空间直角坐标系课件

B
空间两点中点坐标公式
设点A（ ），点 （ 设点 （x1，y1，z1），点 B（x2， y2，z2），则线段 的中点 的坐 ），则线段 的中点M的坐 则线段AB的中点 标如何？ 标如何？
x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 M( , , ) 2 2 2
4.3.2 空间两点间的距离公式
解：设 M点的坐标为(0,0, a ) 由题意可知： | 由题意可知：MA |=| MB | 即： (0 − 1) + (0 − 0) + (a − 2)
2 2 2 2 2
= (0 − 1) + (0 + 3) + (a − 1) 解得： 解得： a = −3 ∴ M点的坐标为(0,0,−3)
2
例3
在空间取定一点O 在空间取定一点
z
(原点 原点) 原点
1
从O出发引三条两两垂直的直 出发引三条 线 (坐标轴 坐标轴) 坐标轴 选定某个长度作为单位长度 x
•
O
1
y
1
作图： 作图： 一般的 使 ∠xOy = 135°,
∠yOz = 90°
Z
右手系
X
Y
二、讲授新课
O为坐标原点 为坐标原点
z
D'
x轴,y轴,z轴叫 坐标轴 ,y轴,z轴叫 通过每两个坐标轴的 平面叫 坐标平面, x 坐标平面,
y O
A(x,y) x x
问题引入
数轴上的点
B -2 -1 O 1 A 2 3 x
数轴上的点可以用 唯一的一个实数 一个实数表示 唯一的一个实数表示
问题引入
y y
平面坐标系中的点
P (x,y) 平面中的点可以用 有序实数对(x， 有序实数对 ，y) 来表示点
O
x
x
讲授新课
1、空间直角坐标系的建立
2
M 2 M 3 = (5 − 7)2 + ( 2 − 1)2 + ( 3 − 2)2 = 6,
2
M 3 M1 =
2
(4 − 5)2 + ( 3 − 2)2 + (1 − 3)2 = 6,
原结论成立. 原结论成立
∴ M 2 M 3 = M 3 M1 ,
关于谁对称谁不变 z
P(x,y,z)
O x y
在空间坐标系中画出空间中的点
z
B A
-1 2
A(0,-1,2) B(1,2,3)
2 1
O
y
x
z
一、坐标平面内的点
•
F
C
•
x
1
O
•
1
E
xoy平面上的点竖坐标为 平面上的点竖坐标为0 平面上的点竖坐标为 yoz平面上的点横坐标为 平面上的点横坐标为0 平面上的点横坐标为 xoz平面上的点纵坐标为 平面上的点纵坐标为0 平面上的点纵坐标为
z
| OP |=
x + y +z
2 2
2
P(x,y,z)
O y
P`(x,y,0)
x
(1) 在空间直角坐标系中，任意两点 在空间直角坐标系中， P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)间的距离： 间的距离：
| P1 P2 |= ( x1 − x 2 ) + ( y1 − y2 ) + ( z1 − z 2 )
反之：（ 对应唯一的点P 反之：（x,y,z)对应唯一的点 ：（ 对应唯一的点
z
z
Pz
P
Py
O
x y y
Px
空间的点P → 空间的点 ← 有序数组
1−−1
x
( x, y, z)
二、空间中点的坐标
有序实数组（ 在此空间 有序实数组（x,y,z）叫做点 在此空间 ）叫做点P在此 直角坐标系中的坐标，记作 （ 直角坐标系中的坐标，记作P（x,y,z） ） 其中x叫做点 的横坐标，y叫做点 的 其中 叫做点P的横坐标， 叫做点P的 叫做点 的横坐标 叫做点 纵坐标,z叫做点 的竖坐标 纵坐标 叫做点P的竖坐标 叫做点
2 2 2
z
P2(x2,y2,z2) P1(x1,y1,z1) H
O y
M
N
x
练习 课本P138 练习 练习1 课本
1、在空间直角坐标系中标出求A、B两点，并 在空间直角坐标系中标出求A 两点， 求出它们之间的距离： 求出它们之间的距离： (1) A(2,3,5) B(3,1,4) (2) A(6,0,1) B(3,5,7)
Байду номын сангаас
解：由两点间距离公式 有： (1) | AB |= ( 2 − 3) + ( 3 − 1) + (5 − 4) = 6
2 2 2
( 2) | AB |= (6 − 3) + (0 − 5) + (1 − 7 ) = 70
2 2 2
课本P138 练习 练习2 课本
2、在Z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)与点 轴上求一点M 使点M到点A(1,0,2)与点 B(1,-3,1)的距离相等 B(1,-3,1)的距离相等. 的距离相等.
