《基础拓扑学讲义》部分习题解答

《基础拓扑学讲义》部分习题解答六

1． 设(,)X Γ是空间，是任何一个不属于1T ∞X 的元素。

令*{}X X =∞∪和*{}*X Γ=Γ∪。证明：

（1）**(,X )Γ是一个拓扑空间。

（2）**(,X )Γ是一个空间但不是空间。

0T 1T 证明 （1）（略）

（2）先证(,X ∗∗)Γ是空间：由于0T X 是空间，故也是

空间，对1T 0T X ∗中的任意两个不相同的点，如果这两个点都不是，则有一个点有一个开邻域不包含另一个点；如果这两个点有一个是∞，则对另一点记为∞p （p ≠∞）而

言，X 是包含点p 的一个开邻域，

并且X ∞∉，所以是T 空间．

(,X ∗∗Γ))0再说明(,X ∗∗Γ不是空间：由于1T {}X ∗∗Γ=Γ∪ ，故包含的开邻域只有一个，就是∞{}X X ∗=∪∞，因此对X 中一点p 而言，包含∞的开邻域一定包含p ，所以不是空间．

(,X ∗∗Γ)1T 2.设和Γ Γ

是集合X 上的两个拓扑，并且 Γ⊂Γ。证明：如果拓扑空间(,)X Γ是一个或空间，则拓扑空间0T 1T (,)X Γ

相应也是一个或空间。

0T 1T

证明 （1）若是空间，则对(,)X Γ0T X 中任意两个不同的点，存在一个点的一个开邻域不包含另外一个点，

又 Γ⊂Γ，故上述开邻域也是该点在拓扑空间 (,)X Γ

下的一个开邻域，它同样不包含另一个点，得到 (,)X Γ也是空间．

T （2）若(,)X Γ是空间，则对1T X 中任意两个不同的点x 与，分别各自存在一个开邻域不包含另外一点，又

y Γ⊂Γ

，这两个开邻域也是点x 与在拓扑空间y (,)X Γ下的开邻域，它们同样不包含另一个点，得到 (,)X Γ也是空间．

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T 3．对中的区间进行同胚分类，问总共有几个类？ 答：三个。（1）[,；（2）；（3）[,。 ]a b (,)a b )a b

注：如果对一维连通流形进行同胚分类则有四个，加上。

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