线性矩阵不等式1ppt课件
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线性矩阵不等式
关函数和命令。
2.4.1线性矩阵不等式及相关术语
考虑H∞控制中的一个线性矩阵不等式：
AT X XA XC T B
N
T
CX
I
D
N
0
BT
DT I
其中：A、B、C、D、N 是给定的矩阵，X=XT∈Rn×n 和 ∈R 是问题的变
N 称为外因子，块矩阵
AT X XA XC T B
L（X
Fk (x)0 同时成立当且仅 F (x)0 。因此，一个线性矩阵不等式系统也可以用一个单一的线性
矩阵不等式来表示。
2、 在许多一些非线性矩阵不等式转化成线性矩阵不等式的问题中，我们常常用到矩阵的
Schur 补性质。考虑一个矩阵 S Rnn ,并将 S 进行分块：
S
S11 S21
S12
S22
其中：函数lmivar定义了两个矩阵 变量X和S，lmiterm则描述了每一 个线性矩阵不等式中各项的内容。 getlmis回到了这个线性矩阵不等 式系统的内部表示lmisys，lmisys 也称为是储存在机器内部的线性 矩阵不等式系统的名称。以下将 详细介绍这几个函数的功能和用 法。
setlmis和getlmis 一个线性矩阵不等式系统的描述以setlmis开始，以
表示 2×2 维的单位矩阵。 可以应用 lmivar 来定义这些矩阵变量：
setlmis([]) X1=lmivar(1,[3 1]) X2=lmivar(2,[2 4]) X3=lmivar(1,[5 1;1 0;2 0])
lmiterm
在确定了矩阵变量之后，还需要确定每一个线性矩阵不等式中各 项的内容。线性矩阵不等式的项指构成这个线性矩阵不等式的块 矩阵中的求和项。这些项可以分成三类：
2.4.1线性矩阵不等式及相关术语
考虑H∞控制中的一个线性矩阵不等式：
AT X XA XC T B
N
T
CX
I
D
N
0
BT
DT I
其中：A、B、C、D、N 是给定的矩阵，X=XT∈Rn×n 和 ∈R 是问题的变
N 称为外因子，块矩阵
AT X XA XC T B
L（X
Fk (x)0 同时成立当且仅 F (x)0 。因此，一个线性矩阵不等式系统也可以用一个单一的线性
矩阵不等式来表示。
2、 在许多一些非线性矩阵不等式转化成线性矩阵不等式的问题中，我们常常用到矩阵的
Schur 补性质。考虑一个矩阵 S Rnn ,并将 S 进行分块：
S
S11 S21
S12
S22
其中：函数lmivar定义了两个矩阵 变量X和S，lmiterm则描述了每一 个线性矩阵不等式中各项的内容。 getlmis回到了这个线性矩阵不等 式系统的内部表示lmisys，lmisys 也称为是储存在机器内部的线性 矩阵不等式系统的名称。以下将 详细介绍这几个函数的功能和用 法。
setlmis和getlmis 一个线性矩阵不等式系统的描述以setlmis开始，以
表示 2×2 维的单位矩阵。 可以应用 lmivar 来定义这些矩阵变量：
setlmis([]) X1=lmivar(1,[3 1]) X2=lmivar(2,[2 4]) X3=lmivar(1,[5 1;1 0;2 0])
lmiterm
在确定了矩阵变量之后，还需要确定每一个线性矩阵不等式中各 项的内容。线性矩阵不等式的项指构成这个线性矩阵不等式的块 矩阵中的求和项。这些项可以分成三类：
《鲁棒控制》-6-线性矩阵不等式
(≤ 0)
为线性矩阵不等式（LMI）。
当存在实向量 x ，使得 F ( x) < 0(≤ 0) ，则称 LMI F ( x) < 0(≤ 0) 可行或存在可
行解。
LMI 的可行解全体构成一凸集。
令 X 是一实对称矩阵，对于任意给定实数矩阵 A 和实对称矩阵 Q ，则矩阵
不等式
AT X + XA + Q < 0
⎢ ⎣
0
⎡I ⎢⎣0
−S12 I
S −1 22
⎤ ⎥ ⎦
⎡ ⎢⎣
S11 S21
S12 S22
⎤ ⎥⎦
⎡I ⎢⎣0
−S12 I
S −1 22
⎤T ⎥ ⎦
0
⎤
S22
−
S21S1−11S12
⎥ ⎦
=
⎡ ⎢
S11
⎣
−
S12
S −1 22
S21
S21
0 ⎤⎡ I
S22
⎥ ⎦
⎢⎣−
S −1 22
S
21
0⎤
I
⎥ ⎦
x (t ) = Ax (t ) + Bu (t ) y (t ) = Cx (t ) + Du (t )
假设 D + DT > 0 。 令
H (s) = C (sI − )A −1 B + D
系统无源（passive）: 当 x (0) = 0 时，
∫T 0
uT
(t
)y
(t
)
dt
≥
0
● 系统无源 iff
ALQ
⎤ ⎥
⎥
0 ⎥<0
#
⎥ ⎥
线性矩阵不等式
则应用引理 2.1.2，可以将矩阵不等式（2.1.6）的可行性问题转化成一个等价的矩阵不等 式
AT P PA Q PB
BT P
R0
（2.1.7）
的可行性问题，而后者是一个关于矩阵变量P的线性矩阵不等式。
2.3一些标准的线性矩阵不等式问题
例2.1.1 稳定性问题 考虑线性自治系统
x(t) Ax(t)
