7.0第七章平面向量习题及答案(最新整理)
平面向量习题及答案
平面向量习题及答案【篇一：平面向量练习题集答案】>典例精析题型一向量的有关概念【例1】下列命题：①向量ab的长度与ba的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量ab与向量cd是共线向量，则a、b、c、d必在同一直线上.其中真命题的序号是.【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；ab与cd是共线向量，则a、b、c、d可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.【变式训练1】下列各式：①|a|＝a?a；②(a?b) ?c＝a? (b?c)；③oa－ob＝ba；④在任意四边形abcd中，m为ad的中点，n为bc的中点，则ab ＋＝2；其中正确的个数为( )a.1b.2c.3d.4【解析】选d.| a|＝a?a正确；(a?b) ?c≠a? (b?c)； oa－ob＝ba 正确；如下图所示，mn=++且mn=++，两式相加可得2mn＝ab＋dc，即命题④正确；因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线，即得(a＋b)⊥(a－b).所以命题①③④⑤正确.题型二与向量线性运算有关的问题【例2】如图，abcd是平行四边形，ac、bd交于点o，点m在线段do上，且=，点n在线段oc上,且=,设=a, =b,试用a、b表示，，1313.【解析】在?abcd中，ac，bd交于点o，111所以＝＝(－)a－b)，222＝2＝2(＋)＝2(a＋b).11又＝，＝， 331所以＝ad＋＝b＋ 31115＝b(a－b)＝a， 3266111＝＋＝＋3 4412＝＝(a＋b)a＋b). 3323所以＝－ 21511＝(a＋b)－＋)＝a. 36626【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.所以? (＋)＝?0＝0，故填0.题型三向量共线问题【例3】设两个非零向量a与b不共线.(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：a，b，d三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 1【解析】(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，所以bd＝bc＋cd＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5ab，所以ab， bd共线.又因为它们有公共点b，所以a，b，d三点共线.(2)因为ka＋b和a＋kb共线，因为a与b是不共线的两个非零向量，【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.【变式训练3】已知o是正三角形bac内部一点，+2+3=0，则△oac的面积与△oab的面积之比是（3a. 2c.2 2b. 31d. 3 ）【解析】如图，在三角形abc中， oa＋2ob＋3oc＝0，整理可得oa＋oc＋2(ob＋oc)＝0.1令三角形abc中ac边的中点为e，bc边的中点为f，则点o在点f与点e连线的处，即oe＝2of. 32由于ab＝2ef，oe＝，所以ab＝3oe， 31s△oacoe?h2＝＝.故选b. 3s△oabab?h4总结提高1.向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，而向量平行则包括共线(即重合)的情形.2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3.当向量a与b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当向量a与b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||；当向量a与b不共线时，|a＋b|＜|a|＋|b|.典例精析题型一平面向量基本定理的应用【例1】如图?abcd中,m,n分别是dc，bc中点.已知am=a,=b,试用a，b表示，ad与ac【解析】易知am＝ad＋dm 1＝＋， 21an＝ab＋bn＝ab2ad， 1???a,??2即? ??1?b.?2?22所以＝b－a)，＝2a－b). 332所以＝＋＝a＋b). 3【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.【变式训练1】已知d为△abc的边bc上的中点，△abc所在平面内有一点p，满足＋＋＝0等于( ) 1b. 2c.1 d.2 1a. 3【解析】由于d为bc边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知pb＋pc＝2pd，因此结合pa＋bp＋cp＝0即得pa＝2pd，因此易得p，a，d三点共线且d是pa＝1，即选c.题型二向量的坐标运算【例2】已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b.(1)若u＝3v，求x；(2)若u∥v，求x.【解析】因为a＝(1，1)，b＝(x，1)，所以u＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)，v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1).(1)u＝3v?(2x＋1，3)＝3(2－x，1)?(2x＋1，3)＝(6－3x，3)，所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1.?2x?1??(2?x),?? 3????(2x＋1)－3(2－x)＝0?x＝1.【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.＋|a141＋b|2的最大值为.值为284.题型三平行(共线)向量的坐标运算【例3】已知△abc的角a，b，c所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin b，sin a)，p＝(b－2，a－2).(1)若m∥n，求证：△abc为等腰三角形；【解析】(1)证明：因为m∥n，所以asin a＝bsin b.由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b.所以△abc为等腰三角形.a(b－2)＋b(a－2)＝0，所以a＋b＝ab.由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，所以(ab)2－3ab－4＝0.所以ab＝4或ab＝－1(舍去).113所以s△abc＝absin c3. 222【点拨】设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，则①m∥n?x1y2＝x2y1；②m⊥n?x1x2＋y1y2＝0.【变式训练3】已知a，b，c分别为△abc的三个内角a，b，c的对边，向量m＝(2cosc－1，－2)，n＝(cos c，cos c＋1).若m⊥n，且a＋b＝10，则△abc周长的最小值为( )a.10－3c.10－23b.10＋53d.10＋231【解析】由m⊥n得2cos2c－3cos c－2＝0，解得cos c＝－cos c＝2(舍去)，所以c2＝a2＋b2－2abcos 2【篇二：高中数学平面向量测试题及答案】选择题：1。
(2021年整理)高中数学平面向量习题及答案
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第二章 平面向量一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ,E 分别是AB ，AC 的中点,则（ ）． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线C ．AD 与AE 相等 D ．AD 与BD相等2．下列命题正确的是（ )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ,则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A （3，1)，B （－1，3），若点C 满足OC ＝OA ＋OB ，其中,∈R ，且＋＝1，则点C 的轨迹方程为（ ）．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1）2＋(y －1）2＝5 C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝04．已知a 、b 是非零向量且满足（a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是（ )．A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A ，C ），则AP ＝( ）． A ．λ(AB ＋AD ）,λ∈(0，1) B ．λ（AB ＋BC ),λ∈（0，22） C ．λ(AB －AD ),λ∈（0，1）D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22） 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝（ ）． A ．EF ＋EDB ．EF －DEC ．EF ＋ADD ．EF ＋AF7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b ｜＝4，(a ＋2b ）·（a －3b )＝－72，则向量a 的模(第1题)为( )．A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA,则点O是△ABC的（ )．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b,DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为（）．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中,|AD|＝｜BC｜,EF∥AB∥CD则相等向量是（ )．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF(第10题)二、填空题11．已知向量OA＝(k,12)，OB＝（4，5)，OC＝(－k,10)，且A，B，C三点共线,则k ＝．12．已知向量a＝（x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M（－1,3),N(1，3）,则x＝．13．