第二章 故障分布函数new

可靠度：系统（部件）在规定的条件下和规定的时间t 可靠度：系统（部件）在规定的条件下和规定的时间t内，完 成规定功能的概率。 成规定功能的概率。 用数学语言表述：定义连续随机变量T表示系统（部件） 用数学语言表述：定义连续随机变量T表示系统（部件） 的故障前时间， 的故障前时间，T 0，可靠度可以写为 其中， ( t ) ≥ 0 ，R ( 0 ) = 1 并且 lim R ( t ) = 0 其中， R
MTTF = E (T ) = ∫ tf ( t ) dt = ∫ R ( t ) dt
MTTF（ MTTF（Mean Time to Failure）一般针对不可修复产品，而 Failure）一般针对不可修复产品 针对不可修复产品， 可修复产品采用 采用MTBF（ Failures）。 对可修复产品采用MTBF（Mean Time Between Failures）。 故障前时间中值t 故障前时间中值tmed：在tmed之前发生故障的概率为50%，在 之前发生故障的概率为50%， tmed之后发生故障的概率同样也是50%。 之后发生故障的概率同样也是50%。
0
t2 ln R ( t1 ) − ln R ( t2 ) 1 ′ ) dt ′ = 平均故障率为 AFR ( t1 , t2 ) = t − t ∫t1 λ ( t t2 − t1 2 1
若 t1 = 0 ，则
− ln R ( t ) L ( t ) AFR ( t ) = = t t
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故障分布函数
0.002e −0.002t , t ≥ 0 f (t ) = 其他 0,
t以h为单位。求均值，中数和众数。 为单位。求均值，中数和众数。
MTTF = 500h
R ( tmed ) = 0.5
tmed = 346.6h
f ( t )是单调递减且非负函数，因此 tmod e = 0 是单调递减且非负函数，
2.3 故障率函数
例2.6 某部件的可靠度函数为
t2 R (t ) = 1 − 2 , 0 ≤ t ≤ a a
式中， 为分布参数，表示部件的最大寿命。 式中，a为分布参数，表示部件的最大寿命。求相关联 的可靠性的概率密度和可靠性指标。 的可靠性的概率密度和可靠性指标。
f (t ) = 2t 2t , λ (t ) = 2 2 , 0 ≤ t ≤ a a2 a −t 2 MTTF = a 3
0 0
R ( tmed ) = 0.5 = Pr {T > tmed }
众数t 众数tmode ：最可能发生故障的时间。 最可能发生故障的时间。
R ( tmod e ) = max f ( t )
0≤t <∞
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故障分布函数
2.2 平均故障前时间
第二章
故障分布函数
2.2 平均故障前时间
例2.2 考虑概率密度函数
ˆ ( t ) = ns ( t ) R n
第二章
故障分布函数
2.1 可靠度函数
补充： 在规定条件下对12个不可修产品进行无替换试验 个不可修产品进行无替换试验， 补充： 在规定条件下对 个不可修产品进行无替换试验，试 验结果如图(a)所示 在某观测时间内对3个可修复产品进行试 所示， 验结果如图 所示，在某观测时间内对 个可修复产品进行试 验，实验结果如图(b)所示。图中“×”均为产品出现故障时 实验结果如图 所示。图中“ 所示 的时间， 为规定时间 求以上两种情况的产品可靠度估计值。 为规定时间， 的时间，t为规定时间，求以上两种情况的产品可靠度估计值。
t →∞
R ( t ) = Pr {T > t}
可靠度理论上的值称为可靠度真值，它完全由产品故障的 可靠度理论上的值称为可靠度真值， 数学模型所确定的。 数学模型所确定的。
可靠度真值虽然客观存在，但实际上是未知的。 可靠度真值虽然客观存在，但实际上是未知的。
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故障分布函数
2.1 可靠度函数
ˆ 可靠度的估计值 R ( t )
0.001 ,t ≥ 0 2 f ( t ) = ( 0.001t + 1) 0 , 其他
R (100 ) = 0.909 R ( t R ) = 0.95
t R = 52.6h
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故障分布函数