setlmis([]) X=lmivar(1,[61]) S=lmivar(1,[20;21]) ﹪lst LMI lmiterm([111x],1,A,’s’) lmiterm([111s],c’,c) lmiterm([112x],1,B) lmiterm([122s],-1,1) ﹪2nd LMI lmiterm([-211X],1,1) ﹪3rd LMI lmiterm([-311s],1,1) lmiterm([3110],1) lmisys=getlmis
m 是一组给定的实对称矩阵，（2.1.1）中的不等号“＜”指的是矩阵 F(x)是负定的，即对所有
非零的向量 v Rm , vT F (x)v0 或者 F(x)的最大特征值小于零。
在许多系统与控制问题问题中，问题的变量是以矩阵的形式出现的。例如 Lyapunov 矩阵 不等式：
F ( X ) AT X XA Q0
lmivar 函数lmivar用来描述出现在线性矩阵不等式系
统中的矩阵变量，每一次只能描述一个矩阵变 量。矩阵变量的描述包括该矩阵变量的结构。 该函数的一般表达是：
X=lmivar(type,struct) 这一函数定义了一个新的矩阵变量X。函数中
的第一个输入量type确定了矩阵变量X的类型， 第二个输入量struct进一步根据变量X的类型给 出该变量的结构。变量的类型分成三类：
鲁棒控制理论与设计 第三章 矩阵分析和线性矩阵不等式
k<r
则 A 与秩为 k 的任一矩阵 B 之差的 L1 和 L2 范数分别为
min A − B =
rank (B )=k
1
A − Ak
1 = σ k +1
和
(3.1.30)
3－5
第三章 矩阵分析和线性矩阵不等式
min A − B 2 =rank (B )=k2A − Ak
2 2
=
σ
2 k +1
+
L
∂A ∂θ
= [ ∂A ∂θ1
,
∂A ∂θ 2
,L ,
∂A ∂θ n
]
(3.1.12)
4） 标量对矩阵求导仍为矩阵。设 J 为标量， M 为矩阵，则 ∂J 是以 ∂J 为第 ij 元素的矩阵，
∂M
∂mij
其中 mij 表示 M 矩阵的第 ij 元素。
在上述约定下，有如下一些结果：
1） ∂ (aT x) = aT ； ∂x
−
A21
A -1 11
A12
]
(3.1.5) (3.1.6)
证明：因为
所以有
⎡ A11
⎢ ⎣
A21
A12 ⎤ ⎡ I
A22
⎥ ⎦
⎢⎣−
A−1 22
A21
0⎤
A−1 22
⎥ ⎦
=
⎡ ⎢
A11
⎣
−
A12 0
A−1 22
A21
A12
A−1 22
I
⎤ ⎥ ⎦
det
A ⋅ det
A −1 22
=
det[ A11
3.1.2 矢量与矩阵的微分运算
在鲁棒控制理论和系统建模中，矢量与矩阵的微分运算是非常重要的。本节我们不加证明地给出 一些常用到得运算定理和公式。为了叙述方便，采用下列约定。
线性代数第2章矩阵PPT课件
线性代数第2章矩阵ppt 课件
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
矩阵不等式
(5.1.3) (5.1.4)
推论: Hermite 矩阵的特征值都是实数; 反 Hermite 矩阵的特征值为零或纯虚数。 事实上，当 A 为 Hermite 矩阵时，由式（5.1.4） 知 Im( )=0,即 为实数； 当 A 为反 Hermite 矩阵时，由式（5.1.3）知 Re( )=0,即为 为零或纯虚数。 定义.5.1 设 A (ars ) C
a1
h
p O q ak
定理 5.5 （Schur’s inequality） 设 A=(ars)Cn×n 的特征值为1，…，n，则有
| r |2
r 1
n
r ,s 1
| a
n
rs
|2 || A ||2 F
(5.1.9)
证明：根据定理 1.43,存在酉矩阵 U 使得 A=UTUH 其中 T 为上三角矩阵。因此 T 的对角元素为 A 的特征值，且有
b
i 1 j i
n 1
ij
( xi y j x j yi ) |2
2
n (2M) | xi y j x j yi | i 1 j i
2
(利用(a1+a2+…+an)2 n((a1)2+(a2)2+…+(an)2)
n 2 (2M) (n(n1)/2) | xi y j x j yi | i 1 j i
xT x yT x
(求等式两边矩阵的对角元之和，可得 (xTx+yTy)=xTAx+yTAy (1) 等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元 可得： (xTx+yTy)=xT(AAT)y 1). 记 B=AAT,则 |xTBy|||x||2 ||B||2||y||2 从而 ||||x||2 ||B||2||y||2 /((||x||2)2 +(||y||2)2) 利用 ab/(a2+b2)1/2 可得 ||||B||2 /2. 2). 由于|xTBy|||Bx||1 ||y||||B||1||x||1 ||y|| 从而 ||||B||1 ||x||1 ||y|| /((||x||2)2 +(||y||2)2) 易证明 ||x||1 ||y|| /((||x||2)2 +(||y||2)2) n /2. (显然，不妨假设(||x||2)2 +(||y||2)2=1, 设||y||=t=cos(), 则 y 必为 t ej 的形式（为什么？） ， 从而极值转化为求解如下最大值问题： max ||x||1, 满足约束(||x||2)2=1t2 这样有均值不等式||x||1 n ||x||2=
