平面几何100题2.0版
新平面几何100题1-60
1、设I是△ABC的内心，D是边BC上的一点，E是BC延长线上一点，且满足BDDC =BEEC.设H是D到直线IE的垂足，证明：∠AHE=∠IDE.B2、设O、H分别是△ABC的外心和垂心，点A关于直线OH的对称点是P，点P和点A不在直线BC的同侧，E、F分别在AB和AC上，满足BE=PC，CF=PB，直线AP、OH相交于点K，证明：EK⊥FK.B CP3、设正△ABC的外接圆和内切圆分别是Γ、ω，P为ω上一动点，P1、P2、P3分别为P在BC、CA、AB上的射影，圆ω1、ω2、ω3分别与BC、CA、AB切于P1、P2、P3且与Γ内切（它们的圆心与A、B、C分别在BC、CA、AB的异侧）.证明：圆ω1、ω2、ω3两两外公切线的长度之和是一个定值.A4、设正△ABC内接于⊙O，E、F分别是AC，BC上一点，使得AE=2CE，BF=2CF. P为⊙O上的一点，PD⊥EF于D，交AB于K，作PS⊥BC于S，连接SK并交AO于T.证明：DS=DT.T5、设E、F分别位于△ABC的AC，AB边上，BE、CF交于D，△AEF的外接圆交△ABC的外接圆于点A、P，△AEF的外接圆在A处的切线交△ABC于A、Q两点，设N、M分别为AQ、BC的中点.证明：∠APD=∠MNQ.Q6、已知△ABC的外心为O，A′、B′、C′分别是边BC、CA、AB上的点，且满足A、B′、C′、O共圆，C、A′、B′、O共圆.以B′为圆心，B′C为半径的圆和以C′为圆心，BC′为半径的圆的根轴为l a.类似定义l b、l c.证明：直线l a、l b、l c交出的三角形垂心与△ABC的垂心重合.7、设凸四边形ABCD顶点不共圆，记点A在直线BC、BD、CD上的射影分别为P、Q、R，其中P、Q分别在BC、BD内，R在CD的延长线上.记点D在直线AC、BC、AB上的射影分别为X、Y、Z，其中X、Y分别在线段AC、BC内，Z在BA的延长线上，设△ABD的垂心为H，证明：BH的中点在△PQR外接圆和△XYZ外接圆的根轴上.8、在圆内接四边形ABCD中，AB>BC，AD>DC，I、J分别为△ABC、△ADC的内心.以AC为直径的圆与线段IB交于点X、与JD的延长线交于点Y.证明：若B、I、J、D四点共圆，则点X、Y关于直线AC对称.9、设△ABC的外接圆和内切圆的圆心分别为O、I，点M和点Q分别在边AB和AC上，点N和点P分别在边BC上（N在线段BP上），且满足五边形AMNPQ的五条边长相等.记点S为直线MN和QP的交点，l为∠MSQ的角平分线.证明：l和OI平行.S11、凸四边形ABCD中，P、Q、R、S分别是线段AB、BC、CD、DA上的点.若相交的线段PR、QS把四边形ABCD分为4个四个对角线互相垂直的凸四边形.证明：P、Q、R、S四点共圆.B12、不等腰三角形ABC的外接圆为Ω，内心为I，射线AI与BC交于D，与Ω交于除A以外的另一点M，以DM为直径的圆与Ω交于除M以外的另一点K，直线MK与BC交于点S，设N为IS的中点，L1、L2为△KID的外接圆与△MAN的外接圆的交点.证明：IL1或IL2的中点在Ω上.S113、在非等腰△ABC中，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点.过D作△ABC的内切圆的切线（不同于直线BC），交直线EF于点X.类似定义Y和Z.证明：X、Y、Z三点共线.ZBD14、圆外切四边形ABCD的内切圆⊙I分别切DC、DA于E、F，K为BD上一点，KA、KC分别交⊙I于M、N，MF与NE交于L.证明：L在直线BD上.L15、四边形ABCD内接于⊙O，∠A、∠C的角平分线相交于点I，∠B、∠D的角平分线相交于点J，直线IJ不经过点O，且与边AB、CD的延长线分别交于点P、R，与边BC、DA分别交于点Q、S.线段PR、QS的中点分别为M、N.证明：OM⊥ON.R16、在圆内接四边形ABCD中，M、N分别是线段BC、AD的中点，对角线AC、BD交于点E. P是边BC上的点，满足PBPC =(BDAC)2.设E在PN上的投影是H，证明：△BEC的外接圆与△MPH的外接圆相切.17、圆内接四边形ABCD的对角线相交于P，存在一个圆Γ与AB、BC、AD、DC的延长线切于点X、Y、Z、T.过A、B的圆Ω与圆Γ外切于S.证明：SP⊥ST.18、对于平面上的凸四边形ABCD，设直线l交直线AB于X，交直线CD于X′，交直线BC于Y，交直线DA于Y′，交直线AC于Z，交直线BD于Z′.已知以上六点在l上按照X、Y、Z、X′、Y′、Z′的顺序排列.证明：以XX′、YY′、ZZ′为直径的三个圆共点.19、设O是三角形ABC的外心，D是AB上一点，作与⊙O内切，与线段CD、BD相切的⊙I；作与⊙O内切，与线段CD、AD相切的⊙J.证明：若A、B、I、J四点共圆，则D是三角形ABC中的∠ACB内旁切圆在AB上的切点.20、设⊙O 1与⊙O 2交于P 、Q 两点，过P 作两条割线AB 、CD ，过Q 作两条平行割线A′B′、C′D′，取△PAC 、△PBD 、△QB′D′、△QA′C′的九点圆圆心F 1、F 2、F 3、F 4.证明：四边形F 1F 2F 3F 4是矩形.D'A'C21、设⊙O是四边形ABCD的内切圆. AC、BD交于P，I、J分别是△ABC、△ADC的内心，OP，IJ交于K，T是K在BD上的射影.证明：I、J、P、T四点共圆.B22、设O、I B、I C分别是锐角三角形ABC的外接圆圆心，∠B内的旁切圆圆心和∠C内的旁切圆圆心.在AC边上取点E和Y，使得∠ABY=∠CBY，BE⊥AC，在AB边上取点F和Z，使得∠ACZ=∠BCZ，CF⊥AB，直线I B F和I C E交于点P.证明：PO⊥YZ.I B I C23、四边形ABCD内接于⊙O，AC、BD交于点P，直线AB、CD交于点Q. K是P在QO上的射影，KP、BC交于X，M是BC的中点，P′是P关于BC的对称点，K′是K关于M的对称点. P′K′分别交BC于Y，交KP于Z.证明：△XYZ的外接圆与△QBC的外接圆相切.D24、对边不平行的凸四边形ABCD中，BA延长线与CD延长线交于点E，AD延长线与BC延长线交于点F，K是△CDF的外接圆与△ADE的外接圆的交点(K≠D).设∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠ADC的外角平分线分别为l A、l B、l C、l D，l A和l B、l B和l C、l C和l D、l D和l A分别交于点G、H、I、J.△CDF的外接圆中，弧DF（不含C）的中点为Q，直线EH与△AED的外接圆交于另一点M.设GJ中垂线与IH中垂线（不重合）交于点P.证明：P、M、Q、K四点共圆.25、设D是△ABC外接圆⊙O上任意一点，过D作⊙O的切线l.证明：l关于△ABC三边对称的直线围成的三角形的外接圆与⊙O相切.26、设O为△ABC内一点，O在BC、CA、AB上的射影分别为U、V、W.X、Y、Z分别在BC、CA、AB上，X′、Y′、Z′分别是X关于U、Y关于V，Z关于W的对称点，点X、Y、Z关于△ABC的密克点为S，点X′、Y′、Z′关于△ABC的密克点为T.证明：OS=OT.B CX'U27、点D、E、F分别在△ABC的边AB、BC、CA上，满足AD+AF=BC、BD+BE=AC、CE+CF=AB. △ADF、△BDE、△CEF的外接圆与△ABC外接圆的另一个交点分别为A1、B1、C1，P是D、E、F关于△ABC的密克点，证明：P为△A1B1C1的垂心.128、设AA′、BB′、CC′是锐角△ABC的外接圆的三条直径，P为△ABC内任意一点，点P在BC、CA、AB上的射影分别是D、E、F，X、Y、Z分别是A′关于D、B′关于E，C′关于F的对称点.证明：△XYZ∽△ABC.29、设H是锐角△ABC的外接圆的垂心，P是外接圆弧BC上一点，连接PH交弧AC于M，弧AB上一点K满足直线KM平行于点P关于△ABC的西姆松线，设Q为外接圆上一点满足30、设△ABC的内切圆⊙I分别切BC、CA、AB于点D、E、F，延长EI交DF于G，BE、CF交⊙I于另外的点X、Y.设J为△AEF外接圆的另一个交点，△XJI外接圆与⊙I的另一个交点为S，T在⊙I上满足TS⊥AI，连接YT、XS交于P，直线DP与⊙I的另一个交点为Q.证明：KQ是⊙I的直径.C31、在△ABC中，内切圆⊙I分别切BC、CA、AB于点D、E、F，M、N分别是AB、AC的中点，EF、MN交于S，DS与⊙I的另一个交点为J.证明：J在△ABC的九点圆上.B C32、过△ABC内心I任作一直线l，内切圆分别切BC、CA、AB于点X、Y、Z，边BC、CA、AB的中点分别为D、E、F，直线l分别交△BIC外接圆、△CIA外接圆、△AIB外接圆于另一点D′、E′、F′，过点X、Y、Z分别作平行于DD′、EE′、FF′的直线l1、l2、l3.证明：直线l1、l2、l3交于一点.33、已知△ABC的外接圆为⊙O，A′为点A在⊙O上的对径点.作等边△BCD，使得A、D位的于BC的异侧，过点A′作A′D的垂线，分别与AC、AB交于E、F两点.以EF为底，作底角为π6等腰△ETF，并使得A、T位于BC的异侧.证明：AT经过△ABC的九点圆圆心.ED34、设△ABC的内切圆⊙I与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F，记⊙I B、⊙I C分别为△ABC的顶点B、C所对的旁切圆，P、Q分别为I B E，I C F的中点，若DE、DF与I B I C交于点K、J，EJ 与FK交于点M，PE与△PAC的外接圆交于另一点X，QF与△QAB的外接圆交于另一点Y.证明：BY、CX、AM三线共点.35、已知凸四边形ABCD内两动点P、Q满足∠APB=∠AQB=∠CPD=∠CQD.证明：动直线PQ要么均经过一个定点，要么相互平行.36、在凸四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC<π，∠ABC、∠ADC的平分线交于点P，并分2别与AC交于点E、F，M为AC的中点，BM、DM与△BDP的外接圆分别交于另一点X、Y，EX与PY交于点Q.证明：AC⊥PQ.B37、凸六边形A1A2A3A4A5A6满足A1A2=A3A4=A5A6，A2A3=A4A5=A6A1，点X、Y在38、已知凸四边形ABCD内接于⊙O，⊙I切AC、BD及⊙O，E为弧BC的中点，AE与BD相交于点M，DE与AC相交于点N.证明：△EMN外接圆与⊙I相切.39、锐角△ABC 中BC >AC >AB ，I 、O 、H 分别为其内心、外心、垂心，D 、E 分别在BC 、AC 上使AE =BD ，CD +CE =AB .记K 为BE 与AD 交点，证明：KH =2IO .ABC40、在锐角△ABC中，AB>AC，设Γ为其外接圆，H为垂心，F为由顶点A处所引高的垂足，M为边BC的中点.Q、K为圆Γ上的点，使得∠HQA=∠HKQ=π.若点A、B、C、K、Q互2不相同，且按此顺序排列在Γ上，证明：△KQH的外接圆与△FKM的外接圆相切.41、设△ABC内接于⊙O，过A作⊙O的切线交BC于T，G为△ABC的重心，直线TG分别交AB、AC于E、F，AG交⊙O于K，证明：AK平分∠EKF.K42、在凸四边形ABCD中，AB≠BC，ω1和ω2分别是△ABC和△ADC的内切圆.已知存在一个圆ω与射线BA相切（切点不在线段BA上），与射线BC相切（切点不在线段BC上），且与直线AD和直线CD都相切.证明：圆ω1和ω2的两条外公切线的交点在圆ω上.43、P为△ABC内一点，L、M、N分别为边BC、CA、AB的中点，且PL∶PM∶PN=BC∶CA∶AB.延长AP、BP、CP分别交△ABC的外接圆于点D、E、F.证明：△APF、△APE、△BPF、△BPD、△CPD、△CPE的外接圆圆心六点共圆.B44、给定△ABC，求线段BC上满足下列条件的所有点P：如果X、Y是直线PA与△PAB、△PAC外接圆的两条外公切线的交点，则(PAXY )2+PB∙PCAB∙AC=1.45、在凸四边形ABCD中，∠ABC=∠CDA=π2，H是A在BD上的射影，边AB上的S和边AD上的T使H在△SCT内部，∠CHS−∠CSB=π2，∠THC−∠DTC=π2，证明：直线BD和△TSH的外接圆相切.CD46、在△ABC中，⊙O、⊙I分别为其外接圆与内切圆，⊙I与BC切于点D，M为ID中点，A0与A 关于点O对称，直线A0M交⊙O于异于点A0的一点X，证明：△ADX的外接圆与直线BC相切.47、已知P 是凸四边形ABCD 的边AB 上的一点，ω是△CPD 的内切圆，I 为其圆心，若ω分别与△APD 以及△CPB 的内切圆切于点K 和L ，AC 与BD 交于点E ，AK 、BL 交于点F .证明：E 、I 、F 共线.BAD48、在锐角△ABC中，ω、Ω、R分别表示其内切圆、外接圆及外接圆的半径.圆ωA与Ω内切于点A且与ω外切；圆ΩA与Ω内切于点A且与ω内切.设P A和Q A分别是ωA和ΩA的圆心.同样定义P B和Q B、P C和Q C.证明：8P A Q A∙P B Q B∙P C Q C≤R349、已知△ABC的垂心为H，外心为O，设A、B、C关于BC、CA、AB的对称点分别为D、E、F.证明：D、E、F共线当且仅当OH=2R，其中R为△ABC外接圆半径.FCO50、设∠XAY是一个固定的角，B、C分别是射线AX、AY上的动点，∠XAY内有一动点P满足PA、PB、PC的长度都保持不变.求△ABC面积的最小值.。
平面几何100题及答案(前80题)
第一题、如图，F为。
0外一点，PA、PB分别切6于A、B, PCD为ST割线，CO 交CX）于另一点E, AC、EB交于点F,证明：CD平分匕ADF。
"证明方法一：如图，延长ED交CA于K,根据条件知四边形CADB为调和四边形，故ED、EC、EA、EB构成一组调和线束，进而知K、C、A、F构成一组调和点列。
而KD±CD, 故CD平分ZADFo 3证明方法二：如鼠连結OA、OE、AB、BC,因为ZAFB = ZACE-ZBEC =ZAOE-ZBOC ISCT-NAOC-NBOC 半，且PA = PB,故点P为TkABF的外心。
于是知ZPFA= ZPAC = ZPDA,所以P、A、D、F 四点共圆。
又PA= PF,故CD 平分Z A DF。
3第二题、如图，AB为©0直径，C、D为O。
上两点，且在AB同侧，。
在C、D两处的切城交于点E, BC、AD交于点F, EF交AB于证明：E、C、页、D四点共圆。
“证明：如图，延长白C、BD交于点K,则BC1AK, AD丄BK,从而知F^)AKAB的垂心。
又在圆内接六边形CCADDB中使用帕斯卡定理，知K、E、F三点共线，从而KM丄卽于価。
于是知匕CMF = ZCAF= ZCDE,所以E、C、页、D四点共圆。
K第三题、如图，AB为。
直径，C、D为伽上两点'且在AB同侧，O0在C. D两处的切线交于点E, BC、AD交于点F, EB交0。
于点G,证明；ZCEF = 2/AGF。
“证明：如图，根据条件知匕CF D =典牌=(脸-®；(i对-命)=Z CAB + / DBA = ZECF + ZEDF；且EC = ED；故点E 为△CED 外心。
于是知/EFC = ZECF = ZCAB = ZCGE,敌E、C、F、G四点共圆。
所以“ZCGF = ZCEF = 2(90° - ZECF)= 2(90° - ZCAB)= 2ZABC 二2ZAGC " 0lWZAGF = —=—,即得ZCEF = 2ZAGFo，2 2第四題、如图，AB为直径，P为AB延长线上一点，PC切于C,点C关于朋的对称点为点D, CE1AD于E, F为CE中点，AF交于K,求证：AP为ZXPCK外扬圆的切线。
高考数学平面解析几何专项训练(100题-含答案)
高考数学平面解析几何专项训练（100题-含答案）1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点12(1,0),(1,0)F F -，点M 满足12MF MF +=记点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)点T 在直线2x =上，过T 的两条直线分别交C 于,A B 两点和,P Q 两点，且||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】(1)2212x y +=(2)0【解析】【分析】（1）根据122MF MF +=，利用椭圆的定义求解；（2）设()2,T m ，直线AB 的参数方程为()2cos ,sin x t y m t θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数，与椭圆方程联立，利用参数的几何意义求解.(1)解：因为122MF MF +=，所以点M 的轨迹是以12(1,0),(1,0)F F -为焦点的椭圆，则21,1a c b ===，所以椭圆的方程是2212x y +=；(2)设()2,T m ，直线AB 的参数方程为()2cos ,sin x t y m t θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数，与椭圆方程联立()()2222cos 2sin 4cos 4sin 420t m t m θθθθ+++++=，由参数的几何意义知：12,TA t TB t ==，则22122224242cos 2sin 2cos m m t t θθθ++⋅=-=-+-，设直线PQ 的参数方程为：()2cos ,sin x y m λαλλα=+⎧⎨=+⎩为参数,则12,TP TQ λλ==，则22122224242cos 2sin 2cos m m λλααα++⋅=-=-+-，由题意得：222242422cos 2cos m m θα++-=---，即22cos cos θα=，因为αθ≠，所以cos cos θα=-，因为0,0θπαπ<<<<，所以θαπ+=，所以直线AB 的斜率tan θ与直线PQ 的斜率tan α之和为0.2．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，点(),N n S n n n *⎛⎫∈ ⎪⎝⎭在斜率为1的直线上.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】(1)21n a n =+(2)152522n n n T ++=-【解析】【分析】（1）根据斜率公式可得出()222n S n n n =+≥，可知13S =满足()222n S n n n =+≥，可得出22n S n n =+，再利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式；（2）求得1212n n n c ++=，利用错位相减法可求得n T .(1)解：由13a =，点,n S n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭在斜率为1的直线上，知1111n S S n n -=-，即()222n S n n n =+≥.当1n =时，113S a ==也符合上式，故22n S n n =+.当2n ≥时，()()221212121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦；13a =也满足上式，故21n a n =+.(2)解：112122n n n n a n c +++==.则2341357212222n n n T ++=++++ ，所以，3412135212122222n n n n n T ++-+=++++ ，上式-下式得1232211113111213214212422224212n n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪++⎛⎫⎝⎭=++++-=+- ⎝⎭- 252542n n ++=-，因此，152522n n n T ++=-.3．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，且过点(3,1).(1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B ，P 三点在椭圆C 上，O 为原点，设直线,OA OB 的斜率分别是12,k k ，且1213k k ⋅=-，若OP OA OB λμ=+，证明：221λμ+=.【答案】(1)221124x y +=(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由条件可得c a22911a b +=，222c b a +=，解出即可；（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ，由条件可得012012x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩，12123x x y y =-，然后将01212x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩代入椭圆方程可得2222221122121221124124124x y x y x x y y λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，然后可得答案.