组合图形表面积与体积ppt课件
高考数学一轮复习-81-空间几何体的三视图-直观图-表面积与体积课件-新人教A
＝172a2.所以 S 球＝4πR2＝4π×172a2＝73πa2.
(2)这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．
根据图中数据可知圆台的上底面半径为 1，下底面半径为 2，高为 3，母线长为 2，几何体的表面积是两个半圆的面 积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何 体的表面积为 S＝12π×12＋12π×22＋12π×(1＋2)×2＋12 ×(2＋4)× 3＝112π＋3 3. 答案 (1)B (2)112π＋3 3
可能是圆柱，排除选项C；又由俯视图可知，该几何体
不可能是棱柱或棱台，排除选项A，B，故选D.
(2)如图，在原图形OABC中， 应有 OD＝2O′D′＝2×2 2 ＝4 2(cm)， CD＝C′D′＝2 cm. ∴OC＝ OD2＋CD2 ＝ （4 2）2＋22＝6(cm)， ∴OA＝OC， 故四边形 OABC 是菱形． 答案 (1)D (2)C
诊断自测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是
棱柱．
(×)
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是
棱锥．
( ×)
(3)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．
(×)
(4)圆柱的侧面展开图是矩形．
(√)
2．(2014·福建卷)某空间几何体的正视图是三角形，则该几
(2)画出坐标系 x′O′y′，作出△OAB 的 直观图 O′A′B′(如图)．D′为 O′A′的中 点．易知 D′B′＝12DB(D 为 OA 的中点)， ∴S△O′A′B′＝12× 22S△OAB＝ 42× 43a2＝ 166a2.
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积课件(人教版)
（
）
2.几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和.
（
）
3.棱锥的体积等于底面面积与高之积.
（
）
4.等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.
（
）
答案：√，√，×，√.
练习
题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积
例1.已知正四棱台(正四棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的部分)上
底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，求它的侧面面积.
解：由题意知， 长方体−’ ’ ’’ = 1 × 1 × 0.5 = 0.5(3 ) ，
1
1
棱锥− = × 1 × 1 × 0.5 = (3 ).
3
6
所以这个漏斗的容积 =
1
2
1
+
6
2
3
= ≈ 0.67(3 ).
新知探索
辨析1：判断正误.
1.几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和.
解：(2)设三棱锥 − 1 的高为ℎ，则
三棱锥−
1
1
1 1
3
3 2
2
= ∙ ∆1 ∙ ℎ = × ×
× ( 2) ℎ =
ℎ.
3
3 2 2
6
1
∵三棱锥− = 三棱锥 − = 3 ，
6
1
1
= 3 ，解得ℎ =
3
.
3
∴三棱锥 − 1 的高为
’ =
= ℎ
上底缩小
1 ’
= ( + ’ + )ℎ
3
’ = 0
1
= ℎ
3
例析
例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部
8.2空间几何体的表面积与体积
1.多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.2.柱、锥、台和球的表面积和体积名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13Sh台体(棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 33.常用结论(1)与体积有关的几个结论①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. ②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等. (2)几个与球有关的切、接常用结论 a.正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .b.若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.c.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( √ ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积.( × ) (3)球的体积之比等于半径比的平方.( × )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.( √ ) (5)长方体既有外接球又有内切球.( × )(6)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算.( √ )1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( ) A.4π B.3π C.2π D.π 答案 C解析 底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C. 2.(2014·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.12B.18C.24D.30答案 C解析 由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由主视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的.在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示.在图(1)中，V 111ABC A B C －棱柱＝S △ABC ·AA 1＝12×4×3×5＝30，V 111P A B C 锥－棱＝13S111A B C ·PB 1＝13×12×4×3×3＝6.故几何体ABC －P A 1C 1的体积为30－6＝24.故选C.3.(2015·陕西)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.3πB.4πC.2π＋4D.3π＋4答案 D解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为： S ＝2×12π×12＋12×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝3π＋4.4.(教材改编)一个棱长为2 cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的体积为________ cm 3. 答案 43π解析 由题意知正方体的体对角线为其外接球的直径， 所以其外接球的半径r ＝12×23＝3(cm)，所以V 球＝43π×r 3＝43π×33＝43π(cm 3).5.(2015·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.答案 83π解析 由三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成，底面半径为1 m ，圆锥的高为1 m ，圆柱的高为2 m ，所以该几何体的体积V ＝2×13π×12×1＋π×12×2＝83π (m 3).