图论基本概念

中的两个点, 如果这两个点是无序的, 则称该边为无向 边, 否则, 称为有向边.
可以用V 或 E 表示图G的顶点数和边数。
点 v 的度数：与 v 相连的边的条数，记作 d(v) 。 与顶点v出关联的边的数目称为出度，记作d +(v), 与顶点v入关联的边的数目称为入度，记作d -(v)。
命题：图的所有点的度数之和等于边数的两倍，即
vV deg(v) 2 | E | 。
例. 碳氢化合物中氢原子的个数为偶数。
H
H
H
H
H
CC
H
C
H
H
C H
C H
HC C
H
CH C
H
两个图 G =(V ,E) 和 G (V , E) ，如果有 V V ,
E E, 则称 G 是 G 的子图。
若G 是G 的子图，且V =V，则称G 是G 的生成子图。
图的矩阵表示
邻接矩阵 A = (aij )n×n ,
aij
1, viv j E 0, viv j E
例:写出右图的邻接矩阵：
解：
0 1 0 1
A
0 1 1
0 0 0
1 0 1
0
1 0
图的矩阵表示
权矩阵W = (wij ) n×n
wij
w
0,
viv j
,
,
viv j E i j
v3
v5 v6
v8
v1
v2
v4
v7
迹 v1v2v4v5v3v4v6v7 的长度为 7 闭迹 v2v4v5v6v4v3v2 的长度为 6 圈 v2v4v5v3v2 的长度为 4
命题：若点 v 与 v 之间有Walk，则点 v 与 v 之
间必有Path。
在图 G 中，若点 u、v 之间有路，则称 u、v 连通。若
1、这3点互不相邻，则G包含3,0图为子图。
2、这3点至少2点相邻，则G包
含K
为子
3
图。
（2）v至多与另外2个顶点相邻(即至少与另外3个顶
点不相邻)。这又包含两种情况：
1、这3点两两相邻，则G包含K
图
3
为子
图。
2、这3点至少2点不相邻，则G包含3,0为子图。
图论的基本概念
解： 用四维0-1向量表示（人，狼，羊，菜）的在西岸 状态，（在西岸则分量取1，否则取0.） 共24=16种状态， 由题设，状态（0,1,1,0）,(0,0,1,1),(0,1,1,1)是不 允许的， 从而对应状态（1,0,0,1），(1,1,0,0),(1,0,0,0)也是 不允许的，
的关联矩阵
解：分别为：
1 0 0 1 1 0 1
A
1 0 0
1 1 0
0 1 1
0 0 1
0 0 0
1 0
1 1
01
1 0 0 1 1 0 1
A
1 0 0
1 1 0
0 1 1
0 0 1
0 1 0
0 1 1
0
0 1
图论的基本概念
用图论思想求解以下各题
例1、一摆渡人欲将一只狼，一头羊，一篮菜从 河西渡过河到河东，由于船小，一次只能带一物 过河，并且，狼与羊，羊与菜不能独处，给出渡 河方法。
用点表示人，边表示两个人是否互相认识； 在地区公路图中，用点表示城市，边表示城市之间是 否有公路直接相连； 在分子结构图中，用点表示原子，边表示原子之间是 否存在化学键； ……
哥尼斯堡 (Konigsberg) 七桥问题 (Euler, 1736)
C
C
是否可以 一笔画?
