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第十讲 解三角形
△ABC中：
（1）A+B+C=
（2）A B C C
2
2 22
（3）A B a b sin A sin B
C
b
a
B
A
c
正弦定理:
a b c 2R sin A sin B sin C
a 2R sin A b 2R sin B
c 2R sin C
cos AcosC sin Asin C cos B 1 2sin2 B cos AcosC sin AsinC cos B 1 2sin AsinC
cos AcosC sin AsinC cos B 1
cos(A C) cos B 1 1
例9、如果△ABC内接于半径为的圆，且 2R(sin 2 A sin 2 C) ( 2a b) sin B, 求△ABC的面积的最大值。
∴
AB ,
2
即 A B0
2
2
∴ sin A sin( B)即 sin A cos B
2
同理 sin B cosC ，sin C cos A
∴ sin A sin B sin C cosA cosB cosC
例２、在△ ABC中，若b 2a sin B
则 A 等于（ ）
．
∴ AC BC
2( 6 2)(sin A sin B) 4( 6 2)sin A B cos A B
2
2
AB
B
4cos 2 4, (AC BC)max 4
C
A
例4、在△ABC中，若 a cos A bcosB c cosC,
则△ABC的形状是什么？
解： acos A bcos B ccosC,sin Acos A sin Bcos B sinC cosC
余弦定理可解决两类问题：
1．已知三边求三角；
2．已知两边和它们的夹角，求此角对边，进而 可求其它角。
Ｃ
Ｃ
c
a
b
Ａ
b
ＢＡ
c
Ｂ
面积公式：
Ｃ b
Ａ
c
S
1 2
absin C
1 bc sin A
Ｂ
2
1 ac sin B 2
典型例题分析：
例１．在△ABC中，角均为锐角，且cos A sin B,
则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案：cos A sin( A) sin B, A, B 都是锐角，
2
2
则 A B, A B ,C
2
22
选
Ｃ
训练、在锐角△ABC中，求证：
sin A sin B sinC cosA cosB cosC
证明：∵△ABC是锐角三角形，
AB a=bsinA 一解
C ba a
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b b a
两解
一解
A
B
a>b 一解
余弦定理：
求角
b2 c2 a2 cosA
2bc cosB a2 c2 b2
2ac cosC a2 b2 c2
2ac
求边
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
(边化角)
s in
A
a 2R
s in
B
b 2R
sin C
c 2R
（角化边）
从理论上正弦定理可解决两类问题：
1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进
而可求其它的边和角。
Ｃ
Ｃ
Ａ
a
b
ＢＡ
a Ｂ
已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解 或一解（见图示）
C ba
sin 2A sin 2B sin 2C,2sin(A B)cos(A B) 2sin C), 2cos Acos B 0
cos A 0 或 cos B 0 得 A 或 B
2
2
所以△ABC是直角三角形。
例5、在△ABC中，若 A B 1200 ，
cos( A B) cos(A B) cos2 (A B) 0
cos Acos BcosC 0
例8、在△ABC中，若 b 2 ac ，则
cos(A C) cosB cos2B 的值是_________。
分析：b2 ac, sin2 B sin Asin C,
由 cos(A C) cosB cos2B 得：
解：2Rsin Asin A 2Rsin C sin C ( 2a b)sin B,
asin A csin C ( 2a b)sin B,a2 c2 2ab b2,
则求证： a b 1
。
bc ac
分析：要证
：
b
a
c
a
b
c
1
只要证 ：
a2 ab
ac bc
b2 bc ac c2
1
即 ： a2 b2 c2 ab
而∵ A B 1200
∴ C 600
cos C a2 b2 c2 , a2 b2 c2 2ab cos 600 ab 2ab
∴原式成立。
例6、在△ABC中，若a cos2 C c cos2 A 3b ，
则求证：a c 2b 2
22
证明：∵ a cos2 C c cos2 A 3b
2
22
∴ sin A1 cosC sin C 1 cos A 3sin B
2
2
2
即 ：sin Asin AcosC sinC sinC cos A 3sin B
A． 300
B．
600
C．1200 或600
D．300 或1500
答案：b 2a sin B,sin B 2sin Asin B,sin A 1 , A 300
2
或1500
选D
例3、在△ABC中，AB 6 2, C 300，则
AC BC 的最大值是________。
解：∵
AC BC AB , AC BC AB , sin B sin A sin C sin B sin A sin C
∴ sin A sin C sin(A C) 3sin B
即 ：sin A sin C 2sin B
即 ：a c 2b
例7、在△ABC中，若 则△ABC的形状是______________。
1 (1 cos 2A 1 cos 2B) cos2 ( A B) 1, 2 1 (cos 2 A cos 2B) cos2 ( A B) 0, 2