一、光栅衍射基本原理

6 107
m
600nm
光栅光谱
例题2 用每毫米刻有500条栅纹的光栅，观察钠 光谱线（= 589.3 nm），问
（1）平行光线垂直入射时； （2）平行光线以入射角30入射时，最多能看见第几级 条纹？总共有多少条条纹？ （3）由于钠光谱线实际上是 1=589.0nm 及 =589.6nm 两条谱线的平均波长，求在正入射时最高级条纹此双线 分开的角距离及在屏上分开的线距离。设光栅后透镜的 焦距为2m.
一、光栅衍射基本原理
1. 光栅衍射
1.1 基本概念
• 光栅—大量等宽等间距的平行狭缝(或反射面) 构成的光学元件。
• 种类：
透射光栅 d
反射光栅 d
• 光栅常数
a是透光（或反光）部分的宽度
b是不透光(或不反光)部分的宽度
d=a+b
光栅常量
光栅衍射
1.2 光栅的衍射图样
光栅衍射演示
• 光栅衍射实验装置图：
光栅衍射
1.4 缺级
b 为整数比时，明纹会出现缺级
a
I0单 I单
-2
-1
光栅衍射 光强曲线
0
1
2 sin ( /a)
I N2I0单
N=4
单缝衍射 d = 4a
轮廓线
-8
-4
此图为N = 4，
d a
0
=
4
4
8 sin ( /d )
的单缝衍射和光栅衍射的
光强分布曲线，这里主极大缺±4,±8…级。
光栅衍射
N
暗纹间距= 主极大间距 N
相邻主极大间有N－1个暗纹和N－2个次极大。
光栅衍射
例： N = 4,有三个极小：
d sin m
N sin 1 , 2 , 3
4d 4d 4d
k 1 , k 2 , k 3
d sin 2
, , 3
2
4
光栅衍射
d sin 2
a6
a5
a4
N
A
a3
a1
a2
o
X
缝平面G 透 镜
d
L
dsin 焦距 f
得： N 2m
(m 1,2,… Nk)
观察屏 P
o
光栅衍射
暗纹条件：
N 2m (1)
又 d sin 2
由(1),(2)得
(m 1,2,… Nk) (2)
d sin m (m Nk, k 0)
干涉明纹位置： d sin k，k 0,1,2,
衍射暗纹位置： a sin k ，k 1,2,3,
d k 时, ,出现缺级。
ak
干涉明纹缺级级次
kdk a
光栅衍射
判断缺级条件
思考
2. 光栅光谱
复色光照射光栅时，谱线按波长向外侧依次分开 排列，形成光栅光谱。
光栅分光镜
光栅光谱
例题1 利用一个每厘米刻有4000条缝的光栅，在白光 垂直照射下，可以产生多少完整的光谱？问哪一级光 谱中的哪个波长的光开始与它谱线重叠？
光栅衍射
1.3 多光束干涉 明纹条件：
d sin k
缝平面G 透 镜
d
L
观察屏 P
o
（k = 0,1,2,3…）
---光栅方程
dsin 焦距 f
设每个缝发的光在对应衍射角 方向的P点的光振
动的振幅为Ep
P点为主极大时 2k
Ep NEp
IP
N
2
E
2 p
光栅衍射
暗纹条件：
由同频率、同方向振动 合成的矢量多边形法则
缝平面 透镜L
透镜L
B
S
*
a
观察屏
· 衍射光相干叠加
p
S: 单色线光源
0
AB a：缝宽
Aδ
f f
: 衍射角
1 I / I0
相对光强曲线
中央明纹
衍射图样中各级
0.017 0.047
次极大 暗纹
0.047 0.017
条纹的相对光强
-2( /a) -( /a) 0 /a 2( /a) sin
单缝衍射光强公式：
解: 设
紫 400nm 4 107 m 红 760nm 7.6 107 m
根据光栅方程 (a b)sin k
对第k级光谱，角位置从 到k紫
源自文库
光谱，即要求 的第(k+紫1)级纹在
，亦即
k紫 k红
，要k红产生完整的 的第k级红条纹之后
光栅光谱
由
(a b)sink红 k红
(a b)sink1 （k 1）紫
1 I / I0 相对光强曲线
0.017 0.047
0.047 0.017
-2( /a) -( /a) 0 /a 2( /a) sin
光栅衍射
透镜
θ
λ
a d
θ
θ
f
衍射光相干叠加
I
衍射的影响： 多缝干涉条纹各级主极大的强度不再相等，而
是受到了衍射的调制。主极大的位置没有变化。
光栅衍射
N 4 , 衍射光强曲线
I0单 I单
d 4a
-2
-1
0
1
多光束干涉光强曲线
sin2N/sin2
N2
2 sin (/a)
-8
-4
光栅衍射 光强曲线
-8
-4
0
4
I N2I0单
单缝衍射 轮廓线
0
4
8 sin (/d) 8 sin (/d)
强度公式
I
I
0
sin
2
sin N sin
2
a sin , d sin
得
k红 (k 1)
ab
ab
或 k红 （k 1）紫
7.6107 k 410（7 k 1）
所以只有 k才满1 足上式，所以只能产生一个完
整的可见光谱，而第二级和第三级光谱即有重叠 出现。
光栅光谱
设第二级光谱中波长为 的 光与第三级中紫光开始重
叠，这样
(k 1) k紫
k 2,代入得
3
2紫
3 2
4 107 m
光栅光谱
解 （1）根据光栅方程 (a b) si得n k
k
ab
sin
按题意知，光栅常数为
a
b
1 500
mm
2
106
m
可见 k的可能最大值相应于 sin 1
代入数值得
k
2106 589.3109
, , 3
2
4
3
4
2
1
/2
4 1
1
4
2
3
3 /2
d sin m
N
sin 1 , 2 , 3
4d 4d 4d
k 1 , k 2 , k 3
光强曲线
I I0
N=4
-2(/d)
-(/d)
0
/d
-(/4d) /4d
sin
2/d
光栅衍射
光栅衍射的谱线特点：
（1）主级大明纹的位置与缝数N无关，它们对称 地分布在中央明纹的两侧，中央明纹光强最大； （2）在相邻的两个主级大之间，有 N1个极小 （暗纹）和N2=2个光强很小的次极大，当N 很大 时，实际上在相邻的主极大之间形成一片暗区，即 能获得又细又亮暗区很宽的光栅衍射条纹。
一
观察屏
系
光栅 透镜L
列
d
P
又
细
又
亮
N
f
的 明
条
：衍射角
纹
光栅衍射
1.2 光栅的衍射图样
不考虑衍射时, 多缝干涉的光强分布图：
多光束干涉光强曲线
sin2N/sin2
N2
-8
-4
0
4
8 sin (/d)
设光栅的每个缝宽均为a，在夫琅禾费衍射下，每 个缝的衍射图样位置是相重叠的。
单缝夫琅禾费衍射的光路图