线性矩阵不等式1ppt课件
min s.t.G(x) F (x)
F(x) 0 H (x) 0
9
系统性能分析
10
连续时间系统
3.1.1系统增益指标
考虑 x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
sup size(z) w0 size(w)
11
L2范数
• 对于平方可积的信号 f ，定义
min
s.t. PA AT P CTC 0
BT PB I
P>0
•若有一最优值 ， 则
ie
15
定理2---EP
x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
min
s.t. AQ QAT BBT 0
CQCT I
Q>0
•若有一最优值 ， 则
ep
8
标准的线性矩阵不等式问题
Linear Matrix Inequality (LMI)
➢ 可行性问题(LMIP)—求不等式的可行解
检验是否存在x，使得 F(x) 0成立。
➢ 特征值问题(EVP)－－求不等式的优化解
min s.t.G(x) I
H (x) 0
➢ 广义特征值问题(GEVP)－－仿射矩阵函数的不等式优化问 题
• EP(Energy-to-Peak)增益：
ep sup
z
w 2 1
•ห้องสมุดไป่ตู้
EE(Energy-to-Energy)增益：
ee sup
z 2
w 2 1
• PP(Peak-to-Peak)增益：
pp sup
z
w 1
14
定理1---IE
F(x) 0 H (x) 0
9
系统性能分析
10
连续时间系统
3.1.1系统增益指标
考虑 x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
sup size(z) w0 size(w)
11
L2范数
• 对于平方可积的信号 f ，定义
min
s.t. PA AT P CTC 0
BT PB I
P>0
•若有一最优值 ， 则
ie
15
定理2---EP
x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
min
s.t. AQ QAT BBT 0
CQCT I
Q>0
•若有一最优值 ， 则
ep
8
标准的线性矩阵不等式问题
Linear Matrix Inequality (LMI)
➢ 可行性问题(LMIP)—求不等式的可行解
检验是否存在x，使得 F(x) 0成立。
➢ 特征值问题(EVP)－－求不等式的优化解
min s.t.G(x) I
H (x) 0
➢ 广义特征值问题(GEVP)－－仿射矩阵函数的不等式优化问 题
• EP(Energy-to-Peak)增益：
ep sup
z
w 2 1
•ห้องสมุดไป่ตู้
EE(Energy-to-Energy)增益：
ee sup
z 2
w 2 1
• PP(Peak-to-Peak)增益：
pp sup
z
w 1
14
定理1---IE
线性矩阵不等式
7.4.2线性矩阵不等式的确定
LMI工具箱可以处理具有以下一般形式的线性 矩阵不等式。 NTL（X1，…，Xk）N<MTR（X1，…，XK）M 其中：X1…，XK是具有一定结构的矩阵变量， 左、右外因子N和M是具有相同维数的给定矩 阵，左、右内因子L（﹒）和R（﹒）是具有相 同块结构的对称块矩阵。 注意，在线性矩阵不等式的描述中，左边总是 指不等式较小的一边，例如对线性矩阵不等式 X>0，X称为是不等式的右边，0称为是不等式 的左边，常表示成0< X。
I F T ( x) F ( x) F ( x) I 0 0 F ( x) I
T 2
因此，可以通过求解：
min x,
(7.3.2)
I F T ( x) s.t 0 F ( x) I
来得到所求问题的解。显然，问题（7.3.2）是一个具有线性矩阵不等式约束的线性目标函数 的最优化问题。
定的常数矩阵。由于
DED 1 1 D T E T D T DED 1 1
E T DT DE DT D
ET XE X 0
1 T 其中 X D D0 。因此，使得 DED 1 成立的对角矩阵 D 的存在性问题等价
于线性矩阵不等式 E XE X 0 的可行性问题。
要确定一个线性矩阵不等式系统，需要做以下两步： 给出每个矩阵变量X1，…，XK的维数和结构； 描述每一个线性矩阵不等式中各个项的内容。 这个过程产生所描述线性矩阵不等式系统的一个内部 表示，它以一个单一向量的形式储存在计算机内，通 常用一个名字，例如lmisys来表示。该内部表示lmisys 可以在后面处理这个线性矩阵不等式时调用。 下面将通过LMI工具箱中的一个例子来说明线性矩阵不 等式系统的确定。运行lmidem可以看到这个例子的完 整描述。
线性代数-线性方程组与矩阵PPT课件
k 1
k 1
k 1
s
aik bk1
c1
j
s
aikbk 2
c2
j
s
aikbkp
c
pj
p
s
aikbktctj .
