高中数学.平面向量的线性运算

当前形势平面向量在近五年北京卷（理）考查5分高考 要求内容要求层次 具体要求A B C 平面向量的相关概念√①理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．②理解向量的几何表示．向量加法与减法√ ①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．③了解向量线性运算的性质及其几何意义． ④了解平面向量的基本定理及其意义． 向量的数乘 √两个向量共线 √ 平面向量基本定理√北京 高考 解读 2009年 2010年 （新课标） 2011年 （新课标） 2012年 （新课标） 2013年 （新课标） 第2题 5分第6题5分第10题5分第13题5分第13题5分一、向量的概念与表示1．向量的概念：数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量． 2．向量的表示：①几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的长度． ②字母表示法：AB ，注意起点在前，终点在后；也可以用a ，b 来表示． ③线段AB 的长度也叫做有向线段AB 的长度，记作||AB ．3．零向量：长度等于零的向量，叫做零向量．记作：0；零向量的方向是任意的． 单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．4．相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量．5．向量共线或平行：方向相同或相反的向量叫做平行向量．向量a 平行于向量b ，记作a ∥b ．任一组平行的向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．规定：零向量与任意向量平行．10.1共线向量知识点睛新课标剖析平面向量的线性运算<教师备案> 因为我们研究的向量都是自由向量，也就是不考虑起点位置的向量，所以用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点．同时，因为任何一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量与共线向量是等价的，在同一直线上的向量也是平行向量，要避免将向量的平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆． 可以通过下面的正误判断进一步说明向量的概念与表示：⑴ 零向量没有方向； ⑵ 若a b =，则a b =； ⑶ 单位向量都相等； ⑷ 向量就是有向线段； ⑸ 两相等向量若共起点，则终点也相同； ⑹ 若a b =，b c =，则a c =； ⑺ 若a b ∥，b c ∥，则a c ∥； ⑻ 当a b =且a b ∥时a b =；⑼ 若四边形ABCD 是平行四边形，则AB CD =，BC DA =． 正确的命题有_____________．【解析】 正确的命题有：⑸⑹．分析：⑴不正确，零向量方向任意；⑵不正确，说明模相等，但方向可能不同； ⑶不正确，单位向量的模为1，方向很多．⑷不正确，向量只与方向及模的大小有关，而与起点位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关，只是我们通常用有向线段表示一个向量； ⑸正确；⑹正确，向量相等有传递性；⑺不正确，因若0b =，则不共线的向量a c ，也有0a ∥，0c ∥；⑻不正确，当a b ∥，且方向相反时，由a b =得到a b =-；⑼不正确．应该是AB CD =-，BC DA =-．二、向量的运算 1．向量的加法：⑴ 三角形法则：AB a =，BC b=，a 和b 的和（或和向量）a b AB BC AC +=+=．B⑵ 平行四边形法则：AB a =，AD b =，a b ，不共线，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则a b AC +=．⑶ 多边形法则：已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量．d⑷向量的运算性质：向量加法的交换律：a b b a+=+；向量加法的结合律：()()a b c a b c++=++．关于0：00a a a+=+=．2．向量的减法：⑴相反向量：与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作a-．00-=．⑵差向量：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．AB OB OA=-．<教师备案> 通过向量的加法与减法运算可以插入任何字母，如字母P可以通过AB AP PB PB PA=+=-直接插入向量AB中，这在向量相关的证明与关系的推导中常常用到．在向量问题中，以上结论类似于“换底公式”，可以将所有向量换成以同一个起点出发的向量，这个起点通过根据题目要证明的结论选定，从而找到变形的方向．（为了方便起见，我们在此讲中称此做法为“向量的换底公式”）．