(已用)24223切线长定理和三角形内切圆

M O
DN=DP，NC=MC
∴AL+
LB+
DN+
NC
=
AP+
A
MB+DP+MC
L
B
即 AB+ CD = AD+BC
圆的外切四边形的两组对边的和相等（可做定理用）
例题3
例3 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的长.
⊙O于点D、E，交AB于C。 E O C D
P
（1）写出图中所有的垂直关系
B
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
（3）写出图中所有相等的线段
OA=OB=OD=OE, PA-=PB, AC=BC, AE=BE
切线长定理为证明线段相等，角相 等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。 必须掌握并能灵活应用。
24.2.2.3 切线长定理和三角形内切圆
复习1：直线与圆的位置关系
r ●O ┐d
相交
直线和圆相交 直线和圆相切 直线和圆相离
r ●O
d ┐ 相切
d < r; d = r; d > r;
r ●O
d
┐ 相离
复习2：
1、切线的判定定理是什么？ 2、切线的性质定理是什么 3、角平分线的性质是什么？ 4、什么叫三角形的外接圆和外心？ 外心是三角形什么的交点？
A
D
P
·O
E
C B
例题讲解
例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的 切线，A、B为切点，BC是直径。
求证：AC∥OP CA
OD
P
B
想一想
A
反思：在解决有关圆的
切线长问题时，往往需
。
要我们构建基本图形。 O
P
B
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
思考 如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下
们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两
条切线的夹角。
B
。
P
O
PA、PB分别切⊙O于A、B
A
PA = PB ∠OPA=∠OPB
试一试
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得 出什么新的结论?并给出证明. B
OP垂直平分AB
OM
P
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线
探究：
我们知道，过圆上一点可以 作圆的一条切线，那么过圆外一 点可以作圆的几条切线呢？
A
O
P
B
过圆外一点作圆的切线，这 点和切点之间的线段的长，叫 做这点到圆的切线长。
A
O
P
B
• 切线是直线，不能度量； • 切线长是线段的长，这条线段的两个端
点分别是圆外一点和切点，可以度量。
探究： 从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点 分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结 论？并证明你所发现的结论。
求△ABC的面积S.
A
解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，
连结OA、OB、OC、OD、OE、OF， D
F
则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
O·
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC B
A
B
外接圆圆心：三角形三边 垂直平分线的交点。
外接圆的半径：交点到三 角形任意一个顶点的距离。
内切圆圆心：三角形三个 内角平分线的交点。
内切圆的半径：交点到三 角形任意一边的垂直距离。
三角形外接圆
C
三角形内切圆
C
．o
A
．o
A
B
B
•
一个三角形有
一个
无数 个外接圆，一个圆有 个
内接三角形。
•
一个三角形有
B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
。
O
P
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
试用文字语言 叙述你所发现 的结论
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它
∴OP垂直平分AB
若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又 能得出什么新的结论?并给出证明.
B
CA=CB
。
பைடு நூலகம்
P
C
O
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴PC=PC
∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC
探究：PA、PB是⊙O的两条切
A
线，A、B为切点，直线OP交于
解: ∵ ⊙O与△ABC的三边都相切
∴AF＝AE,BD＝BF,CE＝CD
设AF=x(cm), BD=y(cm),CE＝z(cm)
x＋y＝9
x＝4
则有 y＋z＝14 解得 y＝5
x＋z＝13
z＝9
∴ AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm).
思考
三角形的内切圆的有关计算
如图，△ABC的内切圆的半径为r, △ABC的周长为l,
当堂检测 ：
1、在⊿ABC中，∠A=50° （1）若点O是⊿ABC的外心，则∠BOC=
100°
.
（2) 若点O是⊿ABC的内心，则∠BOC= 115°.
2、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，
∠OPB=30°．
B
O。
P
（1）∠APB的度数是 60°；
A
（2）当OA=3时，AP=
.．
例题1
一个
无数 个内切圆，一个圆有 个
外切三角形。
例2. 如图，四边形ABCD的边 AB、BC、CD、 DA和⊙O分别相切于L、M、N、P。
（1）图中有几对相等的线段？ （2）由此你能发现什么结论？ 为什么？
解：∵ AB，BC，CD，DA都与⊙O相切，D
L，M，N，P是切点，
P
N C
∴AL=AP，LB=MB，
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是
A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交
PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的
周长。
易证EQ=EA, FQ=FB,
PA=PB
A
E
O
∴ PE+EQ=PA=12cm
PF+FQ=PB=PA=12cm
Q
∴周长为24cm
P
B
F
变式：如图所示PA、PB分别切 圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于 C、D，已知PA=7cm， (1)求△PCD的周长． (2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数
一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
I D
数学探究 三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
三角形的内心： 三角形的内切圆的圆心叫 做三角形的内心
三角形的内心是三角形三 条角平分线的交点，它到 三角形三边的距离相等。 B
A
D
O
F
E
C
三角形外接圆
C
．o
A
B
三角形内切圆
C
．o