(1)因为ca=22911a b +=，222c b a +=所以可解得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程221124x y +=.(2)设()()()112200,,,,,A x y B x y P x yOP OA OB λμ=+ ，012012x x x y y y λμλμ=+⎧∴⎨=+⎩()()222212120011124124x x y y x y λμλμ+++=∴+= 即2222221122121221124124124x y x y x x y y λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222112211124124x y x y +=+= ，，即22121221124x x y y λμλμ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭又1212121133y y k k x x ⋅=-∴=- ，即12123x x y y =-，221λμ∴+=4．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，A ､B 分别为椭圆C 的右顶点､上顶点，F 为椭圆C的右焦点，椭圆C 的离心率为12，ABF 的面积为32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P 为椭圆C 上的动点（不是顶点），点P 与点M ，N 分别关于原点､y 轴对称，连接MN 与x 轴交于点E ，并延长PE 交椭圆C 于点Q ，则直线MP 的斜率与直线MQ 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)22143x y +=(2)是定值，定值为32-【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率可得到a,b,c 的关系，再结合ABF 的面积可得到()a c b -=，由此解得a,b ，可得答案.（2）设直线方程，并联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，结合直线MP 的斜率与直线MQ 的斜率之积，代入化简可得答案.(1)由题意得12c a =，则2a c =，b =.ABF 的面积为()1322a cb -=，则()a c b -将2a c =，b =代入上式，得1c =，则2a =，b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=.(2)由题意可知直线PQ 的斜率一定存在，设直线PQ 的方程为y kx m =+，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()11,M x y --，()11,N x y -，()1,0E x -，联立方程22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2223484120k x kmx m +++-=，∴122834kmx x k +=-+，∴()12122286223434km m y y k x x m k m k k ⎛⎫+=++=-+= ⎪++⎝⎭，∴21212263348434MQmy y k k km x x kk ++===-+-+，112PEPQ y k k k x ===，∵11112222MP PE y yk k k x x ====，∴33242MP MQ k k k k ⋅=-⨯=-∴MP MQ k k ⋅为定值32-.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及直线和椭圆的位置关系，综合考查了学生分析问题，解决问题以及计算方面的能力和综合素养，解答的关键是理清解决问题的思路，并能正确地进行计算.5．已知圆M 过点()1,0，且与直线1x =-相切.(1)求圆心M 的轨迹C 的方程；(2)过点()2,0P 作直线l 交轨迹C 于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A '.问A B '是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.【答案】(1)24y x =(2)()2,0-【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义计算可得；（2）设直线l 的方程为2x ty =+，()11,A x y 、()22,B x y ，则()11,A x y '-，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，再表示出直线A B '的方程，将12y y +、12y y 代入整理即可得解；(1)解：由题意知动点M 的轨迹C 是以(0,0)O 为顶点，()1,0为焦点，1x =-为准线的抛物线，所以动圆圆心M 的轨迹方程为：24y x =；(2)解：设直线l 的方程为2x ty =+，()11,A x y 、()22,B x y 不妨令21y y >，则()11,A x y '-，联立直线l 与抛物线方程得224x ty y x =+⎧⎨=⎩消去x 得2480y ty --=，则124y y t +=、128y y =-，则直线A B '的方程为()()211121y y y y x x x x +--=--，即()()21212121x x y x y y y x y x -+=+-，则()()()()2121212122ty ty y ty y y y x y ty -++=+-+，()()()2121211222t y y y y y x ty y y y -=+--+，即()()21211222y y y x ty y y y =+--+，所以()42824y tx t t ⋅=-⨯--⨯，即()2y t x =+，令200x y +=⎧⎨=⎩解得20x y =-⎧⎨=⎩，所以直线A B '恒过定点()2,0-；6．已知1F ，2F 是椭圆C ：()222104x yb b+=>的左、右焦点，过1F 的直线与C 交于A ，B两点，且22::3:4:5AF AB BF =.(1)求C 的离心率；(2)设M ，N 分别为C 的左、右顶点，点P 在C 上（P 不与M ，N 重合），证明：MPN MAN ∠≤∠.【答案】(2)见解析【解析】【分析】（1）由题意设223,4,5AF m AB m BF m ===，由勾股定理的逆定理可得290BAF ∠=︒，再根据椭圆的定义可求出m 的值，从而可求出12,AF AF 的值，则可得点A 是椭圆短轴的一个端点，进而可求出离心率，（2）由椭圆的对称性，不妨设00(,)P x y，0y ∈，,PMN PNM αβ=∠=∠，则可得0000tan ,tan 22y y x x αβ==+-，然后求出tan tan αβ+，tan tan αβ，再利用正切的两角和公式可得02tan()y αβ+=，由正切函数可求出αβ+的最小值，从而可求出()MPN παβ∠=-+的最大值，进而可证得结论(1)由()222104x y b b+=>，得24a =，得2a =，由题意设223,4,5AF m AB m BF m ===，则22222AF AB BF +=，所以290BAF ∠=︒，因为223451248AF AB BF m m m m a ++=++===，所以23m =，所以22AF =，所以122422AF a AF =-=-=，所以12AF F △为等腰直角三角形，所以点A 是椭圆短轴的一个端点，所以b c =，因为222224b c b a +===，得b c =所以椭圆的离心率为2c e a ==(2)由（1）可得椭圆方程为22142x y +=，则(2,0),(2,0)M N -,因为点A是椭圆短轴的一个端点，所以不妨设A ,由椭圆的对称性，不妨设00(,)P x y，0y ∈，,PMN PNM αβ=∠=∠,则0000tan ,tan 22y y x x αβ==+-，2200142x y +=，所以2200002200001tan tan 22422y y y y x x x y αβ⋅=⋅===+--，00002200000442tan tan 2242y y y y x x x y y αβ+=+===+--，所以0tan tan 4tan()1tan tan y αβαβαβ++==-，所以当0y =tan()αβ+取得最小值由（1）可知290BAF ∠=︒，所以()0,2παβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以当tan()αβ+取得最小值时，αβ+取得最小值，即点P 与点A 重合时，αβ+取得最小值，此时()MPN παβ∠=-+取得最大，所以MPN MAN∠≤∠7．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为，且过点)P(1)求C 的方程：(2)设直线()0y kx m m =+>交y 轴于点M ，交C 于不同两点A ，B ，点N 与M 关于原点对称，BO AN ⊥，Q 为垂足.问：是否存在定点M ，使得·NQ NA 为定值？【答案】(1)221102x y +=(2)存在【解析】【分析】（1）利用待定系数法求方程；（2）联立方程组，结合韦达定理可得直线恒过定点，进而求解.(1)依题意知2a =a =所以C 的方程可化为222110x y b+=，将点)P代入C 得251110b +=，解得22b =，所以椭圆方程为221102x y +=；(2)设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立221102x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，()22215105100k x kmx m +++-=，()()()222104155100km k m ∆=-+->，解得22210m k <+，1221015km x x k -+=+，212251015m x x k -=+，注意到Q ，N ，A 三点共线，NQ NA NQ NA ⋅=⋅，又()NQ NA NB BQ NA NB NA ⋅=+⋅=⋅()()()()1212121222x x y m y m x x kx m kx m =+++=+++()()()()222222212122215102012441515k m k mkx xmk x x mm kk+-=++++=-+++()222221510510415k m m m k--+-=++当()2215105510m m --=-，解得1m =±，因为0m >，所以1m =，此时1NQ NA ⋅=-，满足0∆>，故存在定点()0,1M ，使得1NQ NA ⋅=-等于定值1.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．8．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>,4a M b ⎛⎫ ⎪⎝⎭为焦点是22y x =的抛物线上一点，H 为直线y a =-上任一点，A ，B 分别为椭圆C 的上，下顶点，且A ，B ，H 三点的连线可以构成三角形.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线HA ，HB 与椭圆C 的另一交点分别交于点D ，E ，求证：直线DE 过定点.【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率求出,a c 的关系式，再由,4a M b ⎛⎫⎪⎝⎭为抛物线22=y x 上的点，结合222a b c =+，即可求出椭圆C 的方程.（2）设点()(),20H m m -≠，求得HA ，HB 的方程，与椭圆联立求得,D E 坐标，写出直线DE 的方程，即可求出DE 恒过的定点.(1)由题意知，222224c aa b a b c⎧=⎪⎪⎪=⨯⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)设点()(),20H m m -≠，易知()0,1A ，()0,1B -，∴直线HA 的方程为31y x m =-+，直线HB 的方程为11y x m=--.联立223114y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22362410x x m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，∴22436D m x m =+，223636D m y m -=+，同理可得284E m x m -=+，2244E m y m -=+，∴直线DE 的斜率为21216m k m-=，∴直线DE 的方程为222241284164m m m y x m m m --⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭，即2121162m y x m -=-，∴直线DE 过定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.9．已知点(1,2)M -在抛物线2:2(0)E y px p =>上.(1)求抛物线E 的方程；(2)直线12,l l 都过点12(2,0),,l l 的斜率之积为1-，且12,l l 分别与抛物线E 相交于点A ，C 和点B ，D ，设M 是AC 的中点，N 是BD 的中点，求证：直线MN 恒过定点.【答案】(1)24y x =(2)证明见解析【解析】【分析】（1）将点坐标代入求解抛物线方程；（2）设出直线方程，表达出,M N 的坐标，求出直线MN 的斜率，利用直线斜率之积为-1，求出直线MN 恒过的定点，从而证明出结论.(1)∵点(1,2)M -在抛物线2:2E y px =上，∴2(2)2p -=，∴解得:2p =，∴抛物线E 的方程为：24y x =.(2)由12,l l 分别与E 相交于点A ，C 和点B ，D ，且由条件知：两直线的斜率存在且不为零.∴设1122:2,:2l x m y l x m y =+=+由214,2y x x m y ⎧=⎨=+⎩得：21480y m y --=设()()1122,,,A x y C x y ，则1214y y m +=，∴12M y m =，又2122M x m =+，即()21122,2M m m +同理可得：()22222,2N m m +∴()()212212212212222MN m m k m m m m -==++-+，∴()211121:222MN y m x m m m -=--+即MN ：()1212121y x m m m m =--⎡⎤⎣⎦+，∵12,l l 的斜率之积为1-，∴12111m m ⋅=-，即121m m =-，∴121:(4)MN y x m m =-+，即直线MN 过定点(4,0).10．已知抛物线()20x ay a =>，过点0,2a M ⎛⎫ ⎪⎝⎭作两条互相垂直的直线12,l l ，设12,l l 分别与抛物线相交于,A B 及,C D 两点，当A 点的横坐标为2时，抛物线在点A 处的切线斜率为1.(1)求抛物线的方程；(2)设线段,AB CD 的中点分别为,E F ，O 为坐标原点，求证直线EF 过定点.【答案】(1)24x y =；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）结合导数知识，利用切线斜率构造方程可得a ，由此可得抛物线方程；（2）将直线AB 方程代入抛物线方程中，结合韦达定理可确定中点坐标，同理可得CD中点坐标，利用直线方程两点式可得直线EF 方程，化简可知其过定点()0,4.(1)由2x ay =得：21y ax =，则2y x a '=，241x y a=∴=='，解得：4a =，∴抛物线方程为：24x y =；(2)由题意知：直线12,l l 的斜率都存在且都不为零，由（1）知：()0,2M ，设直线:2AB y kx =+，代入24x y =得：2480x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，128x x =-，()21212444y y k x x k ∴+=++=+，AB ∴中点()22,22E k k +；12l l ⊥ ，1:2CD y x k ∴=-+，同理可得：CD 中点222,2F k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；EF ∴的方程为：()()222222222222k k y k x k k k ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭-+=-+，化简整理得：14y k x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则当0x =时，4y =，∴直线EF 恒过定点()0,4.【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；④根据直线过定点的求解方法可求得结果.11．在直角坐标系xOy 中，曲线:C 221x y +=经过伸缩变换x xy '='=⎧⎪⎨⎪⎩后的曲线为1C ，以x 轴正半轴为级轴，建立极坐标系.曲线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2)若1C 上的一点P 到2C 的距离的最大，求距离的最大值及P 点的坐标.【答案】(1)1C ：2213y x +=，2C ：40x y +-=；(2)max d =，1322P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.【解析】【分析】()1直接利用转换关系，把参数方程，直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；()2利用三角函数关系式的变换和点到直线的距离公式的应用求出结果.(1)解：由伸缩变换x xy '='=⎧⎪⎨⎪⎩得，代入曲线:C 221x y +=得：1C 的普通方程为2213y x +=，由极坐标方程sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin y ρθ=，cos x ρθ=可得：2C 的直角坐标方程为40x y +-=.(2)解：直线2C 的普通方程为40x y +-=，设1C上的为点()cos P θθ，到2C 的距离为d =当且仅当()223k k Z πθπ=-+∈时，取得max d =，又因为1cos 23y 2x θθ⎧==-⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，即点P 的坐标为1322⎛⎫-- ⎪⎝⎭.12．已知椭圆C ：2222+x y a b=1（a >b >0）经过点A （0，1），且右焦点为F （1，0）.(1)求C 的标准方程；(2)过点（0，12）的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点P .Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N .证明：以MN 为直径的圆过y 轴上的定点.【答案】(1)2212x y +=(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由已知得,c b ，再求得a ，即得椭圆方程；（2）由题意直线l 斜率存在，可设直线1:2l y kx =+，设()()1122,,,P x y Q x y ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,x x x x +，由直线,AP AQ 方程求出,M N 坐标，求出以MN 为直径的圆的方程，然后代入1212,x x x x +求得圆方程的常数项，从而可得y 的定点坐标．(1)由题意可得1,1c b ==从而22a =.所以椭圆的标准方程为2212x y +=.(2)证明：由题意直线l 斜率存在，可设直线1:2l y kx =+，设()()1122,,,P x y Q x y ，将直线l 代入椭圆方程得()2242430k x kx ++-=，所以12122243,,4242k x x x x k k --+==++，直线AP 的方程为1111y y x x -=+，直线AQ 的方程为2211y y x x -=+.可得1212,0,,011x x M N y y ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，以MN 为直径的圆方程为，21212011x x x x y y y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，即()()221212121201111x x x x x y x y y y y ⎛⎫++++= ⎪----⎝⎭.