第15讲 求解线性方程组的 Jacobi 迭代法

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对方程组 如：令
Ax b
AM N
做等价变换 ，则
x Gx g
Ax b (M N ) x b Mx b Nx x M 1 Nx M 1b
所以，序列收敛
Gk 0
与初值的选取无关
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定义6.1：（收敛矩阵） 定理：
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Gk 0
矩阵G为收敛矩阵，当且仅当G的谱半径<1
G k 0 (G) 1
知，若有某种范数
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( k 1) x1 x ( k 1) 2 ( k 1) xn
格式很简单：
1 (k ) (k ) (a12 x2 a1n xn b1 ) a11 1 (k ) (k ) (k ) (a21 x1 a23 x3 a1n xn b2 ) a22 1 (k ) (k ) (an1 x1 an n 1 xn 1 bn ) ann
则，我们可以构造序列 若
x( k 1) G x( k ) g
x ( k ) x * x* G x * g Ax* b
同时：
x( k 1) x* Gx( k ) Gx* G( x( k ) x*) G k 1 ( x(0) x*)
aii aij
j i i j
② A为列对角占优阵
③ A满足
a jj aij
1
a
i j
aij
ii
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证明：
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G D1 ( L U ) aij G max 1 aij aii i j i aii j i aij G 1 max 1 i i j aii
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易知，Jacobi迭代有
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(D L U ) x b Dx ( L U ) x b
x D1 ( L U ) x D1b G D1 ( L U ) I D1 A , g D1b
② A为列对角占优阵，则AT为行对角占优阵，有
( I D1 AT ) 1
( I D1 A) ( I D1 AT ) 1
＃证毕
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Jacobi迭代算法 Function [x,k,index]=Jacobi(A,b,ep,it_max) %A为系数矩阵 %b常数项 %ep精度要求，缺省1e-5 %It_max最大迭代次数，缺省100 %X方程组的解 %K迭代次数 %Index迭代指标=1 收敛成功 =0 收敛失败 If nargin<4 it_max=100;end If nargin<3 ep= 1e-5;end N=length(A);k=0; X=zeros(n,1); y=zeros(n,1);index=1; While 1 for i=1:n y(i)=b(i); for j=1:n
x1 x 2 xn 1 (a12 x2 a1n xn b1 ) a11 1 (a21 x1 a23 x3 a1n xn b2 ) a22 1 (an1 x1 an n 1 xn 1 bn ) ann
由
(G) G
G
p
1
则，迭代收敛
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6.1 Jacobi迭代
a11 x1 a1n xn b1 a x a x b nn n n n1 1
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• 收敛条件 迭代格式收敛的充要条件是G的谱半径<1。对于Jacobi迭代，我们有一些保证收敛 的充分条件
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定理：若A满足下列条件之一，则Jacobi迭代收敛。
① A为行对角占优阵
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第6章 解线性方程组的迭代法
直接法得到的解是理论上准确的，但是我们可以看得出，它们的计算量都是n3 数量级，存储量为n2量级，这在n比较小的时候还比较合适（n<400），但是对于现 在的很多实际问题，往往要我们求解很大的n的矩阵，而且这些矩阵往往是系数矩阵 就是这些矩阵含有大量的0元素。对于这类的矩阵，在用直接法时就会耗费大量的时 间和存储单元。因此我们有必要引入一类新的方法：迭代法。 迭代法具有的特点是速度快。与非线性方程的迭代方法一样，需要我们构造一 个等价的方程，从而构造一个收敛序列，序列的极限值就是方程组的根
xi
( k 1)
n 1 i 1 (k ) (k ) ( aij x j aij x j bi ) aii j 1 j i 1
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• 迭代矩阵 记
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A D L U
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If j=i y(i)=y(i)-A(i,j)*x(j); end end If abs(A(i,j))<1e-10|k==it_max index=0;return; end y(i)=y(i)/A(i,j); end If norm(y-x,inf)<ep break; end x=y;k=k+1; end
0 a11 D 0 ann
0 0 a21 0 L 0 a ann 1 0 n1
a1n 0 a12 0 U 0 an 1n 0 0