题型一 求空间几何体的表面积例1 (1)(2015·安徽)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A.1＋ 3B.1＋2 2C.2＋ 3D.2 2(2)(2015·课标全国Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r 等于( )A.1B.2C.4D.8(3)(2014·山东)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________. 答案 (1)C (2)B (3)12解析 (1)由几何体的三视图可知空间几何体的直观图如图所示. ∴其表面积S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋3，故选C.(2)由主视图与俯视图想象出其直观图，然后进行运算求解.如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π，∴r 2＝4，r ＝2，故选B. (3)设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，∴h ＝1，∴斜高h ′＝12＋(3)2＝2， ∴S 侧＝6×12×2×2＝12.思维升华 空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.(2014·安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A.21＋ 3B.18＋ 3C.21D.18答案 A解析 由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示. 因此该几何体的表面积为6×(4－12)＋2×34×(2)2＝21＋ 3.故选A.题型二 求空间几何体的体积命题点1 求以三视图为背景的几何体的体积例2 (2015·课标全国Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18 B.17 C.16 D.15答案 D解析 如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1被过三点A 、B 1、D 1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥A-A 1B 1D 1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为V 111A A B D -V 111B C D ABCD -＝V 111A AB D -V 1111A BCD ABCD -－V 111A A B D -＝13×12×12×113－13×12×12×1＝15.选D.命题点2 求简单几何体的体积例3 (2015·山东)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3 B.4π3 C.5π3 D.2π 答案 C解析 过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，故选C.(1)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的体积等于( )A.4π3 B.32π3 C.36πD.256π3(2)如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( ) A.23B.33C.43D.32答案 (1)B (2)A解析 (1)由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，底面为直角三角形，高为12，如图所示，其中AC ＝6，BC ＝8，∠ACB ＝90°，则AB ＝10.由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大.即r ＝6＋8－102＝2，故能得到的最大球的体积为43πr 3＝4π3×8＝32π3，故选B.(2)如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴V ＝V E －ADG ＋V F －BCH ＋V AGD －BHC ＝2V E －ADG ＋V AGD －BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23.故选A.思维升华 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解. (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解. (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解. 题型三 与球有关的切、接问题例4 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172B.210C.132 D.310答案 C解析 如图所示，由球心作平面ABC 的垂线， 则垂足为BC 的中点M . 又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝(52)2＋62＝132. 引申探究1.本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？ 解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R ，内切球的半径为r . 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43， 从而V 外接球＝43πR 3＝43π×(23)3＝323π，V 内切球＝43πr 3＝43π×23＝32π3.2.本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少？ 解 设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π.3.本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？ 解 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为(32)2－(12×6)2＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.思维升华 空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB 1A 1的面积为( ) A.22B.1C. 2D. 3答案 C解析 由题意知，球心在侧面BCC 1B 1的中心O 上，BC 为△ABC 所在圆面的直径，∴∠BAC ＝90°，△ABC 的外接圆圆心N 是BC 的中点，同理△A 1B 1C 1的外心M 是B 1C 1的中点.设正方形BCC 1B 1的边长为x ，Rt △OMC 1中，OM ＝x 2，MC 1＝x2，OC 1＝R ＝1(R为球的半径)，∴(x 2)2＋(x2)2＝1，即x ＝2，则AB ＝AC ＝1， ∴S 11ABB A 矩形＝2×1＝ 2.14.巧用补形法解决立体几何问题典例 如图：△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，DB ⊥平面ABC ，且AE ∥FC ∥BD ，BD ＝3，FC ＝4，AE ＝5. 则此几何体的体积为________.思维点拨 将所求几何体补成一个直三棱柱，利用棱柱的体积公式即可求得该几何体的体积.解析 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8，所以V 几何体＝12V 三棱柱＝12×S △ABC ·AA ′＝12×24×8＝96.答案 96温馨提醒 (1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”. (2)补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法.[方法与技巧]求空间几何体的侧面积、体积的思想与方法(1)转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.