①因为()()()1212122121212124111142122x x x x x x y y k x x k x x kx kx ==---++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22212612842k k k -==--+++.所以在①中令0x =，得26y =，即以MN 为直径的圆过y轴上的定点(0,，13．已知抛物线C ：()220y px p =>，过点()2,0R 作x 轴的垂线交抛物线C 于G ，H 两点，且OG OH ⊥（O 为坐标原点）.(1)求p ；(2)过()2,1Q 任意作一条不与x 轴垂直的直线交抛物线C 于A ，B 两点，直线AR 交抛物线C 于不同于点A 的另一点M ，直线BR 交抛物线C 于不同于点B 的另一点N .求证：直线MN 过定点.【答案】(1)1p =(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由题意知2RG OR ==，不妨设()2,2G ，代入抛物线方程中可求出p 的值，（2）设211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233,2y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,2y N y ⎛⎫⎪⎝⎭，则可表示出直线AB ，AM ，BN 的方程，再由直线AB 过()2,1Q 及直线AM ，BN 过()2,0R 可得()121240y y y y -++=，13244y y y y ==-，再表示出直线MN 的方程，结合前面的式子化简可得结论(1)由题意知，2RG OR ==.不妨设()2,2G ，代入抛物线C 的方程，得44p =解得1p =.(2)由（1）知，抛物线C 的方程为22y x =.设211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233,2y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,2y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线AB 的斜率为12221212222AB y y k y y y y -==+-.所以直线AB 的方程为2111222y y x y y y ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，即()121220x y y y y y -++=.同理直线AM ，BN ，MN 的方程分别为()131320x y y y y y -++=，()242420x y y y y y -++=，()343420x y y y y y -++=，由直线AB 过()2,1Q 及直线AM ，BN 过()2,0R 可得()121240y y y y -++=，13244y y y y ==-.又直线MN 的方程为()343420x y y y y y -++=，即1212441620x y y y y y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭.所以直线MN 的方程为()1212280y y x y y y +++=.把()121240y y y y -++=代入()1212280y y x y y y +++=，得()12122480y y x y y y +++=，()122)880(y y x y y +++=，所以由20x y +=，880y +=可得2x =，1y =-.所以直线MN 过定点()2,1-.14．已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，A 两点，且PF λFA = .(1)若λ=4，求直线l 的方程；(2)设点E (a ，0)，直线PE 与抛物线C 的另一个交点为B ，且PE EB μ=.若λ=4μ，求a的值.【答案】(1)4340x y --=或4340x y +-=(2)4【解析】【分析】（1）由4PF FA =得014y y =-，设直线l ：1x my =+，与抛物线C :24y x =联立，结合韦达定理，即得解；（2）由PF λFA = 得01y y λ=-，结合014y y =-，可得204y λ=，再由PE EB μ= 得02y y μ=-，设直线PB ：x ny a =+，与抛物线C ：24y x =联立由韦达定理可得024y y a =-，故204y aμ=，又4λμ=，代入运算即得解(1)易知焦点F (1，0)，设P (0x ，0y )，A (1x ，1y )由4PF FA =得014y y =-设直线l ：1x my =+，与抛物线C :24y x =联立得2440y my --=，其中216160m ∆=+>，所以014y y =-由①②可得0141y y =⎧⎨=-⎩或0141y y =-⎧⎨=⎩又014y y m +=，所以34m =或34m =-所以直线l 的方程为314x y =+或314x y =-+.化简得4340x y --=或4340x y +-=(2)由PF λFA =得01y y λ=-又014y y =-可得204y λ=设点B (2x ，2y )，由PE EB μ= 得02y y μ=-设直线PB ：x ny a =+，与抛物线C ：24y x =联立得2440y ny a --=.所以216()0n a ∆=+>，024y y a=-故204y aμ=又4λμ=，所以2200444y y a=⋅，考虑到点P 异于原点，所以00y ≠，解得4a =此时2216()16(4)0n a n ∆=+=+>所以a 的值为415．平面直角坐标系xOy 中，双曲线22:136x y C -=的右焦点为F ，T 为直线:1l x =上一点，过F 作TF 的垂线分别交C 的左、右支于P 、Q 两点，交l 于点A ．(1)证明：直线OT 平分线段PQ ；(2)若3PA QF =，求2TF 的值．【答案】(1)证明见解析(2)12+【解析】【分析】（1）设直线PQ 的方程为3x ty =+，设点()11,P x y 、()22,Q x y ，将直线PQ 的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出线段PQ 的中点N 的坐标，计算得出ON OT k k =，证明出O 、T 、N 三点共线，即可证得结论成立；（2）由3PA QF =得3PA QF = ，可得出1238x x -+=，变形可得出()()12212184384x x x x x x ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，两式相乘结合韦达定理可求得2t 的值，再利用两点间的距离公式可求得2TF 的值.(1)解：依题意，3F x ==，即()3,0F ，设()1,2T t ，则直线PQ 的方程为3x ty =+，由22326x ty x y =+⎧⎨-=⎩得()222112120t y ty -++=，设()11,P x y 、()22,Q x y ，则()222210Δ14448210t t t ⎧-≠⎪⎨=-->⎪⎩，故212t ≠，由韦达定理可得1221221t y y t +=--，1221221y y t =-，所以()121226621x x t y y t +=++=--，又直线PQ 分别交C 的左、右支于P 、Q 两点，所以()()()22121212122963339021t x x ty ty t y y t y y t +=++=+++=-<-，故212t >所以PQ 中点为2236,2121t N t t ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，所以2ON OT k t k ==，故O 、T 、N 三点共线，即直线OT 平分线段PQ ．(2)解：依题意，由3PA QF =得3PA QF =，则()12133x x -=-，即1238x x -+=，所以()12284x x x ++=，①，()121384x x x +-=，②①×②得()()21212123166416x x x x x x +++-=，所以()22222366963166416212121t t t t+⨯-⨯-=-⨯---，解得28374t +=，或28374t -=（舍去），此时，224412t TF =+=+【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.16．已知抛物线2:4E y x =，F 为其焦点，O 为原点，A ，B 是E 上位于x 轴两侧的不同两点，且5OA OB ⋅=．(1)求证：直线AB 恒过一定点；(2)在x 轴上求一定点C ，使F 到直线AC 和BC 的距离相等；(3)在（2）的条件下，当F 为ABC 的内心时，求ABC 重心的横坐标．【答案】(1)证明见解析(2)见解析(3)173【解析】【分析】（1）设直线AB 的方程为x my n =+，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，联立24x my n y x =+⎧⎨=⎩，消x 得：2440y my n --=，124y y m +=，124y y n =-，结合向量的数量积，转化求解直线AB 的方程，推出结果．（2）在x 轴上求一定点C ，使F 到直线AC 和BC 的距离相等即CF 平分ACB ∠，即直线AC 与直线BC 关于x 轴对称，根据斜率和为零，从而可得结果；（3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 与x 轴交于N ，由题意可得32AC CF AN NF ==，坐标化，结合点在抛物线上可得点的坐标，从而得到结果.(1)设直线AB 的方程为x my n =+，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，联立24x my n y x=+⎧⎨=⎩，消x 得：2440y my n --=，则124y y m +=，124y y n =-，由5OA OB ⋅= 得：21212()516y y y y +=，所以：1220y y =-或124y y =（舍去），即4205n n -=-⇒=，所以直线AB 的方程为5x my =+，所以直线AB 过定点(5,0)P ．(2)由（1）知，直线AB 过定点(5,0)P 可设直线AB 的方程为5x my =+，此时124y y m +=，1220y y =-，设x 轴上定点C 坐标为(,0)t ，要使F 到直线AC 和BC 的距离相等，则CF 平分ACB ∠，即直线AC 与直线BC 关于x 轴对称，故0AC BC k k +=，即21210y yx t x t+=--，∴()()21120y x t y x t -+-=，∴()()1212250my y t y y +-+=，∴()40450m m t -+-=对任意m 恒成立，∴510t -=，5t =-，故在x 轴上有一定点C (5,0)-，使F 到直线AC 和BC 的距离相等；(3)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 与x 轴交于N ，∵F 为ABC 的内心，∴32AC CF AN NF ==，32=，即2211126250x y x +-+=，又2114y x =，∴21122250x x -+=，同理22222250x x -+=，∴12,x x 是方程222250x x -+=的两个根，∴1222x x +=，∴三角形重心的横坐标为1251733x x +-=.17．已知椭圆C 的两个顶点分别为()2,0A -，()2,0B ，焦点在x (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线()()10y k x k =-≠与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于Q ，求MN PQ的取值范围.【答案】(1)2214x y +=；(2)(4,【解析】【分析】（1）由顶点和离心率直接求,,a b c 即可；（2）先联立直线和椭圆方程，借助弦长公式表示出弦长MN ，再求出垂直平分线和Q 坐标，表示出PQ ，最后分离常数求取值范围即可.(1)由题意知2222,a c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩可得1,2a b ==，故椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)由()22114y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222418440k x k x k +-+-=，设()()1122,,,M x y N x y ，则22121222844,4141k k x x x x k k -+=⋅=++，()121222241k y y k x x k -+=+-=+，线段MN 的中点为2224,4141k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，线段MN 的垂直平分线方程为22214()4141k k y x k k k --=--++，令0y =，得22341kx k =+，所以223,041k Q k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，又(1,0)P ，则22223114141k k PQ k k +=-=++,又12MN x x =-=所以2241141MN k k PQk +==++220,1331k k ≠∴<-<+ ，故MN PQ的取值范围为(4,.【点睛】（1）关键在于建立,,a b c 的关系式求解；（2）关键在于联立直线和椭圆方程，依次求出垂直平分线和弦长MN 、PQ ，转化成关于k 的代数式求范围即可.18．定义平面曲线的法线如下：经过平面曲线C 上一点M ，且与曲线C 在点M 处的切线垂直的直线称为曲线C 在点M 处的法线．设点()()000,0M x y y >为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点．(1)求抛物线C 在点M 处的切线的方程（结果不含0x ）；(2)求抛物线C 在点M 处的法线被抛物线C 截得的弦长||AB 的最小值，并求此时点M 的坐标．【答案】(1)002y py x y =+(2)；()p 【解析】【分析】（1）先化简求导确定切线斜率，再按照在点处的切线方程进行求解；（2）先联立法线和抛物线方程，借助弦长公式表示弦长，最后换元构造函数，求导确定最小值.(1)因为点()()000,0M x y y >在抛物线上方，所以由2:2(0)C y px p =>得y =py y'=，所以在点M 处的切线斜率0y y pk y y ='==，所求切线方程为000()py y x x y -=-，又202y x p=，故切线方程为2000()2y p y y x y p -=-，即002y p y x y =+.(2)点M 处的法线方程为2000()2y y y y x p p-=--，即220022y p p x y y p +=-+.联立抛物线2:2(0)C y px p =>，可得()2232000220y y p y y p y +-+=，可知0∆>，设()()1122,,,A x y B x y ，()2221212002,2p y y y y y p y +=-⋅=-+，所以322212202()y p AB y y y +⋅-=.令200t y =>，则3222()(0)t p AB t t +=>，令3222()()(0)t p f t t t +=>，1312222222223()()()(2)2()2t p t t p t p t p f t t t +⋅-++⋅-'=⨯=，所以()f t 在()20,2p 单调递减，在()22,p +∞单调递增，所以()2min ()2f t f p ==，即min AB =，此时点M的坐标为()p .【点睛】（1）关键在于化简出0y >时的抛物线方程，借助求导确定切线斜率；（2）写出法线方程，联立抛物线求弦长是通用解法，关键在于换元构造函数之后，借助导数求出最小值.19．已知点()11,0F -，()21,0F ，M 为圆22:4O x y +=上的动点，延长1F M 至N ，使得1MN MF =，1F N 的垂直平分线与2F N 交于点P ，记P 的轨迹为Γ.(1)求Γ的方程；(2)过2F 的直线l 与Γ交于,A B 两点，纵坐标不为0的点E 在直线4x =上，线段OE 分别与线段AB ，Γ交于,C D 两点，且2OD OC OE =⋅，证明：AC BC =.【答案】(1)22143x y +=；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线和三角形中位线性质可证得12124PF PF F F +=>，可知P 点轨迹为椭圆，由此可得轨迹方程；（2）由已知可知24D C x x =；当l 斜率不存在时显然不成立；当l 斜率存在时，设l 方程，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理可得AB 中点横坐标；设():0OE y k x k ''=≠，与直线l 和椭圆方程联立可求得34k k'=-，由此可整理得到C x ，与AB 中点横坐标相同，由此可得结论.(1)连接1,MO PF，PM 是1NF 的垂直平分线，1PF PN ∴=，1222PF PF PN PF NF ∴+=+=；,M O 分别为112,NF F F 中点，224NF MO ∴==，12124PF PF F F ∴+=>，P ∴点轨迹是以12,F F 为焦点，长轴长为4的椭圆，即2a =，1c =，23b ∴=，P ∴点轨迹Γ的方程为：22143x y +=；(2)2OD OC OE =⋅ ，即OD OE OC OD =，D EC Dx x x x ∴=，由题意知：0C x >，4E x =，24D C x x ∴=，①当直线l 斜率不存在时，即:1l x =，此时1C x =，2D x <，此时24D C x x =不成立；②当直线l 斜率存在时，设():1l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得：()22223484120k x k x k +-+-=，2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩，AB ∴中点的横坐标为21224234x x k k +=+；设直线OE 的方程为：()0y k x k ''=≠，由()1y k x y k x ='=⎧⎨-⎩得：kx k k ='-，即C k x k k ='-；由22143y k xx y =⎧='⎪⎨+⎪⎩得：221234x k ='+，即221234D x k ='+；由24D C x x =得：212434k k k k =''+-，整理可得：34k k '=-，2122434324C x x kk x k k k+∴===++，C ∴为线段AB 的中点，AC BC ∴=.【点睛】关键点点睛：本题考查定义法求解轨迹方程、直线与椭圆综合应用问题；本题证明C 为AB 中点的关键是能够通过已知等式得到,C D 两点横坐标之间满足的等量关系，进而表示出AB 中点横坐标和C 点横坐标，证明二者相等即可.20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F，离心率2e =，P为椭圆上一动点，12PF F △面积的最大值为2.(1)求椭圆E 的方程；(2)若C ，D 分别是椭圆E 长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连结CM 交椭圆于点N ，O 为坐标原点.证明：OM ON ⋅为定值；(3)平面内到两定点距离之比是常数()1λλ≠的点的轨迹是圆.椭圆E 的短轴上端点为A ，点Q 在圆228x y +=上，求22QA QP PF +-的最小值.【答案】(1)22142x y +=；(2)见解析；4.【解析】【分析】（1）结合离心率和12PF F △面积的最大值列出关于,,a b c 的方程，解方程即可；（2）设直线CM 方程，写出点M 坐标，联立椭圆方程，求点N 坐标，通过向量数量积计算即可；（3）设点R 坐标，借助点Q 在圆228x y +=上，将2QA 转化成RA ，再借助椭圆定义将2PF 转化成14PF -，最后通过1,,R P F 三点共线求出最小值.(1)当P 为短轴端点时，12PF F △的面积最大，2bc =，222222,c a bc a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,a b c ===，故椭圆E 的方程为22142x y +=.(2)由（1）知，()2,0,(2,0)C D -,设直线():2CM y k x =+，11(,)N x y ，,(2,4)MD CD M k ⊥∴ ，联立221,42(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得()22222218840k x k x k +++-=，由21284221k x k --=+得2122421k x k -=+，1124(2)21ky k x k =+=+，222244(,)2121k k N k k -∴++,2222442442121k kOM ON k k k -⋅=⨯⨯++ ，故OM ON ⋅为定值4.