已知平面上三点A，B，C满足｜AB|＝3，｜BC｜＝4，|CA|＝5,则AB·BC＋BC·CA ＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3,4），b＝（2，－1），且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC 的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，若a＋c＝b＋d,则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3），B(5，4),C(7，10),若点P满足AP＝AB＋λAC（λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5),C(4，3），M，N，D分别是AB，AC，BC的中点,且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE（利用向量证明）．(第19题)20．已知向量a＝（cos θ，sin θ），向量b＝(3，－1），则|2a－b｜的最大值．参考答案一、选择题 1．B解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行,AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB＝DC ，可能A ，B ,C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等,方向相同,故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝（x ，y ），OA ＝（3，1),OB ＝(－1，3)，OA ＝(3，)，OB ＝（－，3），又OA ＋OB ＝(3－，＋3），∴ （x ,y ）＝(3－，＋3），∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又＋＝1，由此得到答案为D ．4．B解析:∵(a －2b ）⊥a ，（b －2a )⊥b ,∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0,（b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴ a 2＝b 2，即｜a |＝|b ｜．∴｜a |2＝2｜a ｜｜b ｜cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝21．∴ a 与b 的夹角是3π．5．A解析:由平行四边形法则,AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1）．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ， ∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．(第1题)（第6题)7．C解析：由(a＋2b）·（a－3b）＝－72，得a2－a·b－6b2＝－72．而|b|＝4，a·b＝｜a｜|b|cos 60°＝2|a｜，∴｜a|2－2|a｜－96＝－72，解得|a|＝6．8．D解析：由OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，得OA·OB＝OC·OA，即OA·(OC－OB)＝0，故BC·OA＝0,BC⊥OA，同理可证AC⊥OB，∴O是△ABC的三条高的交点．9．C解析:∵AD＝＋＋DC＝－8a－2b＝2BC,∴∥BC且|｜≠｜BC｜．∴四边形ABCD为梯形．10．D解析：AD与BC,AC与BD,OA与OB方向都不相同,不是相等向量．二、填空题2．11．－3解析：A，B，C三点共线等价于，共线，AB＝OB－OA＝（4，5)－(k，12)＝（4－k，－7)，BC＝OC－OB＝（－k，10)－（4，5）＝(－k－4，5），又A，B,C三点共线，2．∴ 5（4－k)＝－7(－k－4),∴k＝－312．－1．解析:∵ M (－1，3)，N （1，3)， ∴ MN ＝(2，0），又a ＝MN ， ∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ,∴AB ·BC ＝0, ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB ） ＝－(CA )2＝－2CA ＝－25．思路2：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°，∴ cos ∠CAB ＝CA AB＝53，cos ∠BCA ＝CABC ＝54．根据数积定义，结合图（右图)知AB ·BC ＝0，BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54）＝－16, CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9． ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25． 14．323． 解析：a ＋m b ＝（3＋2m ,4－m )，a －b ＝(1，5)．D(第13题)∵ （a ＋m b )⊥(a －b ），∴ (a ＋m b )·(a －b )＝（3＋2m )×1＋（4－m )×5＝0⇒m ＝323． 15．答案：重心．AC 于点E ，则OF解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交＝OA ＋OC ,又 OA ＋OC ＝－OB ,∴ OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ,∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形． 三、解答题 17．λ＜－1．解析:设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝（x ,y ）－(2，3）＝（x －2，y －3)．AB ＋λAC ＝(5，4)－（2，3)＋λ［(7，10）－(2，3)]＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵ AP ＝AB ＋λAC ，∴ （x －2,y －3)＝（3＋5λ，1＋7λ）． ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．DF ＝（47，2）．解析：∵ A (7,8)，B (3,5)，C (4,3）， AB ＝(－4，－3），AC ＝(－3,－5)． (第15题)又 D 是BC 的中点,∴ AD ＝21(AB ＋AC ）＝21(－4－3，－3－5）＝21(－7,－8）＝(－27，－4)．又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴ F 是AD 的中点， ∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27,－4）＝（47，2)． 19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b ）·（b －21a ）＝21b 2－21a 2＋43a ·b ． 又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0． ∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1:2a －b ＝（2cos θ－3,2sin θ＋1)，∴ ｜2a －b |2＝(2cos θ－3）2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos 3π－cos θsin 3π）＝8sin （θ－3π），最大值为8,∴ ｜2a －b ｜2的最大值为16，∴｜2a －b ｜的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移,使它们的起点与原点重合，则｜2a －b ｜表示2a ，b 终点间的距离．｜2a |＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ,b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ ｜的最大值为直径的长为4．(第19题)。
平面向量教材课后习题答案
平面向量教材课后习题答案平面向量教材课后习题答案随着数学教育的发展，教材的重要性不言而喻。
作为学生来说，教材中的习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
而对于平面向量这一概念来说，习题的解答更是锻炼思维和应用知识的重要手段。
本文将为大家提供一些平面向量教材课后习题的答案，希望能够对大家的学习有所帮助。
一、基本概念题1. 设向量A = (3, 4) ，B = (-2, 5)，求A + B的坐标表示。
答案：A + B = (3 + (-2), 4 + 5) = (1, 9)。
2. 已知向量A = (2, -1)，求A的模长。
答案：|A| = √(2^2 + (-1)^2) = √5。
二、向量运算题1. 设向量A = (3, 4)，B = (-2, 5)，求A - B的坐标表示。
答案：A - B = (3 - (-2), 4 - 5) = (5, -1)。
2. 已知向量A = (2, -1)，求向量A的负向量。
答案：-A = (-2, 1)。
三、向量共线与垂直题1. 设向量A = (1, 2)，B = (2, 4)，判断向量A与向量B是否共线。
答案：向量A与向量B共线，因为它们的坐标成比例关系。
2. 设向量A = (1, 2)，B = (-2, 1)，判断向量A与向量B是否垂直。
答案：向量A与向量B不垂直，因为它们的内积不为0。
A·B = 1*(-2) + 2*1 = 0。
四、向量投影题1. 已知向量A = (3, 4)，B = (1, 2)，求向量A在向量B上的投影长度。
答案：向量A在向量B上的投影长度为|A|cosθ，其中θ为A与B的夹角。
由向量内积的性质可知，cosθ = (A·B) / (|A||B|)。
所以，投影长度为|A|cosθ =|A|(A·B) / (|A||B|) = (3*1 + 4*2) / √(3^2 + 4^2) = 11 / 5。
2. 已知向量A = (2, 3)，B = (1, -1)，求向量A在向量B上的投影向量。
7.0第七章平面向量测试题及答案(可编辑修改word版)