(2)求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.[失误与防范]求空间几何体的表面积应注意的问题(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理.(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1.(2015·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A.8 cm 3B.12 cm 3C.323 cm 3D.403 cm 3答案 C解析 由三视图可知该几何体是由棱长为2 cm 的正方体与底面为边长为2 cm 正方形、高为2 cm 的四棱锥组成，V ＝V 正方体＋V 四棱锥＝8 cm 3＋83 cm 3＝323cm 3.故选C.2.用平面α截球O 所得截面圆的半径为3，球心O 到平面α的距离为4，则此球的表面积为( ) A.100π3B.500π3C.75πD.100π答案 D解析 依题意，设球半径为R ，满足R 2＝32＋42＝25， ∴S 球＝4πR 2＝100π.3.(2015·课标全国Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( ) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 答案 B解析 由题意知：米堆的底面半径为163(尺)，体积V ＝13×14πR 2·h ≈3209(立方尺).所以堆放的米大约为3209×1.62≈22(斛).4.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为( )A.3＋ 6B.3＋ 5C.2＋ 6D.2＋ 5答案 C解析 由三视图还原为空间几何体，如图所示， 则有OA ＝OB ＝1，AB ＝ 2. 又PB ⊥平面ABCD ， ∴PB ⊥BD ，PB ⊥AB ，∴PD ＝22＋1＝5，P A ＝2＋12＝3，从而有P A 2＋DA 2＝PD 2，∴P A ⊥DA ，∴该几何体的侧面积S ＝2×12×2×1＋2×12×2×3＝2＋ 6. 5.(2015·课标全国Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A.36πB.64πC.144πD.256π答案 C解析 如图，要使三棱锥O-ABC 即C-OAB 的体积最大，当且仅当点C到平面OAB 的距离，即三棱锥C-OAB 底面OAB 上的高最大，其最大值为球O 的半径R ，则V O-ABC 最大＝V C-OAB 最大＝13×S △OAB ×R ＝13×12×R 2×R ＝16R 3＝36，所以R ＝6，得S 球O ＝4πR 2＝4π×62＝144π.选C.6.(2014·山东)三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，P －ABC的体积为V 2，则V 1V 2＝________. 答案 14解析 设点A 到平面PBC 的距离为h .∵D ，E 分别为PB ，PC 的中点，∴S △BDE ＝14S △PBC ， ∴V 1V 2＝V A －DBE V A －PBC ＝13S △BDE ·h 13S △PBC ·h ＝14. 7.(2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.答案 7 解析 设新的底面半径为r ，由题意得13πr 2·4＋πr 2·8＝13π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7. 8.一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O 的球面上，则该圆锥的体积与球O 的体积的比值为________.答案 932解析 设等边三角形的边长为2a ，球O 的半径为R ，则V 圆锥＝13·πa 2·3a ＝33πa 3.又R 2＝a 2＋(3a －R )2，所以R ＝233a ， 故V 球＝4π3·(233a )3＝323π27a 3， 则其体积比为932. 9.如图所示的三个几何体，一个是长方体，一个是直三棱柱，一个是过圆柱上、下底面圆心切下圆柱的四分之一部分，若这三个几何体的主视图和俯视图是相同的正方形，求它们的表面积之比.解 由题意可知这三个几何体的高都相等，设长方体的底面正方形的边长为a ，高也等于a ，故其表面积为S 1＝6a 2.直三棱柱的底面是腰长为a 的等腰直角三角形，高为a ，故其表面积为S 2＝12×a ×a ＋12×a ×a ＋(a ＋a ＋2a )×a ＝(3＋2)a 2.14圆柱的底面是半径为a 的圆的14，高为a ，故其表面积为S 3＝14πa 2＋14πa 2＋a 2＋a 2＋14×2πa ×a ＝(π＋2)a 2.所以它们的表面积之比为S 1∶S 2∶S 3＝6a 2∶(3＋2)a 2∶(π＋2)a 2＝6∶(3＋2)∶(π＋2).10.(教材改编)已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20 cm 和30 cm ，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高.解 如图所示，三棱台ABC —A 1B 1C 1中，O 、O 1分别为两底面中心，D 、D 1分别为BC 和B 1C 1的中点，则DD 1为棱台的斜高.由题意知A 1B 1＝20，AB ＝30，则OD ＝53，O 1D 1＝1033， 由S 侧＝S 上＋S 下，得3×12×(20＋30)×DD 1＝34×(202＋302)， 解得DD 1＝1333，在直角梯形O 1ODD 1中， O 1O ＝DD 21－(OD －O 1D 1)2＝43， 所以棱台的高为4 3 cm.B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11.已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S —ABC 的体积为( )A.3 3B.2 3C. 3D.1答案 C解析 如图，过A 作AD 垂直SC 于D ，连接BD .由于SC 是球的直径，所以∠SAC ＝∠SBC ＝90°，又∠ASC ＝∠BSC ＝30°，又SC 为公共边， 所以△SAC ≌△SBC .由于AD ⊥SC ，所以BD ⊥SC .由此得SC ⊥平面ABD .所以V S —ABC ＝V S —ABD ＋V C —ABD ＝13S △ABD ·SC . 由于在Rt △SAC 中，∠ASC ＝30°，SC ＝4，所以AC ＝2，SA ＝23，由于AD ＝SA ·CASC ＝ 3.同理在Rt △BSC 中也有BD ＝SB ·CBSC ＝ 3.又AB ＝3，所以△ABD 为正三角形，所以V S —ABC ＝13S △ABD ·SC＝13×12×(3)2·sin 60°×4＝3，所以选C.12.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A.28＋6 5B.30＋6 5C.56＋12 5D.60＋12 5答案 B解析 由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，其中AE ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ，且CD ＝4，BD ＝5，BE ＝2，ED ＝3，AE ＝4.∵AE ＝4，ED ＝3，∴AD ＝5.又CD ⊥BD ，CD ⊥AE ，则CD ⊥平面ABD ，故CD ⊥AD ，所以AC ＝41且S △ACD ＝10.在Rt △ABE 中，AE ＝4，BE ＝2，故AB ＝2 5.在Rt △BCD 中，BD ＝5，CD ＝4，故S △BCD ＝10，且BC ＝41.在△ABD 中，AE ＝4，BD ＝5，故S △ABD ＝10.在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝AC ＝41，则AB 边上的高h ＝6，故S △ABC ＝12×25×6＝6 5. 因此，该三棱锥的表面积为S ＝30＋6 5.13.(2015·四川)在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P —A 1MN 的体积是________.