问题引入
1．数轴Ox上的点 ，用代数的方法怎样表示呢？ 数轴 上的点M，用代数的方法怎样表示呢？ 上的点 数轴Ox上的点 ，可用与它对应的实数x表示 表示； 数轴 上的点M，可用与它对应的实数 表示； 上的点
O M x
x
直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？ 2．直角坐标平面上的点 ，怎样表示呢？ 直角坐标平面上的点M，可用一对有序实数(x， 直角坐标平面上的点M，可用一对有序实数(x，y) 表示． 表示． y
2 2
Q PP1 = 2 PP2 , ∴ x 2 + 11 = 2 x 2 + 2
⇒ x = ±1,
所求点为 (1,0,0), ( −1,0,0).
练习
课本P138 练习 练习4 课本
3、如图，正方体OABC-D`A`B`C`的棱长为a， 如图，正方体OABC-D`A`B`C`的棱长为 的棱长为a |AN|=2|CN|，|BM|=2|MC`|， MN的长 |AN|=2|CN|，|BM|=2|MC`|，求MN的长. 的长.
两点间距离公式
平面： P P2 |= ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) | 1
2 2
类比
猜想
空间： P P2 |= ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) + ( z1 − z2 ) | 1
2 2
2
空间两点间的距离公式 (1) 在空间直角坐标系中,任意一点 在空间直角坐标系中, P(x P(x,y,z)到原点的距离： 到原点的距离：
z D` A` O A x C` B` M C
N
B
y
例 2 求证以 M1 (4,3,1)、 M2 (7,1,2)、 M3 (5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形
解 M 1 M 2 = (7 − 4)2 + (1 − 3)2 + ( 2 − 1)2 = 14,
2 D '(0, 0, 2)
C'
B'
• 4, 2) (3,
A'
4
y
o
3
C (0, 4, 0)
B (3, 4, 0)
x A (3, 0, 0)
三、空间中点的射影点与对称点坐标
z
1.点P(x , y , z) 在下列坐 标平面中的射影点为： 标平面中的射影点为： (1）在xoy平面射影点为 ） 平面射影点为 (x,y,0) P1__________; (2)在xoz平面射影点为 在 平面射影点为 (x,0,z) P2__________; (3)在yoz平面射影点为 在 平面射影点为 (0,y,z) P3__________; ;
•
•
D
B y
• A1
•
二、坐标轴上的点
x轴上的点纵坐标和竖坐标都为 轴上的点纵坐标和竖坐标都为0 轴上的点纵坐标和竖坐标都为 y轴上的点横坐标和竖坐标都为 轴上的点横坐标和竖坐标都为0 轴上的点横坐标和竖坐标都为 z轴上的点横坐标和纵坐标都为 轴上的点横坐标和纵坐标都为0 轴上的点横坐标和纵坐标都为
点P
（x，y，z） ， ，）
DP=2 CP=4 P(2，4，0) ， ，
O C x
z
D P
y
DP′=2 CP′=4 P′P=5 P(2，4，5) ， ，
C x O
z P D P′ y
PD=2 PC=4 P′P= - 5 P(2，4，-5) ， ，
x
z
O P′
′
y