第七章《平面向量》测试题（时间：120 分钟；分数：150 分）一、选择题（12 小题，每题 5 分，共 60 分）1.下列量：力、位移、速度、加速度、质量、面积中有（）个是向量. （A）5 （B）4 （C）3 （D）72.四边形 ABCD 中若AB = D C,则它一定是（）（A）平行四边形（B）矩形（C）菱形（D）正方形3.若点M 是AB 的中点，O 为平面上任意一点，下列各式中不正确的是（）A M = MB A M = 1AB（A）（B）2O M = 1(OA + OB) O M = 1AB（C） 2 （D）24.下列命题中正确的是（）a = |a|（A）aa=（B|||b|(a,b均为非零向量）（C）a与b反向且均为非零向量，则|a + b| = |a| + |b|（D）a与b同向且均为非零向量，则|a + b| = |a| + |b|5.已知点A（5,3），B（8,0），C（2,0），则∆ABC是（）（A）等腰直角三角形（B）非等腰直角三角形（C）锐角三角形（D）钝角三角形6.已知向量 = ( - 4,1), = (2, ‒ 3), = (7, ‒ 5)，则向量的坐标为（）（B）(5, ‒ 7)（C）(9, ‒ 3)（D）( - 9,3)（A）( - 5,7)7.下列命题：①已知A(3,5),B(1, ‒ 7),则AB中点坐标为（- 1， - 1）.②对平面内任意一点O,都有AB = OA- OB.③已知ABCD的三个顶点A（- 1， - 2）,B(3,1), C(0,2),则D点的坐标为（- 3， - 2）.④已知AB，P、Q为AB的三等分点，则PB = 2QB.则其中正确命题的个数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3A(0,3) ,B(3,6) , AP = 1AB8.已知 3 ,则点P 的坐标为( )（A）（4,9）（B）（1,4）（C）（3,3）（D）（6,3）9.下面各对向量垂直的是（）（A） = (1,9)与 = ( - 1,2) （B）c = ( 2, 3) 与d = ( - 2, 3)（C）EF = ( - 2,3)与M N = (2, ‒ 3) （D）m = (3,4)与n = ( -11 10.已知EF = (3， - 1)与M N = (1， - 2)，则〈EF ,M N 〉等于（）π（A ）2 π（B ）3 π（C ）4 π（D ）511.若a = (1,1)与b = (2,3)，则|3a - b |等于（ ）（A ）4（B ）3（C ）2（D ）112.已知|a ‒ b | = ，|a | = 4，|b | = 1，则a ∙ b 等于（ ）（A ）4 （B ）2 （C ）-3 （D ）3 二、填空题（6 小题，每题 5 分，共 30 分） 13.在平行四边形 ABCD 中，AB ‒ AC =.14.设x 是未知向量，如果2(x ‒ a ) + (2b ‒ x ) = 0,则x = .15. 已知2 + = ( ‒ 4,3) , + ‒ 1,0) ,则a =16.已知a = (3,6) ，b = (1，‒ 2) ，且a = 3b ‒ 2c ,c . 17.已知a = (2,3) ，b = (x ，4) ，若a ⊥ b，那么 x= .18.在等腰三角形∆ABC 中，|AB|=|AC|=6，且AB ∙ AC = - 18，则底角∠C = .三、解答题（共 60 分） 19. （8 分）已知向量a 和b 如图，求（1）2a （2）2a ‒ b .20. （8 分）设a = ( ‒ 1,3) （1）a ⊥ b，m ，2) （2）a ∥ b 当 m 为何值时：21.（10 分）已知a = ( ‒ 1，3),b = （2， ‒ 1），求（1）a ∙ b（2）〈a ,b 〉22(10 分)已知三角形∆ABC 的顶点 A （1,5）、B （-2,1）、C （5,2），证明： ∆ABC 是直角三角形.‒ 1 × 2 + 3 × ( ‒ 1) ( ‒ 1)2 + 32 23 + ( ‒ 1)2223.（12 分）已知向量a = (cos θ，sin θ),b = （cosβ，sinβ ），求：（1）a + b 与a ‒ b 垂直（2）若|ka + b | = |a ‒ kb |，求〈a ,b 〉24.（12 分）已知 A （2,1）、B （3,2）、C （-1,4），（1）求证：AB ⊥ AC（2）当四边形 ABMC 为矩形时，求点 M 的坐标.第七章测试题答案一、选择题（12 小题，每题 5 分，共 60 分） 1. B 2.A 3.D 4.D 5.A 6.B 7.B 8.B 9.D 10.C11.D 12.D二、填空题（6 小题，每题 5 分，共 30 分）13. CB14. 2a ‒ 2b 15. ( - 3，3) 16.(0， ‒ 6)17. ‒ 618.30 ∘三、解答题（共 60 分）19.（8 分） （略） 20. （8 分）m = - 2（1）m=6； （2）3 21. （10 分）a ∙b = ( ‒ 1,3) ∙ (2, - 1) = - 1 × 2 + 3 × ( ‒ 1) = - 5cos 〈a ,b 〉 == -2而0° ≤ 〈a,b〉≤ 180°〈a,b〉= 135°所以22. （10 分）AB = ( ‒ 3，‒ 4) AC = (4，‒ 3)因为AB∙ AC = ( ‒ 3, - 4) ∙ (4, - 3) = - 3 × 4 + ( - 4) × ( ‒ 3) = 0所以即AB⊥ AC所以∆ABC是直角三角形.23. （12 分）|a|2= cos2θ + sin2θ = 1 , |b|2= cos2β + sin2β = 1 （1）因为所以（a + b）∙（a‒ b）= (a)2‒(b)2= |a|2‒|b|2= 0(a + b) ⊥ (a‒ b)所以|ka + b| = |a‒ kb|（2）因为|ka + b|2= |a‒ kb|2所以即k2|a|2+ |b|2+ 2ka∙ b = |a|2+ k2|b|2+ 2ka∙ b|a|2= |b|2= 1因为所以a∙ b = 0 即a⊥ b〈a,b〉= 90°所以24.（12 分）（1）因为 = (3，2) - (2，1) = (1，1)AC = ( ‒ 1，4) ‒ (2，1) = ( ‒ 3，3)而AB∙ AC = (1，1) ∙ ( ‒ 3，3) = 1 × ( ‒ 3) + 1 × 3 = 0所以即AB⊥ AC（2）设 M（x,y）因为四边形 ABMC 为矩形所以AB = C M即(1，1) = (x，y) ‒ ( ‒ 1，4)(x，y) = (0，5)所以 M（0,5）。
平面向量的练习题及答案
平面向量的练习题及答案平面向量的练习题及答案典例精析题型一向量的有关概念下列命题：①向量AB的长度与BA的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上.其中真命题的序号是.①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；AB与CD是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.下列各式：①|a|＝a?a；② ?c＝a? ；③OA－OB＝BA；④在任意四边形ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则AB＋＝2；⑤a＝，b＝，且a与b不共线，则⊥.其中正确的个数为A.1B.C.D.4选D.| a|＝a?a正确；?c≠a? ； OA－OB＝BA正确；如下图所示，MN=++且MN=++，两式相加可得2MN＝AB＋DC，即命题④正确；因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b 为菱形的两条对角线，即得⊥.所以命题①③④⑤正确.题型二与向量线性运算有关的问题如图，ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，点M在线段DO上，且=，点N在线段OC上,且=,设=a, =b,试用a、b 表示，，1313.在?ABCD中，AC，BD交于点O， 111所以＝＝a－b)，22＝2＝2＝2.11又＝，＝，31所以＝AD＋＝b＋1115＝b＝a，266111＝＋＝＋4412＝＝a＋b). 323所以＝－1511＝－＋)＝a.6626向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.O是平面α上一点，A、B、C是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满足OP＝1OA＋λ，若λ＝2时，则PA?的值为 .由已知得－＝λ，11即AP＝λ，当λ＝时，得AP＝，2所以2AP＝AB＋AC，即AP －AB＝AC－AP，所以BP＝PC，所以PB＋PC＝PB ＋BP＝0，所以? ＝?0＝0，故填0.题型三向量共线问题设两个非零向量a与b不共线.若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3，求证：A，B，D三点共线；试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 1证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3，所以BD＝BC ＋CD＝2a＋8b＋3＝5＝5AB，所以AB， BD共线.又因为它们有公共点B，所以A，B，D三点共线.因为ka＋b和a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ，所以a＝b.因为a与b是不共线的两个非零向量，所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，所以k＝±1.向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.已知O是正三角形BAC内部一点，+2+3=0，则△OAC的面积与△OAB的面积之比是如图，在三角形ABC中， OA＋2OB＋3OC＝0，整理可得OA＋OC＋2＝0.1令三角形ABC中AC边的中点为E，BC边的中点为F，则点O 在点F与点E连线的处，即OE＝2OF.1hh1设三角形ABC中AB边上的高为h，则S△OAC＝S△OAE＋S△OEC?OE? 的情形，而向量平行则包括共线的情形.2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3.当向量a与b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当向量a与b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||；当向量a与b不共线时，|a＋b|＜|a|＋|b|.典例精析题型一平面向量基本定理的应用如图?ABCD中,M,N分别是DC，BC中点.已知AM=a,=b,试用a，b表示，AD与AC易知AM＝AD＋DM 1＝＋，1AN＝AB＋BN＝AB2AD， 1a,??2即? ??1?b.?2?22所以＝b－a)，＝2a－b).32所以＝＋＝a＋b).运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.已知D为△ABC的边BC上的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足＋＋＝0等于 1B.C.1 D.1A.