2018届中考数学二轮复习第19课时《抛物线中的一个动点问题》

第19课时 抛物线中的一个动点问题

(40分)

1．(20分)[2017·酒泉]如图6－3－1，已知二次函数y

＝ax 2＋bx ＋4的图象与x 轴交于点B (－2，0)，点

C (8，0)，与y 轴交于点A .

(1)求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4的表达式；

(2)连结AC ，AB ，若点N 在线段BC 上运动(不与点

B ，

C 重合)，过点N 作NM ∥AC ，交AB 于点M ，当△AMN 面积最大时，求N 点的坐标；

(3)连结OM ，在(2)的结论下，求OM 与AC 的数量关系．

【解析】 (1)用待定系数法，将点B ，点C 的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋4，解得a ，b ，即可求出二次函数的表达式；

(2)设点N 的坐标为(n ，0)(－2＜n ＜8)，则BN ＝n ＋2，CN ＝8－n .由题意可知，BC ＝10，OA ＝4，S △ABC ＝20，S △ABN ＝2(n ＋2)，因MN ∥AC ，根据平行

线分线段成比例定理可得AM AB ＝NC BC ＝8－n 10，由△AMN ，△ABN 是同高三角形，

可得出S △AMN S △ABN ＝AM AB ＝CN CB

＝8－n 10，从而得出△AMN 的面积S 与n 的二次函数关系式，根据二次函数的顶点性质，即可求出当n ＝3时，即N (3，0)时，△AMN 的面积最大；

(3)当N (3，0)时，N 为BC 边中点，由NM ∥AC 推出M 为AB 边中点，根据直

角三角形中线定理可得OM ＝12AB ，利用勾股定理，易得AB ＝25，AC ＝45，即可求出OM ＝14AC .

图6－3－1

解：(1)将点B ，点C 的坐标分别代入y ＝ax 2

＋bx ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋4＝0，64a ＋8b ＋4＝0，

解得a ＝－14，b ＝32.

∴该二次函数的表达式为y ＝－14x 2＋32x ＋4； (2)设点N 的坐标为(n ，0)(－2＜n ＜8)；

则BN ＝n ＋2，CN ＝8－n .

∵B (－2，0)，C (8，0)，∴BC ＝10.

令x ＝0，得y ＝4，∴A (0，4)，OA ＝4，

∵MN ∥AC ，∴AM AB ＝NC BC ＝8－n 10.

∵OA ＝4，BC ＝10，∴S △ABC ＝12BC ·OA ＝20.

S △ABN ＝12BN ·OA ＝12(n ＋2)×4＝2(n ＋2)，

又∵S △AMN S △ABN ＝AM AB

＝8－n 10， ∴S △AMN ＝8－n 10S △ABN ＝15(8－n )(n ＋2)＝－15(n －3)2＋5.

∴当n ＝3时，即N (3，0)时，△AMN 的面积最大；

(3)当N (3，0)时，N 为BC 边中点．∴M 为AB 边中点，

∴OM ＝12AB ，∵AB ＝

OB 2＋OA 2＝4＋16＝25， AC ＝OC 2＋OA 2＝64＋16＝45，

∴AB ＝12AC ，∴OM ＝14AC .

2．(20分)[2016·贵港]如图6－3－2，抛物线y ＝ax 2＋bx －

5(a ≠0)与x 轴交于点A (－5，0)和点B (3，0)，与y 轴交

于点C .

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若E 为x 轴下方抛物线上的一动点，当S △ABE ＝S △ABC 时，求点E 的坐标；

(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点P ，使∠BAP ＝∠CAE ？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)把A ，B 两点坐标代入表达式，可得

⎩⎪⎨⎪⎧25a －5b －5＝0，9a ＋3b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝23，

∴抛物线的表达式为y ＝13x 2＋23x －5；

(2)在y ＝13x 2＋23x －5中，令x ＝0，可得y ＝－5，

∴点C 坐标为(0，－5)，

∵S △ABE ＝S △ABC ，且点E 在x 轴下方，

∴点E 纵坐标和点C 纵坐标相同，

当y ＝－5时，代入可得13x 2＋23x －5＝－5，

解得x ＝－2或x ＝0(舍去)，

∴点E 坐标为(－2，－5)；

(3)假设存在满足条件的P 点，其坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫m ，13m 2＋23m －5， 如答图，连结AP ，CE ，AE ，过点E 作ED ⊥AC 于点D ，过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，

则AQ ＝AO ＋OQ ＝5＋m ，

PQ ＝⎪⎪⎪⎪

⎪⎪13m 2＋23m －5， 在Rt △AOC 中，OA ＝OC ＝5，

则AC ＝52，∠ACO ＝∠DCE ＝45°，

由(2)可得EC ＝2，在Rt △EDC 中，可得DE ＝DC ＝2，

∴AD ＝AC －DC ＝52－2＝42，

第2题答图

当∠BAP ＝∠CAE 时，则△EDA ∽△PQA ，

∴ED AD ＝PQ AQ ，即242＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪13m 2＋23m －55＋m ，

∴13m 2＋23m －5＝14(5＋m )或13m 2＋23m －5＝－14(5＋m )，

当13m 2＋23m －5＝14(5＋m )时，整理可得4m 2＋5m －75＝0，解得m ＝154或m ＝－5(与点A 重合，舍去)，

当13m 2＋23m －5＝－14(5＋m )时，整理可得4m 2＋11m －45＝0，解得m ＝94或m ＝－5(与点A 重合，舍去)， ∴存在满足条件的点P ，其横坐标为9

4或154.

(40分)

3．(20分)[2016·南宁]如图6－3－3，已知抛物线经过原

点O ，顶点为A (1，1)，且与直线y ＝x －2交于B ，C

两点．

(1)求抛物线的表达式及点C 的坐标；

(2)求证：△ABC 是直角三角形；

(3)若N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN ⊥x 轴与

抛物线交于点M ，则是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】 (1)∵顶点坐标为(1，1)，

∴设抛物线表达式为y ＝a (x －1)2＋1，

又∵抛物线过原点，∴0＝a (0－1)2＋1，解得a ＝－1，

∴抛物线的表达式为y ＝－(x －1)2＋1，即y ＝－x 2＋2x ，

联立抛物线和直线表达式，可得

图6－3－3