答案 124解析 由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，∵V 1—P A MN ＝V 1—A PMN ，又∵AA 1∥平面PMN ，∴V 1—A PMN ＝V A —PMN ，∴V A —PMN ＝13×12×1×12×12＝124， 故V 1—P A MN ＝124. 14.(2015·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E —ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积. (1)证明 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD .因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE .故AC ⊥平面BED .又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .(2)解 设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝GD ＝x 2. 因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x . 由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x . 由已知得，三棱锥E —ACD 的体积V E —ACD ＝13×12AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63. 故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝ 6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5.故三棱锥E —ACD 的侧面积为3＋2 5.15.如图，△ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，AB ＝2，EB ＝ 3.(1)求证：DE ⊥平面ACD ；(2)设AC ＝x ，V (x )表示三棱锥B －ACE 的体积，求函数V (x )的解析式及最大值.(1)证明 ∵四边形DCBE 为平行四边形，∴CD ∥BE ，BC ∥DE .∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC ⊥BC .∵AB 是圆O 的直径，∴BC ⊥AC ，且DC ∩AC ＝C ，∴BC ⊥平面ADC .∵DE ∥BC ，∴DE ⊥平面ADC .(2)解 ∵DC ⊥平面ABC ，∴BE ⊥平面ABC .在Rt △ABE 中，AB ＝2，EB ＝ 3.在Rt △ABC 中，∵AC ＝x ，BC ＝4－x 2(0<x <2)，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12x ·4－x 2， ∴V (x )＝V E －ABC ＝36x ·4－x 2(0<x <2). ∵x 2(4－x 2)≤(x 2＋4－x 22)2＝4，当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时，取等号， ∴x ＝2时，体积有最大值33.。
柱体、锥体、台体的表面积与体积 课件
故B1F＝ 82－22＝2 15， 所以S梯形BB1C1C＝12×(8＋4)×2 15＝12 15， 故四棱台的侧面积S侧＝4×12 15＝48 15， 所以S表＝48 15＋4×4＋8×8＝80＋48 15.]
[规律方法] 空间几何体表面积的求法技巧 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和． (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理． (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展 开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
柱体、棱体、台体的表面积与侧面积
(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2 的
平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A．12 2π
B．12π
C．8 2π
D．10π
(2)已知某圆锥的底面半径为 8，高为 6，则该圆锥的表面积为________.
S 圆柱侧＝2πrl
r′＝r ←――――
S
圆台侧＝π(r′＋r)l
r′＝0 ――――→
S 圆锥侧＝πrl.
(2)柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？ [提示] 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系： V＝Sh←S′――＝――S V＝13(S′＋ S′S＋S)h―S′――＝―→0 V＝13Sh.
(3)已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8 的等腰梯形，则该四棱台的表面积为________cm2.
(1)B (2)144π (3)80＋48 15 [(1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得 的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2 2 ，底面圆的直径为2 2 ，所 以该圆柱的表面积为2×π×( 2)2＋2π× 2×2 2＝12π.
新教材人教版高中数学必修第二册 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 教学课件
(4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积. 根据棱台 的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去 “小棱锥”的方法求棱台的体积．
第九页，共十九页。
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积 [例1] 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线
长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积． [ 解] 如图，设底面对角线 AC＝a，BD＝b，交点为 O，
第十二页，共十九页。
知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积 [例 2] (1)如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，E 为线段 B1C 上的一点，则三棱锥 A-DED1 的体积为________．
第(1)题图
第(2)题图
第十三页，共十九页。
(2)如图，某几何体下面部分为正方体ABCD-A′B′C′D′， 上面部分为正四棱锥S -ABCD，若几何体的高为5，棱AB＝2，则该 几何体的体积为________．
[思考发现]
1．棱长为 3 的正方体的表面积为
()
A．27
B．64
C．54
D．36
解析：根据表面积的定义，组成正方体的表面共 6 个，且每
个都是边长为 3 的正方形．从而，其表面积为 6×32＝54.故
选 C.
答案：C
第三页，共十九页。
2．正方体的表面积为 96，则正方体的体积为
A．48 6
B．64
[变式训练]
1．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积 等于________ cm3.
第十七页，共十九页。
解析：由三视图可知原几何体如图所示． 所以 V＝VABC-A′B′C′－VM -ABC ＝S△ABC·5－13S△ABC·3 ＝12×3×4×5－13×12×3×4×3＝30－6＝24.
