2020年江西省南昌二中高考(理科)数学第一次模拟测试试卷 含解析
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2020年高考(理科)数学一模试卷
一、选择题(共12小题).
1.已知集合A={y|y=|x|﹣1,x∈R},B={x|x≥2},则下列结论正确的是()A.﹣3∈A B.3∉B C.A∩B=B D.A∪B=B
2.已知复数z1=6﹣8i,z2=﹣i,则=()
A.8﹣6i B.8+6i C.﹣8+6i D.﹣8﹣6i
3.已知命题p:若a<1,则a2<1,下列说法正确的是()
A.命题p是真命题
B.命题p的逆命题是真命题
C.命题p的否命题是:若a<1,则a2≥1
D.命题p的逆否命题是:若a2≥1,则a<1
4.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()
A.2kπ+45°(k∈Z)B.k•360°+π(k∈Z)
C.k•360°﹣315°(k∈Z)D.kπ+(k∈Z)
5.已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是()
A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1
C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1
6.已知函数f(x)=满足对任意的实数x1≠x2都有<0成立,则实数a的取值范围为()
A.(﹣∞,2)B.(﹣∞,]C.(﹣∞,2]D.[,2)
7.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()
A.B.
C.D.
8.《周易》历来被人们视为儒家经典之首,它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识,是中华人文文化的基础,它反映了中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为:把阳爻“”当做数字“1”,把阴爻“”当做数字“0”,则八卦代表的数表示如下:
卦名符号表示的二进制数表示的十进制数
坤0000
震0011
坎0102
兑0113
以此类推,则六十四卦中的“屯”卦,符号“”表示的十进制数是()A.18B.17C.16D.15
9.若x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最大值为()A.4B.5C.6D.7
10.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A、B两点,则|AB|的最大值为()A.2B.C.D.
11.若函数f(x)=x3+x2﹣在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数a的取值范围是()
A.[﹣5,0)B.(﹣5,0)C.[﹣3,0)D.(﹣3,0)12.记M的最大值和最小值分别为M max和M min.若平面向量,,满足||=||=•=•(+2﹣2)=2.则()
A.||max=B.||max=C.||min=
D.||min=
二、填空题
13.如图,某地一天从6﹣14时的温度变化曲线近似满足函数y=A sin(ωx+φ)+b,则b =;该段曲线的函数解析式是.
14.设a∈R,若函数y=e x+ax,x∈R有大于零的极值点,则a的取值范围是.15.已知P(1,1)为椭圆+=1内一定点,经过P引一条弦,使此弦被P点平分,则此弦所在的直线方程为.
16.如图所示,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P 为半径OC上的动点,则(+)•的最小值为.
三、解答题:共70分.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答;第22-23题为选考题,考生根据要求作答.必考题:共60分
17.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,﹣<φ)的最小正周期是π,且当x=时,f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)作出f(x)在[0,π]上的图象(要列表).
18.如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F (E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:
(1)EF∥平面ABC;
(2)AD⊥AC.
19.已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;
(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和数学期望.
20.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.
(Ⅰ)求椭圆E的离心率;
(Ⅱ)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y﹣1)2=的一条直径,若椭圆E经过A、B两
点,求椭圆E的方程.
21.已知函数的导函数y=f'(x)的两个零点为﹣3和0.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)的极小值为﹣e3,求f(x)在区间[﹣5,+∞)上的最大值.
(二)选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则技所做的第一题计分[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.在极坐标系中,已知曲线C1:ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0,C2:ρ=2cosθ.(1)求曲线C1,C2的直角坐标方程,并判断两曲线的形状;
(2)若曲线C1,C2交于A,B两点,求两交点间的距离.
[选修4-5:不等式选讲]
23.设函数f(x)=|x﹣p|.