(3)由题意(A ，设()(0,),,R m Q x y ，使2QA QR =，()()22222,4QR x y m QAx y +-==+，整理得222282833m m x y y --++=，又点Q 在圆228x y +=上，20,883m =∴⎨-⎪=⎪⎩解得m =，(0,R 由椭圆定义得124PF PF =-，2112(4)4QA QP PF QR QP PF QR QP PF +-=+--∴=++-，当1,,R P F三点共线时，(10,,(R F 22QA QP PF +-∴4.【点睛】（1）关键在于建立,,a b c 的方程；（2）关键在于设出直线方程，联立得出点N 坐标；（3）关键在于利用题目中给出的圆的定义将2QA 转化成RA ，再结合椭圆定义，将问题简化成共线问题.21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知O 为坐标原点，P 为椭圆C 上的一个动点，过点E0）作OP 的平行线交椭圆C 于M ，N 两点，问：是否存在实数t （t ＞0），使得||,||,||EM t OP EN 构成等比数列？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22143x y +=(2)存在，12t =【解析】【分析】（1）由题意可得2a =，再将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程中可求出2b ，从而可求得椭圆的方程，（2）①当OP 的斜率存在时，设直线OP 的方程为y kx =，将直线方程代入椭圆方程中可求出22,x y ，则可得2OP ，设直线MN的方程为()()1122(,,,y k x M x y N x y =，将直线方程代入椭圆方程消去y ，利用根与系数的关系，再利用两点间的距离公式表示出||,||EM EN ，再计算||||EM EN 与2OP 比较可求出t 的值，②当OP 的斜率不存在时，可得||OP =MN的方程为x ||||EM EN 的值，进而可求出t (1)由题意可得24a =，所以2a =．因为点（1，32）在椭圆C 上，所以221914a b +=，解得23b =．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．(2)①当OP 的斜率存在时，设直线OP 的方程为y kx =．联立方程，得22143y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得221234x k =+，2221234k y k =+．解得()2222221211212||343434k k OP k k k+=+=+++，设直线MN的方程为()()1122(,,,y k x M x y N x y =-．联立方程，得(22143y k x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩化简，得()22223412120k x x k +=+-=．因为点E0）在椭圆内部，所0∆>，221213221212,3434k x x x x k k-+=⋅=++，所以1||EM x =-．同理可得2||EN x =所以()(())22121212||||113EM EN kx xk x x x x ⋅=+=+⋅++()()22222223112122413343434k k kk k k k +-=+⋅-+=+++，假设存在实数(0)t t >），使得||,||,||EM t OP EN 构成等比数列，则22||||||EM EN t OP ⋅=．所以()()22222311213434k k tk k ++=⋅++．解得214t=．四为1t >，所以12t =，②当OP 的斜率不存在时，||OP =MN 的方程为x =x =22143x y +=，得234y =．所以||||2EM EN ==，当||,||,||EM t OP EN 构成等比数列时，22||||||EM EN t OP ⋅=，即2334t =．因为0t >，所以12t =．综上所述，存在实数12t =，使得||,||,||EM t OP EN 构成等比数列．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x y αααα⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线l 的极坐标方程为()cos sin 3m m ρθθ++=l 与曲线C 交于A ，B 两点.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若AB =CD .【答案】(1)2212x y +=，30mx y m ++=；(2)4.【解析】【分析】（1）消参法求曲线C 的普通方程，公式法求直线l 的直角坐标方程.（2）由（1）所得普通方程，结合圆中弦长、半径、弦心距的几何关系求圆心到直线l 的距离，再利用点线距离公式列方程求参数m ，即可得直线的倾斜角大小，由AB 、CD 的关系求CD 即可.(1)由题意，消去参数α，得曲线C 的普通方程为2212x y +=.将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入()cos sin 3m m ρθθ++得直线l的直角坐标方程为30mx y m ++=.(2)设圆心到直线l：30mx y m ++=的距离为d，则AB =3d =.3=，解得3m =-.所以直线l的方程为60x +=，则直线l 的倾斜角为30θ=︒.所以4cos30AB CD ==︒.23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线340x y ++=与圆1C ：222x y r +=相切，另外，椭圆2C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为32，过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于C ，D 两点．且1CD =．(1)求圆1C 的方程与椭圆2C 的方程；(2)经过圆1C 上一点P 作椭圆2C 的两条切线，切点分别记为A ，B ，直线PA ，PB 分别与圆1C 相交于M ，N 两点（异于点P ），求△OAB 的面积的取值范围．【答案】(1)225x y +=，2214x y +=；(2)4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）由直线与圆的相切关系及点线距离公式求参数r ，即可得圆1C 的方程，根据椭圆离心率、22b CD a=及椭圆参数关系求出a 、b 、c ，即可得椭圆2C 的方程.（2）设()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，讨论直线PA ，PB 斜率存在性，则直线PA 为()111y k x x y =-+、直线PB 为()222y k x x y =-+，联立椭圆方程并结合所得一元二次方程0∆=求1k 、2k ，进而得直线PA 为1114x x y y +=、直线PB 为2214x xy y +=，结合P 在直线PA ，PB 上有AB 为0014x xy y +=，联立椭圆方程，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式，结合三角形面积公式得0OAB S = .(1)由题设，圆1C ：222x y r +=的圆心为()0,0，因为直线340x y ++=与圆1C相切，则r ==所以圆1C 的方程为225x y +=，因为椭圆2Cc e a ==c =，由221b CD a==，则22a b =，又222a b c =+，所以22324a a a =+，解得2a =，1b =，所以椭圆2C 的方程为2214x y +=．综上，圆1C 为225x y +=，椭圆2C 为2214x y +=.(2)设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ．当直线PA ，PB 斜率存在时，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则直线PA 为()111y k x x y =-+，直线PB 为()222y k x x y =-+．由()11122440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，消去y 得：()()()22211111111148440k x k y k x x y k x ++-+--=．所以()()()2222111111116441444k y k x k y k x ⎡⎤∆=--+--⎣⎦．令0∆=，整理得()2221111114210x k x y k y -++-=，则11111122111444x y x y x k x y y --=-==-，所以直线PA 为()11114x y x x y y -=-+，化简得：22111144x x y y y x +=+，即1114x x y y +=．经验证，当直线PA 斜率不存在时，直线PA 为2x =或2x =-也满足1114x xy y +=．同理，可得直线PB 为2214x xy y +=．因为()00,P x y 在直线PA ，PB 上，所以101014x x y y +=，202014x xy y +=．综上，直线AB 为0014x xy y +=．由00221444x xy y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，消去y 得：()22200035816160y x x x y +-+-=．所以01220835x x x y +=+，21220161635y x x y -=+．所以12AB x =-=)20203135y y +==+．又O 到直线AB的距离d ==所以)20200311235OABy S y +=⋅+ t =，[]1,4t ∈，则24444OAB t S t t t∆==++，又[]44,5t t+∈，所以△OAB 的面积的取值范围为4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】关键点点睛：第二问，设点及直线PA ，PB 的方程，联立椭圆结合相切关系求参数关系，进而确定PA ，PB 的方程，由P 在直线PA ，PB 上求直线AB 的方程，再联立椭圆并应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式求三角形面积的范围.24．已知点A ，B 是抛物线x 2=2py (p 为常数且p >0)上不同于坐标原点O 的两个点，且0OA OB ⋅= .(1)求证：直线AB 过定点；(2)过点A 、B 分别作抛物线的切线，两切线相交于点M ，记 OMA 、 OAB 、 OMB 的面积分别为S 1、S 2、S 3;是否存在定值λ使得22s =λS 1S 3?若存在，求出λ值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，4λ=【解析】【分析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线AB 方程为y kx t =+，代入抛物线方程中，消去y ，。
平面几何100题(1)
平面几何100题1.非等腰锐角三角形ABC 的外接圆为ω，H 为△ABC 的垂心，M 是AB 的中点。
在不含C 的圆弧AB 上取点P、Q，使得∠ACP=∠BCQ＜∠ACQ，过H 分别作CQ、CP 的垂线，垂足为R、S。
证明：P，Q，R，S 共圆且点M 是该圆的圆心。
2.在△ABC 中，点M、N、K 分别在边BC、CA、AB 上且不与顶点重合，若∠BAC=∠KMN 且∠ABC=∠KNM，则称△MNK 为完美三角形。
证明：如果在△ABC 中有两个具有共同顶点且不重合的完美三角形，则△ABC 是直角三角形。
3.四边形ABCD 满足AD//BC，∠ABC>90⁰，M 是线段AB 上不同于A、B 的一点，设△MAD、△MBC 的外心分别为21,O O 。
△D MO 1的外接圆不同于M 的交点为N。
求证：点N 在直线21O O 上。
4.在凸四边形（非平行四边形）ABCD 的对角线上分别取点B′、C′，使得△ACB′、△BDC′都为正三角形，其中点B 和B′位于AC 的同侧，点C 和C′位于BD 的同侧，如果CD AB C B +=''，求∠BAD+∠CDA 的值。
5.给定一个凸六边形ABCDEF，其中AB//DE，BC//EF，CD//FA。
设BD 和AE、AC 和DF、CE 和BF 的交点分别为M、N、K。
证明：过M、N、K 分别作AB、CD、EF 的垂线交于同一点。
6.圆内接四边形ABCD 的对角线交于点K，点M 和N 分别是对角线AC 和BD 的中点，△ADM 和△BCM 的外接圆交于点M、L，证明：K，L，M，N（这些点两两不重合）四点共圆。
7.圆内接四边形ABCD 的外接圆为圆Ω且AB=AD，在线段BC、CD 上分别取点M、N，使得MN=BM+DN。
直线AM 交圆Ω于点P （不同于A），直线AN 交圆Ω于点Q （不同于A）。
求证：△APQ 的垂心在MN 上。
8.给定四边形ABCD，其中∠B=∠D=90⁰，在线段AB 上取点M 使得AD=AM。
高中奥林匹克竞赛数学平面几何100题——珍藏版
高中数学联赛难度几何题100道第一题：学习证明角平分 (4)第二题：学习证明四点共圆 (5)第三题：学习证明角的倍数关系 (6)第四题：证明线与圆相切 (7)第五题：证明垂直 (8)第六题：证明线段相等 (9)第七题：证明线段为比例中项 (10)第八题：证明垂直 (11)第九题：证明线段相等 (12)第十题：证明角平分 (13)第十一题：证明垂直 (14)第十二题：证明线段相等 (15)第十三题：证明角相等 (16)第十四题：证明中点 (17)第十五题：证明线段的二次等式 (18)第十六题：证明角平分 (19)第十七题：证明中点 (20)第十八题：证明角相等 (21)第十九题：证明中点 (22)第二十题：证明线段相等 (23)第二十一题：证明垂直 (24)第二十二题：证明角相等 (25)第二十三题：证明四点共圆 (26)第二十四题：证明两圆相切 (27)第二十五题：证明线段相等 (28)第二十六题：证明四条线段相等 (29)第二十七题：证明线段比例等式 (30)第二十八题：证明角的倍数关系 (31)第二十九题：证明三线共点 (32)第三十题：证明平行 (33)第三十一题：证明线段相等 (34)第三十二题：证明四点共圆 (35)第三十三题：证明三角形相似 (36)第三十四题：证明角相等 (37)第三十五题：证明内心 (38)第三十六题：证明角平分 (39)第三十七题：证明垂直 (40)第三十八题：证明面积等式 (41)第三十九题：证明角平分 (42)第四十题：证明角相等 (43)第四十二题：证明中点 (45)第四十三题：证明角相等 (46)第四十四题：证明垂直 (47)第四十五题：证明角相等 (48)第四十六题：证明垂直 (49)第四十七题：证明四点共圆 (50)第四十八题：证明四点共圆 (51)第四十九题：证明四点共圆 (52)第五十题：证明角平分 (53)第五十一题：证明线段相等 (54)第五十二题：证明两圆外切 (55)第五十三题：证明垂直 (56)第五十四题：证明垂直 (57)第五十五题：证明垂直 (58)第五十六题：证明垂直 (59)第五十七题：证中点 (60)第五十八题：证明角相等 (61)第五十九题：证明角相等 (62)第六十题：证明四点共圆 (63)第六十一题：证明四点共圆 (64)第六十二题：证明四点共圆 (65)第六十三题：证明角相等 (66)第六十四题：证明角的倍数关系 (67)第六十五题：证明中点 (68)第六十六题：伪旁切圆 (69)第六十七题：证明垂直 (70)第六十八题：证明平行 (71)第六十九题：证明圆心在某线上 (72)第七十题：证明三线共点 (73)第七十一题：证明垂直 (74)第七十二题：证明垂直 (75)第七十三题：证明中点 (76)第七十四题：证明垂直 (77)第七十五题：证明垂直 (78)第七十六题：证明三线共点 (79)第七十七题：证明平行 (80)第七十八题：证明平行 (81)第七十九题：证明三线共点、证明垂直 (82)第八十题：证明三点共线（牛顿定理） (83)第八十一题：证明角平分 (84)第八十二题：证明角相等 (85)第八十三题：证明三点共线 (86)第八十四题：证明四圆共点 (87)第八十六题：证明线段相等 (89)第八十七题：证明角相等 (90)第八十八题：证明线段相等 (91)第八十九题：证明线段相等 (92)第九十题：证明线段相等 (93)第九十一题：证明中点 (94)第九十二题：证明四点共圆 (95)第九十三题：证明西姆松定理及逆定理 (96)第九十四题：证明线段的和差关系等式 (97)第九十五题：证明角相等 (98)第九十六题：证明托勒密定理及逆定理 (99)第九十七题：证明线段的和差关系等式 (100)第九十八题：证明角相等 (101)第九十九题：证明四点共圆 (102)第一百题：证明两三角形共内心 (103)第一题：证明角平分已知PE 、PF 是⊙O 的切线，A 、B 是一组对径点，PB 交⊙O 于另一点C ，直线AF 、BE 交于D 点。
杏坛孔门新平面几何一百题
杏坛孔门新平面几何一百题平面几何是几何学的一个分支，研究平面上的点、线、角、面积等概念以及它们之间的关系。
下面我将为你列举一些关于平面几何的题目，一共有一百道，希望能够满足你的需求。
1. 证明平行线的性质及其判定方法。
2. 证明垂直线的性质及其判定方法。
3. 证明等腰三角形的性质及其判定方法。
4. 证明等边三角形的性质及其判定方法。
5. 证明直角三角形的性质及其判定方法。
6. 证明相似三角形的性质及其判定方法。
7. 证明正方形的性质及其判定方法。
8. 证明矩形的性质及其判定方法。
9. 证明菱形的性质及其判定方法。
10. 证明平行四边形的性质及其判定方法。
11. 证明梯形的性质及其判定方法。
12. 证明圆的性质及其判定方法。
13. 证明圆内接四边形的性质及其判定方法。
14. 证明圆内切四边形的性质及其判定方法。
15. 证明圆外接四边形的性质及其判定方法。
16. 证明圆外切四边形的性质及其判定方法。
17. 证明圆锥的性质及其判定方法。
18. 证明圆台的性质及其判定方法。
19. 证明圆球的性质及其判定方法。
20. 证明圆柱的性质及其判定方法。
21. 证明圆锥的体积公式。
22. 证明圆台的体积公式。
23. 证明圆柱的体积公式。
24. 证明圆球的体积公式。
25. 证明圆锥的表面积公式。
26. 证明圆台的表面积公式。
27. 证明圆柱的表面积公式。
28. 证明圆球的表面积公式。
29. 证明正多边形的内角和公式。
30. 证明正多边形的外角和公式。
31. 证明正多边形的边长与半径的关系。
32. 证明正多边形的面积公式。
33. 证明正多边形的周长公式。
34. 证明正多边形的内切圆半径公式。
35. 证明正多边形的外接圆半径公式。
36. 证明正多边形的内接圆面积公式。
37. 证明正多边形的外接圆面积公式。
38. 证明正多边形的对角线数目公式。
39. 证明正多边形的射影长公式。
40. 证明正多边形的对称轴数目公式。
41. 证明正多边形的中心对称轴数目公式。
平面几何100题 70页