向量有一讲预习讲义：《向量基本概念与运算》，其中本讲的基础知识与一些简单的例题，如果班上学生进度较慢，老师可以结合预习讲义多讲些简单题．3．数乘向量aλ：0λ>时，与a方向相同；0λ<时，与a方向相反；0λ=时，0aλ=；且a aλλ=；4．向量共线的条件⑴平行向量基本定理：向量()0a a≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b aλ=．⑵单位向量：a的单位向量记作a，是指与a方向相同，长度为1的向量，aaa=．<教师备案>向量共线的两种常见形式：①如果b aλ=，则a ∥b ；反之，如果a∥b，且0a≠，则一定存在唯一的一个实数λ，使b aλ=；②平面向量a b，共线当且仅当存在不全为零的实数12λλ，，使得12a bλλ+=．由此知，若a b，不共线，且12a bλλ+=，则一定有12λλ==．同样的，若a b，不共线，且1122a b a bλμλμ+=+，则一定有1212λλμμ=⎧⎨=⎩．例：若向量12e e，不共线，且121224e e e keλ-=+，则一定有142kλ==-，．讲完这块就可以让学生练例1⑴了．<教师备案> 例1是对平行向量基本定理的应用，用这个定理可以推导出平面向量基本定理，是向量关系的基础．我们讲的向量是自由向量，起点可以自由移动，但一旦起点选定，终点就也确定了，所以有共同点（起点或终点）的共线向量可以推导出起点或终点是否共线的关系，这也是“向量的换底公式”的基本想法，通过这种变形可以判断三点是否共线．如：已知非零向量OA 、OB 、OC ，满足32OC OA OB =-，求证：A 、B 、C 三点共线． 解析：选定A 为起点，应用“向量的换底公式”：OC AC AO =-，3232()2OA OB AO AB AO AO AB -=---=--，于是22AC AO AO AB AC AB -=--⇒=-．故A 、B 、C 三点共线．【例1】 ⑴已知向量a b ，不共线，x y ∈R ，，且3(1)xa yb ya x b +=-+，则x =______，y =______． ⑵已知向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则A 、B 、C 、D 四点中，一定共线的三点是_________．⑶设a ，b 是两个不共线的向量，若2AB a kb =+，CB a b =+，2CD a b =-，且A 、B 、D 三点共线，则实数k 的值等于 ． 【解析】 ⑴ 3144--，；由题意知334114x x y x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⇒⎨⎨--=⎩⎪=-⎪⎩．⑵ A 、B 、D ．(56)(72)BD BC CD a b a b =+=-++-242(2)2a b a b AB =+=+=，∴BD 与AB 共线，又∵有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线． ⑶ 4-．由于A 、B 、D 三点共线，故AB BD ∥，又2AB a kb =+，2BD CD CB a b =-=-， 故由2(2)a kb a b λ+=-，可解得4k =-．<教师备案> 向量可以用有向线段表示，向量可以表示平面几何图形中的一些关系，向量的运算也有明确的几何意义，例2是我们熟悉的几何图形中的一些向量关系．【例2】 ⑴设O 为平行四边形ABCD 的对称中心，14AB e =，26BC e =，则1223e e -等于（ ）A ．OAB ．OBC ．OCD ．OD⑵已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式：①BC CD EC ++；②2BC DC +；③FE ED +；④2ED FA -中，与AC 相等的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【解析】 ⑴ B ；取AB 的中点M ，连接OM ，如图，则12112322e e AB BC AM MO OM MB OB -=-=-=+=．第⑴题：MODCBA第⑵题：FEDCBA经典精讲⑵ D①BC CD EC BD FB FD AC ++=+==； ②2BC DC AD DC AC +=+=； ③FE ED FD AC +==；④2ED FA FC FA AC -=-=；故答案为D ．平面向量基本定理：如果1e 和2e 是一平面内的两个不平行的向量，那么对该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数1a ，2a ，使a =1122a e a e +．基底：我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作{}12e e ，．1122a e a e +叫做向量a 关于基底{}12e e ，的分解式．<教师备案> 平面向量基本定理可以将很多向量统一起来，相当于将所有的向量化到统一的形式，这样就可以找到各个向量的之间的关系或进行各种运算．在很多问题中，我们都是先选定一组基底，将所有向量写成关于基底的分解式，就可以进行运算及判断关系了．