k1
k1
k1
t1 k 1
ps
同理可以验证矩阵 Ams (BspC pn ) 中 (i, j) 元素也是 aikbktctj ，所以矩阵乘法的结合律成立. t1 k 1
aij bij
.
mn
2. 矩阵的数乘
第1章 线性方程组与矩阵 12
定义4 用一个数 k 乘矩阵 A (aij )mn 的所有元素得到的矩阵 kaij mn 称为矩阵的数乘，记为 kA 或者 Ak ，
即
kA Ak kaij mn .
矩阵的数乘运算满足如下的运算规律： 设 k,l 是任意两个数， A, B 是任意两个 m n 矩阵，
21 21 0 2
21 21 01
2 0 21 0 1
4 4
3 0
2
2
.
三、矩阵的乘法
例3
求矩阵
A
1 2
1 2
与
B
2 6
1 3
的乘积
AB
及
BA
.
解
AB
1 2
1 2
2
6
1 3
8 16
4 8
；
BA
2 6
1 1
3
2
1 2
0 0
0 0
.
第1章 线性方程组与矩阵 16
3
A Omn Omn A A .
1. 矩阵的加法
第1章 线性方程组与矩阵 11
LMI线性矩阵不等式培训讲学
(5)
其中，Xi
∈
Rqi×pi
是一个矩阵，而∑n i=1
qi
×
pi
=
m，所有矩
阵变量的列堆叠起来，形成单个向量变量x。
于是我们考虑下面常用形式的函数：
F (X1, X2, · · · , Xn) = F0 + G1X1H1 + G2X2H2 + · · · + GnXnHn
4
∑n
= F0 + GiXiHi
7
找P > 0，使得
AT P + P A > 0
(14)
这是一个关于变量P > 0的LMI可行性问题，然而，给定满
足该问题的任意的P > 0，明显地集合
P
=
{
βP
:
标量β
>
}
0
(15)
中任意矩阵都满足上述问题。
P > 0和(14)所描述的LMI约束，可以等价地组成一个LMI：
AT P + P A 0 < 0
9
%可行 ( 是稳定的A) 当且仅当 tmin<0
tmin
运行结果：
Lyap = 1
Solver for LMI f e a s i b i l i t y problems L ( x ) < R( x ) 10
This solver minimizes t subject to L( x ) < R( x ) + t∗I
The best value o f t should be negative for f e a s i b i l i t y
Iteration :
线性矩阵不等式市公开课一等奖百校联赛获奖课件
阵不等式, 项所
则为0,若
为正在左, 在块
是变量则
为负在右 位置
指出说明
第8页
lmisys=getlmis
％LMI编程结束,并取名为lmisys
[tmin,xfeas]=feasp(lmisys)
％tmin<0表示LMI存在可行解xfeas XX=dec2mat(lmisys,xfeas,X) WW=dec2mat(lmisys,xfeas,W) ％得到变量X和W可行解
clc
％去除命令窗口
clear all
％去除工作空间
A=[-1 -2 1;3 2 1;1 -2 -1]; ％定义矩阵A
B=[1;0;1];
％定义矩阵B
第6页
编程实现
setlmis([])
X=lmivar(1,[3 1]) W=lmivar(2,[1 3])
％进入线性矩阵不等式编程环境 ％与getlmis相配对 ％定义线性矩阵不等式系 ％统矩阵变量X，W
min Trace(N )
, , X ,V ,N
X
*
*
* * *
0
2I
*
*
*
*
AX
E1
X
B1V E2V
B2
0
X HH T *
0
I
* *
*
*
0
C1 X
D1V
0
C0 X D0V 0
0
0 I *
0
0 0 I
N
B2
B2T X
0
其中对称正定阵X和N,矩阵V，标量α,β是变量
lmiterm([1 6 1 V],D0,1) lmiterm([1 2 2 alpha],-1,gama*gama*1) lmiterm([1 3 3 X],-1,1) lmiterm([1 3 3 beta],1,H*H') lmiterm([1 4 4 beta],-1,1) lmiterm([1 5 5 alpha],-1,1) lmiterm([1 6 6 0],-1)
线性矩阵不等式及其在控制工程中的应用(1)
1 引 言
在过去的 10 余年内 ,由于线性矩阵不等式 (L M I) 的优良性质以及解法的突破 ,使其在控制 系统分析和设计方面得到了广泛的重视和应用 。 在此之前 ,绝大多数的控制问题都是通过 Riccati 方程或其不等式的方法来解决的[1～3 ] 。但是解 Riccati 方程或其不等式时 ,有大量的参数和正定 对称矩阵需要预先调整 。有时 ,即使问题本身是 有解的 ,也找不出问题的解 。这给实际应用问题 的解决带来极大不便 ,而线性矩阵不等式方法可 以很好地弥补 Riccati 方程 方 法 的 上 述 不 足[4 ] 。 在解线性矩阵不等式时 ,不需要预先调整任何参 数和正定对称矩阵 。本文对 L M I 在控制工程中 的发展和现状进行简要的回顾 ,着重讨论 L M I 在 不确定控制系统中的应用研究成果以及展望 。