苏教版必修2数学课件-第1章立体几何初步第3节空间几何体的表面积和体积教学课件
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合作探究 提素养
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棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积 【例 1】 正四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍，高是 3，求它的 表面积． 思路探究：由 S 侧与 S 底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系， 进而求出斜高和底面边长，最后求表面积．
所以 S 侧＝3×12×(20＋30)×DD′＝75DD′. 又 A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为 S 上＋S 下 ＝ 43×(202＋302)＝325 3(cm2)．
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由 S 侧＝S 上＋S 下，得 75DD′＝325 3， 所以 DD′＝133 3(cm)， 又因为 O′D′＝ 63×20＝103 3(cm)， OD＝ 63×30＝5 3(cm)，
错点)
运算核心素养.
3.会求简单组合体的体积及表面积．(难点)
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自主预习 探新知
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1．柱体、锥体、台体的体积
几何体
体积
柱体 锥体
V 柱体＝ Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆柱＝ πr2h (r 为底面半径) 1
V 锥体＝ 3Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆锥＝ π3r2h (r 为底面半径)
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台体
V 台体＝ 13h(S＋ SS′＋S′) (S′，S 分别为上、下底面面 积，h 为高)，V 圆台＝ 13πh(r′2＋rr′＋r2) (r′，r 分别为上、 下底面半径)
思考：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 提示：V＝Sh―S′―＝→S V＝13(S′＋ S′S＋S)h―S′―＝→0 V＝13Sh.
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[解] 如图所示，设 SE 是侧面三角形 ABS 的高，则 SE 就是正 四棱锥的斜高．
圆柱圆锥圆台体积和表面积.ppt
1
1
A.4
B.2
3 C. 6
3 D. 4
[答案] D
[解析]
三棱锥B1－ABC的高h＝3，底面积S＝S△ABC＝
3 4
×12＝ 43，
则VB1－ABC＝13Sh＝13×
43×3＝
3 4.
5．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那
么圆柱与圆锥的体积之比为( )
A．1
1 B.2
3
3
C. 2
D.4
例题解析
命题方向 多面体与旋转体的面积
【例1】圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧 面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台的表面积是多少?
命题方向 多面体的体积
[例 2] 长方体相邻三个面的面积分别为 2、3、6 求它的
体积．
[解析] 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c则有
据条件得到
1 2
πl2＝2π，解得母线长l＝2,2πr＝πl＝2π，r＝1所以
该圆锥的体积为：V圆锥＝13Sh＝13×
22－12π＝
3 3 π.
[点评] 本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开 图．审清题意，所求的为体积，不是其他的量，分清图形在 展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记 牢，属于中低档题．
[解析]
三棱台ABC－A1B1C1的上、下底面积之比为4:9.连接 A1B、BC1和AC1，把棱台分为三个棱锥B－A1B1C1，C1－ ABC，A1－ABC1.则这三个棱锥体积之比为________．
[答案] 4:9:6
[解析] 如图，设三棱锥B－A1B1C1，C1－ABC，A1－ ABC1体积分别为V1、V2、V3，又设棱台的高为h，上、下底面 积分别为S1、S2.依题意，得
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积(课件)【大单元教学】2022-2023学年高一数学同
1
2
所以( )2 +3 = 2 ，解得 = 2，
4
3
因此球的体积 = ⋅ 3 =
故选：．
32
，
3
解题技巧
与球有关问题的注意事项
1．正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径
为r1＝ ，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．
2．球与正方体的各条棱相切
水．现在容器上口放置一个铁球，若球体没入水中部分的深
度恰为四分之一直径，则球的体积为(
A．
B．
C．
D．
)
【解答】根据题意可得该正三棱柱的底面正三角形的内切
圆的半径为 3，
设该球体的半径为，因为球体没入水中部分的深度恰为
四分之一直径，
1
2
所以球心到水平面的距离ℎ = ，
22 + 22 + (4 2)2 = 2 10，即为球的直径，
∴球的半径为 10，∴球的表面积为4 × ( 10)2 = 40，故选．
变式训练
2
3
3
1．某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 ，面积为 的扇形，
则该圆锥的外接球的表面积为(
A．
27 2
64
B．
27
16
C．
9
8
)
D．
3
2
【解答】设圆锥的母线长为，底面半径为，
2．球的表面积公式S＝ .
典例分析
题型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积
例１．面积为的正方形，绕其一边旋转一周，则所得旋转体的表面积为(
A．
球的体积和表面积-课件
解:由图可知,半球的半径为4 cm,
圆锥的高为12 cm.
∴V半球 1443128cm3,
23
3
V圆锥 1 π·42·12=64π cm3, 3
64 128
3
∴冰激凌化了,不会溢出杯子.
题型三 综合问题
例3:正方体､等边圆柱(即底面直径与母线长相等的圆柱)､球 的体积相等时,哪一个表面积最小?
•
14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏
•
15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年3月2021/3/42021/3/42021/3/43/4/2021
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/3/42021/3/4Marc h 4, 2021
C . 4
D . 6
解析:设正方体的棱长为a,依题意知,内切球的直径为a,∴
球的表面积S球=4π =6a2.
