专题8.3 简单几何体的表面积与体积(解析版)

专题8.3 简单几何的表面积与体积

运用一 体积

【例1】（1）（2019·北京高二学业考试）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，如果3AB =，

1AC =，12AA =，那么直三棱柱111ABC A B C -的体积为( )

A.2

B.3

C.4

D.6

（2）（2019·云南省玉溪第一中学高二月考）一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）

B. D.（3）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）

A.

112

3

B.

136

3

C.48

D.56

【答案】（1）B （2）A （3）C 【解析】（1）因为AB AC ⊥，所以3

22

ABC

AB AC S ⋅=

=； 所以1111

3

232

ABC A B C ABC V S

AA -=⨯=⨯=，故选：B.

（2）由三视图知，该几何体是一个直四棱锥，底面是一个直角梯形，底面积为

()122

+=

，高为2，

因此，这个四棱锥的体积为123=，故选：A.

（3）根据三视图知，该几何体是平放的四棱柱，如图所示，且该四棱柱的底面为等腰梯形， 棱柱的高为4，它的体积为()1

2444482

V Sh ==

⨯+⨯⨯=．故选：C ．

【举一反三】

1．（2019·北京高一期末）已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则这个圆柱的体积是（ ） A ．2

2π B ．2

π

C ．

2

2

π D ．

2

3

π

【答案】A

【解析】底面圆周长22l r ππ==，1r = ，2S r ππ==所以222V Sh πππ==⨯= 故选：A

2．（2019·河北高三月考（理））圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则该圆锥的高为（ ）

A B ．4

C ．3

D ．2

【答案】A

【解析】

设母线为l ，底面半径为r ，高为h ，则4rl ππ=，1r =，所以h =.答案选A

3．设正六棱锥的底面边长为1 ）

A. C. D.2

【答案】B

【解析】由底面边长为12h ==.

又因为底面积16222S =⨯⨯=112332

V Sh ==⨯⨯=故选B.

4．已知圆台上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积为6π，则这个圆台的体积为（ ）．

A ．14π

B ．143

π

C ．

3

D ．

【答案】C

【解析】依题意知圆台上底面半径为1r = ，下底面半径为2R =

如图所示圆台展开为一个圆环的一部分即ABCD ，其小扇形弧长2AD π=，大扇形弧长4BC π=， 由

2BC AD

=知道OA AB l == ，则圆台的侧面积11

622

S BC OB AD OA π=

-=2l ⇒= 所以高h =

圆台的体积221()3V h r rR R π=

++= 故选C 5．（2019·四川绵阳中学高一月考）圆台上底半径为2，下底半径为6，母线长为5，则圆台的体积为（ ） A.40π B.52π

C.50π

D.

212

3

π 【答案】B

【解析】作出圆台的轴截面如图所示：

上底面半径2MD =，下底面半径6NC =，过D 做DE 垂直NC ， 则624EC =-=由5CD =故3DE =即圆台的高为3,

所以圆台的体积为221

3(26523

V πππ=

⋅⋅⋅+⋅+=.故选：B ． 运用二 表面积

【例2】(1)（2019·山西高二月考（文））已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为() A.27π

B.36π

C.54π

D.81π

(2)（2019·福建高三月考（文））《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）

A ．2

B ．4+

C ．4+

D ．6+

(3)（2019·安徽高二期末（文））如图，长度为1的正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体表面积为（ ）

A ．16+

B ．16+

C ．12+

D ．12+

【答案】(1)B(2)D(3)D

【解析】(1)设圆柱的底面半径为r ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πr h r ==，解得3r =，所以该圆柱的侧面积为2π236r r ⨯=π．

(2),斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，

∴几何体的表面积1

2222262

S =⨯+⨯⨯=+故选：D ． (3)由三视图还原原几何体如图，

该几何体为四棱锥，底面是矩形，AD ＝4，AB ＝2，四棱锥的高为2．

则其表面积为S 111

424222412222

=⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+．故选：D ． 【举一反三】

1．（2019·湖南高一期末）已知一个圆柱的高是底面圆半径的2倍，则该圆柱的侧面积与表面积的比值为（ ） A.

1

4

B.

12

C.

23

D.

45

【答案】C