61.设ω是△ABC的外接圆，ΓA是与线段AB、AC相切且与ω内切的圆，ΓB是与线段BA、BC相切且与ω内切的圆，ΓC是与线段CA、CB相切且与ω内切的圆．设过B、C且与ΓA 相切的圆（不同于ω）切ΓA于X，过C、A且与ΓB相切的圆（不同于ω）切ΓB于Y，过A、B且与ΓC相切的圆（不同于ω）切ΓC于Z．证明：AX、BY、CZ三线共点．62.设⊙I是△ABC的内切圆，⊙u、⊙v、⊙w分别是过点B和点C且与⊙I相切的圆、过点A和点C且与⊙I相切的圆、过点B和点A且与⊙I相切的圆．设P、Q、R、S、T、U分别是⊙w与BC、⊙v与BC、⊙v与AB、⊙u与AB、⊙u与CA、⊙w与AC的交点（均不同于A、B、C）．I1、I2分别是△ARQ、△BST的内心，类似定义I3、I4、I5、I6．I A是△AST∠SAT内的旁心，类似定义I B、I C．求证∶△I A I2I3、△I B I6I1、△I C I4I5的欧拉线共点．63.以凸四边形ABCD为边长向外作正方形AE1E2B、BF1F2C、CG1G2D、DH1H2A．连接AF1、BG1、CH1、DE1交出四边形A'B'C'D'，连接DF2、AG2、BH2、CE2交出四边形A''B''C''D''．证明∶A'A''、B'B''、C'C''、D'D''交出的四边形是正方形．64.圆内接四边形ABCD中，直线AC、BD交于E，直线AB、CD交于F，直线BC、DA交于G．设△ABE的外接圆与直线CB交于B、P两点，△ADE的外接圆与直线CD交于D、Q两点．设直线FP、GQ交于点M，证明∶AM⊥AC．65.设⊙X、⊙Y、⊙Z分别为△ABC∠BAC、∠ABC、∠BCA内的旁切圆，D、E、F、G、H、I分别是⊙Z与AC、⊙Z与BC、⊙X与AB、⊙X与AC、⊙Y与BC、⊙Y与AB的切点．FD、GI交于J，IE、HF交于K，EG、DH交于L，设M、N、O、P、Q、R分别是KL、LJ、JK、BC、CA、AB的中点．证明∶直线MP、NQ、OR三线共点．66.已知凸六边形ABCDEF既有外接圆又有内切圆，记△ABC、△BCD、△CDE、△DEF、△EFA、△FAB的内切圆分别为ωb、ωc、ωd、ωe、ωf、ωa.l AB表示ωb、ωa的另一条外公切线（不为AB），类似定义l BC、l CD、l DE、l EF、l FA.设l FA与l AB的交点为A1，类似定义B1、C1、D1、E1、F1．若六边形A1B1C1D1E1F1为凸六边形，证明：该六边形的对角线共点．67.已知圆弧Γ1、Γ2、Γ3均过点A、C，且在直线AC同侧，Γ2在Γ1与Γ3之间，B是线段AC上一点，由B引三条射线h1、h2、h3，与Γ1、Γ2、Γ3在直线AC的同侧，且h2在h1与 h3之间．设h i与Γj（i,j=1,2,3）的交点为V ij.由线段V ij V il、V kj V kl及弧V ij V kj、弧V il V kl构成的曲边四边形记为V ij V kj V kl V il,若存在一个圆与其两条线段和两条弧均相切，则称这个圆为这个曲边四边形的内切圆．证明：若曲边四边形VV21V22V12、V12V22V23V13、V21V31V32V2211均有内切圆，则曲边四边形VV32V33V23也有内切圆．2268.设△ABC的内心为I，⊙I分别切边BC，CA，AB于点D、E、F，设AI与DE、DF交于点M、N，以MN为直径的圆交BC于P、Q．已知△APQ的外接圆与⊙I切于R，△ABC 的外接圆与九点圆切于Fe,设RFe与DE、DF分别交于点M'、N'．以M'N'为直径的圆交BC 于点P'、Q'．证明：△AP'Q'的外接圆与⊙I的根轴平分线段BC．69.设I是△ABC的内心，∠BAC、∠ABC、∠BCA的内角平分线分别交对边于点D、E、F．记H是△DEF垂心．证明：IH与△ABC的欧拉线平行．70.设⊙O、⊙P、⊙Q分别是△ABC∠BAC、∠CBA、∠ACB内的旁切圆，G、H、I、J、K、L分别是⊙P与AB、⊙Q与AC、⊙Q与BC、⊙O与AB、⊙O与AC、⊙P与BC的切点．证明∶△JKD、△LGE、△HIF、△ABC的欧拉线共点．71.△ABC中，O为外心，K为△ABC九点圆圆心关于△ABC的等角共轭点.K在BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F，H是△DEF垂心.证明：O、K、H共线.72.已知H、I分别为△ABC垂心、内心，D、E、F分别在射线AH、BH、CH上，且AD=BE=CF=2r, 这里r是△ABC的内切圆半径.证明：I也为△DEF内心.73.已知B、I1、I2、C是⊙M上顺次四点，BI1与CI2交于A，△I1I2M的外接圆与AB、AC再次交于M1、M2，点O'满足M1O'∥CI1，M2O'∥BI2．X、Y为△ABC的一组等角共轭点，D、E分别在AB、AC上使得XD∥CI1、XE∥BI2，N为△BMC外接圆弧BC（不含M）的中点，XN与△BMC外接圆的另一个交点为F．证明：X、Y、O'共线当且仅当△DEF外接圆与△I1I2M的外接圆相切．74.设△ABC∠BAC内的旁切圆切AB、AC于G、F，∠ABC内的旁切圆⊙P切AB、AC于E、N，∠ACB内的旁切圆⊙Q切AB、AC于M、D．直线DE、MN分别交⊙Q于H、J，交⊙P 于I、K．HC、BI交于X，JF、KG交于Y，证明∶∠BAX＝∠CAY．75.△ABC的内切圆⊙I切BC于D，连接AD交⊙I于J，K在JD上且DK=AJ，若BJ⊥CJ，证明：I、K关于△JBC等角共轭.76.O为△ABC外心，BC、CA上的旁切圆切点分别是X、Y，AX、BY交于点N.圆Γ1切BA、 CA延长线于E、D使得AD=AE=BC，类似地定义Γ2、Γ3.⊙U为与Γ1、Γ2、Γ3均外切的圆，证明:N、O、U共线.77.△ABC内切圆⊙I切BC于D，∠ACB内的旁切圆⊙P分别切BC、AB、CA于E、F、G，∠ABC内的旁切圆⊙Q分别切BC、CA、AB于H、J、K，CF与⊙P交于F、M两点，BJ与⊙Q交于J、N两点.证明:MJ、NF、AD共点.78.P为圆外切四边形ABCD内任意一点，AP、DP分别交BC于N、M.证明:△APD、△MPN、△ABN、△CDM四个三角形的内心共圆.79.设⊙I是△ABC的内切圆，△BCD外接圆⊙O1、△CAE外接圆⊙O2、△ABF外接圆⊙O3分别与⊙I内切于点D、E、F．GH与ST、JK与NP、LM与QR分别是⊙O2与⊙O3、⊙O1与⊙O2、⊙O3与⊙O1的外公切线（L、N、R、K在⊙O1上，P、H、J、S在⊙O2上，G、Q、T、M在⊙O3上，GH、TS与A分别在BC的同侧、异侧，LM、RQ与B分别在AC的同侧、异侧，JK、YM与C分别在AB的同侧、异侧）．设△GHF、△JKE、△LMD外接圆分别为ω1、ω2、ω3，X、Y、Z分别是ω2与ω3、ω1与ω3、ω1与ω2的交点且X、A在BC异侧，Y、 C 在BA异侧，Z、B在AC异侧．证明∶S△KSX•S△MNY•S△HQZ＝S△LTX•S△GPY•S．△RJZ80.圆外切四边形ABCD中两点P、Q满足∠DPA+∠BPC=∠DQA+∠BQC,I1、I2、I3、I4、I11、I22、I33、I44分别是△PAB、△PBC、△PCD、△PDA、△QAB、△QBC、△QCD、△QDA 的内心.证明:I1、I2、I3、I4共圆当且仅当I11、I22、I33、I44共圆.81.△ABC的内切圆分别切AC、AB于E、F.P、Q分别为边AC、AB上的旁切圆切点.点M 为BC中点，PQ、EF交于R.设△ABC九点圆与内切圆切于K，证明:M、R、K共线.82.凸四边形ABCD中，△ABC、△BCD、△CDA、△DAB的内心分别为I D、I A、I B、I C，∠BAC与∠BDC的角平分线交于点E，∠ABD与∠ACD的角平分线交于点F，线段I D I A、I B I C、EF的中点分别为X、Y、Z.证明:X、Y、Z三点共线.83.设ω1、ω2分别是过A、C且与△ABC内切圆内切于J的圆与过B、A且与△ABC内切圆内切于K的圆.设Q、R分别是ω1、ω2与BC的交点，ω1与AB交于P，ω2与AC交于S,X 是△CSR∠C内的旁心，Y是△BPQ∠B内的旁心，M是△BSR的内心，N是△CPQ的内心. 证明:四边形XYMN是矩形.84.设圆Γ过B，C且与△ABC的内切圆⊙I内切于点J，延长AJ交BC于K，交Γ于L.证明:（KB/KC）2=(LB/LC)3.85.⊙I、⊙J、⊙K与⊙O外切于X、Y、Z，EH、FL、MG分别是⊙I与⊙K、⊙I与⊙J、⊙J 与⊙K的外公切线且均与⊙O相交，并且E、F、G、H、L、M均为切点.HG与ML、EF与HG、EF与ML分别交于点U、V、W.证明:YW·XV·ZU=WX·VZ·UY.86.设I、O分别是△ABC的内心、外心，U、V分别为⊙O与⊙I的外位似中心与内位似中心，设E、F、Y、Z分别是BI与AC、CI与AB、BO与AC、CO与AB的交点.证明：U、E、F共线的充要条件是V、Y、Z共线.87.设P、Q是△ABC的一对等角共轭点且△ABC的重心G与P、Q共线.D、E、F分别是AP 与BC、BP与AC、CP与AB的交点，AQ、BQ、CQ分别与△ABC外接圆再次交于点X、Y、Z，证明：△ADX、△BEY、△CFZ外接圆有公共的根轴.88.给定△ABC，证明：在△ABC所在平面内存在唯一的一点P，使得△ABC、△PAB、△PBC、△PCA的欧拉线互相平行.89.设N为△ABC的九点圆圆心，N在BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F，R为N 关于△DEF的等角共轭点，X是△AEF的九点圆圆心.证明：RX垂直于BC.90.设O、I a、I b、I c分别是△ABC的外心、∠BAC内的旁心、∠ABC内的旁心、∠BCA内的旁心.设与⊙Ib、⊙I c外切且与⊙O内切的圆与⊙O切于X，类似定义Y、Z.证明：AX、BY、CZ三线共点.91.O为△ABC外心，P、Q为△ABC的一对等角共轭点.设D、E、F分别为AP与BC、BP与CA、CP与AB的交点.设一条与OQ垂直的直线分别与BC、CA、AB交于点X、Y、Z.证明：△ADX外接圆、△BEY外接圆、△CFZ外接圆有一条公共的根轴.92.设I、O分别为△ABC的内心、外心，D、E、F分别为AI与BC、BI与AC、CI与 AB的交点.设ω为与AB、AC相切且与⊙O内切的圆，过E，F作ωaa的切线(不同于直线AB、AC)交于D1，X为ωa与⊙O切点，类似定义E1、F1、Y、Z.证明：XD1、YE1、ZF1、OI四线共点.93.设P为△ABC内一点，D、E、F分别是AP与BC、BP与AC、CP与AB的交点.设△DEF外接圆与直线BC另一个交点为X，O为△ABC外心，T为△DEF垂心，X'为X 关于直线EF的对称点.证明：AX'、BC、OT三线共点.。
平面几何100题2.0
61.设ω是△ABC 的外接圆，ΓA 是与线段 AB、AC 相切且与ω内切的圆，ΓB 是与线段BA、BC相切且与ω内切的圆，ΓC是与线段C A、CB相切且与ω内切的圆．设过B、C且与ΓA相切的圆（不同于ω）切ΓA于X，过C、A且与ΓB相切的圆（不同于ω）切ΓB于Y，过A、B且与ΓC相切的圆（不同于ω）切ΓC于Z．证明：A X、B Y、C Z三线共点．62.设⊙I 是△ABC 的内切圆，⊙u、⊙v、⊙w 分别是过点B 和点C 且与⊙I 相切的圆、过点A 和点C 且与⊙I 相切的圆、过点B 和点A 且与⊙I 相切的圆．设P、Q、R、S、T、U 分别是⊙w 与BC、⊙v 与BC、⊙v 与AB、⊙u 与AB、⊙u 与CA、⊙w 与AC 的交点（均不同于A、B、C）．I1、I2分别是△A R Q、△B S T的内心，类似定义I3、I4、I5、I6．I A是△AS T∠SAT 内的旁心，类似定义I B、I C．求证∶△I A I2I3、△I B I6I1、△I C I4I5的欧拉线共点．63.以凸四边形ABCD 为边长向外作正方形AE1E2B、BF1F2C、CG1G2D、DH1H2A．连接AF1、BG1、CH1、DE1交出四边形A'B'C'D'，连接DF2、AG2、BH2、CE2交出四边形A''B''C''D''．证明∶A'A''、B'B''、C'C''、D'D''交出的四边形是正方形．64.圆内接四边形ABCD 中，直线AC、BD 交于E，直线AB、CD 交于F，直线BC、DA 交于G．设△ABE 的外接圆与直线CB 交于B、P 两点，△ADE 的外接圆与直线CD 交于D、Q 两点．设直线FP、GQ 交于点M，证明∶AM⊥AC．65.设⊙X、⊙Y、⊙Z 分别为△ABC∠BAC、∠ABC、∠BCA 内的旁切圆，D、E、F、G、H、I 分别是⊙Z 与AC、⊙Z 与BC、⊙X 与AB、⊙X 与AC、⊙Y 与BC、⊙Y 与AB 的切点．FD、GI 交于J，IE、HF 交于K，EG、DH 交于L，设M、N、O、P、Q、R 分别是KL、LJ、JK、BC、CA、AB 的中点．证明∶直线MP、NQ、OR 三线共点．66.已知凸六边形ABCDEF 既有外接圆又有内切圆，记△ABC、△BCD、△CDE、△DEF、△EFA、△FAB 的内切圆分别为ωb、ωc、ωd、ωe、ωf、ωa.l AB表示ωb、ωa的另一条外公切线（不为A B），类似定义l B C、l C D、l D E、l E F、l F A.设l F A与l A B的交点为A1，类似定义B1、C1、D1、E1、F1．若六边形A1B1C1D1E1F1为凸六边形，证明：该六边形的对角线共点．67.已知圆弧Γ1、Γ2、Γ3均过点A、C，且在直线A C同侧，Γ2在Γ1与Γ3之间，B是线段A C上一点，由B引三条射线h1、h2、h3，与Γ1、Γ2、Γ3在直线A C的同侧，且h2在h1与h3之间．设h i与Γj（i,j=1,2,3）的交点为V ij.由线段V ij V il、V k j V k l及弧V ij V k j、弧V il V k l构成的曲边四边形记为V ij V k j V k l V il,若存在一个圆与其两条线段和两条弧均相切，则称这个圆为这个曲边四边形的内切圆．证明：若曲边四边形V11V21V22V12、V12V22V23V13、V21V31V32V22 均有内切圆，则曲边四边形V22V32V33V23也有内切圆．68.设△ABC 的内心为I，⊙I 分别切边BC，CA，AB 于点D、E、F，设AI 与DE、DF 交于点M、N，以MN 为直径的圆交BC 于P、Q．已知△APQ 的外接圆与⊙I 切于R，△ABC 的外接圆与九点圆切于Fe,设RFe 与DE、DF 分别交于点M'、N'．以M'N'为直径的圆交BC 于点P'、Q'．证明：△AP'Q'的外接圆与⊙I 的根轴平分线段BC．69.设I是△A B C的内心，∠B AC、∠A B C、∠B CA的内角平分线分别交对边于点D、E、F．记H 是△DEF 垂心．证明：IH 与△ABC 的欧拉线平行．70.设⊙O、⊙P、⊙Q 分别是△ABC∠BAC、∠CBA、∠ACB 内的旁切圆，G、H、I、J、K、L 分别是⊙P 与AB、⊙Q 与AC、⊙Q 与BC、⊙O 与AB、⊙O 与AC、⊙P 与BC 的切点．证明∶△JKD、△LGE、△HIF、△ABC 的欧拉线共点．71.△ABC 中，O 为外心，K 为△ABC 九点圆圆心关于△ABC 的等角共轭点.K 在BC、CA、AB 上的射影分别为D、E、F，H 是△DEF 垂心.证明：O、K、H 共线.72.已知H、I分别为△A B C垂心、内心，D、E、F分别在射线A H、B H、C H上，且AD=B E=CF=2r,这里r 是△ABC 的内切圆半径.证明：I 也为△DEF 内心.73.已知B、I1、I2、C 是⊙M 上顺次四点，BI1与CI2交于A，△I1I2M 的外接圆与AB、AC 再次交于M1、M2，点O'满足M1O'∥CI1，M2O'∥BI2．X、Y 为△ABC 的一组等角共轭点，D、E 分别在AB、AC 上使得XD∥CI1、XE∥BI2，N 为△BMC 外接圆弧BC（不含M）的中点，XN 与△BMC 外接圆的另一个交点为F．证明：X、Y、O'共线当且仅当△DEF 外接圆与△I1I2M 的外接圆相切．74.设△ABC∠BAC 内的旁切圆切AB、AC 于G、F，∠ABC 内的旁切圆⊙P 切AB、AC 于E、N，∠ACB 内的旁切圆⊙Q 切AB、AC 于M、D．直线DE、MN 分别交⊙Q 于H、J，交⊙P 于I、K．HC、BI 交于X，JF、KG 交于Y，证明∶∠BAX＝∠CAY．75.△ABC 的内切圆⊙I 切BC 于D，连接AD 交⊙I 于J，K 在JD 上且DK=AJ，若BJ⊥CJ，证明：I、K 关于△JBC 等角共轭.76.O 为△ABC 外心，BC、CA 上的旁切圆切点分别是X、Y，AX、BY 交于点N.圆Γ1 切BA、CA延长线于E、D使得AD=A E=B C，类似地定义Γ2、Γ3.⊙U为与Γ1、Γ2、Γ3均外切的圆，证明:N、O、U 共线.77.△ABC 内切圆⊙I切 BC 于 D，∠ACB内的旁切圆⊙P 分别切 BC、AB、CA 于 E、F、G，∠ABC内的旁切圆⊙Q 分别切 BC、CA、AB 于H、J、K，CF 与⊙P 交于 F、M 两点，BJ 与⊙Q 交于 J、N 两点.证明:MJ、NF、AD 共点.78.P为圆外切四边形A B CD内任意一点，A P、D P分别交B C于N、M.证明:△A P D、△M P N、△ABN、△CDM 四个三角形的内心共圆.79.设⊙I是△A B C的内切圆，△B CD外接圆⊙O1、△CA E外接圆⊙O2、△A B F外接圆⊙O3分别与⊙I内切于点D、E、F．G H与S T、J K与N P、L M与Q R分别是⊙O2与⊙O3、⊙O1与⊙O2、⊙O3与⊙O1的外公切线（L、N、R、K在⊙O1上，P、H、J、S在⊙O2上，G、Q、T、M 在⊙O3上，GH、TS 与A 分别在BC 的同侧、异侧，LM、RQ 与B 分别在AC 的同侧、异侧，J K、Y M与C分别在A B的同侧、异侧）．设△G H F、△J K E、△L M D外接圆分别为ω1、ω2、ω3，X、Y、Z 分别是ω2与ω3、ω1与ω3、ω1与ω2的交点且X、A 在BC 异侧，Y、C在B A异侧，Z、B在AC异侧．证明∶S△K S X•S△M N Y•S△H Q Z＝S△L T X•S△G P Y•S△R JZ．80.圆外切四边形A B CD中两点P、Q满足∠D P A+∠B P C=∠D Q A+∠BQ C,I1、I2、I3、I4、I11、I22、I33、I44分别是△PAB、△PBC、△PCD、△PDA、△QAB、△QBC、△QCD、△QDA的内心.证明:I1、I2、I3、I4共圆当且仅当I11、I22、I33、I44共圆.81.△ABC 的内切圆分别切AC、AB 于E、F.P、Q 分别为边AC、AB 上的旁切圆切点.点M 为BC 中点，PQ、EF 交于R.设△ABC 九点圆与内切圆切于K，证明:M、R、K 共线.82.凸四边形ABCD 中，△ABC、△BCD、△CDA、△DAB 的内心分别为I D、I A、I B、I C，∠BAC 与∠BDC 的角平分线交于点E，∠ABD 与∠ACD 的角平分线交于点F，线段I D I A、I B I C、EF 的中点分别为X、Y、Z.证明:X、Y、Z 三点共线.83.设ω1、ω2分别是过A、C 且与△ABC 内切圆内切于J 的圆与过B、A 且与△ABC 内切圆内切于K 的圆.设Q、R 分别是ω1、ω2与BC 的交点，ω1与AB 交于P，ω2与AC 交于S,X 是△CSR∠C 内的旁心，Y 是△BPQ∠B 内的旁心，M 是△BSR 的内心，N 是△CPQ 的内心. 证明:四边形XYMN 是矩形.84.设圆Γ过B，C 且与△ABC 的内切圆⊙I内切于点 J，延长 AJ 交 BC 于 K，交Γ于 L.证明: （K B/K C）2=(L B/L C)3.85.⊙I、⊙J、⊙K 与⊙O 外切于 X、Y、Z，EH、FL、MG 分别是⊙I 与⊙K、⊙I 与⊙J、⊙J 与⊙K的外公切线且均与⊙O 相交，并且 E、F、G、H、L、M 均为切点.HG 与 ML、EF 与H G、E F与M L 分别交于点U、V、W.证明:Y W·X V·ZU=W X·V Z·U Y.86.设I、O 分别是△ABC 的内心、外心，U、V 分别为⊙O与⊙I 的外位似中心与内位似中心，设 E、F、Y、Z 分别是 BI 与 AC、CI 与 AB、BO 与 AC、CO 与 AB 的交点.证明：U、E、F 共线的充要条件是 V、Y、Z 共线.87.设P、Q 是△ABC 的一对等角共轭点且△ABC 的重心G 与P、Q 共线.D、E、F 分别是AP 与BC、BP 与AC、CP 与AB 的交点，AQ、BQ、CQ 分别与△ABC 外接圆再次交于点X、Y、Z，证明：△ADX、△BEY、△CFZ 外接圆有公共的根轴.88.给定△ABC，证明：在△ABC 所在平面内存在唯一的一点P，使得△ABC、△PAB、△PBC、△PCA 的欧拉线互相平行.89.设N 为△ABC 的九点圆圆心，N 在BC、CA、AB 上的射影分别为D、E、F，R 为N 关于△DEF 的等角共轭点，X 是△AEF 的九点圆圆心.证明：RX 垂直于BC.90.设O、I a、I b、I c分别是△ABC 的外心、∠BAC 内的旁心、∠ABC 内的旁心、∠BCA 内的旁心.设与⊙I b、⊙I c外切且与⊙O内切的圆与⊙O切于X，类似定义 Y、Z.证明：A X、BY、CZ 三线共点.91.O 为△ABC 外心，P、Q 为△ABC 的一对等角共轭点.设D、E、F 分别为AP 与BC、BP 与CA、CP 与AB 的交点.设一条与OQ 垂直的直线分别与BC、CA、AB 交于点X、Y、Z.证明：△ADX 外接圆、△BEY 外接圆、△CFZ 外接圆有一条公共的根轴.92.设I、O 分别为△ABC 的内心、外心，D、E、F 分别为AI 与BC、BI 与AC、CI 与A B的交点.设ωa为与A B、AC相切且与⊙O内切的圆，过E，F作ωa的切线(不同于直线A B、A C)交于D1，X为ωa与⊙O切点，类似定义E1、F1、Y、Z.证明：X D1、Y E1、Z F1、O I 四线共点.93.设P 为△ABC 内一点，D、E、F 分别是AP 与BC、BP 与AC、CP 与AB 的交点.设△DEF 外接圆与直线BC 另一个交点为X，O 为△ABC 外心，T 为△DEF 垂心，X'为X 关于直线EF 的对称点.证明：AX'、BC、OT 三线共点.94.给定△ABC 及与一点P，设AP 与BC、BP 与CA、CP 与AB 的交点分别为D、E、F. 证明：存在两点U、V 使得V 是U 关于△ABC 的等角共轭点，也是U 关于△DEF 的等角共轭点.95.△ABC 的垂心为H，AH 与BC 交点为D.U、V 为线段BC 上两点使得∠BHU=∠CHV，PQ、RS 为△ABC 外接圆的两条弦且分别过U、V.证明：△ADP、△ADQ、△ADR、△ADS 四个三角形的垂心共圆.96.△ABC 的内心、外心、垂心分别是I、O、H.P 为直线OI 上一点，P a、P b、P c分别是P 在BC、CA、AB 上的射影.设AI、BI、CI 与⊙O再次交于 D、E、F，设 D'、E'、F' 分别为D关于P a、E关于P b、F关于P c的对称点.证明：D'、E'、F'、H四点共圆.97.