由于D为BC边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知PB＋PC＝2PD，因此结合PA＋BP＋CP＝0即得PA＝2PD，因此易得P，A，D三点共线且D是PA＝1，即选C.题型二向量的坐标运算已知a＝，b＝，u＝a＋2b，v＝2a－b.若u＝3v，求x；若u∥v，求x.因为a＝，b＝，所以u＝＋2＝＋＝，v＝2－＝.u＝3v?＝3＝，所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1.u∥v ?＝λ2x?1??,－3＝0?x＝1.对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.nπnπ已知向量an＝sinn∈N*)，|b|＝1.则函数y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋ (77)＋|a141＋b|2的最大值为.π设b＝，所以y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2＝2＋b2＋2＋…＋2＋b2＋2＝282＋2cos，所以y的最大7777 值为284.题型三平行向量的坐标运算已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝，n＝，p＝.若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；π若m⊥p，边长c＝2，角CABC的面积.证明：因为m∥n，所以asin A＝bsin B.由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b.所以△ABC为等腰三角形.因为m⊥p，所以m·p＝0，即a＋b＝0，所以a＋b＝ab.由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝2－3ab，所以2－3ab－4＝0.所以ab＝4或ab＝－1.113所以S△ABC＝absin C3.22设m＝，n＝，则①m∥n?x1y2＝x2y1；②m⊥n?x1x2＋y1y2＝0.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m ＝，n＝.若m⊥n，且a＋b＝10，则△ABC周长的最小值为A.10－3C.10－23B.10＋5D.10＋231由m⊥n得2cos2C－3cos C－2＝0，解得cos C＝－cos C＝2，所以c2＝a2＋b2－2abcos例题讲解1、下列命题中,正确的是A.若a?b,则a与b的方向相同或相反B.若a?b,b?c,则a?cC.若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等D.若a=b,b=c,则a=c.122、已知平面内不共线的四点0,A,B,C满足OB?OA?OC,则33|AB|:|BC|?A.3:1B.1:C.2:1D.1:23、已知向量a= ,b= ,若2a–b与b共线,则实数n的值是 A.6B. C.3?23D3?234、向量AB?按向量a?平移后得向量A?B?,则A?B?的坐标为A. B.C. D.、如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是DC的中点,F是EC的中点,若AB?a,AC?b,则AF? A.14a?34b B.14a?34b C.18a?78bD.18a?78b6、若函数f?cos2x?1的图象按向量a平移后,得到的图象关于原点对称,则向量a可以是A. B. C.424二、填空题:共3小题7、设a,b是两个不共线的非零向量,若向量ka?2b与8a?kb的方向相反,则k?8、若a?b?c,化简3?2?2?、已知正△ABC的边长为 1 ,则BC?2CA?3AB等于检测题1、已知非零向量a,b满足a=?b,b=?a,则?= A.?1B.?1C.0D.02、设a,b是非零向量,则下列不等式中不恒成立的是A.a?b??B.abC.a?b?a?bD.a?a?b、已知a=,b=,?,则实数k的值是A.53B.2511C.?12D.?174、已知平面向量a?,b?,则向量a?b. A.平行于第一、三象限的角平分线B.平行于y轴 C.平行于第二、四象限的角平分线D.平行于x轴5、将二次函数y?x2的图象按向量a平移后,得到的图象与一次函数y?2x?5的图象只有一个公共点,则向量a?A. B. C. D.6. 如图,在正六边形ABCDEF中,已知AC?c,AD?d,则AE? .巩固练习1. 若e1,e2是夹角为的单位向量，且a?2e1?e2,b??3e1?2e2，则a?b?377A.1B. ?4C. ?D.222. 设a?,b?,c?则?c? A. B.0C.?3D.?11 答案 C3. 在?ABC中,已知向量AB?,BC?,则?ABC的面积等于 A．22B．24C．32D．2答案A4. 在?ABC中,a?5,b?8,C?60?,则BC?CA的值为A．10 B．20C．－10D．205. 已知下列命题中：若k?R，且kb?0，则k?0或b?0，若a?b?0，则a?0或b?0若不平行的两个非零向量a,b，满足|a|?|b|，则??0 ??若a与b平行，则a?b?|a|?|b|p2?q2?2其中真命题的个数是A．0B．1C．2D．36. 已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA?OB?CO?0,则△ABC的内角A等于 A.30?B.60? C.90?D.120?. 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE线与CD交于点F．若AC?a，BD?b，则AF?的延长bD．a?3123bA．14a?12b B．23a?13b C．12a?14答案 B8. 已知a?1,b?6,a??2，则向量a与向量b的夹角是 A．6B．4C．3D．2答案 C9. 在平行四边形ABCD中，若BC?BA?BC?AB，则必有A.ABCD是菱形B.ABCD是矩形C.ABCD是正方形D.以上皆错10.已知向量a?,向量b?则|2a?b|的最大值，最小值分别是A．42,0B．4,42C．16,0D．4,0 二.填空题11. 已知Rt△ABC的斜边BC=5，则AB?BC?BC?CA?CA?AB 的值等于 . 答案－2512. 设p = ，q = ，若p与q的夹角??[0,2)，则x的取值范围是13. 若平面向量a，b满足??1，a?b平行于x轴，b?，则a?答案-=解析 a?b?或，则a 或a.14. 在?ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则OA?的最小值是________。
平面向量知识点+例题+练习+答案
五、平面向量1．向量的概念①向量 既有大小又有方向的量。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
向量表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
向量和数量的区别：向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0。
由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与0的区别）③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。
(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。
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第 7 章平面向量习题练习 7.1.11、填空题（1）只有大小，没有方向的量叫做；既有大小，又有方向的量叫做；（2）向量的大小叫做向量的，模为零的向量叫做，模为 1 的向量叫做；（3）方向相同或相反的两个非零向量互相，平行向量又叫，规定：与任何一个向量平行；（4）当向量 a 与向量 b 的模相等，且方向相同时，称向量 a 与向量 b；（5）与非零向量 a 的模相等，且方向相反的向量叫做向量 a 的；2、选择题（1）下列说法正确的是（）A ．若 |a|=0，则 a=0B．若 |a|=|b|，则 a=bC．若 |a|=|b|，则 a 与 b是平行向量D．若 a∥b，则 a=b（2）下列命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或uuur uuura∥ b， b∥c. 那么 a 相反；③向量 AB 与向量 CD 共线，则 A、 B、 C、D 四点共线；④如果∥c正确的命题个数为（）A.1B.2C.3D.0参考答案：1、（ 1）数量；向量（ 2）模；零向量；单位向量（3）平行的向量；共线向量；零向量（4）相等（ 5）负向量2、（ 1） A （ 2） B练习 7.1.21、选择题（1）如右图所示，在平行四边行ABCD 中，下列结论错误的是（）uuur uuur uuur uuur uuurA ． AB=DCB ． AD+AB=ACuuur uuur uuur uuur uuur r C． AB +AD=BD D． AD+CB=0uuur uuur uuur（2）化简： AB+BC CD =（）D C A Buuur uuur uuur rA ． AC B． AD C． BD D ． 02、作图题：如图所示，已知向量 a 与 b，求 a+bba参考答案：1、（ 1） C（ 2） B2、方法一：三角形法则方法二：平行四边行法则ba+b a+bba a练习 7.1.31、填空题uuur r uuur r uuur uuur（1）在平行四边形 ABCD 中，若 AB=a ， BD=b ，则 AB+CBuuur uuur uuur uur（2）化简 : OP QP PS SP；2、作图题：如图所示，已知向量 a 与 b，求 a- bba参考答案：r r uuur1、（ 1）b ； a （ 2） OQ2、a- buuur uuur， AD -CD；ba练习 7.1.41、选择题（1）如图所示， D 是△ ABC 的边 AB 的中点，则向量ADB Cuuur CD 等于（）uuur 1 uuuruuur 1 uuurA ． BC+ BAB ． BC+BA22uuur 1 uuuruuur 1 uuurC ． BCBAD ． BCBA2 2 uuur uuur uuuur（2）化简 PM PN MN 所得结果是（ ）uuuruuurruuuurA ． MPB ． NPC ． 0D ． MN2、化简题：（ 1） 3（ a - 2 b ）－（ 2 a ＋ b ）；（ 2） a - 2（ a - 4 b ）＋ 3（ 2a - b ）．参考答案：1、（ 1） B （ 2） C2、（ 1） a - 7 b （ 2）5a +5 by练习 7.2.131、填空题：2（1）对任一个平面向量a ，都存在着一对有序实数b（x ，y ），使得 a=xi +yj 。
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(4)特殊的向量：零向量 a＝O ｜a｜＝O.单位向量 aO 为单位向量 ｜aO｜＝1.