(a )2 a2
2
,正方体的表面积S正
∴S球:S正 . 6
答案:D
3.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为2 cm,则球的表 面积是( ) A.8π cm2B.12 πcm2 C.16 πcm2D.20 π cm2
10.如图,有一倒放着的轴截面为正三角形的圆锥形容器,内盛 有高为h的水,放入一个铁球后,上升后的水平面恰好和球相切, 求球面上的点到圆锥顶点的最小距离.
解:如图,作轴截面,设球半径为R,水面上升后锥体顶点到水面 的高度为x,则x=3R.由题意:V水+V球=V锥.
11.如下图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方 形,且体积为,则该几何体的俯视图可以是( )
解:设正方体的棱长为a.
(1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面的中
2023高考数学基础知识综合复习第18讲简单几何体的表面积与体积 课件(共24张PPT)
(2)旋转体的形成
几何体
旋转图形
圆柱
矩形
旋转轴
矩形一边所在的直线
圆锥
直角三角形
一直角边所在的直线
圆台
直角梯形或等腰梯形
球
半圆或圆
直角腰所在的直线或等腰梯形
上下底中点连线所在的直线
直径所在的直线
2.空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其画法步骤为:
①画轴:在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,作出与之对应的x'轴
3
4
3 = .故选 D.
考点一
考点二
考点三
本题考查四面体的体积的最大值的求法,涉及空间中线线、线面、
面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于难题.处理
此类问题时,往往先去找到不变的量,再根据题中的所给条件的变
化规律找到最值,从而得到体积的最值.
和y'轴,使得它们正方向的夹角为45°(或135°);
②画线(取长度):平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画出与x'轴
平行(或重合)的线段,且长度不变,平面图形中与y轴平行(或重合)的
线段画出与y'轴平行(或重合)的线段,且长度为原来长度的一半;
③连线(去辅助线):连接有关线段,擦去作图过程中的辅助线.
径,从而进一步求解.
考点一
考点二
考点三
◆角度3.体积最值问题
例5(1)(2019年1月浙江学考)如图,线段AB是圆的直径,圆内一条动
弦CD与AB交于点M,且MB=2AM=2,现将半圆沿直径AB翻折,则三
棱锥C-ABD体积的最大值是(
)
2
3
1
3
A.
简单几何体的表面积和体积(1)课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的体积
问题4：由祖暅原理可知，底面面积相等，高相等的两个棱锥，体 积相等．那么如果棱锥的底面积是S，高为h，则棱锥的体积公式 是什么？
因为棱锥2、3的底面积相等，即: SBBC SBCC 高也相等，即:点 到平面B 所以棱锥2、3的体积相等.
分析：正四棱台的上底面和下底面均为正方形，侧面是由四个等腰梯形组成的．
小结与反思
要计算棱台的体积关键是要弄清楚棱台的五个基本量（上、下 底面边长、高、斜高、侧棱），然后将基本量转化到直角三角形中 求解，最后再代入体积公式求出体积．
课堂检测
5-1、（金太阳P1141题）已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1 的正三角形，如图所示，则三棱锥B1-ABC求它的体积．
多面体的表面积就是围成多面体的各个面的面积之和． 棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
问题2：在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体 和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
几何体表面积
展开图
空间问题
平面图形面积 平面问题
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧 面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面 积和底面面积之和．
这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形、梯 形的面积问题.
2
PART TWO
例题精讲
例1.(教材P114)四面体P-ABC的各棱长均为a，求它的表面积 ．
=
组合图形表面积与体积(共7张PPT)
后二面、移 组动合到图前形面表，面左积面和移体动积到右面，下面移动到上面。
2
2 2 8
5
10
2、求表面积 因为凹进去的是一个小正方体，正方体所有的面面积都相等。
那么，把凹进去的面进行移动，组合图形的表面积是不变的。后面移动到前面， 左面移动到右面，下面移动到上面。
此时，组合图形可以看成一个完整的大长方体，根据长方体的公式来求就可以了。
2
2
2
求二下、列 组图合形图表形面表积面和积体和积体。积 一缺个少图 了形正切方去体另下一面个这图么形大表的面一积个面。
求2、下要列求图表形面表积面，积要和分体别积观。察正方体和长方体露在外面有哪些面？
=2、原求来组完合整图形体的积表：面与积露几个面没有关系，求出组合图形中每部分图形的体积，再把所有体积相加。
求表下面列 积图=正形方表体面表积面和积体+积长。方体表面积？
2后、面求移组动合到图前形面体，积左：面与移露动几到个右面面没，有下关面系移，动求到出上组面合。图形中每部分图形的体积，再把所有体积相加。
一、展开图求表面积和体积
求下列图形表面积和体积。（单位：cm） 在展开图中，标出拼合后长方体的长宽高，再根据公式求出表面积和体积。
5
2 7
二、组合图形表面积和体积
求下列图形表面积和体积。（单位：cm）
1、求组合图形表面积：表面积就是组合图形露在外面所有面的总和，往往采用割补法来 求表面积。
2、求组合图形体积：与露几个面没有关系，求出组合图形中每部分图形的体积，再 把所有体积相加。或者有时采用割补法来求体积。
5
在缺1体、展少积求开 了 =组上图正合面中方图图，体形形标下表的出面面体拼这积积合么：+后大下表长的面面方一图积体个形就的面的是长。体组宽积合高图，形再露根在据外公面式所求有出面表的面3总积和和，体往积往。采用割补法来求表面积。
第一课时圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
19
课堂精炼
【训练 3】
π
如图所示，在梯形 ABCD 中，∠ABC＝ ，AD∥BC，BC＝2AD
2
＝2AB＝2，将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的
几何体的体积为(
5
A. π
3
4
B. π
3
2
C. π
3
)
D.2π
解析
由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆
锥(如图)，
又 BD＝A1D·tan 60°＝3 3，∴R＋r＝3 3，
∴R＝2 3，r＝ 3，又 h＝3，
1
1
2
2
∴V 圆台＝ πh(R ＋Rr＋r )＝ π×3×[(2 3)2＋
3
3
2 3× 3＋( 3)2]＝21π.