例3是平面向量中经常遇到的一个结论，铺垫是它的特殊情形，利用例3⑵的结论可以很快得到很多三点共线的结论，在后面有相应的应用．利用例3⑶，也可以很快判断出共线三点的长度的比例关系．【铺垫】如图，已知AB a =，AC b =，3BD DC =，用,a b 表示AD ，则AD 等于（ ）A ．34a b +B ．1344a b +C ．1144a b +D ．3144a b + 【解析】 B方法一：3313()4444AD AB BD AB BC a b a a b =+=+=+-=+．本题结论可以推广为，当BD DC λ=时，111AD AB AC λλλ=+++． 方法二：过点D 分别作AB AC ，的平行向量，交AB 于点E ，交AC 于点F ，如图，由平面向量基本定理得：AD AE AF =+，又FD AB ∵∥，3BD DC =，14AE AB=∴，14AE AB =∴，同理，34AF AC =，∴1344AD AE AF AB AC =+=+． 10.2平面向量的分解技巧经典精讲知识点睛CAFEAC【例3】已知A 、B 、C 、P 为平面内四点，⑴ 若A 、B 、C 三点在一条直线上，求证：存在一对实数m 、n ，使PC mPA nPB =+， 且1m n +=． ⑵ 若存在一对实数m 、n ，使PC mPA nPB =+，且1m n +=， 求证：A 、B 、C 三点在一条直线上．⑶ 若AC CB λ=，求证：111PC PA PB λλλ=+++．C BAP【解析】 ⑴ 由A 、B 、C 三点共线知，存在常数λ，使得AC AB λ=．由要证明的结论知，选定P 为起点，即()PC PA PB PA λ-=-．从而()1PC PB PA λλ=+-，令1m λ=-，n λ=，则1m n +=，PC mPA nPB =+．由平面向量的分解定理知，m n ，唯一． ⑵ 由要证明的结论知，可选定A 为起点进行变形，由PC mPA nPB =+，1m n +=，得()AC AP mAP n AB AP -=-+-，于是有(1)AC m AP nAB nAP nAB =-+-=， ∴A 、B 、C 三点共线．⑶ 可选定P 为起点，由已知得()PC PA PB PC λ-=-， 整理即得111PB PA PC λλλ=+++．【点评】 本题充分展示了“向量的换底公式”对于整理方向的指导性．对于我们目前研究的自由向量来说，有以下三点要注意：⑴向量的起点是可以自由选择的；⑵在研究具体问题时，我们通常选择统一的起点；⑶起点的选择与研究的具体问题有关（通常会选确定的点作为起点或者选择信息量最多的点作为起点）．本题的三小问的证明并不困难，但本题的结论是很强大的，灵活运用本题的结论可以快速解决很多向量问题．下面就这个结论进行一些说明供老师选用，对于班上学生程度较好的，可以进行选择讲解：C BAP结论一：若有PC mPA nPB =+，则由⑴⑵知1m n +=⇔点C 在直线AB 上． 结论二：PC mPA nPB =+．00m n >>，⇔C 在线段AB 上（不包括端点）． 而0mn <，即m n ，符号不同时，点C 不在线段AB 上，且可以根据m n ，的正负判断出点C 在射线AB 还是在射线BA 上．结论三：PC mPA nPB =+．m n +是有明确的意义的，事实上，当1m n +=时，点C 在直线AB上；当12m n +=时，点C 在AB 边的中位线所在的直线上；当43m n +=时，在射线PC上取一点N ，使得43PN PC =，过点N 作AB 的平行线，所有满足条件的点就在此平行线上，如下图．431也即m n +的值决定了点C 在与AB 平行的哪条直线上，m n +越大，直线与点P 的距离越大．思考：当0m n +=时，点C 的位置在哪？在过点P 与AB 平行的直线上； 当1m n +=-，点C 的位置在哪？在直线AB 关于点P 的对称直线上．当1m n +>时，点C 所在的直线在直线AB 的与点P 不同的一侧．要进一步确定点C 的位置，还需要m 与n 的比值，即下面的结论四．事实上，这个结论与直线的方程很类似，当PA PB ，是互相垂直的单位向量时，()m n ，就相当于点C 在基底PA PB ，下的坐标，故此时1m n +=就对应直线1x y +=；同样的，m n +为常数就表示与此直线平行的直线．当PA PB ，只是不共线的任意向量时，也是类似的． 同样的，类比坐标，我们知道00m n >>，时，表示的点C 在第一象限，即由射线PA PB ，围成的一个区域内．而当00m n ><，时，对应的是另一个象限，即由射线PA 与BP 的反向延长线对应的区域内．这有助于我们对这个结论的理解与应用．结论四：PC mPA nPB =+．m n 的比值决定了C 点在AB 上的位置，当0mn>时，点C 在线段AB 上．当1m n =时，点C 恰为线段AB 的中点．事实上，由例3⑶知m BCn AC=，这对于1m n +≠时，也同样成立．再比如，在ABC △中，若AH BC ⊥于点H ，如图， 则cos cos BH AB B CH AC C =⋅=⋅，，故cos cos AB AC AH AB B AC C λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，λ为某常数． 