表 1 基于 LMI 方法的各种控制与滤波问题
序号
系统描述
采用方法
文献
1
不确定线性系统和非线性系统的状 基于 L M I 转化为凸优化问题求得鲁棒界 ;对于非
[14 ]
态反馈以及输出反馈表述
线性如 L urie 系统则通过 L yapunov 函数方法得到
[15 ]
系统稳定的 L M I 判定准则
摘 要 : 介绍了线性矩阵不等式的基本概念和用于求解线性矩阵不等式的软件工具 箱 Matlablmi 的 3 个求解器 ,对线性矩阵不等式在控制系统中的应用作了详细的综述 。分 析了其在当前的两个研究热点 ,即不确定系统的鲁棒控制与鲁棒滤波中的运用 。同时探 讨了时滞系统与非线性系统的研究现状 。然后列举了一些具有代表性的采用 L M I 求解控 制问题的最新结果 。为了说明线性矩阵不等式的求解过程 ,给出了一个保性能控制的例 子 ,在 Matlab 513 编辑器中运行程序 ,得到的结果是最优性能指标值 , copt = J 3 101677 7 。 关 键 词 : 线性矩阵不等式 ;时滞 ;凸优化 ;L M I 工具箱 中图分类号 : TP 13 文献标识码 : A
线性矩阵不等式的使用
LMI：Linear Matrix Inequality，就是线性矩阵不等式。
在Matlab当中，我们可以采用图形界面的lmiedit命令，来调用GUI接口，但是我认为采用程序的方式更方便（也因为我不懂这个lmiedit的GUI）。
对于LMI Lab，其中有三种求解器（solver）：feasp，mincx和gevp。
每个求解器针对不同的问题：feasp：解决可行性问题（feasibility problem），例如：A(x)<B(x)。
mincx：在线性矩阵不等式的限制下解决最小化问题（Minimization of a linear objective under LMI constraints），例如最小化c'x，在限制条件A(x) < B(x)下。
gevp：解决广义特征值最小化问题。
例如：最小化lambda，在0<B(x),A(x)<lamba*B(x)限制条件下。
要解决一个LMI问题，首要的就是要把线性矩阵不等式表示出来。
对于以下类型的任意的LMI问题N' * L(X1, . . . , XK) * N < M' * R(X1, . . . , XK) * M其中X1, . . . , XK是结构已经事先确定的矩阵变量。
左侧和右侧的外部因子（outer factors）N和M是给定的具有相同维数的矩阵。
左侧和右侧的内部因子（inner factors）L(.)和R(.)是具有相同结构的对称块矩阵。
每一个块由X1, . . . , XK以及它们的转置组合而成形成的。
解决LMI问题的步骤有两个：1、定义维数以及每一个矩阵的结构，也就是定义X1, . . . , XK。
2、描述每一个LMI的每一项内容（Describe the term content of each LMI）此处介绍两个术语：矩阵变量（Matrix Variables）：例如你要求解X满足A(x)<B(x)，那么X就叫做矩阵变量。
线性矩阵不等式课件
➢ 特征值问题(EVP)－－求不等式的优化解
min s.t.G(x) I
H (x) 0
➢ 广义特征值问题(GEVP)－－仿射矩阵函数的不等式优化问 题
min s.t.G(x) F (x)
F(x) 0 H (x) 0
系统性能分析
连续时间系统
3.1.1系统增益指标
考虑 x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
➢系统的H2范数也可以用系统在白噪声输入信 号激励下的稳态输出方差来解释。(EP)
对于SISO系统 T(s) 2 ie ep
用线性矩阵不等式刻画系统的H2范数
x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
H∞性能
x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
f 2 也称为信号 f 的 L2 范数
L∞范数
• 对幅值有界的信号 f ，定义
f sup f (t) t0
当 f 是一个标量信号时， f 等于f 的峰值。
将所有幅值有界的信号全体记成 L
即 L { f : f (t) }
f 也称为信号f 的 L 范数。
四个性能指标