∴圆台的体积为 21π.
答案
10
21π
关于旋转体面积、体积等计
算问题，一般重点考察几何
体的轴截面，将立体问题平
面积与两底面积之和
题型二
求圆柱、圆锥、圆台的体积
数 学
7
知识梳理
2.柱体、锥体、台体的体积公式
V 柱体＝ sh (S 为底面面积，h 为柱体高)；
V 锥体＝
sh
(S 为底面面积，h 为锥体高)；
1
V 台体＝ (S′＋ S′S＋S)h(S′，S 分别为上、下底面面积，h 为台体高).
3
8
课堂精讲
8.3.2 第一课时 圆柱、圆
锥、圆台的表面积和体积
数 学
1
题型一
求圆柱、圆锥、圆台的表面积
数 学
2
知识梳理
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
【课件】圆柱、圆锥、圆台、球表面积和体积课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
例析
例2 如右图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径， 求球与圆
柱的体积之比.
解:（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径
为R，高为2R.
4 3
因为 V球
R ,V 圆柱
R2 2R 2 R3
3
所以 V球 : V圆柱
2
3
问题：球的表面积与圆柱的侧面积之比呢？
R O
练习
题型一：圆柱、圆锥、圆台的表面积
例1.(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为1 ，2 ，过直线1 2 的平面截该圆
）
2.若圆柱的底面圆的直径与圆柱的高相等，则圆柱的侧面展开图是正方形. （
答案：√，×.
辨析2：若圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为(
A.2
答案：D.
B.3
C.
D.4
).
）
新知探索
割 圆 术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推
导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”.
他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的
∴ = 5，∴ = × (2 + 6) × 5 + × 22 + × 62 = 40 + 4 + 36 = 80.
练习
题型二：圆柱、圆锥、圆台的体积
例2.(1)若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，则圆柱与圆锥的体积
之比是(
).
A.1
B.1：2
C. 3：2
D.3：4
的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体
积为_____.
解：设上、下底面半径，母线长分别为，，.
作1 ⊥ 于点，则1 = 3，∠1 = 60°.
又∠1 = 90°，∴∠1 = 60°，∴ =
2025届高考一轮复习《基本立体图形、简单几何体的表面积与体积》课件
高考一轮总复习•数学
第27页
即 12＝A0O.61， 解得 AO1＝0.6 2， 根据对称性可知圆柱的高为 3－2×0.6 2≈1.732－1.2×1.414＝0.035 2>0.01， 所以能够被整体放入正方体内，故 D 符合题意． 故选 ABD.
高考一轮总复习•数学
第26页
设 OE∩AC＝E，可知 AC＝ 2，CC1＝1，AC1＝ 3，OA＝ 23，
那么
tan∠CAC1＝CACC1＝OAOE，即
1 ＝OE， 23
2
解得 OE＝ 46，且 462＝38＝294>295＝0.62，
即 46>0.6，
所以以 AC1 为轴可能对称放置底面直径为 1.2 m 圆柱，若底面直径为 1.2 m 的圆柱与正 方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心为 O1，与正方体的下底面的切点为 M，
圆台
体积 V＝ Sh ＝πr2h
V＝
1 3Sh
＝13πr2h＝13πr2
l2－r2
V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h
＝13π(r21＋r22＋r1r2)h
第11页
高考一轮总复习•数学
名称 棱柱 棱锥 棱台 球
体积 V＝ Sh
1 V＝ 3Sh V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h V＝43πR3
＝ 直观图
2 4S
原图形．
高考一轮总复习•数学
以三角形为例说明原因：
第36页
S
直观图＝12B′C′·O′A′·sin
高考一轮总复习•数学
第24页
解析：(1)由圆台定义知，以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴，其余三边旋转一周形 成的面围成的旋转体是圆台，故 A 错误；
柱体、锥体、台体的表面积和体积 课件
[知识提炼Байду номын сангаас梳理]
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面 体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也就是 展开图的面积．
2．圆柱、圆锥、圆台的表面积
底面积：S 底＝πr2 圆
侧面积：S 侧＝2πrl 柱
表面积：S＝2πrl＋2πr2 底面积：S 底＝πr2 圆 侧面积：S 侧＝2πrl 锥 表面积：S＝πrl＋πr2
所以 r＝4.则 h＝4. 故圆锥的体积 V 圆锥＝13πr2h＝634π. 答案：A
[迁移探究 1] (变换条件，改变问法) 将典例 2 中 第(2)题的条件“侧面积是 16 2π”改为“若其体积为 3 π”，求该圆锥的侧面积．
解：设圆锥的底面半径为 r，则高 h＝r，母线 l＝PB
＝ 2r.