(I)当p=2时,解不等式f(x)≥4﹣|x﹣1|;
(II)若f(x)≥1的解集为(﹣∞,0]∪[2,+∞),(m>0,n>1),求证:m+2n≥11.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={y|y=|x|﹣1,x∈R},B={x|x≥2},则下列结论正确的是()A.﹣3∈A B.3∉B C.A∩B=B D.A∪B=B
【分析】先求出集合A,从而找出正确选项.
解:∵|x|≥0,∴|x|﹣1≥﹣1;
∴A={y|y≥﹣1},又B={x|x≥2}
∴A∩B={x|x≥2}=B.
故选:C.
2.已知复数z1=6﹣8i,z2=﹣i,则=()
A.8﹣6i B.8+6i C.﹣8+6i D.﹣8﹣6i
【分析】把z1=6﹣8i,z2=﹣i代入,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.解:∵z1=6﹣8i,z2=﹣i,
∴=.
故选:B.
3.已知命题p:若a<1,则a2<1,下列说法正确的是()
A.命题p是真命题
B.命题p的逆命题是真命题
C.命题p的否命题是:若a<1,则a2≥1
D.命题p的逆否命题是:若a2≥1,则a<1
【分析】举例说明命题p为假命题,求出命题p的逆命题,否命题,逆否命题逐一判断即可得答案.
解:已知命题p:若a<1,则a2<1,如a=﹣2,则(﹣2)2>1,命题p为假命题,∴A不正确;
命题p的逆命题是:若a2<1,则a<1,为真命题,∴B正确;
命题p的否命题是:若a≥1,则a2≥1,∴C不正确;
命题p的逆否命题是:若a2≥1,则a>1,∴D不正确.
故选:B.
4.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()
A.2kπ+45°(k∈Z)B.k•360°+π(k∈Z)
C.k•360°﹣315°(k∈Z)D.kπ+(k∈Z)
【分析】题目要写出与的终边相同的角,只要在该角基础上加2π的整数倍即可,但角度值和弧度制不能混用.
解:与的终边相同的角可以写成2kπ+π(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,所以只有答案C正确.
故选:C.
5.已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是()
A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1
C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1
【分析】根据对数函数的图象和性质即可得到结论.
解:∵函数单调递减,∴0<a<1,
当x=1时log a(x+c)=log a(1+c)<0,即1+c>1,即c>0,
当x=0时log a(x+c)=log a c>0,即c<1,即0<c<1,
故选:D.
6.已知函数f(x)=满足对任意的实数x1≠x2都有<0成立,则实数a的取值范围为()
A.(﹣∞,2)B.(﹣∞,]C.(﹣∞,2]D.[,2)
【分析】由已知可得函数f(x)在R上为减函数,则分段函数的每一段均为减函数,且在分界点左段函数不小于右段函数的值,进而得到实数a的取值范围.
解:若对任意的实数x1≠x2都有<0成立,
则函数f(x)在R上为减函数,
∵函数f(x)=,
故,
解得:a∈(﹣∞,],
故选:B.
7.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()
A.B.
C.D.
【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法,判断选项的正误即可.
解:由题意可知,如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,小的长方体,是榫头,从图形看出,轮廓是长方形,内含一个长方形,并且一条边重合,另外3边是虚线,所以木构件的俯视图是A.
故选:A.
8.《周易》历来被人们视为儒家经典之首,它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识,是中华人文文化的基础,它反映了中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为:把阳爻“”当做数字“1”,把阴爻“”当做数字“0”,则八卦代表的数表示如下:
卦名符号表示的二进制数表示的十进制数
坤0000
震0011
坎0102
兑0113
以此类推,则六十四卦中的“屯”卦,符号“”表示的十进制数是()
A.18B.17C.16D.15
【分析】由二进制转化为十进制的方法,我们将各数位上的数字乘以其权重累加后,即可得到答案.
解:由题意类推,可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的010001,
转化为十进制数的计算为1×20+0×21+0×22+0×23+1×24+0×25=17.
故选:B.
