高中数学竞赛_奥林匹克数学的技巧(中篇)

奥林匹克数学的技巧（中篇）

2-7-8 配对

配对的形式是多样的，有数字的凑整配对或共轭配对，有解析式的对称配对对或整体配对，有子集与其补集的配对，也有集合间象与原象的配对。凡此种种，都体现了数学和谐美的追求与力量，小高斯求和（1+2+…+99+100）首创了配对，163IMO -也用到了配对。

例2-143 求

502

0305[

]503

n n

=∑之值。 解 作配对处理 502

251

251011

305305305(503)304503

[]([][])30425176304

503503503503n n n n n n ===-⨯=+==⨯=∑∑∑ 例2-144 求和 122k n

n n n n n

a C C kC nC =+++++…… 解一 由k n k n n C C -=把n a 倒排，有012012k n n n n n n n a C C C kC nC =++++++…… 1(1)()0n n n k n

n n n n n a nC n C n k C C --=+-++-++…… 相加 012()2n

n n n n n a n C C C n =+++∙…

得 12n n a n -=∙

解二 设集合{}1,2,,S n =…，注意到 ,,1,2,,

k

n A S A k

k C A k n ⊂=

=

=∑

… 有n A S

a A ⊂=

∑

为了求得A S

A ⊂∑把每一A S ⊂，让它与补集A 配对，共有1

2

n -对，且每对中均有A A n +=

于是1

2

n n A S

a A n n n n -⊂=

=++=∙∑…

这两种解法形式上虽有不同，但本质上是完全一样的，还有一个解法见例2-149。 例2-145 设12,,,n x x x …是给定的实数，证明存在实数x 使得

{}{}{}121

2

n n x x x x x x --+-++-≤

… 这里的{}y 表示y 的小数部分。 证明 有 {}{}1,0,y Z

y y y Z

⎧∈⎪+-=⎨

∈⎪⎩ 知{}{}1y y +-≤

下面利用这一配对式的结论。设{}{}{}112i i i n f x x x x x x =-+-++-

{}{}2

1

11(1)

()12

n

i i j j i n i i j n

i j n

n n f x x x x C =≤≤≤≤≤≤-=

-+-≤

==

∑∑

∑

据抽屉原理①知，必存在(1)k k n ≤≤，使2112

k n n f C n -≤= 取k x x =，由上式得

{}{}{}1212

n n x x x x x x --+-++-≤

… 2-7-9 特殊化

特殊化体现了以退求进的思想：从一般退到特殊，从复杂退到简单，从抽象退到具体，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论，从高维退到低维，退到保持特征的最简单情况、退到最小独立完全系的情况，先解决特殊性，再归纳、联想、发现一般性。华罗庚先生说，解题时先足够地退到我们最易看清楚问题的地方，认透了、钻深了，然后再上去。

特殊化既是寻找解题方法的方法，又是直接解题的一种方法。

例2-146 已知恒等式 8

8

2

4

(21)()()x a x b x c x d --+=++ 求实数,,,a b c d ，其中0a >。

解 对x 取特殊值，当12x =

时，有84

1()()0242

a c

b d -+=++≥ 故有02a b +=（1） 1042

c

d ++=（2）

又取0x =（即比较常数项系数），有 8

4

1b d -=（3） 比较8

x 的系数（考虑特殊位置），有8

821a -=（4）

由④得a == 代入（1）

，得b =

代入原式左边，有8

88811

(21)256()255()22x x x --=--- 82

4

11()()2

4

x x x =-=-+ 故知11,4

c d =-=

。 也可以将,a b 的值代入（3）、（2）求,d c ，但要检验排除增根。

例2-147 已知a 为常数，x R ∈，且()1

()()1

f x f x a f x -+=

+

求证 ()f x 是周期函数。

分析 作特殊化探索。求解的困难在于不知道周期，先特殊化，取一个满足条件的特殊函数

()f x ctgx =且4

a π

=

，有1

()4

1

ctgx ctg x ctgx π

-+

=

+

但ctgx 的周期为444

T a π

π==⨯=。

猜想：4T a =是周期。

证明 由已知有()1

1

()11

()1(2)()1()1()

1()1

f x f x a f x f x a f x f x a f x f x --+--++===-++++

据此，有11

(4)()1(2)()

f x a f x f x a f x +=-

=-=+-

得证()f x 为周期函数，且4T a =为一个周期。

例2-148 在平面上给定一直线，半径为n 厘米（n 是整数）的圆以及在圆内的4n 条长为1厘米的线段。试证在给定的圆内可以作一条和给定直线平行或垂直的弦，它至少与两条给定的线段相交。

分析 特殊化，令1n =，作一个半径为1的圆，在圆内作四条1厘米长的线段，再作一条与已知直线L 垂直的直线L ’（图2-63）

现从结论入手，设AB ∥L 并与两条弦相交，则交点在L ’上的投影重合，反之，如果四条线段在L 或L ’上的投影有重合点，则从重合点出发作垂线即可。

由特殊化探索出一个等价命题：将给定的线段向已知直线L 或L 的垂线作投影时，至少有两个投影点重合。

这可以通过长度计算来证实。

证明 设已知直线为L ，作L ’⊥L ，又设4n 条线段为124,,,n d d d …，每一条i d 在L ，L ’上的投影长为,(14)i i a b i n ≤≤

，有0,1i i a b ≥≥=。

由1i i a b +=

=

得

4441

1

1

()4n

n

n

i

i

i

i

i i i a b a b n ===+=+≥∑∑∑

从而，两个加项

4411

,n n

i

i

i i a b ==∑∑中必有一个不小于2n 厘米，

但圆的直径为2n 厘米，故124,,,n

d d d …在L 或L ’的投影中，至少有两条线段的投影相交，过重迭点作L 或L ’的垂线即为所求。（将,i i a b 表示为三角函数运算更方便）

.275IMO -（例2-51）的求解过程，实质上是对表达式(())()()f xf y f y f x y ∙=+中函数的三