(5)相等的向量：大小相等，方向相同：(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）
x1
y1
x2 y2
(6) 相反向量：a=-b b=-a a+b=0
(7)平行(共线)向量：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作 a∥b.
∴航向为北偏西 30 ． 8.过点 O 作向量 OA 、 OB 、 OC ，使之分别与力 F1 ， F2 ， F3 相等，由于 F1 ， F2 ，
F3 的合力为 0 ，则以 OC 、 OB 为邻边的平行四边形的对角线 OD 与 OA 的长度相等，又
由于力 F1 ， F2 ， F3 的大小相等，∴ OA OB OC ，则三角形 OCD 和三角形
6
6
（7）北偏西 300
（8） 1200
（9）略
m 6 m 3
（10） n 3
或
n
3 2
略解或提示：
1.由单位向量的定义即得 a b 1 ，故选（D）．
2.由于 AC AB AD ，∴ AC AB AD ，即 BC AD ，∴线段 BC 与线段 AD 平行且
相等，∴ ABCD 为平行四边形，选（A）．
④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△= PP aP bP c [海伦公式]
⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb
[注]：到三角形三边的距离相等的点有 4 个，一个是内心，其余 3 个是旁心. 如图：
向量 MN 用 a 、 b 表示为
高三数学总复习专题7 平面向量(答案及解析)
高三数学总复习专题7 平面向量方法点拨1．对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算． 2．在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当≠0b 时，∥a b ⇔存在唯一实数λ，使得λ=a b )来判断．3．一般地，用向量方法解决模的问题的途径有三：一是利用公式22=a a ，将模的平方转化为数量积问题；二是利用模的几何意义；三是坐标法．解决向量的夹角问题主要是利用公式“cos ,⋅=⋅a ba b a b”将向量的夹角问题转化为数量积及模的问题来解决．4．求解向量数量积最值问题的两种思路（1）直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．（2）建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．经典试题汇编一、选择题．1．（北京市丰台区2018-2019学年高三一模）已知O ，A ，B 是平面内的三个点，直线AB 上有一点C ，满足AB AC +=0，则OC =（ ） A ．2OA OB -B ．2OA OB -+C ．2133OA OB - D ．1133OA OB -+2．（衡水金卷2021-2022学年度高三一模）在平行四边形ABCD 中，点E ，F 满足2DE EC =，2AE AF =，且DF AE ⊥，设||||AB AD λ=，则λ=（ ）A ．43B ．32C ．2D ．3．（广西钦州市、崇左市2021届高三一模）已知向量(1,2),(,1)x =-=a b ，若2⊥a b ，则实数x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．（四川省资阳市2021-2022学年高三一模）已知平面向量()2,2=a ，()1,t =-b ．若()+∥a b a ，则t =（ ）A ．4-B ．2-C ．1-D ．15．（四川省巴中市2020-2021学年高三一模）已知向量(1,2),(2,3),(3,)OA OB OC t =-=-=， 若,,A B C 三点共线，则实数t =（ ） A ．4-B ．5-C ．4D ．56．（河南省联考2021-2022学年高三一模）已知向量a ，b 满足2=a ，3=b ，3⋅=-a b ， 则3+=a b （ ）A B CD ．7．（云南省昆明市第一中学2022届高三一模）已知向量()2,1=-a ，5⋅=a b ，8+=a b ， 则=b （ ） A ．5B ．6C ．7D ．88．（2010年四川省成都石室中学高三一模）已知,a b 是非零向量且满足(2)-⊥a b a ，(2)-⊥b a b ，则a 与b 的夹角是（ ）A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π9．（州省遵义市2021届高三一模）已知向量,a b 为相互垂直的单位向量，若=-c b ，则向量a 与向量c 的夹角为（ ） A ．3π-B ．6π-C ．6πD ．3π10．（福建省泉州市2021届高三一模）已知单位向量a ，b 满足14⋅=a b ，且2=+c a b ，则sin ,=a c （ ）A B C D ．3811．（福建省龙岩市2021届高三一模）在ABC 中，60A =︒，2AB =，3AC =，3CM MB =，则AM BC ⋅=（ ）A ．311-B ．34-C ．34D ．31112．（安徽省合肥市2020-2021学年高三一模）在ABC 中，2AB =，3AC =，2BD DC =，AE EB =，则AD CE ⋅=（ ）A ．76-B ．76C ．163-D ．16313．（2017届河北衡水中学高三一模）如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+=（ ）A ．43B ．53C ．158D ．214．（安徽省淮北市2020-2021学年高三一模）在ABC 中，点D 是线段BC (不包括端点)上的动点，若AB xAC yAD =+，则（ ） A ．1x >B ．1y >C ．1x y +>D ．1xy >15．（多选）（广东省珠海市2021届高三一模）ABC 中，D 为AC 上一点且满足13AD DC =，若P 为BD 上一点，且满足AP AB AC λμ=+，λ、μ为正实数，则下列结论正确的是（ ） A ．λμ的最小值为16 B ．λμ的最大值为116C ．114λμ+的最大值为16 D ．114λμ+的最小值为4 16．（西南名校联盟2022届高三一模）如图，在△ABC 中，点M 是AB 上的点且满足3AM MB =，N 是AC 上的点且满足AN NC =，CM 与BN 交于P 点，设,AB AC ==a b ，则AP =（ ）A ．1124+a bB ．3155+a bC ．1142+a bD ．33105+a b 17．（安徽省六安市舒城中学2021届高三一模）已知a ，b 是两个夹角为3π的单位向量，则k -b a 的最小值为（ ）A ．14B ．12C ．34D ．218．（四川省资阳市2021-2022学年高三一模）已知e 为单位向量，向量a 满足：()()50--=⋅a e e a ，则+a e 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．719．（贵州省铜仁市2021届高三一模）已知ABC ，3AM AB =，3AN AC =，点P 是四边形BCNM 内（含边界）的一点，若(,)AP xAB yAC x y =+∈R ，则()()2211x y +++的最大值与最小值之差为（ ） A ．12 B ．9 C ．252D ．172二、填空题．20．（广东省2021届高三一模）已知||1=a ，||3=b ，且||2-=a b ，则|2|+=a b ______． 21．（2020届山东省威海市高三一模）已知a ，b 为单位向量，2=-c a b ，且,3π<>=a b ，则,〈〉=a c ________．22．（宁夏银川市唐徕回民中学2021届高三一模）已知单位向量,a b 的夹角为6π，则b 在a 上的投影为_________，||-=a _________．23．（四川省达州市2021-2022届高三一模）两个非零向量a ，b ，定义||||||sin ,⨯=〈〉a b a b a b ．若(1,0,1)=a ，(0,2,2)=b ，则||⨯=a b _________．24．（吉林省蛟河市一中2018-2019学年高三一模）如图，在ABC 中，,,D E F 分别为,,BC CA AB 上的点，且35CD BC =，12EC AC =，13AF AB =．设P 为四边形AEDF 内一点（P 点不在边界上），若13DP DC DE λ=-+，则实数λ的取值范围为______．三、解答题．25．（天津市北辰区2022届高三一模）已知2sin ,sin 12x x π⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a ，cos ,2sin 12x x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b ，()f x =⋅a b ．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）若将()f x 图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求()g x 的对称轴及其对称中心．参考答案一、选择题． 1．【答案】A【解析】由向量的运算法则可得,AB OB OA AC OC OA =-=-， 代入已知式子AB AC +=0，可得()()OB OA OC OA -+-=0，可得：2OB OC OA +=， 可得：2OC OA OB =-，故选A ． 2．