9.若x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最大值为()
A.4B.5C.6D.7
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可.解:作出x,y满足约束条件,对于的平面区域如图:
由z=3x+2y,则y=﹣x+,
平移直线y=﹣x+,由图象可知当直线y=﹣x+,
经过点A时,直线y=﹣x+的截距最大,此时z最大,
由,解得A(2,0),
此时z max=3×2+2×0=6,
故选:C.
10.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A、B两点,则|AB|的最大值为()A.2B.C.D.
【分析】设出直线的方程,代入椭圆方程中消去y,根据判别式大于0求得t的范围,进而利用弦长公式求得|AB|的表达式,利用t的范围求得|AB|的最大值.
解:设直线l的方程为y=x+t,代入+y2=1,消去y得x2+2tx+t2﹣1=0,
由题意得△=(2t)2﹣5(t2﹣1)>0,即t2<5.
弦长|AB|=4×≤.
故选:C.
11.若函数f(x)=x3+x2﹣在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数a的取值范围是()
A.[﹣5,0)B.(﹣5,0)C.[﹣3,0)D.(﹣3,0)【分析】由题意,求导f′(x)=x2+2x=x(x+2)确定函数的单调性,从而作出函数的简图,由图象求实数a的取值范围.
解:由题意,f′(x)=x2+2x=x(x+2),
故f(x)在(﹣∞,﹣2),(0,+∞)上是增函数,
在(﹣2,0)上是减函数,
作其图象如右图,
令x3+x2﹣=﹣得,
x=0或x=﹣3;
则结合图象可知,
;
解得,a∈[﹣3,0);
故选:C.
12.记M的最大值和最小值分别为M max和M min.若平面向量,,满足||=||=•=•(+2﹣2)=2.则()
A.||max=B.||max=C.||min=
D.||min=
【分析】由条件可设==(2,0),=(1,),==(x,y),由向量的坐标表示可得C在以圆心P(1,),半径r=的圆上运动,且|﹣|表示点A与点C的距离,且|+|表示点D(﹣2,0)与点C的距离,运用最大值为d+r,最小值为d﹣r,计算可得所求.
解:平面向量,,满足||=||=•=•(+2﹣2)=2,
由•=2×2cos<,>=2,
可得cos<,>=,sin<,>=,
设==(2,0),=(1,),==(x,y),
可得(x,y)•(4﹣2x,2﹣2y)=2,
即为x(4﹣2x)+y(2﹣2y)=2,
化为x2+y2﹣2x﹣y+1=0,
则C在以圆心P(1,),半径r=的圆上运动,
且|﹣|表示点A与点C的距离,
显然最大值为|AC|+r=+=;
最小值为|AC|﹣r=﹣=;
且|+|表示点D(﹣2,0)与点C的距离,
显然最大值为|DC|+r=+=;
最小值为|DC|﹣r=.
故选:A.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.如图,某地一天从6﹣14时的温度变化曲线近似满足函数y=A sin(ωx+φ)+b,则b =20;该段曲线的函数解析式是y=10sin(x+)+20,x∈[6,14]..
【分析】通过函数的图象,求出A,b,求出函数的周期,推出ω,利用函数经过(10,20)求出φ,得到函数的解析式.
解:由题意以及函数的图象可知,A=10,b=20,T=2(14﹣6)=16,所以ω==,
函数经过(10,20)所以20=10sin(×10+φ)+20,所以φ=,
所以函数的解析式:y=10sin(x+)+20,x∈[6,14].
故答案为:20;y=10sin(x+)+20,x∈[6,14].
14.设a∈R,若函数y=e x+ax,x∈R有大于零的极值点,则a的取值范围是{a|a<﹣1}.【分析】先对函数进行求导令导函数等于0,原函数有大于0的极值故导函数有大于零的根.
解:∵y=e x+ax,
∴y'=e x+a.
由题意知e x+a=0有大于0的实根,
由e x=﹣a,得a=﹣e x,
∵x>0,
∴e x>1.
∴a<﹣1.
故答案为:{a|a<﹣1}.