[变式训练] 圆台的上、下底面半径分别是 10 cm 和 20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是 180°，求圆 台的表面积．
解：如图所示，设圆台的上底面周长为 c cm，由于 扇环的圆心角是 180°，则 c＝π·SA＝2π×10，解得 SA＝ 20(cm)．
同理可得 SB＝40(cm)， 所以 AB＝SB－SA＝20(cm)． 所以 S 表＝S 侧＋S 上＋S 下＝ π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝ 1 100π(cm2)．
2＋5 则 S 底＝ 2 ×4＝14，高 h＝4. 所以 V 四棱柱＝S 底·h＝56.
归纳升华 1．求解柱体体积的关键是根据条件找出相应的底面 积和高，对于旋转体要充分利用旋转体的轴截面，将待求 的量转化到轴截面内求． 2．求解锥体体积的关键是明确锥体的底面是什么图 形，特别是三棱锥，哪个三角形作为底面是解题的关键点．
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件
在直角梯形EOO1E1中，
O1E1＝12A1B1＝3
cm，OE＝1AB＝5 2
cm，
∴O1O＝ 142 -5-32 ＝8 3 (cm).
故该正四棱台的体积为 V＝1×8 3
1568
3 ×(62＋102＋6×10)＝ 3
3
(cm3).
例题讲解 LOGO
1.等积变换法
如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点，F为CC1上一点,求三棱锥A1－D1EF的体积.
故侧棱长即为直棱柱的高.
探究新知 LOGO
问题5 取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，高度、书中每页纸面积和 顺序不变，观察改变前后的体积是否发生变化？
探究新知 LOGO
课本P 121-122
祖暅[gèng]原理 “幂势既同，则积不容异”
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这 两个平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的 面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．
我国古代著名数学家祖冲之在计算圆周率等问题方面有光辉的 成就.祖冲之的儿子祖暅也在数学上有突出贡献.祖暅在实践的基础 上，于5世纪末提出了这个体积计算原理.
祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年.在欧 洲只到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri .B，1598 年--1647年）提出上述结论.
(Sh
(S
S'
)h1
)
S' h S S'
1 (Sh (S S' ) S' h) 1 h(S (S S ' ) S'( S S')) 1 (S
3
S S' 3
S S'
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那么： 表面积=正方体五个面的面积 +（长方体6个面面积-正方体底面积）
.
3
总之：
3 3
一个图形切去另一个图形表面积 =原来完整图形的表面积
6
体积=图形的体积－切去图形的体积
5
8
1、求表面积和体积，不规则图形，可以采用割补法变成规则图形来求。 先做出缺的正方体棱长的辅助线 既然棱长都是3，那么凹进去的是一个小正方体。组合图形体积=大长方体体积－小正方体体积
一、展开图求表面积和体积 求下列图形表面积和体积。（单位：cm） 在展开图中，标出拼合后长方体的长宽高，再根据公式求出表面积和体 积。
.
Hale Waihona Puke 2 7.二、组合图形表面积和体积 求下列图形表面积和体积。（单位：cm）
1、求组合图形表面积：表面积就是组合图形露在外面所有面的总和， 往往采用割补法来求表面积。 2、求组合图形体积：与露几个面没有关系，求出组合图形中每部分图 形的体积，再把所有体积相加。或者有时采用割补法来求体积。
2、求表面积 因为凹进去的是一个小正方体，正方体所有的面面积都相等。 那么，把凹进去的面进行移动，组合图形的表面积是不变的。后面移动到前 面，左面移动到右面，下面移动到上面。
此时，组合图形可以看成一个完整的大长方.体，根据长方体的公式来求就可以了。
2 2 2
5 3
12
.
2 2 2 8
5 10
.
.
3 3 3
表面积=正方体表面积+长方体表面积？ 体积=上面图形的体积+下面图形的体积
3 4
10
1、先做出正方体其他棱长的辅助线 2、要求表面积，要分别观察正方体和长方体露在外面有哪些面？
先观察正方体的表面，正方体露在外面的只有5个面。面积=棱长×棱长×5 再观察长方体的表面，长方体露在外面有6个面，但是长方体上面这个面不是完整的一个面，