天津九年级数学知识点总结

一元二次方程知识点总结

考点一、一元二次方程

1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：)0(02

≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次 多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法:

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如

b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法:

配方法的理论根据是完全平方公式2

2

2

)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有2

2

2

)(2b x b bx x ±=+±。

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的求根公式：

)04(2422≥--±-=ac b a

ac b b x

公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 。

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 5、韦达定理

利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于-a b ，二根之积等于a

c

，也可以表示为x 1+x 2=-

a b ，x 1 x 2=a

c

。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用。 考点三、一元二次方程根的判别式

根的判别式：

一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 中，ac b 42

-叫做一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的根的判别

式，通常用“∆”来表示，即ac b 42

-=∆ I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； III 当△<0时，一元二次方程没有实数根。

考点四、一元二次方程根与系数的关系

如果方程)0(02

≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -

=+21，a

c

x x =21。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反

数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

考点五、一元二次方程的二次函数的关系

大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y 的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X 轴的交点。也就是该方程的解了

一元二次方程易错题

一、选择题

1、若关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+5x+m 2-3m+2=0有一个根为0，则m 的值等于（ ） A ．1 B . 2 C . 1或2 D . 0

2、巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）

A ．45250x +=

B ．2

45(1)50x += C ．2

50(1)45x -=

D ．45(12)50x +=

3、已知a b ，是关于x 的一元二次方程210x nx +-=的两实数根，则

b a

a b

+的值是（ ） A ．2

2n +

B ．2

2n -+

C ．2

2n -

D ．2

2n --

4、已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则(a + b)x2 + 2cx + (a + b)＝0的根的情况是（ ）

A ．没有实数根

B ．可能有且只有一个实数根

C ．有两个相等的实数根

D ．有两个不相等的实数根

5、已知n m ,是方程0122

=--x x 的两根，且8)763)(147(2

2

=--+-n n a m m ，则a 的值等于 （ ）

A ．－5 B.5 C.-9 D.9

6、已知方程2

0x bx a ++=有一个根是(0)a a -≠，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）

A ．ab

B ．

a

b

C ．a b +

D ．a b - 7、112

,022x x x x 下面对的一较小根为=--的估计正确的是 （ ）

A ．121-<<-x

B ．011<<-x

C ．101<

D ．211<

8、关于x 的一元二次方程2

210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22

127x x +=，则212()x x -的

值是（ ）

A ．1

B ．12

C ．13

D ．25

9、中江县2011年初中毕业生诊断考试)某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学

各送一张表示留念，全班共送了2450张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为( )

A . 2450)1(=-x x

B . 2450)1(=+x x

C . 2450)1(2=+x x

D .

24502

)

1(=-x x 10、设a b ，是方程2

20090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）

A ．2006

B ．2007

C ．2008

D ．2009

11、对于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)，下列说法： ①若a+c=0，方程ax 2+bx+c=0必有实数根； ②若b 2

+4ac<0，则方程ax 2+bx+c=0一定有实数根； ③若a-b+c=0，则方程ax 2+bx+c=0一定有两个不等实数根；