15.已知P(1,1)为椭圆+=1内一定点,经过P引一条弦,使此弦被P点平分,则此弦所在的直线方程为x+2y﹣3=0.
【分析】设弦的两端点坐标为(x1,y1)、(x2,y2),代入椭圆方程,作差,即可求得直线的斜率,求得的直线方程;
解:由于此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率为k,且设弦的两端点坐标为(x1,y1)、(x2,y2),
则两式相减得+=0.
∵x1+x2=2,y1+y2=2,
∴x1﹣x2+2(y1﹣y2)=0,
x+2y﹣3=0
故答案为:x+2y﹣3=0.
16.如图所示,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P 为半径OC上的动点,则(+)•的最小值为﹣.
【分析】根据图形知:O是线段AB的中点,所以+=2,再根据向量的点乘积运算分析方向与大小即可求出.
【解答】解∵圆心O是直径AB的中点,∴+=2,
∴(+)•=2•,
∵||+||=3≥2,
∴||•||≤,即(+)•=2•=﹣2||•||≥﹣,当且仅当||=||=时,等号成立,
故最小值为﹣.
故答案为:﹣.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答;第22.23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分17.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,﹣<φ)的最小正周期是π,
且当x=时,f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)作出f(x)在[0,π]上的图象(要列表).
【分析】(1)由函数的最值求出A,由周期求出ω,由特殊点的坐标求出φ的值,即可求得函数解析式;
(2)用五点法即可作函数y=A sin(ωx+φ)在一个周期上的图象.
解:(1)因为函数f(x)的最小正周期是π,
所以ω=2.
又因为当x=时,f(x)取得最大值2.
所以A=2,同时2×+φ=2kπ+,k∈Z,
φ=2kπ+,k∈Z,
因为﹣<φ<,
所以φ=,
所以f(x)=2sin(2x+).
(2)因为x∈[0,π],
所以2x+∈[,],
列表如下:
2x+π2π
x0π
f(x)120﹣201
描点、连线得图象:
18.如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F
(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:
(1)EF∥平面ABC;
(2)AD⊥AC.
【分析】(1)利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论;
(2)通过取线段CD上点G,连结FG、EG使得FG∥BC,则EG∥AC,利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD,结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG,从而可得结论.
【解答】证明:(1)∵AB⊥AD,EF⊥AD,且A、B、E、F四点共面,
∴AB∥EF,又∵EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,
∴EF∥平面ABC;
(2)在线段CD上取点G,连结FG、EG使得FG∥BC,则EG∥AC,
∵BC⊥BD,FG∥BC,∴FG⊥BD,
又平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,FG⊂平面BCD,
∴FG⊥平面ABD,∵AD⊂平面ABD,∴FG⊥AD,
∵AD⊥EF,且EF∩FG=F,
∴AD⊥平面EFG,∵EG⊂平面EFG,∴AD⊥EG,
∵EG∥AC,∴AD⊥AC.
19.已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;
(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和数学期望.
【分析】(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,利用古典概型的概率求解即可;
(2)X的可能取值为:200,300,400;求出对应的概率,得到分布列,然后计算数学期望值.
解:(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,
则P(A)===;
(2)X的可能取值为200,300,400,
P(X=200)===,
P(X=300)===,
P(X=400)=1﹣P(X=200)﹣P(X=300)=1﹣﹣=;
所以X的分布列为:
X200300 400
P
数学期望为EX=200×+300×+400×=350.
20.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.
(Ⅰ)求椭圆E的离心率;
(Ⅱ)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y﹣1)2=的一条直径,若椭圆E经过A、B两点,求椭圆E的方程.
【分析】(Ⅰ)求出经过点(0,b)和(c,0)的直线方程,运用点到直线的距离公式,结合离心率公式计算即可得到所求值;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2,①设出直线AB的方程,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,结合圆的直径和中点坐标公式,解方程可得b2=3,即可得到椭圆方程.