• IE(Impulse-to-Energy)增益： ie sup
严格真传递函数阵的H∞范数与矩阵不等式的等价关系
•增益 ee有一个频率域的解释：它恰好等于传
递函数 的T(s) 范数H，即
ee T(s)
用线性矩阵不等式刻画系统的H∞范数
• 定理：针对系统(3.1.1)和给定的一个常数γ >0,若 存在对称矩阵P>0,使得如下线性矩阵不等式成立
min s.t.G(x) I
H (x) 0
➢ 广义特征值问题(GEVP)－－仿射矩阵函数的不等式优化问 题
min s.t.G(x) F (x)
F(x) 0 H (x) 0
系统性能分析
连续时间系统
3.1.1系统增益指标
考虑 x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
➢系统的H2范数也可以用系统在白噪声输入信 号激励下的稳态输出方差来解释。(EP)
对于SISO系统 T(s) 2 ie ep
用线性矩阵不等式刻画系统的H2范数
x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
H∞性能
x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
f 2 也称为信号 f 的 L2 范数
L∞范数
• 对幅值有界的信号 f ，定义
f sup f (t) t0
当 f 是一个标量信号时， f 等于f 的峰值。
将所有幅值有界的信号全体记成 L
即 L { f : f (t) }
f 也称为信号f 的 L 范数。
四个性能指标
• IE(Impulse-to-Energy)增益： ie sup
严格真传递函数阵的H∞范数与矩阵不等式的等价关系
•增益 ee有一个频率域的解释：它恰好等于传
递函数 的T(s) 范数H，即
ee T(s)
用线性矩阵不等式刻画系统的H∞范数
• 定理：针对系统(3.1.1)和给定的一个常数γ >0,若 存在对称矩阵P>0,使得如下线性矩阵不等式成立
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m in s .t.G ( x ) F ( x ) F (x) 0 H (x) 0
.
系统性能分析
.
连续时间系统
3.1.1系统增益指标
考虑 x&(t) Ax(t)Bw(t) z(t)Cx(t)+Dw(t)
sup size(z) w0 size(w)
.
L2范数
•
对于平方可积的信号 f
BT PB I
P>0
•若有一最优值 ， 则
ie
.
定理2---EP
x&(t) Ax(t)Bw(t) z(t)Cx(t)+Dw(t)
min
s.t. AQ QAT BBT 0
CQCT I
Q>0
•若有一最优值 ， 则
ep
.
定理3---EE
x&(t) Ax(t)Bw(t) z(t)Cx(t)+Dw(t)
ee T(s)
.
用线性矩阵不等式刻画系统的H∞范数
• 定理：针对系统(3.1.1)和给定的一个常数γ >0,若 存在对称矩阵P>0,使得如下线性矩阵不等式成立
ATP PA PB
BT P
I
C
D
CT
DT
0
I
则有||T(s)||∞< γ,且系统渐进稳定。
x&(t) Ax(t)Bw(t) z(t)Cx(t)+Dw(t)
ep sup
z
w 21
•
EE(Energy-to-Energy)增益：
ee sup
z 2
w 2 1
• PP(Peak-to-Peak)增益：
pp sup
z
w 1
Hale Waihona Puke .定理1---IE
x&(t) Ax(t)Bw(t) z(t)Cx(t)+Dw(t)
min
s.t. PA AT P C T C 0
A T X X A C T C X B C T D 2 I D T D 1 B T X D T C 0
若D=0,则有
A T X X A 2 X B B T X C T C 0
.
标准的线性矩阵不等式问题
Linear Matrix Inequality (LMI)
➢ 可行性问题(LMIP)—求不等式的可行解
检验是否存在x，使得 F(x) 0成立。
➢ 特征值问题(EVP)－－求不等式的优化解
m in s .t.G ( x ) I H (x) 0
➢ 广义特征值问题(GEVP)－－仿射矩阵函数的不等式优化问 题
对于SISO系统 T(s)2ieep
.
用线性矩阵不等式刻画系统的H2范数
x&(t) Ax(t)Bw(t) z(t)Cx(t)+Dw(t)
.
H∞性能
x&(t) Ax(t)Bw(t) z(t)Cx(t)+Dw(t)
•增益 e e有一个频率域的解释：它恰好等于传
递函数 的T ( s ) 范数H ，即
fx 1 x m b x 1 A 1 x m A m 0
其中A i 可以是标量，也可以是矩阵，则称f是仿射函数。 .