再由结论三知，因为B H C ，，三点共线，故111cos cos AB B AC C λ⎛⎫⎪+= ⎪⎝⎭， 从而cos cos cos cos AB AC B C AC C AB Bλ⋅=+，即cos cos cos cos cos cos AC C AB B AH AB AC AC C AB BAC C AB B=+++．利用这个比值，可以快速得到华山论剑的结论．用这个结论可以快速解决一些问题，如下面的例题：如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点H CB AM N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为_______．【解析】 2∵点O 为BC 边的中点，∴1()2AO AB AC =+．∵AB mAM =，AC nAN =， 法一：MN AN AM =-；1()1222m n MO AO AM AB AC AM AM AN ⎛⎫=-=+-=-+ ⎪⎝⎭．∵A M N ，，三点不共线，且M O N ，，三点共线，∴存在λ∈R ，122m n MO AM AN AN AM λλ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭．故122n m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，整理得2m n +=． 法二：（用到了例3的结论）1()2AO mAM nAN =+，∵M ，O ，N 三点在一条直线上，∴122m n+=，即得2m n +=．<教师备案> 由平面向量基本定理知，平面内任何两个不共线的向量都可以作为基底，其它任何向量都可以由基底线性表示出来，且表示方法唯一，已经给出相关点的位置关系，如何通过这些几何关系确定一个向量对于这组基底的分解式系数，是下面的铺垫与例4要说的．【铺垫】ABC △中，23AD AB =，DE BC ∥交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N ，设AB a =，AC b =，用a 、b 表示向量AE 、BC 、DE 、DN 、AM 、AN ． 【解析】 222333DE BC AE AC b AD AB ⎧⎪⇒==⎨=⎪⎩∥，，BC AC AB b a =-=-． 由ADE ABC △∽△，得22()33DE BC b a ==-．又AM 是ABC △的中线，DE BC ∥， 得11()23DN DE b a ==-．又11()22AM AB BC a b =+=+．21()2333ADN ABM AN AM a b AD AB ⎫⎪⇒==+⎬=⎪⎭△∽△．N M E DC B A ONMCBA【例4】 ⑴在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD交于点F ．若AC a =，BD b =，则AF =（ ）A ．1142a b +B ．2133a b +C ．1124a b +D ．1233a b+⑵如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD xAB y AC =+，则x =____，y =____．⑶（2013北京理）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若()c a b λμλμ=+∈R ，， 则λμ= ． OFE DCBA60︒45︒EDBCAabc第⑴题 第⑵题 第⑶题【解析】 ⑴ B法一：由E 为OD 的中点可知13DE DF EB AB ==， ∴13AF AD DF AD DC =+=+，设AD m =，AB n =，∴m n am n b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得：11221122m a b n a b⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴121333AF m n a b =+=+法二：由于12DF FC =，则121333AF AC AD AD AB =+=+，（例3的结论） 将m ，n 代入即可．以下同解法一．⑵ 31x =+3y =．作DF AB ⊥交AB 延长线于F ， 设12AB AC BC DE ==⇒==，∵60DEB ∠=︒，∴6BD =．由45DBF ∠=︒，解得623DF BF ==， 故31x =，3y ． ⑶ 4；记方向水平向右与竖直向上的单位向量为12e e ，，并取之为基底，12a e e =-+，1262b e e =+，123c e e =--，由c a b λμ=+得121212123()(62)(6)(2)e e e e e e e e λμλμλμ--=-+++=-+++， 又12e e ，不共线，故6123λμλμ-+=-⎧⎨+=-⎩，解得212λμ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，故4λμ=．FEDC B A学完坐标运算后，本题直接通过坐标也可以得到比值，但其实坐标就是取一组单位正交基底后得到的，本质完全相同．<教师备案> 给出平面上一些向量的关系，如何确定相关的点的位置，是例5的内容．