【答案】B【解析】由2AE AF =得F 是AE 的中点，又由DF AE ⊥，得22||||||||33AD DE DC AB ===，所以3||||2AB AD =， 故选B ．3．【答案】B【解析】2⊥a b ，2240x ∴⋅=-+=a b ，解得2x =， 故选B ． 4．【答案】C【解析】由题意，平面向量()2,2=a ，()1,t =-b ，可得(1,2)t +=+a b ， 因为()+∥a b a ，所以2(2)210t ⨯+-⨯=，解得1t =-， 故选C ． 5．【答案】A【解析】因为(1,2),(2,3),(3,)OA OB OC t =-=-=， 所以(2,3)(1,2)(1,1)AB OB OA =-=---=-，(3,)(1,2)(2,2)AC OC OA t t =-=--=+，又,,A B C 三点共线，所以向量AB 与向量AC 共线，所以220t ++=，解得4t =-， 故选A ． 6．【答案】C【解析】因为()222223962936367+=++⋅=+⨯+⨯-=a b a b a b ，所以3+=a b C ． 7．【答案】C【解析】由题意得：8+=a b ，∴22()64+=+=a b a b ，即22264++=⋅a b a b ，∴251064++=b ，解得7=b ，故选C ． 8．【答案】B【解析】设,a b 的夹角为θ，因为(2)-⊥a b a ，(2)-⊥b a b ，所以222==⋅a b a b ， 则22=⋅a a b ，22⋅=b a b ，则2212cos 2θ⋅===aa b a b a，3πθ∴=，故选B ． 9．【答案】C【解析】2cos ,⋅--⋅⋅====a ba ab a ca c a c， 所以,6π=a c ，故选C ．10．【答案】C【解析】单位向量a ，b 满足14⋅=ab ，且2=+ca b ，所以===c ，()21922244⋅=⋅+=+⋅=+=a c a a b a a b ，所以cos ,8⋅===⋅a c a c a c ，所以sin ,8==a c ， 故选C ． 11．【答案】C【解析】因为3CM MB =，所以34CM CB =，所以()33314444A AC AC CB AC AB B M CM AC A AC =+=+=+-=+，所以()3144AM BC A B C AB A AC ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭22223311131cos604444244AB AB AC A A AB AC AC B B AC AC =⋅-+-⋅=⋅-+ 2211313232322444=⨯⨯⨯-⨯+⨯=， 故选C ． 12．【答案】C【解析】由题意作出图形，如图，因为2BD DC =，AE EB =，所以()()()22112,23332AD AB BC AB AC AB AC AB CE AC AB =+=+-=+=-+， 所以()()()()2211111622444932663AD CE AC ABAC AB AB AC ⋅=+⋅-+=-=⨯-⨯=-， 故选C ． 13．【答案】B【解析】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，由此，()()11,1,1,,1,12AC AM BD ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，故11,12λμλμ=-=+， 解得415,,333λμλμ==+=，故选B ．14．【答案】B【解析】设()01BD BC λλ=<<，所以AD AB AC AB λλ-=-，所以()1AB AD AC λλ-=-，所以111AB AD AC λλλ=---， 所以1,11x y λλλ=-=--，所以01x λλ=-<-，11=11111y λλλλλλ-+==+>---，又111x y λλ-+==-，()201xy λλ=-<-，故选B ． 15．【答案】BD【解析】证明：因为A 、B 、C 三点共线，可设AC mAB =，即()OC OA m OB OA -=-， 所以，()1OC m OA mOB xOA yOB =-+=+，所以，1x y +=．λ、μ为正实数，13AD DC =，即()1133AD DC AC AD ==-，故4AC AD =， 4AP AB AD λμ=+，且P 、B 、D 三点共线，41λμ∴+=，∴21141444216λμλμλμ+⎛⎫=⋅⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12λ=，18μ=时取等号， ()111144224444μλλμλμλμλμ⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当12λ=，18μ=时取等号， 故选BD ． 16．【答案】B【解析】334AM MB AM AB =⇒=，12AN NC AN AC =⇒=， 由C ，P ，M 共线，存在λ∈R ，使3(1)(1)4AP AC AM AP AC AB λλλλ-=+-⇒=+①， 由N ，P ，B 共线，存在μ∈R ，使得(1)(1)2AP AN AB AP AC AB μμμμ=+-⇒=+-②，由①②23(1)14λλμμ⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩12,55λμ==，故3155AP =+a b ，故选B ． 17．【答案】D【解析】因为a ，b 是两个单位向量，所以1=a ，1=b ， 所以()2222222222cos 3k k k k k k π-=-=+-⋅=+-⋅b a b a b a a b b a a b221331244k k k ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，所以k -≥b a ，故选D ． 18．【答案】C【解析】可设()1,0=e ，(),x y =a ，则()()()()22150,5,65x y x y x x y ⋅=-⋅-=--=+-+a e e a ， 即()2234x y -+=，则15x ≤≤，22y -≤≤，+==e a当5x=6，即+a e 的最大值为6， 故选C ． 19．【答案】C【解析】因为(,)AP xAB yAC x y =+∈R ，当点P 在BC 运动时，由向量共线定理得1x y +=，所以1x y +≥， 当点P 在MN 上运动时，由向量共线定理得11(,)33AP xAM y AN x y =+∈R ，11133x y +=，即3x y +=，所以3x y +≤， 当点P 在BM 上运动时，0y =，13x ≤≤； 当点P 在CN 上运动时，0x =，13y ≤≤，综上可知，,x y 满足的约束条件是131313x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，如图，()()2211x y +++表示可行域内的点(),P x y 和点()1,1--的距离的平方，由图可知当点()3,0P 或()0,3P 时，此时距离的平方最大，即()()22310117+++=，当点()1,1--到直线1x y +=的距离的平方是最小值，即2292d ==， 所以最大值与最小值的差是9251722-=，故选C ．二、填空题． 20．【答案】7【解析】根据题意，||1=a ，||3=b ，且||2-=a b ， 则有222||21024-=+-⋅=-⋅=a b a b a b a b ，变形可得3⋅=a b ， 则222|2|4449+=++⋅=a b a b a b ，故|2|7+=a b ， 故答案为7． 21．【答案】6π【解析】因为22cos(cos ,|||||22)2|π-⋅〈〉=====⋅--a c a a a b b c a c a ， 又,0π〈≤≤〉a c ，所以,6π〈〉=a c ，故答案为6π． 22．，1 【解析】单位向量,a b 的夹角为6π，∴b 在a上的投影为||cos ,cos 6π<>==b a b222|3|3131-=-⋅+=-+=a b a b b ，||1∴=a ，故答案为2；1．23．【答案】【解析】因为|||====a b 2⋅=a b ，所以21cos ,||||42⋅<>===⋅a b a b a b ，故sin ,2<>==a b ，所以||2⨯==a b故答案为 24．【答案】14(,)23【解析】取BD 中点M ，过M 作MH //DE 交DF ，AC 分别为G ，H ，如图：则由13DP D D DE M C DE λλ=+=-+可知，P 点在线段GH 上运动（不包括端点）， 当P 与G 重合时，根据413389DP tDF DC tDE E t D D C λ+==-=-+，可知12λ=； 当P 与H 重合时，由,,P C E 共线可知113λ-+=，即43λ=， 结合图形可知14(,)23λ∈．三、解答题．25．【答案】（1）T π=，递减区间为5[,],36k k k ππππ++∈Z ；（2）对称轴为26k x ππ=+，k ∈Z ，对称中心为(,0)212k ππ-，k ∈Z ．【解析】（1）由题设，()2sin cos 2sin sin(2)cos 21212126f x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+++=+-+ ⎪⎝⎭= ⎪⎝⎭1sin 2cos 21sin(2)1226x x x π=-+=-+， ∴最小正周期22T ππ==， 令3222262k x k πππππ+≤-≤+，可得536k x k ππππ+≤≤+，∴单调递减区间为5[,],36k k k ππππ++∈Z ．（2）()()sin(2)166g x f x x ππ=+=++，令262x k πππ+=+，则26k x ππ=+，故对称轴为26k x ππ=+，k ∈Z ；令26x k ππ+=，则212k x ππ=-，故对称中心为(,0)212k ππ-，k ∈Z ．。
