概率论中几种常用的重要的分布

概率论中几种常用的重要的分布

摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。其在实际中的应用。

关键词

1 一维随机变量分布

随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常用分布，即( 0 －1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布． 下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论．

随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。它是一种“定性”类型的概念。为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值（实值或向量值）的变数。称这种变数为随机变数。本章内将讨论取实值的这种变数—— 一维随机变数。

定义1.1 设X 为一个随机变数，令

()([(,)])([]),()F x P X x P X x x =∈-∞=-∞+∞.

这样规定的函数()F x 的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。它是一个普通的函数。成这个函数为随机函数X 的分布函数。

有的随机函数X 可能取的值只有有限多个或可数多个。更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值12,,...,a a 使得

12([{,,...}])1P X a a ∈=

称这样的随机变数为离散型随机变数。称它的分布为离散型分布。

【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。

（1）X 可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a ,使([])1P X a ==。称这种随机变数的分布为退化分布。一个退化分布可以用一个常数a 来确定。

（2）X 可能取的值只有两个。确切地说，存在着两个常数a ，b ，使([{,}])1P X a b ∈=.称这种随机变数的分布为两点分布。如果([])P X b p ==，那么，([])1P X a p ===-。因此，一个两点分布可以用两个不同的常数,a b 及一个在区间（0,1）内的值p 来确定。

特殊地，当,a b 依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。从而，一个零-壹分布可以用一个在区间（0，1）内的值p 来确定。

（3）X 可能取的值只有n 个：12,...,a a （这些值互不相同），且，取每个i a 值

得概率都是1n

，称这种随机变数的分布为离散型均匀分布。一个离散型均匀分布可以用一个正整数n 及n 个不同的常数12,...,a a 来确定。

定义1.2 若随机变量X 的概率分布为

{0}1,{1}P X p P X p ==-==

其中01p ，则称X 服从参数为p 的（0-1）分布。

（0-1）分布是最简单的一种分布，它用于描述只有两个可能结果的试验。例如，对新生婴儿的性别登记，观察机器是否正常工作，考察一件产品是否为合格品等，均可用（0-1）分布来描述。

定义1.3 若随机变量X 的概率分布为

(){}(1),0,1,...,k k n k n X k C p p k n -==-=

其中1n ≥为正整数，0

1p ，则称X 服从参数为,n p 的二项分布，记作

~(,)X B n p 由二项分布的导出可知，该种分布用于描述n 重伯努利试验中发生的概率为

p .在研究某事件A 发生的概率时，

我们对事件A 所在的试验进行独立重复观察，统计出事件A 发生的次数n μ。这里n μ是一个随机变量，它就服从二项分布。另外，一批种子能发芽的个数，一定人群中患某种疾病的人数，某时刻一个城市开着的灯的盏数都可以认为是服从二项分布的。

在二项分布中，如果1n =，那么只能取0或1，这是显然有

01p p =-， 1p p =

抛掷均匀硬币的例子中，随机变量η的分布列为

它就是（0-1）分布当2

p =时的特例。 定义1.4 若随机变量X 的概率分布为

{},0,1,2,...!k

P X k e k k λλ-===

其中0λ为常数，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记作~()X P λ.

泊松分布是作为二项分布的极限分布而引入的。事实上，泊松定理表明，当n 很大时，p 很小，np 适中时，(,)B n p 分布就近似于()P λ分布，其中np λ=。由二项分布描述的内容可知，泊松分布主要用于描述大量独立重复实验中稀有事件发生的次数，所谓稀有事件指概率很小的事件。由此，纺织品上的疵点数，印刷品中的错字数，某时间段内电话交换台接到的呼叫次数，某时间段内公共汽车站等车的乘客人数等均可用泊松分布来描述。

。

定理 1.1 （泊松定理） 在n 重贝努力试验中，事件A 在一次实验中出现的概率为n p （与实验总数n 有关），如果当n →∞时，n np λ→（0λ

常数），则有

lim (;,),0,1,2,...!k n n b k n p e k k λλ-→∞==

证明 记n n np λ=，则

(;,)(1)k n k n n n n b k n p p p k -⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (1)...(1)1!k n k n n n n n k k n n λλ---+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

12111...11!n k k n n k k n n n n λλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

对于任一固定的k ，显然有 lim k k n n λλ→∞

= lim 1lim 1n n n n k n k n n n n n e n n λλλλλ---→∞→∞⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

还有

11lim 1...11n k n n →∞-⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

从而

lim (;,)!k n n b k n p e k λλ-→∞=