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2.2 平均故障前时间
∞ ∞
平均故障前时间 平均故障前时间MTTF：定义为无故障工作时间T的数学期望。 前时间MTTF：定义为无故障工作时间T的数学期望。
单位时间内故障的条件概率（故障率） 单位时间内故障的条件概率（故障率）
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故障分布函数
2.3 故障率函数
若t0，则可以得到瞬时危害率或故障率函数t 则可以得到瞬时危害率或故障率函数 函数
R ( t + ∆t ) − R ( t ) 1 λ ( t ) = lim − ∆t →0 ∆t R (t ) − dR ( t ) 1 f (t ) = = dt R ( t ) R ( t )
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故障分布函数
2.2 平均故障前时间
描述故障分布的另一个参数是方差
σ = ∫ ( t − MTTF ) f ( t ) dt
2 2 0
∞
方差表示故障时间与MTTF距离平方的均值 方差表示故障时间与MTTF距离平方的均值，它对故障时间与时 距离平方的均值， 间均值的差量进行评价。方差的平方根是标准差。 间均值的差量进行评价。方差的平方根是标准差。
F ( 0) = 0
lim F ( t ) = 1
t →∞
R ( t ) 和 F ( t ) 互为对立事件。 互为对立事件。
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故障分布函数
2.1 可靠度函数
失效概率密度函数：描述故障分布的形态， 失效概率密度函数：描述故障分布的形态， f ( t ) 。 形态
f (t ) ≥ 0
∫ f (t ) = 1
在实际工作中，获得有限个样本的观测数据，并经过一 在实际工作中，获得有限个样本的观测数据， 定的统计计算得到真值的估计值。 定的统计计算得到真值的估计值。 对于不可修产品： 对于不可修产品：可靠度估计值是指在规定的时间区间 0，t） （0，t）内，能完成规定功能的参数的产品数 ns ( t ) 与在该 时间区间开始投入工作的产品数n之比。 时间区间开始投入工作的产品数n之比。 对于可修产品： 对于可修产品：可靠度估计值是指一个或多个产品的无 故障工作时间达到或超过规定时间t 故障工作时间达到或超过规定时间t的次数 ns ( t )与观测时 间内无故障工作总次数n之比。 间内无故障工作总次数n之比。
t t
观测时间
t t
t
规定时间
ˆ ( t ) = ns ( t ) = 5 = 0.4167 R n 12
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故障分布函数
2.1 可靠度函数
F ( t ) = 1 − R ( t ) 表示什么含义？ 表示什么含义？
故障的累积分布函数（不可靠度）：表示在规定的条件下和 故障的累积分布函数（不可靠度）：表示 ）：表示在规定的条件下和 规定的时间t 未完成规定功能的概率（ 规定的时间t内，未完成规定功能的概率（或发生故障的概 ），记为 率），记为 F ( t ) 。
一般而言，相同的MTTF MTTF， 一般而言，相同的MTTF，我们更喜欢分布函数的方差小一 为什么？ 些。为什么？
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故障分布函数
2.2 平均故障前时间
例2.3 令 R1 ( t ) = e −0.002t , t ≥ 0 1000 − t R2 ( t ) = , 0 ≤ t ≤ 1000 1000 分别求其MTTF 并计算工作400h MTTF， 400h时的可靠度 分别求其MTTF，并计算工作400h时的可靠度
tmed = 0.707a ln (1 − t 2 / a 2 ) AFR ( t ) = − t
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故障分布函数
2.3 故障率函数
