直流电机PI控制器参数设计

t=[0:0.0001:0.5]
u=t
lsim(sys,u,t,0);grid
xlabel('t');
ylabel('y(t)');
title('ramp response')
输入程序并运行后，会自动弹出绘制的跟踪曲线，如下所示：
图4-2 PI系统单位斜坡输入响应
由上图可以看出，在输入信号后，输出与输入的误差由零逐渐增大，然后趋于一个稳定的值。为精确确定误差，下面单独对误差响应做分析。
摘要:控制理论经过数十年的发展,并伴随计算技术的快速发展,如今已经形成相当成熟的理论,并在各个行业和领域得到广泛的应用。本文所述的直流电机的PI控制就是其一方面的应用，文中将结合实例分析PI控制系统对单位阶跃和单位斜坡输入的响应，计算其动态和跟踪性能。完成上述工作需借助功能强大的数学计算软件ＭＡＴＬＡＢ，精确模拟系统的响应。
在MATLAB命令框中输入程序：
num=[50,5000];
den=[1,100,5000];
step(num,den);
sys=tf(num,den);
ltiview;
敲击回车键后在弹出的LTIViewer框中导入sys函数，然后对绘制的曲线进行相应的设置后可以得到阶跃响应的各项指标点，如上升时间 、峰值时间 和调节时间 ,效果如下图所示：
时间安排：
1、课程设计任务书的布置，讲解 （半天）
2、根据任务书的要求进行设计构思。（半天）
3、熟悉MATLAB中的相关工具（一天）
4、系统设计与仿真分析。（三天）
5、撰写说明书。 （二天）
6、课程设计答辩（半天）
指导教师签名： 年 月 日
系主任（或责任教师）签名： 年 月 日
直流电机PI控制器参数设计
（2）计算W到Y的传递函数；
（3）试求kP和kI的值，使闭环系统的特征方程的根包括 ；
（4）分析在单位阶跃参考输入、单位斜坡参考输入时系统的跟踪性能；
（5）在Matlab中画出上述系统响应，并以此来证明（4）的分析结论。
（6）对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须写清楚分析的过程，附Matlab源程序或Simulink仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写。
其中
带入 ，则：
2.4
由闭环传递函数得系统特征方程为：
根据设计需要，因单位反馈闭环传递函数特征根包括 ，则根据特征根，可推断
继而化简得
因此
即
， 。
从而闭环系统的传递函数为
3动态跟踪性能分析
3.1
采用分析法研究比例积分控制系统的动态和跟踪性能。
PI控制开环传递函数形如：
令
则
令 ，可得闭环传递函数为
其中
组成。
系统误差响应为 。当时间 趋于无穷时，误差响应 的稳态值为稳态误差，以 标志。对于此处单位斜坡响应时，其稳态误差为
误差响应为
将上式对 求导，的误差响应的峰值时间
将 带入误差响应函数可得最大误差
0.0121
4数学仿真与验证
4.1MATLAB
MATLAB是数学计算领域非常强大的一个软件,在很多领域有着极其重要的作用,比如自动控制领域。在此将借用MATLAB来对系统性能进行分析计算，验证理论结果。
由上式可知，PI控制系统不改变系统自然频率，但可以增大系统阻尼比。因ξ与 均和 有关，所以适当选择开环增益和积分时间常数，既可以减小系统在斜坡输入时的稳态误差，又可以使系统在阶跃输入时有满意的动态性能。
3.2
结合上述分析，当输入是阶跃函数时，本系统输出为：
因 ，对上式进行拉氏反变换，得单位阶跃响应
由上式可以看出，系统为稳态分量 和瞬态分量 组成。系统阶跃时间响应为振荡衰减函数，稳态值趋于1。将阶跃响应对 求导，有峰值时间
图4-1 PI系统单位阶跃响应曲线
当光标移到对应点后，在浮出的文本框中可读出数据，列出如下：
峰值时间：tp=0.047
峰值：
超调量：
条件时间： （ ）
4.3
对于系统的单位斜坡输入响应，可以采用同样的方法。
首先在命令框中输入程序如下：
num=[50,5000]
den=[1,50,5000]
sys=tf(num,den)
关键词：ＰＩ控制ＭＡＴＬＡＢ
直流电机PI控制器参数设计
1
1.1系统结构如下图
图1-1 直流电机PI控制结构图
系统组成为比例积分环节、比例环节、惯性环节和单位负反馈，在比例环节与惯性环节之间加入扰动信号比较点。其中，比例环节与惯性环节是系统部可变部分。扰动信号输入时也经过一个比例环节。
2数学模型
2.1PI
由设计要求可以得出，
其中e=r-y。故做拉氏变换可得D的表达式：
2.2
令图1中的 输入为零，可以得到方程：
两边同时乘以 可得：
最后进行拉式反变换得：
令图1中的 输入为零,可以得到方程
两边同时乘以 可得：
最后进行拉式反变换得：
2.3
控制系统除了承受输入信号作用外，还经常处于各种扰动下。本系统的扰动信号为电机的负载转矩W。设负载转矩W的拉氏变换为 ,若令输入 则可计算得出扰动的输出即W到Y的输出：
。
把峰值时间带入 得
根据超调量定义，可得
。
令 表示实际响应与稳态输出之间的误差，由 可以得不等式
若取 ，由上式可解出
3.3
当输入为单位斜坡函数时，系统输出为：
因系统阻尼比为 ，属于欠阻尼系统。以下为欠阻尼系统的单位斜坡响应分析。
对上式进行反拉氏变换，得斜坡输入的时间响应
由上式可知系统单位斜坡响应由稳态分量 和瞬态分量
已知系统单位斜坡误差响应为：
反拉氏变换后得
由 形式可知，欲求 ，可求 的阶跃响应。
同样可以利用LTIViewer求取误差函数的峰值、稳态值等。在命令框中输入程序：
MATLAB为各种信号的建模提供了极其方便的表示方法，对于连续时间系统的时域分析的表示也很简单。
对于连续系统多项式模型
MATLAB表示方法为：
分子多项式：
分母多项式：
建立传递函数模型：
此外，可以使用MATLAB中的LTI Viewer求取系统的各项性能指标。
4.2
下面借助LTBiblioteka Viewer计算本PI控制系统单位阶跃响应时的性能指标和追踪性能。
题 目: 直流电机PI控制器参数设计
初始条件：
一直流电机控制系统的方框图如图所示，其中Y为电机转速， 为电枢电压，W为负载转矩。令电枢电压由PI控制定律求取，PI表达式为： ，其中e=r-y。
要求完成的主要任务:（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）
（1）写出以va和W为输入的直流电机系统微分方程；