凸（约束）问题
定义（凸集） 一个集合CRk 称为凸的，如果集合中任意两点 的连线仍在集合内。
即任意给定两点 C 1 和 C2 C及参数[0,1], 有
C 11C 2 C
C11C2称为 C 1 和 C 2 的凸组合。
，定义
f
(
1
f(t) 2dt)2
2
0
其中 f(t) fT(t)f(t) 是向量的欧式范数。这样
定义的 f 正好是信号 f 的能量。将所有有限能量 2
的全体记成 L 2
即
L2{f:
0
f(t)2dt}
f 2 也称为信号 f 的 L 2 范数
.
L∞范数
• 对幅值有界的信号 f ，定义
f sup f(t) t0
c) X 22 0 ，且 X11X12X2 2 1X1T 20
.
Schur补应用
若要证明存在对称矩阵P>0,Q>0,R>0,使得如下不等 式成立
A T P P A P B R 1 B T P Q 0
只需证明如下线性矩阵不等式(LMI)成立
ATPPAQ PB
BTP
R0
Schur补：是将非线性矩阵不等式转化为线 性矩阵不等式的有效工具
F i F iT R n n 实 对 称 矩 阵
Fx 是 负 定 的
——仿射矩阵不等式 • 仿射函数即由1阶多项式构成的函数，一般形式为 f (x) = A x + b，这里，
A 是一个 m×k 矩阵，x 是一个 k 向量,b是一个m向量，实际上反映了 一种从 k 维到 m 维的空间映射关系。 • 设f是一个矢性（值）函数，若它可以表示为
鲁棒控制
－线性矩阵不等式处理方法
Robust control –LMI Method
.
主要内容
➢线性矩阵不等式概论 ➢系统性能分析 ➢控制器设计
.
线性矩阵不等式概论
.
线性矩阵不等式的一般表示
线性矩阵不等式：
F x F 0 x 1 F 1 x m F m 0
x ( x 1 , ,x m ) T R m 决 策 向 量
将矩阵不等式的解约束在 矩阵变量定义的空间中
.
关于凸集定义的理解
.
Schur补定理
引理 (Schur Complement) 对于分块对称阵
X
X11
X1T2
X12
X
22
其中 X 1 1 为方阵，则以下三个条件是等价的：
a) X 0
b) X 11 0 ，且 X22X1T 2X1 11X120
.
证明：
ATP PA PB CT
BT P
I
DT
0
C
D I
对上述不等式分别左乘,右乘矩阵diag{γ1/2I,γ1/2I,γ-1/2I},得
ATPPA PB CT 记X=γP
BTP
2I DT 0
C
D
I
AT X XA
BT X
C
XB
2I
D
CT
DT
0
I
.
运用Schur补，可得
当 f 是一个标量信号时， f 等于f 的峰值。
将所有幅值有界的信号全体记成 L
即 L{f: f(t) }
f 也称为信号f 的 L 范数。
.
四个性能指标
• IE(Impulse-to-Energy)增益： ie sup
z 2
w(t)w0 (t)
w0 1
• EP(Energy-to-Peak)增益：
.
定理4---PP
x&(t) Ax(t)Bw(t) z(t)Cx(t)+Dw(t)
.
H2性能
x&(t) Ax(t)Bw(t) z(t)Cx(t)+Dw(t)
➢T的H2范数的平方等于系统脉冲响应的总的 输出能量。(IE) ➢系统的H2范数也可以用系统在白噪声输入信 号激励下的稳态输出方差来解释。(EP)
.
系统性能分析
.
连续时间系统
3.1.1系统增益指标
考虑 x&(t) Ax(t)Bw(t) z(t)Cx(t)+Dw(t)
sup size(z) w0 size(w)
.
L2范数
•
对于平方可积的信号 f
BT PB I
P>0
•若有一最优值 ， 则
ie
.
定理2---EP
x&(t) Ax(t)Bw(t) z(t)Cx(t)+Dw(t)
min
s.t. AQ QAT BBT 0
CQCT I
Q>0
•若有一最优值 ， 则
ep
.
定理3---EE
x&(t) Ax(t)Bw(t) z(t)Cx(t)+Dw(t)
ee T(s)
.
用线性矩阵不等式刻画系统的H∞范数
• 定理：针对系统(3.1.1)和给定的一个常数γ >0,若 存在对称矩阵P>0,使得如下线性矩阵不等式成立
ATP PA PB
BT P
I
C
D
CT
DT
0
I
则有||T(s)||∞< γ,且系统渐进稳定。
x&(t) Ax(t)Bw(t) z(t)Cx(t)+Dw(t)
ep sup
z
w 21
•
EE(Energy-to-Energy)增益：
ee sup
z 2
w 2 1
• PP(Peak-to-Peak)增益：
pp sup
z
w 1
Hale Waihona Puke .定理1---IE
x&(t) Ax(t)Bw(t) z(t)Cx(t)+Dw(t)
min
s.t. PA AT P C T C 0
A T X X A C T C X B C T D 2 I D T D 1 B T X D T C 0
若D=0,则有
A T X X A 2 X B B T X C T C 0
.
