中考复习之统计与概率

概率统计

知识要点

一、统计

1.总体与样本:所要考察对象的全体叫做总体,其中每一个考察对象叫做个体,从总体中所抽取的一部分各题叫做总体的一个样本,样本中各题数目叫做样本的容量。

例如:全班同学的身高数据构成一个总体,其中每一个同学的身高叫做个体,现取出10个同学的身高进行研究,这10个同学的身高数据就就是全班同学身高数据这个总体的一个样本,10就就是这个样本的样本容量。 2.众数,中位数

众数:一组数据中,出现次数最多的数据叫做众数。

例如:10,11,15,11,13,12,15,10,11,11,15这一组数据中,11出现了4次,次数最多,所以11就就是这组数据的众数。

中位数:将一组数据按从大到小的顺序依次排列,处在最中间位置的数据叫做中位数;需要注意的就是,如果数据的个数就是偶数个,则中位数就是中间两个数字的算术平均值。

例如:18,17,15,13,13,10这一组数据中,因为数据的个数就是偶数个,所以中位数就是中间两个数的算术平均值,就就是15与13的平均数14。 3.求平均数的两个公式

(1)n 个数1x 、2x ……n x 的平均数为:12n

x x x x n

+++=

L ;

(2)如果在n 个数中,1x 出现了1f 次,2x 出现了2f 次……n x 出现了n f 次,则这组数据的平均数为:112212n n

n

x f x f x f x f f f +++=

+++L L 。

4.极差与方差

(1)一组数据中,用这组数据的最大值减去最小值所得的差就就是极差,极差就是用来反映这组数据的变化范围的统计量,即:极差=最大值-最小值; (2)一组数据的方差为:()()()

2222

121n s

x x x x x x n ⎡

⎤=

-+-++-⎢

⎥⎣⎦L

方差就是用来表示一组数据的集中程度的统计量。 5.常用统计图

(1)扇形统计图:扇形统计图中的圆心角等于这部分所占总体的比例乘以360°; (2)条形统计图 (3)折线统计图 ６.频数与频率

⑴频数:每个对象出现的次数

⑵频率:每个对象出现的次数与总次数的比值 ⑶频数、频率均能反映每个对象出现的频繁程度. 二、概率 １． 概率的定义

表示一个事件发生的可能性大小的这个数叫做该事物的概率,可记作“P ”. ２． 可能还就是确定

⑴“不可能”发生:指每次都完全没有机会发生,即发生的机会就是０. ⑵“必然”发生:指每次一定发生,即发生的机会就是１００％.

⑶可能发生:指有时会发生,有时不会发生,即发生的机会介于０与１００％之间,但不包括０与１００％.

⑷“不太可能”:指发生的机会很小,可以小到很小,但仍然会发生,即它的可能性不就是０. ３． 估计随机事件发生的概率的方法

⑴通过多次重复试验的方法;

⑵通过逻辑分析用列举法(包括列表、画树状图)计算的方法. ４． 频率与概率的关系

频率与概率在实验可以非常接近,但不一定相等. ５． 实例

⑴投针实验

投针实验力图使学生通过亲身的实验、统计过程获得用实验方法估计复杂事件发生的概率的体验,使扎实的认识到当实验次数较大时实验频率稳定于理论概率,但在投针实验中须注意要从一定高度随意抛针,保证投针的随机性.

⑵游戏公平不

瞧一个游戏就是否公平,只要瞧游戏的双方就是否各有５０％赢的机会,如果不就是,那么这个游戏就就是不公平的,要想使它变成公平,就要修改游戏规则.

一个公平的游戏,出现双方可能性的机率就是相等的. 有的游戏可以通过试验,也可以用列表的形式进行穷举.

典例解析

1、 (2011广东广州市,22,12分)某中学九年级(3)班50名学生参加平均每周上网时间的调查,由调查结果绘制了频数分布直方图(图6),根据图中信息回答下列问题:

(1)求a 的值;

(2)用列举法求以下事件的概率:从上网时间在6~10小时的5名学生中随机选取2人,其中至

少1人的上网时间在8~10小时.

解:(1)a =50－6－25－3－2=14

(2)设上网时间为6~8小时的三个学生为A 1,A 2,A 3,上网时间为8~10个小时的2名学生为B 1,B 2,则共有A 1A 2,A 1A 3,A 1B 1,A 1B 2,

A 2A 3,A 2

B 1,A 2B 2

频数 (学生人数)

A 3

B 1,A 3B 2 B 1B 2

10种可能,其中至少1人上网时间在8~10小时的共有7种可能,故 P(至少1人的上网时间在8~10小时)=0、7

2、 (2011四川南充市,16,6分) 在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌,它们分别标有数字1,2,3,4、随机地摸取出一张纸牌然后放回,在随机摸取出一张纸牌、 (1)计算两次摸取纸牌上数字之与为5的概率;

(2)甲、乙两个人进行游戏,如果两次摸出纸牌上数字之与为奇数,则甲胜;如果两次摸出纸牌上数字之与为偶数,则乙胜。这 就是个公平的游戏不？请说明理由、 解:用树状图法

第一次: 1 2 3 4

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 与 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 5 6 7 8 解法二:列表法 列表如下: 甲 乙

1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 、3 4 5 6 7 4

5

6

7

8

由上表可以瞧出,摸取一张纸牌然后放回,再随机摸取出纸牌,可能结果有16种,它们出现的可能性相等、

(1)两次摸取纸牌上数字之与为5(记为事件A)有4个,P(A)=164=4

1 (2)这个游戏公平,理由如下:

两次摸出纸牌上数字之与为奇数(记为事件B)有8个,P(B)=

168=21 两次摸出纸牌上数字之与为偶数(记为事件C)有8个,P(C)=168=2

1

两次摸出纸牌上数字之与为奇数与为偶数的概率相同,所以这个游戏公平、