△ABC 外心为O，P 为△ABC 所在平面内一点，D、E、F 分别为P 在BC、AC、AB 上的射影，AP、BP、CP 与⊙O再次交于点 X、Y、Z.X'、Y'、Z'分别是 X 关于 OD、Y 关于 OE、Z 关于 OF 的对称点.证明：AX'、BY'、CZ'三线共点.98.△A BC外心为O，共轭重心为K，D与A在直线BC同侧且△BC D为正三角形，J是A D 中垂线与 BC 交点，AJ 与⊙O 再次交于 T.证明：T 关于△ABC 的西姆松线平行于 OK.99.P 为△ABC 内一点，D、E、F 分别是 AP 与 BC、BP 与 AC、CP 与 AB 交点，X、Y、Z 分别是 P 在 BC、CA、AB 上的射影.P 关于△ABC 的等角共轭点 Q，O 为△ABC 外心，r 为⊙O 半径.R在射线OQ上且O P·OQ=r2.△D E F外接圆与△X Y Z外接圆有两个不同的交点T1、T2.l1、l2分别为T1、T2关于△DEF 的西姆松线，直线l3、l4使得l3∥l1且T1到l3的距离为T1到l1距离的两倍，l4∥l2且T2到l4的距离等于T2到l2距离的两倍(T1在l1、l3的同侧，T2在l2、l4的同侧).证明：l3、l4一条过P，一条过R.100.已知⊙O上顺次五点A、B、C、D、E，设ω1为与BC、A C相切且与⊙O内切的圆，ω2为与AD、BE 相切且与⊙O 内切的圆，ω3为与AD、BE 相切且与⊙O 外切的圆.证明：C 向ω3所作的一条切线与ω1与ω2的一条公切线平行.1'.已知⊙O1与△A BC的A B、BC边相切且与△A BC的外接圆内切于E，⊙O2与△A BC的A C、BC边相切且与△A BC的外接圆内切于F，连接E O2、F O1交于X.证明：A X平分∠B A C.2'.一直线交△X1X2X3三边所在直线X2X3、X3X1、X1X2于A1、A2、A3.分别过A1、A2、A3作X2X3、X3X1、X1X2的垂线,三垂线交成△Y1Y2Y3.证明：直线A1A2A3平分△X1X2X3垂心和△Y1Y2Y3垂心的连线段.3'.设H 为锐角△ABC 的垂心，M 为BC 中点，⊙I1、⊙I2分别为△ABH、△ACH 的内切圆. 证明：⊙I1、⊙I2除AH 外的另一条内公切线过M.4'.设△ABC 的内切圆分别切BC、CA、AB 于D、E、F.记D 关于EF、E 关于FD、F 关于DE 的对称点分别为D’、E’、F’,V为△A B C的九点圆心.证明：V在△D’E’F’的欧拉线上.5'.△A B C内接与⊙O,H是△A B C的垂心，E、F分别是H关于直线AC、A B的对称点.O E与AC 交于M,OF 与AB 交于N,作平行四边形ABDC,设X、Y、Z 分别是H 在MN、ND、MD 边上的射影.证明：△XYZ 的外接圆与△ABC 的九点圆相切.6'.已知⊙I 为△ABC 的内切圆，⊙U 过B、C 两点，⊙V 与边AB、AC 相切且与⊙U 内切，l 为平行于B C且与⊙I相切的直线（l不与B C重合），L为⊙U上任意一点，过L作⊙I的切线交l 于E、F.证明：△EFL 的外接圆与⊙V 相切.7'.设K 是△ABC 的共轭重心，P 是△ABC 内任意一点，P 在BC、CA、AB 的射影分别为X、Y、Z，G 为△XYZ 的重心，D 在ABC 的外接圆上且满足D 关于△ABC 的西姆松线与直线KP 平行.设直线AD、BC 交于E；直线BD、AC 交于F；直线EF、AB 交于J.证明：J、K、G 共线.8'.设H、I 分别为△ABC 的垂心、内心，AB、AC 上的旁切圆切点分别为F、E,线段BE 与CF相交于N.设HN中点为M，J在射线M I上满足J M·I M＝M H²，直线I N与B C交于D，G 在线段BC 上且满足BG＝CD.证明：GI＝GJ.9'.已知四边形ABCD 为圆外切四边形，AC、BD 的中垂线相交于P，设I1、I2、I3、I4分别为△ABP、△BCP、△CDP、△DAP 的内心.证明：I1、I2、I3、I4四点共圆.10'.设四边形ABCD 内接于⊙U,⊙V 与线段AC、BD 相切（与线段BC 相交）且与⊙U 内切于T,F 为劣弧BC 上任意一点，⊙P 与线段AF、BC 相切（与线段AB 相交）且与⊙U 内切. 设M 是⊙P 与BC 的切点，延长DM 交⊙U 于E.⊙Q 与线段DE、BC 相切（与线段CD 相交）且与⊙U 内切，⊙R 与直线BF、CE 相切且与⊙U 外切于X.设N 是⊙Q 与BC 的切点.证明：M、N、T、X 四点共圆.。
几何题库100题
几何题库100题1. 已知三角形ABC的面积是20平方厘米，D是AB上的一个点，且BD/AB = 1/4，E是AC上的一个点，且AE/AC = 1/3，求三角形BDE的面积。
2. 已知平行四边形ABCD的面积是24平方厘米，E是CD的中点，F是AD的中点，求三角形BEF的面积。
3. 已知正方形ABCD的边长为4厘米，E是BC的中点，F是CD上的一点，且CF = 3厘米，求三角形AEF的面积。
4. 已知矩形ABCD的长为8厘米，宽为6厘米，G是矩形对角线AC的中点，求三角形AGD的面积。
5. 已知圆O的半径为5厘米，点P在圆上，点Q在圆外，且OP=3厘米，OQ=4厘米，求三角形POQ的面积。
6. 已知梯形ABCD的上下底分别为6厘米和10厘米，高为8厘米，求梯形的中位线长度。
7. 已知菱形ABCD的边长为6厘米，点E在BC上，且BE=3厘米，求三角形ABE的面积。
8. 已知三角形ABC的边长分别为3厘米、4厘米和5厘米，求三角形ABC 的周长。
9. 已知矩形ABCD的面积是36平方厘米，对角线AC的长度为10厘米，求矩形的宽。
10. 已知圆O的面积为154平方厘米，求圆的半径。
11. 已知椭圆的长半轴为6厘米，短半轴为4厘米，求椭圆的面积。
12. 已知抛物线y=2x^2+3x-1的顶点坐标，求抛物线的对称轴。
13. 已知立方体ABCDEF的体积是125立方厘米，求立方体的表面积。
14. 已知圆柱的高为10厘米，底面半径为5厘米，求圆柱的体积。
15. 已知直角三角形ABC的直角边长分别为3厘米和4厘米，求直角三角形的斜边长。
16. 已知平面上有四个点A、B、C、D，且AB=4厘米，BC=5厘米，CD=6厘米，求四边形ABCD的周长。
17. 已知平行四边形ABCD的对角线AC=6厘米，BD=8厘米，求平行四边形的面积。
18. 已知圆O的直径为10厘米，点P在圆上，且OP=5厘米，求三角形OEP 的面积。
深深伤害过老师的100道平面几何
深深伤害过老师的100道平面几何第一题：证明角平分4 第二题：证明四点共圆5 第三题：证明角的倍数关系6 第四题：证明线与圆相切7 第五题：证明垂直8 第六题：证明线段相等9 第七题：证明线段为比例中项 10 第八题：证明垂直11 第九题：证明线段相等 12 第十题：证明角平分 13 第十一题：证明垂直 14 第十二题：证明线段相等 15 第十三题：证明角相等 16 第十四题：证明中点 17 第十五题：证明线段的二次等式 18 第十六题：证明角平分 19 第十七题：证明中点 20 第十八题：证明角相等 21 第十九题：证明中点 22 第二十题：证明线段相等 23 第二十一题：证明垂直 24 第二十二题：证明角相等 25 第二十三题：证明四点共圆 26 第二十四题：证明两圆相切 27 第二十五题：证明线段相等 28 第二十六题：证明四条线段相等 29 第二十七题：证明线段比例等式 30 第二十八题：证明角的倍数关系 31 第二十九题：证明三线共点 32 第三十题：证明平行 33 第三十一题：证明线段相等 34 第三十二题：证明四点共圆 35 第三十三题：证明三角形相似 36 第三十四题：证明角相等 37 第三十五题：证明内心 38 第三十六题：证明角平分 39 第三十七题：证明垂直 40 第三十八题：证明面积等式 41 第三十九题：证明角平分 42 第四十题：证明角相等 43 第四十一题：证明中点 44 第四十二题：证明中点 45 第四十三题：证明角相等 46 第四十四题：证明垂直 47 第四十五题：证明角相等 48 第四十六题：证明垂直 49 第四十七题：证明四点共圆 50 第四十八题：证明四点共圆 51 第四十九题：证明四点共圆 52 第五十题：证明角平分 53 第五十一题：证明线段相等54 第五十二题：证明两圆外切 55 第五十三题：证明垂直 56 第五十四题：证明垂直 57 第五十五题：证明垂直 58 第五十六题：证明垂直 59 第五十七题：证中点 60 第五十八题：证明角相等 61 第五十九题：证明角相等 62 第六十题：证明四点共圆63 第六十一题：证明四点共圆 64 第六十二题：证明四点共圆65 第六十三题：证明角相等 66 第六十四题：证明角的倍数关系67 第六十五题：证明中点 68 第六十六题：伪旁切圆 69 第六十七题：证明垂直 70 第六十八题：证明平行 71 第六十九题：证明圆心在某线上 72 第七十题：证明三线共点 73 第七十一题：证明垂直 74 第七十二题：证明垂直 75 第七十三题：证明中点76 第七十四题：证明垂直 77 第七十五题：证明垂直 78 第七十六题：证明三线共点 79 第七十七题：证明平行 80 第七十八题：证明平行 81 第七十九题：证明三线共点、证明垂直82第八十题：证明三点共线（牛顿定理）83 第八十一题：证明角平分 84 第八十二题：证明角相等85 第八十三题：证明三点共线 86 第八十四题：证明四圆共点87 第八十五题：证明角平分 88 第八十六题：证明线段相等 89第八十七题：证明角相等 90 第八十八题：证明线段相等 91 第八十九题：证明线段相等 92 第九十题：证明线段相等 93 第九十一题：证明中点 94 第九十二题：证明四点共圆 95 第九十三题：证明西姆松定理及逆定理 96 第九十四题：证明线段的和差关系等式 97 第九十五题：证明角相等 98 第九十六题：证明托勒密定理及逆定理 99 第九十七题：证明线段的和差关系等式100 第九十八题：证明角相等第九十九题：证明四点共圆 102 第一百题：证明两三角形共内心 103 第一题：证明角平分已知、是⊙的切线，、是一组对径点，交⊙于另一点，直线、交于点。
平面几何100题2.0版61-100,1'-30'
61.设ω是△A B C的外接圆，ΓA是与线段A B、A C相切且与ω内切的圆，ΓB是与线段B A、B C相切且与ω内切的圆，ΓC是与线段C A、C B相切且与ω内切的圆．设过B、C且与ΓA 相切的圆（不同于ω）切ΓA于X，过C、A且与ΓB相切的圆（不同于ω）切ΓB于Y，过A、B且与ΓC相切的圆（不同于ω）切ΓC于Z．证明：A X、B Y、C Z三线共点．62.设⊙I是△A B C的内切圆，⊙u、⊙v、⊙w分别是过点B和点C且与⊙I相切的圆、过点A和点C且与⊙I相切的圆、过点B和点A且与⊙I相切的圆．设P、Q、R、S、T、U分别是⊙w与B C、⊙v与B C、⊙v与A B、⊙u与A B、⊙u与C A、⊙w与A C的交点（均不同于A、B、C）．I1、I2分别是△A R Q、△B S T的内心，类似定义I3、I4、I5、I6．I A是△A S T∠S A T内的旁心，类似定义I B、I C．求证∶△I A I2I3、△I B I6I1、△I C I4I5的欧拉线共点．63.以凸四边形A B C D为边长向外作正方形A E1E2B、B F1F2C、C G1G2D、D H1H2A．连接A F1、B G1、C H1、D E1交出四边形A'B'C'D'，连接D F2、A G2、B H2、C E2交出四边形A''B''C''D''．证明∶A'A''、B'B''、C'C''、D'D''交出的四边形是正方形．64.圆内接四边形A B C D中，直线A C、B D交于E，直线A B、C D交于F，直线B C、D A交于G．设△A B E的外接圆与直线C B交于B、P两点，△A D E的外接圆与直线C D交于D、Q两点．设直线F P、G Q交于点M，证明∶A M⊥A C．65.设⊙X、⊙Y、⊙Z分别为△A B C∠B A C、∠A B C、∠B C A内的旁切圆，D、E、F、G、H、I分别是⊙Z与A C、⊙Z与B C、⊙X与A B、⊙X与A C、⊙Y与B C、⊙Y与A B的切点．F D、G I交于J，I E、H F交于K，E G、D H交于L，设M、N、O、P、Q、R分别是K L、L J、J K、B C、C A、A B的中点．证明∶直线M P、N Q、O R三线共点．66.已知凸六边形A B C D E F既有外接圆又有内切圆，记△A B C、△B C D、△C D E、△D E F、△E F A、△F A B的内切圆分别为ωb、ωc、ωd、ωe、ωf、ωa.l A B表示ωb、ωa的另一条外公切线（不为A B），类似定义l B C、l C D、l D E、l E F、l F A.设l F A与l A B的交点为A1，类似定义B1、C1、D1、E1、F1．若六边形A1B1C1D1E1F1为凸六边形，证明：该六边形的对角线共点．67.已知圆弧Γ1、Γ2、Γ3均过点A、C，且在直线A C同侧，Γ2在Γ1与Γ3之间，B是线段A C上一点，由B引三条射线h1、h2、h3，与Γ1、Γ2、Γ3在直线A C的同侧，且h2在h1与h3之间．设h i与Γj（i,j=1,2,3）的交点为V i j.由线段V i j V i l、V k j V k l及弧V i j V k j、弧V i l V k l构成的曲边四边形记为V i j V k j V k l V i l,若存在一个圆与其两条线段和两条弧均相切，则称这个圆为这个曲边四边形的内切圆．证明：若曲边四边形V11V21V22V12、V12V22V23V13、V21V31V32V22均有内切圆，则曲边四边形V22V32V33V23也有内切圆．68.设△A B C的内心为I，⊙I分别切边B C，C A，A B于点D、E、F，设A I与D E、D F交于点M、N，以M N为直径的圆交B C于P、Q．已知△A P Q的外接圆与⊙I切于R，△A B C 的外接圆与九点圆切于F e,设R F e与D E、D F分别交于点M'、N'．以M'N'为直径的圆交B C 于点P'、Q'．证明：△A P'Q'的外接圆与⊙I的根轴平分线段B C．69.设I是△A B C的内心，∠B A C、∠A B C、∠B C A的内角平分线分别交对边于点D、E、F．记H是△D E F垂心．证明：I H与△A B C的欧拉线平行．70.设⊙O、⊙P、⊙Q分别是△A B C∠B A C、∠C B A、∠A C B内的旁切圆，G、H、I、J、K、L分别是⊙P与A B、⊙Q与A C、⊙Q与B C、⊙O与A B、⊙O与A C、⊙P与B C的切点．证明∶△J K D、△L G E、△H I F、△A B C的欧拉线共点．71.△A B C中，O为外心，K为△A B C九点圆圆心关于△A B C的等角共轭点.K在B C、C A、A B上的射影分别为D、E、F，H是△D E F垂心.证明：O、K、H共线.72.已知H、I分别为△A B C垂心、内心，D、E、F分别在射线A H、B H、C H上，且A D=B E=C F=2r,这里r是△A B C的内切圆半径.证明：I也为△D E F内心.73.已知B、I1、I2、C是⊙M上顺次四点，B I1与C I2交于A，△I1I2M的外接圆与A B、A C 再次交于M1、M2，点O'满足M1O'∥C I1，M2O'∥B I2．X、Y为△A B C的一组等角共轭点，D、E分别在A B、A C上使得X D∥C I1、X E∥B I2，N为△B M C外接圆弧B C（不含M）的中点，X N与△B M C外接圆的另一个交点为F．证明：X、Y、O'共线当且仅当△D E F外接圆与△I1I2M的外接圆相切．74.设△A B C∠B A C内的旁切圆切A B、A C于G、F，∠A B C内的旁切圆⊙P切A B、A C于E、N，∠A C B内的旁切圆⊙Q切A B、A C于M、D．直线D E、M N分别交⊙Q于H、J，交⊙P 于I、K．H C、B I交于X，J F、K G交于Y，证明∶∠B A X＝∠C A Y．75.△A B C的内切圆⊙I切B C于D，连接A D交⊙I于J，K在J D上且D K=A J，若B J⊥C J，证明：I、K关于△J B C等角共轭.76.O为△A B C外心，B C、C A上的旁切圆切点分别是X、Y，A X、B Y交于点N.圆Γ1切B A、C A延长线于E、D使得A D=A E=B C，类似地定义Γ2、Γ3.⊙U为与Γ1、Γ2、Γ3均外切的圆，证明:N、O、U共线.77.△A B C内切圆⊙I切B C于D，∠A C B内的旁切圆⊙P分别切B C、A B、C A于E、F、G，∠A B C内的旁切圆⊙Q分别切B C、C A、A B于H、J、K，C F与⊙P交于F、M两点，B J与⊙Q交于J、N两点.证明:M J、N F、A D共点.78.P为圆外切四边形A B C D内任意一点，A P、D P分别交B C于N、M.证明:△A P D、△M P N、△A B N、△C D M四个三角形的内心共圆.79.设⊙I是△A B C的内切圆，△B C D外接圆⊙O1、△C A E外接圆⊙O2、△A B F外接圆⊙O3分别与⊙I内切于点D、E、F．G H与S T、J K与N P、L M与Q R分别是⊙O2与⊙O3、⊙O1与⊙O2、⊙O3与⊙O1的外公切线（L、N、R、K在⊙O1上，P、H、J、S在⊙O2上，G、Q、T、M在⊙O3上，G H、T S与A分别在B C的同侧、异侧，L M、R Q与B分别在A C的同侧、异侧，J K、Y M与C分别在A B的同侧、异侧）．设△G H F、△J K E、△L M D外接圆分别为ω1、ω2、ω3，X、Y、Z分别是ω2与ω3、ω1与ω3、ω1与ω2的交点且X、A在B C异侧，Y、C在B A异侧，Z、B在A C异侧．证明∶S△K S X•S△M N Y•S△H Q Z＝S△L T X•S△G P Y•S△R J Z．80.圆外切四边形A B C D中两点P、Q满足∠D P A+∠B P C=∠D Q A+∠B Q C,I1、I2、I3、I4、I11、I22、I33、I44分别是△P A B、△P B C、△P C D、△P D A、△Q A B、△Q B C、△Q C D、△Q D A 的内心.证明:I1、I2、I3、I4共圆当且仅当I11、I22、I33、I44共圆.81.△A B C的内切圆分别切A C、A B于E、F.P、Q分别为边A C、A B上的旁切圆切点.点M 为B C中点，P Q、E F交于R.设△A B C九点圆与内切圆切于K，证明:M、R、K共线.82.凸四边形A B C D中，△A B C、△B C D、△C D A、△D A B的内心分别为I D、I A、I B、I C，∠B A C与∠B D C的角平分线交于点E，∠A B D与∠AC D的角平分线交于点F，线段ID I A、I B I C、E F的中点分别为X、Y、Z.证明:X、Y、Z三点共线.83.设ω1、ω2分别是过A、C且与△A B C内切圆内切于J的圆与过B、A且与△A B C内切圆内切于K的圆.设Q、R分别是ω1、ω2与B C的交点，ω1与A B交于P，ω2与A C交于S,X 是△C S R∠C内的旁心，Y是△B P Q∠B内的旁心，M是△B S R的内心，N是△C P Q的内心.证明:四边形X Y M N是矩形.84.设圆Γ过B，C且与△A B C的内切圆⊙I内切于点J，延长A J交B C于K，交Γ于L.证明:（K B/K C）2=(L B/L C)3.85.⊙I、⊙J、⊙K与⊙O外切于X、Y、Z，E H、F L、M G分别是⊙I与⊙K、⊙I与⊙J、⊙J 与⊙K的外公切线且均与⊙O相交，并且E、F、G、H、L、M均为切点.H G与M L、E F与H G、E F与M L分别交于点U、V、W.证明:Y W·X V·Z U=WX·V Z·U Y.86.设I、O分别是△A B C的内心、外心，U、V分别为⊙O与⊙I的外位似中心与内位似中心，设E、F、Y、Z分别是B I与A C、C I与A B、B O与A C、C O与A B的交点.证明：U、E、F 共线的充要条件是V、Y、Z共线.87.设P、Q是△A B C的一对等角共轭点且△A B C的重心G与P、Q共线.D、E、F分别是A P 与B C、B P与A C、C P与A B的交点，A Q、B Q、C Q分别与△A B C外接圆再次交于点X、Y、Z，证明：△A D X、△B E Y、△C F Z外接圆有公共的根轴.88.给定△A B C，证明：在△A B C所在平面内存在唯一的一点P，使得△A B C、△P A B、△P B C、△P C A的欧拉线互相平行.89.设N为△A B C的九点圆圆心，N在B C、C A、A B上的射影分别为D、E、F，R为N 关于△D E F的等角共轭点，X是△A E F的九点圆圆心.证明：R X垂直于B C.90.设O、I a、I b、I c分别是△A B C的外心、∠B A C内的旁心、∠A B C内的旁心、∠B C A 内的旁心.设与⊙I b、⊙I c外切且与⊙O内切的圆与⊙O切于X，类似定义Y、Z.证明：A X、B Y、C Z三线共点.91.O为△A B C外心，P、Q为△A B C的一对等角共轭点.设D、E、F分别为A P与B C、B P与C A、C P与A B的交点.设一条与O Q垂直的直线分别与B C、C A、A B交于点X、Y、Z.证明：△AD X外接圆、△BE Y外接圆、△CF Z外接圆有一条公共的根轴.92.设I、O分别为△A B C的内心、外心，D、E、F分别为A I与B C、B I与A C、C I与A B的交点.设ωa为与A B、A C相切且与⊙O内切的圆，过E，F作ωa的切线(不同于直线A B、A C)交于D1，X为ωa与⊙O切点，类似定义E1、F1、Y、Z.证明：X D1、Y E1、Z F1、O I 四线共点.93.