补充：有甲、乙两种产品，甲种产品在t=0h时 补充：有甲、乙两种产品，甲种产品在t=0h时，有N=100个产 t=0h N=100个产 品开始工作， t=100h前有 个故障，而在100h 105h内有 前有2 100h内有1 品开始工作，在t=100h前有2个故障，而在100h-105h内有1个产 品故障率，乙种产品在t=0h t=0h时 也有N=100个产品开始工作， N=100个产品开始工作 品故障率，乙种产品在t=0h时，也有N=100个产品开始工作， t=1000h前共有51个产品故障 而在1000 1005h内有 前共有51个产品故障， 1000内有1 在t=1000h前共有51个产品故障，而在1000-1005h内有1个产品 故障，试计算甲产品在100h处和乙产品在1000h处的故障率与 故障，试计算甲产品在100h处和乙产品在1000h处的故障率与 100h处和乙产品在1000h 故障密度。 故障密度。 甲产品： 甲产品：
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故障分布函数
2.2 平均故障前时间
例2.3 令 R1 ( t ) = e −0.002t , t ≥ 0 1000 − t R2 ( t ) = , 0 ≤ t ≤ 1000 1000 分别求其MTTF 并计算工作400h MTTF， 400h时的可靠度 分别求其MTTF，并计算工作400h时的可靠度
一个确定的故障率函数可以唯一确定一个可靠度函数。 一个确定的故障率函数可以唯一确定一个可靠度函数。
− t λ ( t ′ ) dt ′ R ( t ) = exp ∫ 0
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故障分布函数
2.3 故障率函数
t
累积故障率和平均故障率 累积故障率为
L ( t ) = ∫ λ ( t ′ ) dt ′
MTTF1 = 500h
MTTF2 = 500h
R2 ( 400 ) = 0.60
R1 ( 400 ) = 0.449
即使两可靠度函数的均值相同，但对应相同工作时间他们 即使两可靠度函数的均值相同， 的可靠度也可能是不同的。显然，MTTF不能唯一确定故障 的可靠度也可能是不同的。显然，MTTF不能唯一确定故障 分布，因此需要寻找其他的度量参数。 分布，因此需要寻找其他的度量参数。
0
∞
为什么不是从 -开始积分？ 开始积分？
f ( t ) 、 ( t ) 、 ( t ) 之间的关系。 F R 之间的关系 的关系。 f (t )
R ( t ) = ∫ f ( t ′ ) dt ′
t
∞
F ( t ) = ∫ f ( t ′)dt ′
t 0
R (t )
F (t ) = 1 − R (t )
MTTF1 = 500h
MTTF2 = 500h
R2 ( 400 ) = 0.60
R1 ( 400 ) = 0.449
σ 1 = 500
σ 2 = 288.67
第二章
故障分布函数
2.3 故障率函数
在时间段[a,b] 在时间段[a,b]内发生故障的概率为
Pr {a ≤ T ≤ b} = F ( b ) − F ( a ) = R ( a ) − R ( b ) = ∫ f ( t ) dt
第二章
故障分布函数
可靠度函数
相关联的概率 函数
累积分布函数 概率密度函数 故障率函数 平均故障前时间
可靠性度量指标
故障分布的方差 故障前时间的中值
第二章
故障分布函数
2.1 可靠度函数
可靠性：产品在规定的条件下和规定的时间区间内， 可靠性：产品在规定的条件下和规定的时间区间内，完成规 定功能的能力。 定功能的能力。 “能力”只是定性的理 能力” 解是不够的， 解是不够的，应该加以 定量的描述。 定量的描述。
F (t )
第二章
故障分布函数
2.1 可靠度函数
f ( t ) 、 ( t ) 、 ( t ) 几何意义。 F R 几何意义。
F (t )
R (t )
表示什么 意义？ 意义？
第二章
故障分布函数
2.1 可靠度函数
假设随机变量T表示压缩机的故障前时间（工作时间）， 例2.1 假设随机变量T表示压缩机的故障前时间（工作时间）， 那么压缩机工作100h的可靠度是多少？ 100h的可靠度是多少 那么压缩机工作100h的可靠度是多少？
由此，借助概率论和数理统计的方法，来定义相关 由此，借助概率论和数理统计的方法， 可靠性的特征量，例如：可靠度、 可靠性的特征量，例如：可靠度、累积失效概率 或不可靠度）、平均寿命、可靠寿命、失效率等。 ）、平均寿命 （或不可靠度）、平均寿命、可靠寿命、失效率等。
第二章
故障分布函数
2.1 可靠度函数
b a
系统持续工作到t时刻尚未发生故障而在t 系统持续工作到t时刻尚未发生故障而在tt+t时间段内发生 故障的概率为
R ( t ) − R ( t + ∆t ) Pr {t ≤ T ≤ t + ∆t T ≥ t} = R (t ) R ( t ) − R ( t + ∆t ) R ( t ) ∆t