平面向量单元测试题及答案第七章-推荐下载
C. 若两向量 a 、 b 相等，则它们是始点、终点都相同的向量
D. AB 与 BA 是两平行向量
3，下列命题正确的是
A、若 a ∥ b ，且 b ∥ c ，则 a ∥ c 。
B、两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同。
C、向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等 ,
D、若非零向量 AB 与 CD 是共线向量，则A、B、C、D四点共线。
的坐标
14，已知两向量 a (1 3,,1 3),,b (1,1), 求 a 与 b 所成角的大小，
15，已知向量 a =（6，2）， b =（－3，k），当k为何值时，有 （1）， a ∥ b ? （2）， a ⊥ b ? （3）， a 与 b 所成角θ是钝角 ？
2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技写5卷术、重保交电要护底气设装。设备置管备高4动线调、中作敷试电资，设高气料并技中课试3且术资件、卷拒中料管试绝包试调路验动含卷试敷方作线技设案，槽术技以来、术及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
职高数学第七章平面向量习题及答案
职高数学第七章平面向量习题及答案第7章平面向量习题练习7.1.11、填空题（1）只有大小，没有方向的量叫做；既有大小，又有方向的量叫做；（2）向量的大小叫做向量的，模为零的向量叫做，模为1的向量叫做；（3）方向相同或相反的两个非零向量互相，平行向量又叫，规定：与任何一个向量平行；（4）当向量a 与向量b 的模相等，且方向相同时，称向量a 与向量b ；（5）与非零向量a 的模相等，且方向相反的向量叫做向量a 的； 2、选择题（1）下列说法正确的是（）A ．若|a |=0，则a =0B ．若|a |=|b |，则a =bC ．若|a |=|b |，则a 与b 是平行向量D ．若a ∥b ，则a =b （2）下列命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③向量AB 与向量CD 共线，则A 、B 、C 、D 四点共线；④如果a ∥b ，b ∥c .那么a ∥c正确的命题个数为（）A.1B.2C.3D.0 参考答案： 1、（1）数量；向量（2）模；零向量；单位向量（3）平行的向量；共线向量；零向量（4）相等（5）负向量 2、（1）A （2）B练习7.1.21、选择题（1）如右图所示，在平行四边行ABCD 中，下列结论错误的是（） A ．AB=DC B ．AD+AB=AC C ．AB +AD=BD D ．AD+CB=0 （2）化简：AB+BC CD =（）A ．ACB ．ADC ．BD D ．0 2、作图题：如图所示，已知向量a 与b ，求a +bADCBab参考答案：1、（1）C（2）B2、方法一：三角形法则方法二：平行四边行法则练习7.1.31、填空题（1）在平行四边形ABCD中，若AB=a，BD=b，则AB+CB =，AD CD-=；（2）化简:QPOP PS SP-++=；2、作图题：如图所示，已知向量a与b，求a-b参考答案：1、（1）b -；a（2）OQ2、练习7.1.41、选择题（1）如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量CD等于（）A．1BC+BA2B．1BC+BA2-C．1BC BA2--D．1BC BA2-aba+bababa-b（2）化简PM PN MN -+所得结果是（）A ．MPB ．NPC ．0 D ．MN 2、化简题：（1）3（a ?2 b ）－（2 a ＋b ）；（2） a ?2（a ?4 b ）＋3（2a ?b ）．参考答案： 1、（1）B （2）C 2、（1）a ?7 b （2）5a +5 b练习7.2.11、填空题：（1）对任一个平面向量a ，都存在着一对有序实数（x ，y ），使得a =xi +yj 。
平面向量(附例题_习题及答案)
向量的线性运算一．教学目标1.理解向量的概念；2.掌握向量的线性运算；3.理解向量线性运算的几何意义、向量共线的含义、平行向量基本定理；4.理解平面向量基本定理，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示、平面向量的坐标运算；5.理解用坐标表示平面向量的共线条件。
二．知识清单1.向量基本概念（1）向量的定义：既有又有称为向量；（2）向量的大小（或称模）：有向线段的表示向量的大小；（3）零向量与单位向量：叫做零向量，叫做单位向量；（4）共线向量与相等向量：叫做共线向量（或平行向量），叫做相等向量。
2.向量的线性运算（1）向量的加法a.向量加法的三角形法则、平行四边形法则和多边形法则。
b.向量加法满足的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c).（2）向量的减法a.定义：a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。
一个向量等于终点位置向量减始点位置向量，即AB=OB-OA。
b.三角形法则：“共始点，连终点，指向被减”。
（3）数乘向量a.定义：一般地，实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa.b.数乘向量满足的运算律：（λ+μ）a=λ（μa）=λ（a+b）=3.向量共线的条件与轴上向量坐标运算（1）向量共线的条件平行向量基本定理：如果，则；反之，如果，且，则一定存在，使。
（2）轴上向量的坐标运算4. 向量的分解与向量的坐标运算（1）平面向量基本定理如果是一平面内的的向量，那么该平面内的任一向量a，存在，使。
（2）平面向量的正交分解定义：把一个向量分解为，叫做把向量正交分解。
（3）向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个_______作为基底。
对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y使得____________，这样，平面内的任一向量a都可由__________唯一确定，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作___________此式叫做向量的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标。
平面向量练习题(附答案)
平面向量练习题一．填空题。
1． BA CD DB AC +++等于________．2．若向量＝（3，2），＝（0，－1），则向量2－的坐标是________．3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________．4.向量a 、b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹角为________．5．已知向量＝（1，2），＝（3，1），那么向量2－21的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若与共线，则||的值等于________．7．将点A （2，4）按向量a ＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______．8. 已知a=(1,－2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于______9. 已知向量a,b 的夹角为 120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a=______10. 设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于_____11. 已知BC CD y x BC AB 且),3,2(),,(),1,6(--===∥，则x+2y 的值为_____ 12. 已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹角为____13． 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC +的最小值是 .14．将圆222=+y x 按向量v =（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 . 二．解答题。