其中备选的题是要通过向量关系确定交点的位置，难度较大，可供目标班选讲．【例5】 ⑴已知P 为ABC △所在平面内一点，当PA PB PC +=成立时，点P 位于（ ）A ．ABC △的AB 边上 B ．ABC △的BC 边上 C ．ABC △的内部D ．ABC △的外部 ⑵设O 是ABC △内部一点，且2OA OC OB +=-，则AOB △与AOC △的面积之比为 ． ⑶已知A B C 、、是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足1112322OP OA OB OC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则点P 一定为三角形ABC 的（ ）A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点（非重心）C ．重心D ．AB 边的中点【解析】 ⑴ D ；要确定P 点的位置，需要将条件中的式子化成以ABC △的某顶点为起点的向量关系式，比如取A 为起点，有()AP AB AP AC AP -+-=-，从而有AP AB AC =-． 由AP CB =知，点P 在ABC △的外部；点评：要是利用例3后面的结论，由AP AB AC =-知，系数和为1(1)0+-=，故点P 必在过点A 与BC 平行的直线上． ⑵ 12选定B 为起点，已知的式子可以整理为2BA BO BC BO BO -+-=，于是1()4BO BA BC =+，如图，取AC 的中点D ，则2BA BC BD +=，故12BO BD =，即O 为BD 的中点，AOB AOD COD S S S ==△△△，∴12AOB AOC S S =△△．点评：利用例3后面的结论，1()4BO BA BC =+，由11:144=知，点O 在AC 边的中线上；由111442+=知点O 在与AC 边平行的ABC △的中位线上，即O 为AC 边中线的中点．⑶ B ；由选项知，本题应该选择C 为起点， 于是得：664CP CO CA CO CB CO CO -=-+--，从而6CP CA CB =+，即1()6CP CA CB =+， 取AB 边的中点M ，则2CA CB CO +=，从而13CP CO =， 即点P 为三角形中AB 边上的中线的一个三等分点，且点P 不是重心．点评：由1()6CP CA CB =+，11:166=知点P 在BC 边的中线上；由111663+=知，是中线上靠近C 的一个三等分点，且不是重心．A BCDOO PA已知ABC △，角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，⑴ 三角形的外心O ：外接圆的圆心，三边中垂线的交点，满足OA OB OC ==；⑵ 三角形的内心I ：内切圆的圆心，三个内角平分线的交点，满足0aIA bIB cIC ++=； （证明：法一：若0aIA bIB cIC ++=，则由()()0aIA bIB cIC aIA b IA AB c IA AC ++=++++=得：bAB cAC bc AB AC AI a b c a b c c b ⎛⎫+==+ ⎪ ⎪++++⎝⎭，即I 在A ∠的角平分线上， 同理I 在B ∠与C ∠的角平分线上，故I 是内心．法二：因为AB ACc b，分别为AB AC ，方向上的单位向量， 所以向量AB ACc b +平分BAC ∠，设AB AC AI c b λ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭．BA BC BI c a μ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭， AB AC BA AC AB AB AI BI AB AC c b c a c c a b a λμμλμλμ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=-=+-+=+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 从而10c c ab aλμμλμ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得bc a b c λ=++，于是bc AB AC bc AI BI AI CIAI a b c c b a b c c b ⎛⎫⎛⎫--=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 化简得：0aIA bIB cIC ++=．（由角平分线定理+向量的定比分点公式可以较快得到λ的值）⑶ 三角形的重心G ：三边中线的交点，重心分中线比为2:1，满足0GA GB GC ++=．（其实，点G 为三角形的重心⇔0GA GB GC ++=；若点P 是ABC △所在平面内任一点，则点G是ABC △的重心⇔1()3PG PA PB PC =++）<教师备案> 一般我们只研究三角形的四心（重心、垂心、内心、外心），其中垂心满足的向量关系与向量的数量积相关，所以这里暂时不讲，对于三角形的垂心H ，即三边高的交点，满足HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅．【铺垫】当非零向量a b ，满足条件______________时，向量a b +平分向量a 和b 的夹角． 【解析】 a b =由向量加法的平行四边形法则知，向量a b +是向量a 和b 所构成的平行四边形的对角线，要对角线平分平行四边形的一个角⇔此平行四边形为菱形，即a b =．10.3三角形的三颗心经典精讲知识点睛【例6】 ⑴O 是平面内一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，[0,)λ∈+∞，则P 的轨迹一定通过ABC △的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心⑵已知点G 是ABC △的重心， ()AG AB AC λμλμ=+∈R ，，那么λμ+=_____．⑶若P 为ABC △的外心，且PA PB PC +=，则ABC △的内角C 等于________．【解析】 ⑴ B设AB AB 为AB 上的单位向量，AC AC 为AC 上的单位向量，则AB ACAB AC+的方向为BAC ∠的角平分线AD 的方向，又[0,)λ∈+∞，∴AB AC AB AC λ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭的方向与AB AC AB AC +方向相同， 而OP AB AC OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，∴点P 在AD 上移动， ∴P 点的轨迹一定通过ABC △的内心． ⑵ 23设D 为BC 为中点，∴()2211133233AG AD AB AC AB AC ⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦，∴23λμ+=，⑶ 120︒；以求角C ，故选C 为起点整理，得CA CP CB CP CP -+-=-，于是CP CA CB =+． 由向量加法的平行四边形法则知，四边形CBPA 为平行四边形．又因为P 为外心，故PA PB PC ==，从而四边形CBPA 为菱形，且120ACB ∠=︒．【备选】已知点G 是ABC △的重心，过G 作直线与AB AC 、两边分别交于M N 、两点，且设AM xAB =，AN y AC =，则11x y+＝_______．【解析】 3；法一：∵G 是ABC △的重心，0GA GB GC ++=∴，即()()0AG AB AG AC AG -+-+-=，1()3AG AB AC =+∴． （也可通过重心分中线的比为2:1得到()2132AG AB AC =⋅+）∵M N G 、、三点共线，∴存在,k λ，1k λ+=，使得AG AM k AN λ=+．于是1()3AG xAB kyAC AB AC λ=+=+，从而11113313k x x y ky λλ⎧⎪+=⎪⎪=⇒+=⎨⎪⎪=⎪⎩． 法二：N M G CB A特殊值法，考虑特殊情形，即MN BC ∥．此时有23x y ==，故113x y +=．设O 为ABC △内一点，证明：存在正实数α，β，γ，使得1αβγ++=，0OA OB OC αβγ++=，且::::OBC OAC OAB S S S αβγ=△△△．【解析】 法一：如图所示，延长AO 交BC 于点D ，设AO OD λ=，BD DC μ=，则有λμ，为正实数，()1111OD OB BD OB OC OB OB OC μμμμμ=+=+-=++++，又11OD AO OA λλ==-，∴1111OA OB OC μλμμ-=+++，即11011OA OB OC μλμμ++=++（*）而11111μλλμμλ+++=++， 所以把（*）两端同时乘以1λλ+，则得()()()()1011111OA OB OC λλμλλμλμ++=+++++．令11αλ=+，()()11λβλμ=++，()()11λμγλμ=++， 则可知αβγ，，为正实数，且满足0OA OB OC αβγ++=． ::(1)::αβγμλλμ=+，又::AOB BOD AOC COD S S S S λ==△△△△，:BOD COD S S μ=△△，于是：BOD COD S S μ=△△，于是(1)OBC COD S S μ=+△△；OAC COD S S λ=△△，OAB BOD COD S S S λλμ==△△△， 故::(1)::::OBC OAC OAB S S S μλλμαβγ=+=△△△，得证． 法二：（利用例3后面的结论直接得到αβγ，，）延长AO 交BC 于点D ，记BOC a AOC b AOB c S S S S S S ===△△△，，，CD BD CD BDAD AB AC AB AC BC BC BD DC BD DC=+=+++，又b c S CD BD S =， 故b cb c b cS S AD AB AC S S S S =+++．又c b b c BOD COD a S S S S AO OD S S S +===△△，故b c a b c S S AO AOAD AO OD S S S +==+++， 从而b c b ca b c a b c a b cS S S S AO AD AB AC S S S S S S S S S +==+++++++．