标准的线性矩阵不等式问题
Linear Matrix Inequality (LMI)
➢ 可行性问题(LMIP)—求不等式的可行解
检验是否存在x，使得 F(x) 0成立。
➢ 特征值问题(EVP)－－求不等式的优化解
m in s .t.G ( x ) I H (x) 0
➢ 广义特征值问题(GEVP)－－仿射矩阵函数的不等式优化问 题
对于SISO系统 T(s)2ieep
.
用线性矩阵不等式刻画系统的H2范数
x&(t) Ax(t)Bw(t) z(t)Cx(t)+Dw(t)
.
H∞性能
x&(t) Ax(t)Bw(t) z(t)Cx(t)+Dw(t)
•增益 e e有一个频率域的解释：它恰好等于传
递函数 的T ( s ) 范数H ，即
fx 1 x m b x 1 A 1 x m A m 0
其中A i 可以是标量，也可以是矩阵，则称f是仿射函数。 .
凸（约束）问题
定义（凸集） 一个集合CRk 称为凸的，如果集合中任意两点 的连线仍在集合内。
即任意给定两点 C 1 和 C2 C及参数[0,1], 有
C 11C 2 C
C11C2称为 C 1 和 C 2 的凸组合。
，定义
f
(
1
f(t) 2dt)2
2
0
其中 f(t) fT(t)f(t) 是向量的欧式范数。这样
定义的 f 正好是信号 f 的能量。将所有有限能量 2
的全体记成 L 2
即
L2{f:
0
f(t)2dt}
f 2 也称为信号 f 的 L 2 范数
.
L∞范数
• 对幅值有界的信号 f ，定义
f sup f(t) t0
c) X 22 0 ，且 X11X12X2 2 1X1T 20
.
Schur补应用
若要证明存在对称矩阵P>0,Q>0,R>0,使得如下不等 式成立
A T P P A P B R 1 B T P Q 0
只需证明如下线性矩阵不等式(LMI)成立
ATPPAQ PB
BTP
R0
Schur补：是将非线性矩阵不等式转化为线 性矩阵不等式的有效工具
F i F iT R n n 实 对 称 矩 阵
Fx 是 负 定 的
——仿射矩阵不等式 • 仿射函数即由1阶多项式构成的函数，一般形式为 f (x) = A x + b，这里，
A 是一个 m×k 矩阵，x 是一个 k 向量,b是一个m向量，实际上反映了 一种从 k 维到 m 维的空间映射关系。 • 设f是一个矢性（值）函数，若它可以表示为
鲁棒控制
－线性矩阵不等式处理方法
Robust control –LMI Method
.
主要内容
➢线性矩阵不等式概论 ➢系统性能分析 ➢控制器设计
.
线性矩阵不等式概论
.
线性矩阵不等式的一般表示
线性矩阵不等式：
F x F 0 x 1 F 1 x m F m 0
x ( x 1 , ,x m ) T R m 决 策 向 量
将矩阵不等式的解约束在 矩阵变量定义的空间中
.
关于凸集定义的理解
.
Schur补定理
引理 (Schur Complement) 对于分块对称阵
X
X11
X1T2
X12
X
22
其中 X 1 1 为方阵，则以下三个条件是等价的：
a) X 0
b) X 11 0 ，且 X22X1T 2X1 11X120
.
证明：
ATP PA PB CT
BT P
I
DT
0
C
D I
对上述不等式分别左乘,右乘矩阵diag{γ1/2I,γ1/2I,γ-1/2I},得
ATPPA PB CT 记X=γP
BTP
2I DT 0
C
D
I
AT X XA
BT X
C
XB
2I
D
CT
DT
0
I
.
运用Schur补，可得
当 f 是一个标量信号时， f 等于f 的峰值。
将所有幅值有界的信号全体记成 L
即 L{f: f(t) }
f 也称为信号f 的 L 范数。
.
四个性能指标
• IE(Impulse-to-Energy)增益： ie sup
z 2
w(t)w0 (t)
w0 1
• EP(Energy-to-Peak)增益：
.
定理4---PP
x&(t) Ax(t)Bw(t) z(t)Cx(t)+Dw(t)
.
H2性能
x&(t) Ax(t)Bw(t) z(t)Cx(t)+Dw(t)
➢T的H2范数的平方等于系统脉冲响应的总的 输出能量。(IE) ➢系统的H2范数也可以用系统在白噪声输入信 号激励下的稳态输出方差来解释。(EP)