矩阵快速幂

矩阵乘法
在计算机中，一个矩阵实际上就是一个 二维数组。一个n行m列的矩阵与一个 m行p列的矩阵可以相乘，得到的结果 是一个n行p列的矩阵，其中的第i行第 j列位置上的数为第一个矩阵第i行上 的m个数与第二个矩阵第j列上的m个 数对应相乘后所得的m个乘积之和。
矩阵乘法
hrbust1143 Input 输入数据第一行三个整数m,n,p,分别代表有两个矩阵 A[M][N] B[N][P]，接下来是A,B两个矩阵，M、N、P 均小于100，矩阵中所有数据范围为[0, 1000]，且均为 整数。 Output 将矩阵输出，每两个数字之间只有一个空格。 Sample Input Sample Output 2 2 3 12 9 6 1 2 30 23 16 3 4 6 5 4 3 2 1
快速幂
a（0 <= a <= 2000000000） b（1 <= b <= 2000000000）
首先求a^b
but~
a、b的范围太大？不能暴力循环！
怎么办？
快速幂
快速幂 只需计算log(b)次 还不超过40次！！！！即可解出 but问题又出现了！ 不超时了，但是超范围了！！ 2000000000^2000000000 用int、long long 、unsigned long long是装不下的！
即(a^b+8)%9+1 边计算边取模，整个过程只有乘法操作，不影响最终结果 int pow(int a,int k) //计算a^k，并最终结果对9取摸 { if(k==0) return 1; if(k==1) return a%9; if(k%2==0) return (g((a%9)*(a%9),k/2)%9); if(k%2==1) return (a%9)*(g((a%9),k-1)%9); }
[ f[n] [ f[n] [
f[n-1] f[n]
]* [ ]= f[n-1]+f[n] ]= f[n+1] ]
01 11
矩阵快速幂
例如： f(n)= a*f(n-1)+b*f(n-2) f(n)= a*f(n-1)+b*f(n-2)+c*f(n-3)
[f(n-1),f(n-2)]*[ [f(n) ,f(n-1)]
A=[ B=[
f[0] f[1] f[1] f[2]
]
01 11
]
即求出A· B^n即可
矩阵快速幂
由于矩阵乘法没有交换律，只有结合律 所以先求出B^n,命C=B^n 再求出A· C，即是最后你想要的矩阵
一个公式只对应一个矩阵么？
矩阵是唯一的么？ 公式怎样推出矩阵呢？
矩阵快速幂
f[0]=0; f[1]=1; …… f[n]=f[n-1]+f[n-2]
矩阵快速幂
练习： f(n)= a*f(n-1)+b*f(n-2)+c*f(n-3)
[f(n-1),f(n-2),f(n-3)]*[ [f(n) ,f(n-1),f(n-2)]
]=
a10 b01 c00
Thank you~
]=
a1 b0
矩阵快速幂
[f(n-1),f(n-2)]*[ [f(n) ,f(n-1)] ]=
a1 b0
将[f(n-1),f(n-2)]看做为A，则A‘为 [f(n) ,f(n-1)]，即将所有下标+1即可 现在求我们所需要的B矩阵，有A和A’求B就简单 了 f[n]与f[n-1]、f[n-2]有什么关系， 第一列就写什么。 f[n-1]与f[n-1]、f[n-2]有什么关系， 第二列就写什么
ACM矩阵快速幂
哈尔滨理工大学ACM集训队
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矩阵乘法
矩阵乘法
矩阵乘法： 只有当矩阵A的列数与矩阵B的行数相等时 A×B才有意义。一个m×n的矩阵a （m,n)左乘一个n×p的矩阵b（n,p)，会 得到一个m×p的矩阵c（m,p)，满足 矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律 同大家线性代数中所学的矩阵乘法
源自文库
取模+超时---->快速幂 but 公式怎么快速幂呢？
矩阵快速幂
f[0]=0; f[1]=1; …… f[n]=f[n-1]+f[n-2]
]* [ ]= [ f[n] f[n-1]+f[n] ] [ f[n+1] f[n]+f[n+1]
f[n-1] f[n] f[n] f[n+1] 01 11
矩阵快速幂
快速幂
hrbust1140_递归快速幂.cpp hrbust1140_循环快速幂.cpp
矩阵快速幂
矩阵快速幂
计算前1000 000 000项斐波那契数，结果MOD 10007 f[0]=0; f[1]=1; …… f[n]=f[n-1]+f[n-2]
如果循环1000 000 000次一定会超时！
快速幂
大数？ NO！ 数字和的公式(x+8)%9+1 即(a^b+8)%9+1 同余模定理（具体学习课下百度）： (a+b)%mod=( a%mod + b%mod )%mod (a*b)%mod=( (a%mod) * (b%mod) )%mod 同样a+b+c+…与a*b*c*…一样满足
快速幂
矩阵乘法
hrbust1143.cpp
快速幂
hrbust1140 数字和问题 Description 定义一种操作为：已知一个数字，对其各位数字 反复求和，直到剩下的数是一位数不能求和为止。 例如：数字2345，第一次求和得到2 + 3 + 4 + 5 = 14 ，再对14的各位数字求和得到1 + 4 = 5，得到5将不再 求和。 现在请你求出对a^b进行该操作后，求最终得到的数字. Input 第一行，包含两个数字a（0 <= a <= 2000000000）和b （1 <= b <= 2000000000） Output 输出对a^b进行操作后得到的数字是什么
矩阵乘法
矩阵乘法
矩阵运算律 ： 结合律:(AB)C=A(BC) 分配律:(A+B)C=AC+BC
C(A+B)=CA+CB
若A为m×s矩阵，B为s×n矩阵，则AB为 m×n矩阵 而BA无法进行矩阵乘法运算；即便是方阵（ n×n）交换后乘得的结果也不一定相同，除 了相当特殊的，例如每个元素都是1的方阵