如图， OABC − D′A′B′C′中， = 3 OA ， 例2、如图，在长方体 OC = 4 OD′ = 2 写出 ′，C，A′，B′四点的坐标。 D 四点的坐标。 ， ， z
A' O A
B'
C'
y C B
yOz 平面、 平面、 平面。 分别为 xOy平面、 平面、xOz 平面。
2、空间直角坐标系的划分
Ⅲ
z
zx 面
Ⅱ
yz 面
Ⅳ
xy 面
x
Ⅶ
•
O
y
Ⅰ
Ⅵ Ⅴ
Ⅷ
空间直角坐标系共有八个卦限
3、空间中点的坐标
对于空间任意一点M， 对于空间任意一点 ，要求它的坐标
方法一：过M点分别做三个平面分别垂直于x,y,z 点分别做三个平面分别垂直于x,y,z
设 P 在 x轴上，它到 P (0, 2,3)的距离为 轴上， 1
的距离的两倍， 的坐标. 到点 P (0,1,−1)的距离的两倍，求点 P 的坐标 2
解 因为 P 在 x 轴上， P点坐标为 ( x ,0,0), 轴上， 点坐标为 设
PP1 = x 2 + ( 2 )2 + 3 2 = x 2 + 11, PP2 = x + (− 1) + 12 = x 2 + 2 ,
z
P(x,y,z)
关于谁对称谁不变
O x P1
y
对称点
3.点P(x , y , z) 关于： 点 关于： ( x, − y , − z ) （1）x轴对称的点 1为__________; ） 轴对称的点P 轴对称的点 ( − x, y , − z ) 轴对称的点P （2）y轴对称的点 2为__________; ） 轴对称的点 ( − x, − y , z ) 轴对称的点P （3）z轴对称的点 3为__________; ） 轴对称的点
纵坐标。再过P点作z轴的垂线， 轴上的坐标z 纵坐标。再过P点作z轴的垂线，垂足 P在z轴上的坐标z 1 就是P点的竖坐标。 就是P点的竖坐标z 。
z P1 1 M y Ｙ
•
1
M点坐标为 (x,y,z)
y
x
x Ｘ
1
• o
•P
0
二、空间中点的坐标 x称为点 的x坐标 称为点P的 坐标 称为点 y称为点 的y坐标 称为点P的 坐标 称为点 z称为点 的z坐标 称为点P的 坐标 称为点
z 叫做 P点的横坐标、纵坐标、竖坐标。 坐标、 坐标、 坐标。
z
•
1
R
•M
1
x• x P
1
• o
•Q
y
y
3、空间中点的坐标
方法二：过M点作xOy面的垂线，垂足为 P0点。 点作xOy面的垂线， xOy面的垂线 xOy中的坐标 依次是P点的横坐标、 点 P 在坐标系xOy中的坐标x、y依次是P点的横坐标、 0 在坐标系xOy中的坐标x
轴，平面与三个坐标轴的交点分别为P、Q、R，在其 平面与三个坐标轴的交点分别为P 相应轴上的坐标依次为x,y,z 那么(x,y,z)就叫做点P x,y,z， (x,y,z)就叫做点 相应轴上的坐标依次为x,y,z，那么(x,y,z)就叫做点P的 空间直角坐标，简称为坐标，记作P(x,y,z) P(x,y,z)， 空间直角坐标，简称为坐标，记作P(x,y,z)，三个数值
P3
P2
P(x,y,z)
O P1 x
y
关于坐标平面对称
2点P(x , y , z) 关于： 点 关于： （x，y，-z） ， ， ） 对称的点P （1）xoy平面对称的点 1为__________; ） （-x，y，z） ， ，） 对称的点P （2）yoz平面对称的点 2为__________; ） （x， -y， z） ， ， ） 对称的点P （3）xoz平面对称的点 3为__________; ）