A
D
A
D
B B
右图是否存在经过每条边恰好一次的回路，即是否为 Euler 图？
化学药品存放问题 某单位需要存放一些化学药品，其中某些药品不能放 在同一个库房里，问至少需要几个库房？
用点表示药品，在不能放在同一个库房的两种药品之 间连边。需要几个库房等价于需要用几种颜色给图的 点着色可以使得相邻的点有不同的颜色。
a
c e
g
b d
f
图中的 7 种药品需要 3 个库房，例 如 {a , b , e}，{c , d , g}，{ f } 各放一 个库房。
自环
多重边
该图非简单图
完全图： 任何两个点之间都有边相连的简单图。 n 个点的完全图记作 Kn 。
K3
K4
K5
二分图： 点集 V 能划分成两个子集 X、Y，使得每条 边的两个端点分别属于 X 和 Y 的图。 二分图 G 也记作 G = (X, Y, E ) 。
称 G = (X, Y, E ) 为完全二分图，若 X 中的每个点和Y 中的每个点之间皆有边相连，记作 K|X|, |Y | 。
图论起源于18世纪。第一篇图论论文是瑞士数 学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。
图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些 事物之间的联系。如果我们用点表示这些具体事物， 用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的 特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。 图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提 供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方 法，可以对该模型求解。
≌
v1
v3
v4
v5
v2
V v1,v2 ,v3 ,v4 ,v5
E
{v1 , v2 },{v2 {v4 , v5 },{v1
, v3 },{v3 , v5 }
,v4
}
在图的概念中，点的空间位置、 边的曲直长短都是无关紧要的， 重要的是其有几个点以及哪些点 之间有边相连。
如果用点表示要研究的对象，则图的边可以用来反映 对象之间是否存在某种关系。
G 的任何两点之间有路，则称 G 是连通图。
G 的极大连通子图称为连通分支。
若删去某条边 e 之后图 的连通分支数增加，则 称 e 为割边或桥；
若删去某个点 v 及相连 的边后连通分支数增加， 则称 v 为割点。
有三个连通分支
u
w
e
v
e 为割边
u、v、w 皆为割点
简单图： 任何一条边连结 两个不同的点， 任何两个点之间 至多有一条边的 图。
图论的基本概念
例2、证明：在任意6人的集会上，总有3人互相认 识，或总有3人互相不认识。
解：以顶点表示人，以边表示认识，得6个顶点 的简单图G。 问题：3人互相认识即G包含K3为子图， 3人互相不认识即G包含（3,0）图为子图。
图论的基本概念
任取v V G,则有两种情况：
1 v至少与另外3个顶点相邻，这又包含两种情况：
viv j E
例:写出右图的权矩阵：
解：
0
W
6 0
7
8
3 0 2
4
5
0
图的矩阵表示
关联矩阵A 源自文库 (aij )n×m
有向图： 无向图：
aij 11, 若, 若vvi是i是eei的i的始终点点
0,
若vi与ei不关
联
aij
1,若vi与e j关联
0,
若vi与e
不关联
j
图的矩阵表示 例:写出右图与其基本图
K1, 3
K2, 3
K3, 3
命题：图 G 是二分图当且仅当 G 中不存在长度为 奇数的圈 。
在图 G = (V , E ) 的边集上定义权函数 w : E R 后就
得到一个赋权图，记为 G = (V , E , w) 。
对于赋权图，路的长度（即路的权）通常指路上所有 边的权之和。
最短路问题：求赋权图上指定点之间的权最小的路。
人在河西： （1,1,1,1） （1,1,1,0） （1,1,0,1） （1,0,1,1） （1,0,1,0）
人在河东： （0,1,0,1） （0,1,0,0） （0,0,1,0） （0,0,0,1） （0,0,0,0）
以十个向量作为顶点，将可能互相转移的状态 连线，则得10个顶点的偶图。 问题：如何从状态（1,1,1,1）转移到（0,0,0,0）？ 方法：从（1,1,1,1）开始，沿关联边到达没有到达 的相邻顶点，到（0,0,0,0）终止，得到有向图即是。
排课表问题
有 m 位教师 x1, …, xm 和 n 个班级 y1, …, yn ，教师 xi 需要给班级 yj 上 wij 节课，试编制一张课表使得课时 尽量少。
构造图 G = (V , E )，其中 V = { x1, …, xm , y1, …, yn} , 点 xi 与 yj 之间连有 wij 条边。
哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。在哥 尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河 岸联结起来。问题是要从这四块陆地中的任何一块 开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。
一个图 G =(V ,E) 由一些点及点之间的连线（称为边） 构成，V、E 分别记 G 的点集合和边集合。
v1
v5
v2
v4
v3
给 G 的边着色，
x1
y1
使得相邻的边有
x2
y2
不同的颜色。
x3
y3
x4
需要 3 种颜 色给边着色
图的基本概念
一个有序二元组 (V, E ) 称为一个图, 记G = (V, E ), 其中
① V或V(G)称为G的顶点集, V≠Φ, 其元素称为顶点
或结点, 简称点; ② E或E(G)称为G的边集, 其元素称为边, 它联结V
G
G'
G''
G' 和 G'' 都是 G 的生成子图。
图 G 的一条点与边的交替序列 P v0e1v1e2v2 ek vk 称为链，其中 ei {vi1 , vi } (1 i k) .
边数 k 称为链P 的长度。
当 v0 = vk 时，称 P 为闭链。边不重复的链称为迹。点 不重复的链称为路， v0 = vk 的回路称为圈。