设P为△A B C内一点，D、E、F分别是A P与B C、B P与A C、C P与A B的交点.设△D E F外接圆与直线B C另一个交点为X，O为△A B C外心，T为△D E F垂心，X'为X 关于直线E F的对称点.证明：A X'、B C、O T三线共点.94.给定△A B C及与一点P，设A P与B C、B P与C A、C P与A B的交点分别为D、E、F.证明：存在两点U、V使得V是U关于△A B C的等角共轭点，也是U关于△D E F的等角共轭点.95.△A B C的垂心为H，A H与B C交点为D.U、V为线段B C上两点使得∠B H U=∠C H V，P Q、R S为△A B C外接圆的两条弦且分别过U、V.证明：△A D P、△A D Q、△A D R、△A D S四个三角形的垂心共圆.96.△A B C的内心、外心、垂心分别是I、O、H.P为直线O I上一点，P a、P b、P c分别是P在B C、C A、A B上的射影.设A I、B I、C I与⊙O再次交于D、E、F，设D'、E'、F'分别为D关于P a、E关于P b、F关于P c的对称点.证明：D'、E'、F'、H四点共圆.97.△A B C外心为O，P为△A B C所在平面内一点，D、E、F分别为P在B C、A C、A B 上的射影，A P、B P、C P与⊙O再次交于点X、Y、Z.X'、Y'、Z'分别是X关于O D、Y关于O E、Z关于O F的对称点.证明：A X'、B Y'、C Z'三线共点.98.△A B C外心为O，共轭重心为K，D与A在直线B C同侧且△B C D为正三角形，J是A D 中垂线与B C交点，A J与⊙O再次交于T.证明：T关于△A B C的西姆松线平行于O K.99.P为△A B C内一点，D、E、F分别是A P与B C、B P与A C、C P与A B交点，X、Y、Z分别是P在B C、C A、A B上的射影.P关于△A B C的等角共轭点Q，O为△A B C外心，r为⊙O 半径.R在射线O Q上且O P·O Q=r2.△D E F外接圆与△X Y Z外接圆有两个不同的交点T1、T2.l1、l2分别为T1、T2关于△D E F的西姆松线，直线l3、l4使得l3∥l1且T1到l3的距离为T1到l1距离的两倍，l4∥l2且T2到l4的距离等于T2到l2距离的两倍(T1在l1、l3的同侧，T2在l2、l4的同侧).证明：l3、l4一条过P，一条过R.100.已知⊙O上顺次五点A、B、C、D、E，设ω1为与B C、A C相切且与⊙O内切的圆，ω2为与A D、B E相切且与⊙O内切的圆，ω3为与A D、B E相切且与⊙O外切的圆.证明：C向ω3所作的一条切线与ω1与ω2的一条公切线平行.1'.已知⊙O1与△A B C的A B、B C边相切且与△A B C的外接圆内切于E，⊙O2与△A B C的A C、B C边相切且与△A B C的外接圆内切于F，连接E O2、F O1交于X.证明：A X平分∠B A C.2'.一直线交△X1X2X3三边所在直线X2X3、X3X1、X1X2于A1、A2、A3.分别过A1、A2、A3作X2X3、X3X1、X1X2的垂线,三垂线交成△Y1Y2Y3.证明：直线A1A2A3平分△X1X2X3垂心和△Y1Y2Y3垂心的连线段.3'.设H为锐角△A B C的垂心，M为B C中点，⊙I1、⊙I2分别为△A B H、△A C H的内切圆.证明：⊙I1、⊙I2除A H外的另一条内公切线过M.4'.设△A B C的内切圆分别切B C、C A、A B于D、E、F.记D关于E F、E关于F D、F关于D E 的对称点分别为D’、E’、F’,V为△A B C的九点圆心.证明：V在△D’E’F’的欧拉线上.5'.△A B C内接与⊙O,H是△A B C的垂心，E、F分别是H关于直线A C、A B的对称点.O E与A C交于M,O F与A B交于N,作平行四边形A B D C,设X、Y、Z分别是H在M N、N D、M D边上的射影.证明：△X Y Z的外接圆与△A B C的九点圆相切.6'.已知⊙I为△A B C的内切圆，⊙U过B、C两点，⊙V与边A B、A C相切且与⊙U内切，l 为平行于B C且与⊙I相切的直线（l不与B C重合），L为⊙U上任意一点，过L作⊙I的切线交l于E、F.证明：△E F L的外接圆与⊙V相切.7'.设K是△A B C的共轭重心，P是△A B C内任意一点，P在B C、C A、A B的射影分别为X、Y、Z，G为△X Y Z的重心，D在A B C的外接圆上且满足D关于△A B C的西姆松线与直线K P平行.设直线A D、B C交于E；直线B D、A C交于F；直线E F、A B交于J.证明：J、K、G共线.8'.设H、I分别为△A B C的垂心、内心，A B、A C上的旁切圆切点分别为F、E,线段B E与C F相交于N.设H N中点为M，J在射线M I上满足J M·I M＝M H²，直线I N与B C交于D，G在线段B C上且满足B G＝C D.证明：G I＝G J.9'.已知四边形A B C D为圆外切四边形，A C、B D的中垂线相交于P，设I1、I2、I3、I4分别为△A B P、△B C P、△C D P、△D A P的内心.证明：I1、I2、I3、I4四点共圆.10'.设四边形A B C D内接于⊙U,⊙V与线段A C、B D相切（与线段B C相交）且与⊙U内切于T,F为劣弧B C上任意一点，⊙P与线段A F、B C相切（与线段A B相交）且与⊙U内切.设M是⊙P与B C的切点，延长D M交⊙U于E.⊙Q与线段D E、B C相切（与线段C D相交）且与⊙U内切，⊙R与直线B F、C E相切且与⊙U外切于X.设N是⊙Q与B C的切点.证明：M、N、T、X四点共圆.。
平面几何100题
平面几何100题难度排行:红字偏难，黑字为常见难度1:在锐角△A B C中，A B＜A C，A B是B C边上的高，P是线段A D 上一点，过P作P E⊥A C，垂足为E，作P F⊥A B，垂足为F，O1,O2分别是△B D F，△C D E外心.证明:O1.O2.E.F共圆的充要条件为P 是△A B C的垂心.2:设H是△A B C的垂心,D.E.F分别是△A B C外接圆上三点，且A D∥B E∥C F，S.T.U分别为D.E.F关于B C.C A.A B的对称点，证明:S.T.U.H四点共圆3:在△P A B中，E.F分别是边P A.P B上的点，在A P.B P的延长线上分别取点C.D使得P C＝A E，P D＝B F，点M.N分别是△P C D，△P E F的垂心，证明:M N⊥A B4:过△A B C外心O任作直线，交边A B.A C于M.N；E.F分别是B N.C M的中点.证明:∠E O F＝∠A5:P为△A B C内一点，D.E.F分别是B C.C A.A B上的点，且P D⊥B C,P E⊥C A,P F⊥A B,△A B C内的一点H满足∠H A B＝∠P A C，∠H C B＝∠P C A，证明:D E⊥E F，当且仅当H是△B D F垂心.6:锐角△A B C三边长互不相等，其垂心为H,D是B C中点，直线B H与A C交于E,直线C H与A B交于F，直线A H与B C交于T，○B D E与○C D F交于G，直线A G与○B D E.○C D F分别交于M.N，证明:(1)A H平分∠M T N，(2)M E.N F.A H三线共点.7:凸四边形A B C D的外接圆圆心为O,已知A C≠B D，且A C与B D 交于E，若P为A B C D内部一点，且∠P A B+∠P C B＝∠P B C+∠P D C ＝90°，证明:P.O.E共线8:与等腰△A B C两腰A B.A C都相切的圆ω交B C与K和L，联结A K，交圆ω于一点另一点M,点P.Q分别是点K关于点B和点C 的对称点，证明:△P M Q的外接圆和圆ω相切9:在△A B C中，D是B C边上一点，O1.O2.分别是△B A D.△A C D 外心，O′是经过A.O1.O2三点的圆的圆心.记△A B C的九点圆心为V,作O′E⊥B C于E，证明:V E∥A D10:锐角△A B C中，I是内心A B≠A C，△A B C的内切圆ω与边B C.C A.A B分别相切于点D.E.F过D点且垂直于E F的直线与ω另一个交点为R.直线A R与ω另一个交点为P，△P C E和△P B F 的外接圆交于另一点Q.证明:直线D I和P Q的交点在过A且垂直于A I的直线上.11:在△A B C中，A B＞A C，内心为I，内切圆分别切B C.C A.A B 于D.E.F，M是B C中点，A H是高，直线A I与D E.D F分别交于K.L，证明:M.L.H.K四点共圆12:○O为△A B C外接圆A M.A D分别为中线与角平分线，过B.C 分别作切线相交于P，A P交B C于E，交○O于F，证明:D是△A M F 内心.13:锐角△A B C，点D.E.F分别是B C.C A.A B上的高的垂足，I1，I2，I3分别是△A E F，△B D F，△C D E的内心，L1是○I2与圆I3不同于B C的外公切线，类似定义L2.L3，证明:L1，L2.L3共点，且此点是△I1I2I3外心14:锐角△A B C中，A B＜A C，M为边B C中点，点D和点E分别是△A B C外接圆弧B A C和B C中点，F为△A B C内切圆在A B上的切点，A E和B C交于G，N点在线段E F上，满足N B⊥A B，证明:若B N＝E M，则D F⊥F G15:两圆内切.A B C D为大圆上顺次四点，A C.B D分别切小圆于E.F，B与小圆在A C同侧，证明:E F过△A B C内心16:在△A B C中，D.E分别在A B.A C上，E D∥B C，B D.C E交于F，证明:△A E F.△A D F，△E F B，△D F C四个外心共圆17:D.E.F分别在△A B C边B C.C A.A B上，并且A D.B E.C F交于一点G，△A F G，△B F G，△B G D，△G D C，△C G E，△A G E的外心分别为O i(i＝1，2，3，4，5，6)，且他们互不相同，证明:O i六点共圆的充要条件为G是△A B C重心18:○O是△A B C的外接圆，D在弧A B上，△C A D，△C B D的内心分别为E.F，○D E F与○O的另一个交点为X，证明:当D点在弧A B上运动时，X是一个定点19:四边形A B C D的边A D.B C交于P，A B与C D不平行，△A B P，△C D P的外心分别为O1，O2,垂心分别为H1，H2，O1H1,O2H2中点分别为E1，E2，过E1.E2分别作C D.A B的垂线.证明:两条垂线和H1H2共点20:设△A B C的外心为O，在∠A的角平分线上取一点P，分别作P在A B.B C.C A.上的射影D.E.F，若△D E F的外接圆交B C于另外一点G，设H为△E F G垂心，求证:O.P.H共线21:△A B C外心为O，B O与A C交于F，C O与A B交于E，E F的垂直平分线交B C于D，D E与B F交于M，D F与C E交于N，若E M.F N 的垂直平分线交于E F上一点K，证明:∠B A C＝90°22:点P在以△A B C垂心H为圆心的圆上运动，P在三边的射影分别是D.E.F，证明:s i n(2A)·P D2+s i n(2B)·P E2+s i n(2C)·P F2为定值.23:△A B C内接于圆O，I为内心，M为弧B C中点，A′是A关于O的对径点，D为△A B C内切圆和B C的切点，A E⊥B C于E，直线A′D和M E交于K，证明:D M⊥I K24:P为△A B C内一点，满足∠P A C＝∠P C B＝∠P B A＝30°，证明:△A B C为等边三角形25:在△A B C中，点A1在边B C上，点B1在边A C上，点P和点Q 分别在A A1和B B1上，且P Q∥A B，在直线P B1上取点P1使得B1严格位于P和P1之间，且∠P P1C＝∠B A C，类似地，在直线Q A1上取点Q1使得使得A1严格位于点Q和点Q1之间，且∠C Q1Q＝∠C B A，证明:P.Q.P1.Q1共圆26:凸五边形A B C D E内接于○O，且A B＝C D＝E A，对角线B E.C E 相交于点P，点H为△A B E垂心，M.N分别是B C.D E中点，G是△A M N重心，直线P H，O G相交于T，证明:A T⊥C D27:在锐角三角形A B C中，A B＞A C，点E.F分别在A C.A B上，满足B F+C E＝B C，点I B，I C分别是∠B,∠C内的旁心，直线E I C，F I B相交于点T，点K为弧B A C中点，直线K T与△A B C的外接圆交于K.P，证明:T.F.P.E四点共圆.28:等腰△A B C中，A B＝A C，A C边上一点D及B C延长线上一点E，满足2A D·C E＝D C·B C，以A B为直径的圆ω与线段D E 交于一点F，证明:B C F D共圆29:在△A B C平面内，存在唯一一组点(P.Q)使得P.Q关于△A B C 互为等角共轭，且满足P A+Q A＝P B+Q B＝P C+Q C30:设P是△A B C内的任意点，O.O A.O B.O C分别是△A B C,△P B C，△P C A，△P A B外心，O B C,O C A,O A B分别是△P O B O C，△P O C O A，△P O A O B 的外心，O′，O′′分别是△O A O B O C，△O B C O C A O A B外心，证明:O P∥O O′′31:在△A B C中，P1,P2为一组等角共轭点，点P1在B C.C A.A B上的射影分别是D1.E1.F1，直线D1P1与E1F1交于点K1，直线A K1与B C交于点X1类似定义X2，证明B X1＝C X232:△A B C的内切圆○I分别与B C.C A.A B相切于D.E.F联结A D 交○I于点P，联结B P交○I于点H，证明:P H·D E·D F＝E F·D P·D H33:在△A B C中，以A B.A C为直径的圆ω1，ω2，M是∠B A C角平分线A D的中点，B K的延长线分别交ω1，ω2于E.F，C K的延长线分别交ω1，ω2于点F.G证明:○A E F和○A F G外切34:在△A B C中，∠A，∠B均为锐角，C D⊥A B于，且C D2·B C2+A C2·C D2＝A C2·B C2，证明:∠A C B＝90°35:△A B C和△A B′C′共外接圆，P为外接圆上任一点，证明:P 关于△A B C和P关于△A B′C′的西姆森线平行的充要条件是B C∥B′C′36:凸四边形A B C D中，对角线B D,A C交于M，△A M B，△C M D 的垂心分别是S.R，△A M D,△B M C的重心分别是I.Q，证明:I Q⊥S R37:△A B C中，A D⊥B C于D，B F⊥A C于E，C G⊥A B于F，联D E.E F.D F，证明:△A E F，△B D E，△C D F的欧拉线共点，且交点在九点圆上38:△A B C中，A Y⊥B C于Y，记O为外心，A O交B C于X，过B.C 引外接圆切线交于L，D为内切圆在B C上的切点，I为内心，P Q 是过O I的外接圆直径(P.Q端点)，证明:P X Y Q共圆当且仅当A D L 共线39:△A B C中，P为∠B A C平分线上一点，O1,O2,O3分别是△A P B，△A P C，△B P C外心，K为△O1O2O3外心，证明:O K∥A P(其中O 是△A B C外心)40:∠X A Y为一个固定的角，B.C分别是射线A X.A Y上的动点，∠X A Y内有一点P满足P A.P B.P C的长均为定值，求△A B C的最大值41:圆O1,O2相交于A.B两点，C D是两圆靠近B的外公切线，P 是圆O1上一点，Q是圆O2上一点，P C.Q D延长线交于R，若A R平分∠P A Q，证明:P Q∥C D或P B Q共线42:已知圆O1和圆O2相交于P.Q两点，O是连心线O1O2的中点，过P作两条不重合的割线A B和C D，(其中A.C在圆O1上，B.D 在圆O2上)，联结A D并取其中点M，联C B并取其中点N，证明:O 到直线M N的距离小于O到P Q的距离.43:四边形A B C D内接于圆，O是外心，E是对角线交点，P是平面内任一点，O1,O2,O3,O4分别是△P A B，△P B C，△P C D，△P D A 外心，证明:O E,O1O3,O2O4共点44:平面内有七个圆，其中六个圆含于一个大圆内，且没个圆都和大圆相切，六个圆两两相切，记六个圆在大圆上的切点依次为A i(i＝1.2.3.4.5.6)，证明:A1A4.A2A5.A3A6共点45:△A B C内切圆与B C.A C.A B相切于点D.E.F，一圆与△A B C 内切圆切于D，与△A B C外接圆切于K，M.N类似定义，证明:D K，E M.F N共点，且此点在△D E F的欧拉线上46:圆O1，O2分别是△A B C的C-旁切圆，B-旁切圆，O1与A C.B C 分别相切于G.H，圆O2分别与A B.B C相切于L.K，直线O1L和直线O2G相交于P，证明:A P⊥G L47:从圆Ω外一点P作圆Ω的切线P A.P B，A A′,B B′分别是圆Ω的两条直径，点C.D分别在切线P A.P B上，过C且垂直于A B 的直线与∠A B B′的平分线交于C′，过D且垂直于A B的直线与∠A′A B的平分线交于D′，证明:C,D′，A′共线当且仅当C′D B′共线48:四条直线相交成四个三角形，这四个三角形的垂心共线49:已知△A B C，A1,A2,A3分别在高线A D.B E.C F上若S△A B C＝S△A B C1+S△B C A1+S△C A B1，证明:△A1B1C1外接圆通过△A B C的垂心50:已知五角星形A B C D E F G H I J，△I B C，△J B A，△E A G，△F E D，△H D C的外接圆轮回相交，两两交点分别是K.O.N.M.L，记L B 和A N交于Q类似定义T.S.R.P，记J O与F N交于U类似定义W.Z.V.A1.证明:K O N M L Q T S R P U WZ V A1共圆51:四边形A B C D内接于圆，E为B C上一点，E在直线A B.B D.A C.C D上的射影分别是M.N.Q.P，直线M N与P Q交于点K，直线E K与A D交于F，证明:K E＝K F52:等腰三角形A B C中，A B＝A C，三角形内存在一点P使得∠P B C ＝45°，∠P C B＝15°，且A P＝B P+C P，求∠A B C53:在梯形A B C D中，A D∥B C，P为B C上任一点，P E∥A C交A B 于E，P F∥B D交C D于F，E F分别交B D.A C于点G.H，证明:E G ＝F H54:在不等腰锐角三角形A B C中，三条高线A D.B E.C F的中点依次为P.S.T，内心为I，外心为O，内切圆○I与边B C.C A.A B分别相切于M.N.L，证明:P M.S N.T L共点，且此交点和O I共线55:△A B C中，M是B C中点，点E.F分别是M关于A C.A B的对称点，直线F B.E C交于P，点Q满足Q A＝Q M，∠Q A P＝90°，O是△P E F外心，证明:A O⊥O Q56:△A B C中，A B＞A C，∠B A C的角平分线交B C于D，线段A D的垂直平分线与A B.A C分别交于E.F，点X在B C上，且B X·C F ＝X C·B E，A X交△A B C外接圆于Y,已知B C＝a，C A＝b，A B＝c，求△A D Y外接圆半径57:△A B C中，B C＞C A＞A B，B E.C F是角平分线，外接圆弦B Q∥E F,Q P∥A C,证明:P C＝P A+P B58:已知△A B C为给定三角形，D在B C上,E在A B上，F在A C 上，且△D E F为正三角形，求S△D E F最小值59:设F是双曲线定点，A是右焦点，△H I J的内切圆是以A为圆心A F为半径的圆.过H.I作双曲线的切线交于K，证明:K A J共线60:在△A B C中，I为内心，T为A I与B C的交点，J为A-胖切圆与边B C的切点，△A J T的外接圆和△A B C的外接圆第二个交点为F，过I作I S⊥A T，与B C交于点S，A S与△A B C外接圆的第二个交点为E，证明:E F∥B C.61:已知正△X Y Z的顶点分别在△A B C的边B C.C A.A B上，证明:△A B C的内心在△X Y Z的内切圆的内部62:△A B C内接于圆O，∠A B C＞90°，M是边B C中点，点P在△A B C内，满足P B⊥P C，过P作A P的垂线，D.E是该垂线上不同于P的两点，满足B D＝B P，C E＝C P，若四边形A D O E是平行四边形，证明:∠O P E＝∠A M B63:设A为○Ω外一点，直线A B.A C分别与圆Ω相切于B.C两点，设P是劣弧B C上的一个动点，过点P作Ω的切线分别于A B.A C相交于点D.E，直线B P.C P分别与∠B A C的内角平分线交于点U.V，过点P作A B的垂线，与直线D V交于M，过点P作A C的垂线，与直线E U交于点N，证明:存在一个与点P无关的定点L，使得M N L共线64:△A B C中，A B＞A C,M是边B C的中点，○M以B C为直径，直线A B.A C分别与○M交于点D(异于B)，E(异于C)，已知在△A B C内的点P满足∠P A B＝∠A C P，∠C A P＝∠A B P，B C²＝2D E·M P，在○M外的点X满足X M∥A P，X B·A C＝X C·A C，证明:∠B X C+∠B A C＝90°65:锐角三角形A B C中，A B＜A C，A D是B C边上的高，D是垂足，I是△A B C内心，J是A-旁心，点E在边A B上，点F在A B 延长线上满足B E＝B F＝B D，证明:在△A B C外接圆上存在两点P.Q(可以重合)，满足P B＝Q C，并且△P E I∽△Q F J66:锐角△A B C中，作出角平分线B L，D.E分别是△A B C外接圆上弧A B和弧B C中点，线段B D的延长线上取一点P，在线段B E 的延长线上取一点Q，使得∠A P B＝∠C Q B＝90°，证明:线段B L 的中点与P.Q共线67:锐角△A B C内有P.Q两点满足∠A C P＝∠B C Q，∠C A P＝∠B A Q，过点P作B C.C A.A B的垂线，垂足为D.E.F，证明:∠D E F ＝90°当且仅当Q是△B F D垂心68:在△A B C周围作3个任意三角形△D B C，△E C A，△F A B，他们的顶点围成△D E F，再向△D E F周围作三个三角形△A′F E,△B′D F，△C′E D相应地，使他们与△D B C，△E C A，△F A B顺向相似，证明:△A′B′C′∽△A B C69:圆周上有A B C D四点，证明:其中一点关于另三点围成的三角形的三条西姆森线共点70:设○O1,O2交于P.Q两点，过点P任作两条直线A P B，C P D，其中A.C在○O1上，点B.D在○O2上，M.N分别是A D.B C中点,O 为O1O2中点，∠A P C＝θ为锐角，设h为点O到M N的距离，K 为P Q中点，证明:h＝O K·c o sθ。
