中考数学总复习压轴题精选2

中考数学压轴题精选2

1．若抛物线L：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，abc≠0)与直线l都经过y轴上的同一点，且抛物线L的顶点在直线l上，则称此抛物线L与直线l具有“一带一路”关系，并且将直线l叫做抛物线L的“路线”，抛物线L叫做直线l的“带线”．

(1)若“路线”l的解析式为y＝2x－4，它的“带线”L的顶点的横坐标为－1，求“带线”L的解析式；

(2)如果抛物线y＝mx2－2mx＋m－1与直线y＝nx＋1具有“一带一路”关系，求m，n的值；

(3)设(2)中的“带线”L与它的“路线”l在y轴上的交点为A.已知点P为“带线”L上的点，当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时，求出点P的坐标．

2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(0，2)，且抛物线上任意不同两点M(x1，y1)，N(x2，y2)都满足：当x1＜x2＜0时，(x1－x2)(y1－y2)＞0；当0＜x1＜x2时，(x1－x2)(y1－y2)＜0.以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若MN与直线y＝－23x平行，且M，N位于直线BC的两侧，y1＞y2，解决以下问题：

①求证：BC平分∠MBN；

②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．

3．如图，过点B(4，0)作直线l∥y轴，⊙A的直径为BO，以直线l为对称轴的抛物线经过点A，与x轴另一交点为C，抛物线的顶点为点E，CO＝2BE.

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点C作⊙A的切线CD，D为切点，求CD的长；

(3)在切线CD上是否存在点F，使△BFC与△CAD相似？若存在，求出CF的长；若不存在，请说明理由．

4．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)两点，且与y轴交于点C.

(1)求经过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；

(2)抛物线上是否存在点P，使得△BCP是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

(3)过抛物线上动点Q作QE垂直y轴于点E，交直线BC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，直接写出△DEF外接圆的最小直径．

5．如图，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，直线y ＝－1

2x ＋2经过点A ，C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P 为直线AC 上方抛物线上一动点． ①连接PO ，交AC 于点E ，求PE

EO

的最大值；

②过点P 作PF ⊥AC ，垂足为点F ，连接PC ，是否存在点P ，使△PFC 中的一个角等于∠CAB 的2倍？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．解：(1)∵“带线”L 的顶点横坐标是－1，且它的“路线”l 的解析式为y ＝2x －4， ∴y ＝2×(－1)－4＝－6，

∴“带线”L 的顶点坐标为(－1，－6)． 设L 的解析式为y ＝a(x ＋1)2－6.

∵“路线”y ＝2x －4与y 轴的交点坐标为(0，－4)，

∴“带线”L 也经过点(0，－4)，将(0，－4)代入L 的解析式，解得a ＝2， ∴“带线”L 的解析式为 y ＝2(x ＋1)2－6＝2x 2＋4x －4. (2)∵直线y ＝nx ＋1与y 轴的交点坐标为(0，1)，

∴抛物线y ＝mx 2－2mx ＋m －1与y 轴的交点坐标也为(0，1)，将(0，1)代入抛物线解得m ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝2x 2－4x ＋1，其顶点坐标为(1，－1)， ∴直线y ＝nx ＋1经过点(1，－1)，解得n ＝－2， ∴m ，n 的值分别为2，－2.

(3)设抛物线的顶点为B ，则点B 坐标为(1，－1)， 如图，过点B 作BC ⊥y 轴于点C ，连接PA 交 x 轴于点D. ∵点A 坐标为(0，1)，

∴AO ＝1，BC ＝1，AC ＝2.

∵“路线”l 是经过点A ，B 的直线，且⊙P 与“路线”l 相切于点A ， ∴PA ⊥AB ，

显然Rt △AOD ≌Rt △BCA ，

∴OD ＝AC ＝2，D 点坐标为(－2，0)， 则经过点D ，A ，P 的直线解析式为y ＝1

2

x ＋1.

∵点P 为直线y ＝1

2x ＋1与抛物线y ＝2x 2－4x ＋1的交点，

解方程组⎩⎪⎨⎪

⎧y ＝2x 2－4x ＋1，y ＝12

x ＋1得

⎩

⎪⎨⎪⎧x 1

＝0，

y 1

＝1，(即点A 舍去)⎩⎨⎧x 2

＝9

4，y 2

＝178，

即点P 的坐标为(94，17

8

)．

2．解：(1)∵抛物线过点A(0，2)，∴c ＝2.

当x 1＜x 2＜0时，x 1－x 2＜0，由(x 1－x 2)(y 1－y 2)＞0，得到y 1－y 2＜0， ∴当x ＜0时，y 随x 的增大而增大． 同理，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小， ∴抛物线的对称轴为y 轴，且开口向下，即b ＝0.

∵如图，以O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线交于另两点B ，C ，连接OB ，OC ， ∴△ABC 为等腰三角形． ∵△ABC 中有一个角为60°，

∴△ABC 为等边三角形，且OC ＝OA ＝OB ＝2.

设线段BC 与y 轴的交点为点D ，则有BD ＝CD ，且∠OBD ＝30°， ∴BD ＝OB·cos 30°＝3，OD ＝OB·sin 30°＝1. ∵B 在C 的左侧，∴B 的坐标为(－3，－1)． ∵B 点在抛物线上，且c ＝2，b ＝0， ∴3a ＋2＝－1，解得a ＝－1， 则抛物线解析式为y ＝－x 2＋2.

(2)①由(1)知，点M(x 1，－x 12＋2)，N(x 2，－x 22＋2)． ∵MN 与直线y ＝－23x 平行，

∴设直线MN 的解析式为y ＝－23x ＋m ，则有－x 12＋2＝－23x 1＋m ， 即m ＝－x 12＋23x 1＋2，

∴直线MN 解析式为y ＝－23x －x 12＋23x 1＋2. 把y ＝－23x －x 12＋23x 1＋2代入y ＝－x 2＋2， 解得x ＝x 1或x ＝23－x 1，