解:(Ⅰ)经过点(0,b)和(c,0)的直线方程为bx+cy﹣bc=0,
则原点到直线的距离为d==c,即为a=2b,
e===;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2,①
由题意可得圆心M(﹣2,1)是线段AB的中点,则|AB|=,
易知AB与x轴不垂直,记其方程为y=k(x+2)+1,代入①可得
(1+4k2)x2+8k(1+2k)x+4(1+2k)2﹣4b2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=.x1x2=,
由M为AB的中点,可得x1+x2=﹣4,得=﹣4,解得k=,
从而x1x2=8﹣2b2,于是|AB|=•|x1﹣x2|=•
==,解得b2=3,
则有椭圆E的方程为+=1.
21.已知函数的导函数y=f'(x)的两个零点为﹣3和0.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)的极小值为﹣e3,求f(x)在区间[﹣5,+∞)上的最大值.
【分析】(Ⅰ)求导数f′(x),根据y=f'(x)的两个零点﹣3和0以及a的符号,即可解得不等式f'(x)>0,f'(x)<0,从而得到函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)由(Ⅰ)及所给已知条件可求出f(x),再利用导数即可求得函数f(x)在闭区间上的最大值;
解:(Ⅰ),
令g(x)=﹣ax2+(2a﹣b)x+b﹣c,
因为e x>0,所以y=f'(x)的零点就是g(x)=﹣ax2+(2a﹣b)x+b﹣c的零点,且f'(x)与g(x)符号相同.
又因为a>0,所以﹣3<x<0时,g(x)>0,即f'(x)>0,
当x<﹣3,或x>0时,g(x)<0,即f'(x)<0,
所以f(x)的单调增区间是(﹣3,0),单调减区间是(﹣∞,﹣3),(0,+∞).(Ⅱ)由(Ⅰ)知,x=﹣3是f(x)的极小值点,所以有,解得a=1,b=5,c=5,
所以.
∵f(x)的单调增区间是(﹣3,0),单调减区间是(﹣∞,﹣3),(0,+∞),∴f(0)=5为函数f(x)的极大值,
∴f(x)在区间[﹣5,+∞)上的最大值取f(﹣5)和f(0)中的最大者.
而>5,所以函数f(x)在区间[﹣5,+∞)上的最大值是5e5.(二)选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则技所做的第一题计分[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.在极坐标系中,已知曲线C1:ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0,C2:ρ=2cosθ.(1)求曲线C1,C2的直角坐标方程,并判断两曲线的形状;
(2)若曲线C1,C2交于A,B两点,求两交点间的距离.
【分析】(1)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.(2)利用点到直线的距离公式的应用求出结果.
解:(1)已知曲线C1:ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0,转换为直角坐标方程为.所以该曲线为直线.
曲线C2:ρ=2cosθ.转换为直角坐标方程为x2+y2﹣2x=0.
所以该曲线为以(1,0)为圆心,1为半径的圆.
(2)首先把x2+y2﹣2x=0转换为(x﹣1)2+y2=1,
利用点(1,0)到直线的距离d=,
则说明圆心在直线上,
所以|AB|=2.
[选修4-5:不等式选讲]
23.设函数f(x)=|x﹣p|.
(I)当p=2时,解不等式f(x)≥4﹣|x﹣1|;
(II)若f(x)≥1的解集为(﹣∞,0]∪[2,+∞),(m>0,n>1),求证:m+2n≥11.
【分析】(Ⅰ)通过讨论x的范围,求出不等式的解集即可;
(Ⅱ)表示出x的范围,得到关于p的方程组,求出p的值,得到,根据乘“1”法证明即可.
解:(I)当p=2时,不等式化为|x﹣2|+|x﹣1|≥4
∵
∴不等式的解集为
(II)根据f(x)≥1得|x﹣p|≥1⇒x≤p﹣1或x≥p+1,
∵f(x)≥1的解集为(﹣∞,0]∪[2,+∞),
故,所以,
∵m>0,n>0,
∴,
当且仅当m=3,n=4时取等号,∴m+2n≥11.。