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高联难度平面几何100题第一题：证明角平分 (5)第二题：证明四点共圆 (6)第三题：证明角的倍数关系 (7)第四题：证明线与圆相切 (8)第五题：证明垂直 (9)第六题：证明线段相等 (10)第七题：证明线段为比例中项 (11)第八题：证明垂直 (12)第九题：证明线段相等 (13)第十题：证明角平分 (14)第十一题：证明垂直 (15)第十二题：证明线段相等 (16)第十三题：证明角相等 (17)第十四题：证明中点 (18)第十五题：证明线段的二次等式 (19)第十六题：证明角平分 (20)第十七题：证明中点 (21)第十八题：证明角相等 (22)第十九题：证明中点 (23)第二十题：证明线段相等 (24)第二十一题：证明垂直 (25)第二十二题：证明角相等 (26)第二十三题：证明四点共圆 (27)第二十四题：证明两圆相切 (28)第二十五题：证明线段相等 (29)第二十六题：证明四条线段相等 (30)第二十七题：证明线段比例等式 (31)第二十八题：证明角的倍数关系 (32)第二十九题：证明三线共点 (33)第三十题：证明平行 (34)第三十一题：证明线段相等 (35)第三十二题：证明四点共圆 (36)第三十三题：证明三角形相似 (37)第三十四题：证明角相等 (38)第三十五题：证明内心 (39)第三十六题：证明角平分 (40)第三十七题：证明垂直 (41)第三十八题：证明面积等式 (42)第三十九题：证明角平分 (43)第四十题：证明角相等 (44)第四十一题：证明中点 (45)第四十二题：证明中点 (46)第四十三题：证明角相等 (47)第四十四题：证明垂直 (48)第四十五题：证明角相等 (49)第四十六题：证明垂直 (50)第四十七题：证明四点共圆 (51)第四十八题：证明四点共圆 (52)第四十九题：证明四点共圆 (53)第五十题：证明角平分 (54)第五十一题：证明线段相等 (55)第五十二题：证明两圆外切 (56)第五十三题：证明垂直 (57)第五十四题：证明垂直 (58)第五十五题：证明垂直 (59)第五十七题：证中点 (61)第五十八题：证明角相等 (62)第五十九题：证明角相等 (63)第六十题：证明四点共圆 (64)第六十一题：证明四点共圆 (65)第六十二题：证明四点共圆 (66)第六十三题：证明角相等 (67)第六十四题：证明角的倍数关系 (68)第六十五题：证明中点 (69)第六十六题：伪旁切圆 (70)第六十七题：证明垂直 (71)第六十八题：证明平行 (72)第六十九题：证明圆心在某线上 (73)第七十题：证明三线共点 (74)第七十一题：证明垂直 (75)第七十二题：证明垂直 (76)第七十三题：证明中点 (77)第七十四题：证明垂直 (78)第七十五题：证明垂直 (79)第七十六题：证明三线共点 (80)第七十七题：证明平行 (81)第七十八题：证明平行 (82)第七十九题：证明三线共点、证明垂直 (83)第八十题：证明三点共线（牛顿定理） (84)第八十一题：证明角平分 (85)第八十二题：证明角相等 (86)第八十三题：证明三点共线 (87)第八十四题：证明四圆共点 (88)第八十六题：证明线段相等 (90)第八十七题：证明角相等 (91)第八十八题：证明线段相等 (92)第八十九题：证明线段相等 (93)第九十题：证明线段相等 (94)第九十一题：证明中点 (95)第九十二题：证明四点共圆 (96)第九十三题：证明西姆松定理及逆定理 (97)第九十四题：证明线段的和差关系等式 (98)第九十五题：证明角相等 (99)第九十七题：证明线段的和差关系等式 (100)第九十八题：证明角相等 (101)第九十九题：证明四点共圆 (102)第一百题：证明两三角形共内心 (103)第一题：证明角平分已知PE 、PF 是⊙O 的切线，A 、B 是一组对径点，PB 交⊙O 于另一点C ，直线AF 、BE 交于D 点。
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61.设ω是△ABC的外接圆，ΓA是与线段AB、AC相切且与ω内切的圆，ΓB是与线段BA、BC相切且与ω内切的圆，ΓC是与线段CA、CB相切且与ω内切的圆．设过B、C且与ΓA 相切的圆（不同于ω）切ΓA于X，过C、A且与ΓB相切的圆（不同于ω）切ΓB于Y，过A、B且与ΓC相切的圆（不同于ω）切ΓC于Z．证明：AX、BY、CZ三线共点．62.设⊙I是△ABC的内切圆，⊙u、⊙v、⊙w分别是过点B和点C且与⊙I相切的圆、过点A和点C且与⊙I相切的圆、过点B和点A且与⊙I相切的圆．设P、Q、R、S、T、U分别是⊙w与BC、⊙v与BC、⊙v与AB、⊙u与AB、⊙u与CA、⊙w与AC的交点（均不同于A、B、C）．I1、I2分别是△ARQ、△BST的内心，类似定义I3、I4、I5、I6．I A是△AST∠SAT内的旁心，类似定义I B、I C．求证∶△I A I2I3、△I B I6I1、△I C I4I5的欧拉线共点．63.以凸四边形ABCD为边长向外作正方形AE1E2B、BF1F2C、CG1G2D、DH1H2A．连接AF1、BG1、CH1、DE1交出四边形A'B'C'D'，连接DF2、AG2、BH2、CE2交出四边形A''B''C''D''．证明∶A'A''、B'B''、C'C''、D'D''交出的四边形是正方形．64.圆内接四边形ABCD中，直线AC、BD交于E，直线AB、CD交于F，直线BC、DA交于G．设△ABE的外接圆与直线CB交于B、P两点，△ADE的外接圆与直线CD交于D、Q两点．设直线FP、GQ交于点M，证明∶AM⊥AC．65.设⊙X、⊙Y、⊙Z分别为△ABC∠BAC、∠ABC、∠BCA内的旁切圆，D、E、F、G、H、I分别是⊙Z与AC、⊙Z与BC、⊙X与AB、⊙X与AC、⊙Y与BC、⊙Y与AB的切点．FD、GI交于J，IE、HF交于K，EG、DH交于L，设M、N、O、P、Q、R分别是KL、LJ、JK、BC、CA、AB的中点．证明∶直线MP、NQ、OR三线共点．66.已知凸六边形ABCDEF既有外接圆又有内切圆，记△ABC、△BCD、△CDE、△DEF、△EFA、△FAB的内切圆分别为ωb、ωc、ωd、ωe、ωf、ωa.l AB表示ωb、ωa的另一条外公切线（不为AB），类似定义l BC、l CD、l DE、l EF、l FA.设l FA与l AB的交点为A1，类似定义B1、C1、D1、E1、F1．若六边形A1B1C1D1E1F1为凸六边形，证明：该六边形的对角线共点．67.已知圆弧Γ1、Γ2、Γ3均过点A、C，且在直线AC同侧，Γ2在Γ1与Γ3之间，B是线段AC上一点，由B引三条射线h1、h2、h3，与Γ1、Γ2、Γ3在直线AC的同侧，且h2在h1与 h3之间．设h i与Γj（i,j=1,2,3）的交点为V ij.由线段V ij V il、V kj V kl及弧V ij V kj、弧V il V kl构成的曲边四边形记为V ij V kj V kl V il,若存在一个圆与其两条线段和两条弧均相切，则称这个圆为这个曲边四边形的内切圆．证明：若曲边四边形VV21V22V12、V12V22V23V13、V21V31V32V2211均有内切圆，则曲边四边形VV32V33V23也有内切圆．2268.设△ABC的内心为I，⊙I分别切边BC，CA，AB于点D、E、F，设AI与DE、DF交于点M、N，以MN为直径的圆交BC于P、Q．已知△APQ的外接圆与⊙I切于R，△ABC 的外接圆与九点圆切于Fe,设RFe与DE、DF分别交于点M'、N'．以M'N'为直径的圆交BC 于点P'、Q'．证明：△AP'Q'的外接圆与⊙I的根轴平分线段BC．69.设I是△ABC的内心，∠BAC、∠ABC、∠BCA的内角平分线分别交对边于点D、E、F．记H是△DEF垂心．证明：IH与△ABC的欧拉线平行．70.设⊙O、⊙P、⊙Q分别是△ABC∠BAC、∠CBA、∠ACB内的旁切圆，G、H、I、J、K、L分别是⊙P与AB、⊙Q与AC、⊙Q与BC、⊙O与AB、⊙O与AC、⊙P与BC的切点．证明∶△JKD、△LGE、△HIF、△ABC的欧拉线共点．71.△ABC中，O为外心，K为△ABC九点圆圆心关于△ABC的等角共轭点.K在BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F，H是△DEF垂心.证明：O、K、H共线.72.已知H、I分别为△ABC垂心、内心，D、E、F分别在射线AH、BH、CH上，且AD=BE=CF=2r, 这里r是△ABC的内切圆半径.证明：I也为△DEF内心.73.已知B、I1、I2、C是⊙M上顺次四点，BI1与CI2交于A，△I1I2M的外接圆与AB、AC再次交于M1、M2，点O'满足M1O'∥CI1，M2O'∥BI2．X、Y为△ABC的一组等角共轭点，D、E分别在AB、AC上使得XD∥CI1、XE∥BI2，N为△BMC外接圆弧BC（不含M）的中点，XN与△BMC外接圆的另一个交点为F．证明：X、Y、O'共线当且仅当△DEF外接圆与△I1I2M的外接圆相切．74.设△ABC∠BAC内的旁切圆切AB、AC于G、F，∠ABC内的旁切圆⊙P切AB、AC于E、N，∠ACB内的旁切圆⊙Q切AB、AC于M、D．直线DE、MN分别交⊙Q于H、J，交⊙P 于I、K．HC、BI交于X，JF、KG交于Y，证明∶∠BAX＝∠CAY．75.△ABC的内切圆⊙I切BC于D，连接AD交⊙I于J，K在JD上且DK=AJ，若BJ⊥CJ，证明：I、K关于△JBC等角共轭.76.O为△ABC外心，BC、CA上的旁切圆切点分别是X、Y，AX、BY交于点N.圆Γ1切BA、 CA延长线于E、D使得AD=AE=BC，类似地定义Γ2、Γ3.⊙U为与Γ1、Γ2、Γ3均外切的圆，证明:N、O、U共线.77.△ABC内切圆⊙I切BC于D，∠ACB内的旁切圆⊙P分别切BC、AB、CA于E、F、G，∠ABC内的旁切圆⊙Q分别切BC、CA、AB于H、J、K，CF与⊙P交于F、M两点，BJ与⊙Q交于J、N两点.证明:MJ、NF、AD共点.78.P为圆外切四边形ABCD内任意一点，AP、DP分别交BC于N、M.证明:△APD、△MPN、△ABN、△CDM四个三角形的内心共圆.79.设⊙I是△ABC的内切圆，△BCD外接圆⊙O1、△CAE外接圆⊙O2、△ABF外接圆⊙O3分别与⊙I内切于点D、E、F．GH与ST、JK与NP、LM与QR分别是⊙O2与⊙O3、⊙O1与⊙O2、⊙O3与⊙O1的外公切线（L、N、R、K在⊙O1上，P、H、J、S在⊙O2上，G、Q、T、M在⊙O3上，GH、TS与A分别在BC的同侧、异侧，LM、RQ与B分别在AC的同侧、异侧，JK、YM与C分别在AB的同侧、异侧）．设△GHF、△JKE、△LMD外接圆分别为ω1、ω2、ω3，X、Y、Z分别是ω2与ω3、ω1与ω3、ω1与ω2的交点且X、A在BC异侧，Y、 C 在BA异侧，Z、B在AC异侧．证明∶S△KSX•S△MNY•S△HQZ＝S△LTX•S△GPY•S．△RJZ80.圆外切四边形ABCD中两点P、Q满足∠DPA+∠BPC=∠DQA+∠BQC,I1、I2、I3、I4、I11、I22、I33、I44分别是△PAB、△PBC、△PCD、△PDA、△QAB、△QBC、△QCD、△QDA 的内心.证明:I1、I2、I3、I4共圆当且仅当I11、I22、I33、I44共圆.81.△ABC的内切圆分别切AC、AB于E、F.P、Q分别为边AC、AB上的旁切圆切点.点M 为BC中点，PQ、EF交于R.设△ABC九点圆与内切圆切于K，证明:M、R、K共线.82.凸四边形ABCD中，△ABC、△BCD、△CDA、△DAB的内心分别为I D、I A、I B、I C，∠BAC与∠BDC的角平分线交于点E，∠ABD与∠ACD的角平分线交于点F，线段I D I A、I B I C、EF的中点分别为X、Y、Z.证明:X、Y、Z三点共线.83.设ω1、ω2分别是过A、C且与△ABC内切圆内切于J的圆与过B、A且与△ABC内切圆内切于K的圆.设Q、R分别是ω1、ω2与BC的交点，ω1与AB交于P，ω2与AC交于S,X 是△CSR∠C内的旁心，Y是△BPQ∠B内的旁心，M是△BSR的内心，N是△CPQ的内心. 证明:四边形XYMN是矩形.84.设圆Γ过B，C且与△ABC的内切圆⊙I内切于点J，延长AJ交BC于K，交Γ于L.证明:（KB/KC）2=(LB/LC)3.85.⊙I、⊙J、⊙K与⊙O外切于X、Y、Z，EH、FL、MG分别是⊙I与⊙K、⊙I与⊙J、⊙J 与⊙K的外公切线且均与⊙O相交，并且E、F、G、H、L、M均为切点.HG与ML、EF与HG、EF与ML分别交于点U、V、W.证明:YW·XV·ZU=WX·VZ·UY.86.设I、O分别是△ABC的内心、外心，U、V分别为⊙O与⊙I的外位似中心与内位似中心，设E、F、Y、Z分别是BI与AC、CI与AB、BO与AC、CO与AB的交点.证明：U、E、F共线的充要条件是V、Y、Z共线.87.设P、Q是△ABC的一对等角共轭点且△ABC的重心G与P、Q共线.D、E、F分别是AP 与BC、BP与AC、CP与AB的交点，AQ、BQ、CQ分别与△ABC外接圆再次交于点X、Y、Z，证明：△ADX、△BEY、△CFZ外接圆有公共的根轴.88.给定△ABC，证明：在△ABC所在平面内存在唯一的一点P，使得△ABC、△PAB、△PBC、△PCA的欧拉线互相平行.89.设N为△ABC的九点圆圆心，N在BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F，R为N 关于△DEF的等角共轭点，X是△AEF的九点圆圆心.证明：RX垂直于BC.90.设O、I a、I b、I c分别是△ABC的外心、∠BAC内的旁心、∠ABC内的旁心、∠BCA内的旁心.设与⊙Ib、⊙I c外切且与⊙O内切的圆与⊙O切于X，类似定义Y、Z.证明：AX、BY、CZ三线共点.91.O为△ABC外心，P、Q为△ABC的一对等角共轭点.设D、E、F分别为AP与BC、BP与CA、CP与AB的交点.设一条与OQ垂直的直线分别与BC、CA、AB交于点X、Y、Z.证明：△ADX外接圆、△BEY外接圆、△CFZ外接圆有一条公共的根轴.92.设I、O分别为△ABC的内心、外心，D、E、F分别为AI与BC、BI与AC、CI与 AB的交点.设ω为与AB、AC相切且与⊙O内切的圆，过E，F作ωaa的切线(不同于直线AB、AC)交于D1，X为ωa与⊙O切点，类似定义E1、F1、Y、Z.证明：XD1、YE1、ZF1、OI四线共点.93.设P为△ABC内一点，D、E、F分别是AP与BC、BP与AC、CP与AB的交点.设△DEF外接圆与直线BC另一个交点为X，O为△ABC外心，T为△DEF垂心，X'为X 关于直线EF的对称点.证明：AX'、BC、OT三线共点.94.给定△ABC及与一点P，设AP与BC、BP与CA、CP与AB的交点分别为D、E、F.证明：存在两点U、V使得V是U关于△ABC的等角共轭点，也是U关于△DEF的等角共轭点.95.△ABC的垂心为H，AH与BC交点为D.U、V为线段BC上两点使得∠BHU=∠CHV，PQ、RS为△ABC外接圆的两条弦且分别过U、V.证明：△ADP、△ADQ、△ADR、△ADS四个三角形的垂心共圆.96.△ABC的内心、外心、垂心分别是I、O、H.P为直线OI上一点，P a、P b、P c分别是P在BC、CA、AB上的射影.设AI、BI、CI与⊙O再次交于D、E、F，设D'、E'、F' 分别为D 关于P a、E关于P b、F关于P c的对称点.证明：D'、E'、F'、H四点共圆.97.△ABC外心为O，P为△ABC所在平面内一点，D、E、F分别为P在BC、AC、AB上的射影，AP、BP、CP与⊙O再次交于点X、Y、Z.X'、Y'、Z'分别是X关于OD、Y关于OE、Z 关于OF的对称点.证明：AX'、BY'、CZ'三线共点.98.△ABC外心为O，共轭重心为K，D与A在直线BC同侧且△BCD为正三角形，J是AD 中垂线与BC交点，AJ与⊙O再次交于T.证明：T关于△ABC的西姆松线平行于OK.99.P 为△ABC 内一点，D 、E 、F 分别是 AP 与 BC 、BP 与 AC 、CP 与 AB 交点，X 、Y 、Z 分 别是 P 在 BC 、CA 、AB 上的射影.P 关于△ABC 的等角共轭点 Q ，O 为△ABC 外心，r 为⊙O 半径.R 在射线 OQ 上且 OP·OQ=r2.△DEF 外接圆与△XYZ 外接圆有两个不同的交点 T 1、T 2.l 1、 l 2 分别为 T 1、T 2 关于△DEF 的西姆松线，直线 l 3、l 4 使得 l 3∥l 1 且 T 1 到 l 3 的距离为 T 1 到 l 1 距离的两倍，l 4∥l 2 且 T 2 到 l 4 的距离等于 T 2 到 l 2 距离的两倍(T 1 在 l 1、l 3 的同侧，T 2 在 l 2、 l 4 的同侧).证明：l 3、l 4 一条过 P ，一条过 R.100.已知⊙O上顺次五点A、B、C、D、E，设ω1为与BC、AC相切且与⊙O内切的圆，ω为与AD、BE相切且与⊙O内切的圆，ω3为与AD、BE相切且与⊙O外切的圆.证明：C向ω3所作的一条切线与ω1与ω2的一条公切线平行.21'.已知⊙O1与△ABC的AB、BC边相切且与△ABC的外接圆内切于E，⊙O2与△ABC的AC、BC边相切且与△ABC的外接圆内切于F，连接EO2、FO1交于X.证明：AX平分∠BAC.2'.一直线交△X1X2X3三边所在直线X2X3、X3X1、X1X2于A1、A2、A3.分别过A1、A2、A3作X2X3、X3X1、X1X2的垂线,三垂线交成△Y1Y2Y3.证明：直线A1A2A3平分△X1X2X3垂心和△Y1Y2Y3垂心的连线段.3'.设H为锐角△ABC的垂心，M为BC中点，⊙I1、⊙I2分别为△ABH、△ACH的内切圆. 证明：⊙I1、⊙I2除AH外的另一条内公切线过M.4'.设△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB于D、E、F.记D关于EF、E关于FD、F关于DE 的对称点分别为D’、E’、F’,V为△ABC的九点圆心.证明：V在△D’E’F’的欧拉线上.5'.△ABC内接与⊙O,H是△ABC的垂心，E、F分别是H关于直线AC、AB的对称点.OE与AC交于M,OF与AB交于N,作平行四边形ABDC,设X、Y、Z分别是H在MN、ND、MD边上的射影.证明：△XYZ的外接圆与△ABC的九点圆相切.6'.已知⊙I为△ABC的内切圆，⊙U过B、C两点，⊙V与边AB、AC相切且与⊙U内切，l 为平行于BC且与⊙I相切的直线（l不与BC重合），L为⊙U上任意一点，过L作⊙I的切线交l于E、F.证明：△EFL的外接圆与⊙V相切.7'.设K是△ABC的共轭重心，P是△ABC内任意一点，P在BC、CA、AB的射影分别为X、Y、Z，G为△XYZ的重心，D在ABC的外接圆上且满足D关于△ABC的西姆松线与直线KP平行.设直线AD、BC交于E；直线BD、AC交于F；直线EF、AB交于J.证明：J、K、G共线.8'.设H、I分别为△ABC的垂心、内心，AB、AC上的旁切圆切点分别为F、E,线段BE与CF相交于N.设HN中点为M，J在射线MI上满足JM·IM＝MH²，直线IN与BC交于D，G在线段BC上且满足BG＝CD.证明：GI＝GJ.9'.已知四边形ABCD为圆外切四边形，AC、BD的中垂线相交于P，设I1、I2、I3、I4分别为△ABP、△BCP、△CDP、△DAP的内心.证明：I1、I2、I3、I4四点共圆.10'.设四边形ABCD内接于⊙U,⊙V与线段AC、BD相切（与线段BC相交）且与⊙U内切于T,F为劣弧BC上任意一点，⊙P与线段AF、BC相切（与线段AB相交）且与⊙U内切. 设M是⊙P与BC的切点，延长DM交⊙U于E.⊙Q与线段DE、BC相切（与线段CD相交）且与⊙U内切，⊙R与直线BF、CE相切且与⊙U外切于X.设N是⊙Q与BC的切点.证明：M、N、T、X四点共圆.。