根据题目的证明结论，需要将上式整理成以O 为起点的向量得，0a b c S OA S OB S OC ++=，从而0a b ca b c a b c a b c S S S OA OB OC S S S S S S S S S ++=++++++，将系数取成αβγ，，即得证．【点评】特别地，如果13αβγ===，则能得到O 为重心．D O A B C OA B C【演练1】下列命题中正确的有________．⑴ 向量AB 与BA 是两平行向量；⑵ 向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一直线上；⑶ a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线； ⑷ 平行向量的方向一定相同．【解析】 ⑴ 正确；根据平行向量的定义；⑵ 错误；向量与起点无关，故共线向量只能说明直线AB 与CD 平行或重合；⑶ 错误；b 可以为零向量，此时a 与c 不一定共线；若b 非零，则可得出a 与c 共线； ⑷ 错误；平行向量的方向可以相同或相反．【演练2】设两个非零向量a 与b 不共线，⑴ 若AB a b =+，28BC a b =+，3()CD a b =-．求证：A 、B 、D 三点共线； ⑵ 试确定实数k ，使ka b +和a kb +共线．【解析】 ⑴ ∵AB a b =+，28BC a b =+，3()CD a b =-，∴283()BD BC CD a b a b =+=++-2833a b a b =++-5()5a b AB =+=． ∴AB 、BD 共线．又∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线． ⑵ ∵ka b +与a kb +共线，∴存在实数λ，使()ka b a kb λ+=+，即ka b a kb λλ+=+．∴()(1)k a k b λλ-=-．∵a 、b 是不共线的两个非零向量， ∴10k k λλ-=-=，∴210k -=． ∴1k =±．【演练3】在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若2AD DB =，13CD CA CB λ=+，则λ等于（ ）A ．23B ．13C ．13- D ．23-【解析】 A∵2AD DB =，∴()2CD CA CB CD -=-，∴1233CD CA CB =+，∴23λ=．【演练4】已知OAC △中，点B 在线段AC 上，2AB BC =，则OC =____OA +____OB ．【解析】 12-，32由已知可得1233OB OA OC =+，则3122OC OB OA =-．实战演练【演练5】已知：直角梯形ABCD 中，角A 为直角，上底3CD =，下底6AB =，点M 为腰BC 靠近端点B 的三等分点．设AD a =，AB b =，用a b ，表示向量AC = ，AM = ．【解析】 12AC a b =+；1536AM a b =+．过点C 作AB 的垂线，由12CD AB =知，必交AB 于其中点， 故1122AC AD AB a b =+=+；（也可通过12AC AD DC AD AB =+=+得到） 1121115()3333236AM AB BM AB BC AB AC AB b a b a b ⎛⎫=+=+=+-=++=+ ⎪⎝⎭．也可直接过点C M ，分别作AD AB ，的平行线，根据线段比例关系得出表达式．【演练6】在ABC △中，设CA a CB b ==，，点D 为边AB 的中点，G 为ABC △的重心，试用a b ， 表示向量CD AG ，． 【解析】 1111()2222CD CA AD CA AB CA CB CA a b =+=+=+-=+，211333CG CD a b ==+，于是121()333AG CG CA a b a a b =-=+-=-+．如图，在ABC △中，已知2BD DC =，3AM MD =，过M 作直线交AB 、AC 于P 、Q 两点，则2AB AC AP AQ+= ． Q M PDCBA【解析】4 法一：（特殊值法）考虑特殊情况，当直线PQ 与BC 平行时，有43AB AC AD AP AQ AM ===， 则248433AB AC AP AQ +=+=． 法二：设AP xAB =，AQ yAC =，PM kMQ =，则由2BD DC =，3AM MD =得331211443342AM AD AB AC AB AC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，11111k x ykAM AP AQ AB AC k k k k=+=+++++，大千世界M D C BA所以有114112xkykk⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即1412kxkyk+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴21244411AB AC kAP AQ x y k k+=+=+=++．。