f′(x)在闭区间[a,b]内是连续的，则在这个闭区间[a,b]内至少存在着一点，使得f′(ξ)=f(b)−f(a)

b−a

，使f(ξ)=0。然后在罗尔定理基础上对拉格朗日中值定理进行重新的证明。

柯西定理是指：假设函数f(x)与函数F(x)在闭区间[a,b]内都是连续的，在开区间(a,b)内都是可导的，并且F′(x)在区间(a,b)内不等于0，这是对于在区间(a,b)内的一点ξ，使得

f(b)−f(a) F(b)−F(a)=f′(ξ) F′(ξ)

对柯西定理的证明和对拉格朗日中值定理的证明两种方式都是十分的相似，拉格朗日中值定理在微积分中都占到了非常重要的位置。利用拉格朗日中值定理在求解函数时，给洛必达法则的运用给以严格的证明，是研究函数中最重要的数学工具之一。

我们知道罗尔定理：存在着一个函数在闭区间[a,b]上是连续的，在开区间（a,b）上是可导的，并且这个函数在此开区间（a,b）内的两个端点值是相等的，即f(a)=f(b)，那么在这个开区间（a,b）内至少存在着一点，使得f(ξ)=0。

比较拉格朗日中值定理和罗尔定理，可以看出罗尔定理条件中要求两个端点值相等，但是拉格朗日中值定理不要求两个端点值相等。因此，如果想要用罗尔定理还证明，那么就应该构建一个端点函数值相等的函数。