1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2AB ＋的模； （2）试求向量AB 与的夹角；（3）试求与垂直的单位向量的坐标．2.已知向量a =(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b =(3,3)（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）求|a －b |的取值范围3．已知向量a 、b 是两个非零向量，当a +t b (t ∈R)的模取最小值时，（1）求t 的值（2）已知a 、b 共线同向时，求证b 与a +t b 垂直4. 设向量)2,1(),1,3(-==，向量OC 垂直于向量OB ，向量BC 平行于OA ，试求OD OC OA OD ,时=+的坐标.5.将函数y=－x 2进行平移，使得到的图形与函数y=x 2－x －2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a 及平移后的函数解析式.6.已知平面向量).23,21(),1,3(=-=若存在不同时为零的实数k 和t,使 .,,)3(2y x b t a k y b t a x ⊥+-=-+=且（1）试求函数关系式k =f （t ）（2）求使f （t ）>0的t 的取值范围.参考答案 1.2.（－3，－4）3.74.90° （21，321）． 6.73．7.（－3，2）．8.－29.12 10.31-11.012. 90°13.2-14.51--或（1）∵ ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），＝（2－1，5－0）＝（1，5）．∴ 2＋＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）．∴ |2＋|＝227)1(+-＝50． （2）∵ ||＝221)1(+-＝2．|AC |＝2251+＝26，AB ·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4． ∴ cos θ ＝＝2624⋅＝13132． （3）设所求向量为m ＝（x ，y ），则x 2＋y 2＝1． ①又 ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由⊥，得2 x ＋4 y ＝0． ② 由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．－55552y x ∴ （552，－55）或（－552，55）即为所求．13．【解】（1）要使向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底，则向量a 、b 共线 ∴ 33tan 0cos 3sin 3=⇒=-θθθ 故)(6Z k k ∈+=ππθ，即当)(6Z k k ∈+=ππθ时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底 （2）)cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a 而32cos 3sin 332≤+≤-θθ∴ 132||132+≤-≤-b a14．【解】（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+ 当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos ||||||222-=⋅-=时a+tb(t ∈R)的模取最小值（2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时||||b a t -= ∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b∴b ⊥(a +t b )18．解：设020),,(=-=⋅∴⊥=x y y x ① 又0)1()2(3)2,1(,//=+---+=x y y x BC OA BC 即：73=-x y ②联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x ………10分 )6,11(),7,14(=-==∴OA OC OD OC 于是.19．解法一：设平移公式为⎩⎨⎧-'=-'=k y y h x x 代入2x y -=，得到k h hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即，把它与22--=x x y 联立， 得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+-=22222x x y k h hx x y设图形的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由已知它们关于原点对称，即有：⎩⎨⎧-=-=2121y y x x 由方程组消去y 得：02)21(222=++-+-k h x h x . 由.2102212121-==++=+h x x h x x 得且又将（11,y x ），),(22y x 分别代入①②两式并相加，得：.22221222121-+--++-=+k h x hx x x y y241)())((0211212-+-+-+-=∴k x x x x x x . 解得)49,21(.49-==a k .平移公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=4921y y x x 代入2x y -=得：22+--=x x y .解法二：由题意和平移后的图形与22--=x x y 交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可.22--=x x y 的顶点为)49,21(-，它关于原点的对称点为（49,21-），即是新图形的顶点.由于新图形由2x y -=平移得到，所以平移向量为49049,21021=-=-=--=k h 以下同解法一.20．解：（1）.0)(])3[(.0,2=+-⋅-+=⋅∴⊥t k t 即).3(41,0)3(4,1,4,02222-==-+-∴===⋅t t k t t k 即 （2）由f (t )>0,得.303,0)3()3(,0)3(412><<-->+>-t t t t t t t 或则即。
平面向量练习题附答案
平⾯向量练习题附答案平⾯向量练习题⼀．填空题。
1． BA CD DB AC +++等于________．2．若向量＝（3，2），＝（0，－1），则向量2－的坐标是________．3．平⾯上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________．4.向量a 、b 满⾜|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹⾓为________．5．已知向量＝（1，2），＝（3，1），那么向量2－21的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若与共线，则||的值等于________．7．将点A （2，4）按向量a ＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______．8. 已知a=(1,－2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于______9. 已知向量a,b 的夹⾓为ο120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a=______10. 设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于_____11. 已知y x 且),3,2(),,(),1,6(--===∥DA ，则x+2y 的值为_____ 12. 已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹⾓为____ 13．在△ABC 中，O 为中线AM 上的⼀个动点，若AM=2，则()OA OB OC +u u u r u u u r u u u r 的最⼩值是 .14．将圆222=+y x 按向量v =（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 .⼆．解答题。
1．设平⾯三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2＋的模；（2）试求向量与的夹⾓；（3）试求与垂直的单位向量的坐标．2.已知向量a =(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b =(3,3)（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平⾯向量的⼀组基底（2）求|a －b |的取值范围3．已知向量a 、b 是两个⾮零向量，当a +t b (t ∈R)的模取最⼩值时，（1）求t 的值（2）已知a 、b 共线同向时，求证b 与a +t b 垂直4. 设向量)2,1(),1,3(-==，向量垂直于向量，向量平⾏于，试求,=+的坐标.5.将函数y=－x 2进⾏平移，使得到的图形与函数y=x 2－x －2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a 及平移后的函数解析式.6.已知平⾯向量).23,21(),1,3(=-=若存在不同时为零的实数k 和t,使 .,,)3(2t k t ⊥+-=-+=且（1）试求函数关系式k =f （t ）（2）求使f （t ）>0的t 的取值范围.参考答案1.02.（－3，－4）°（21，321）．6.73．7.（－3，2）．8.－210.31-12. 90°13.14.51--或（1）∵＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）．∴ 2AB ＋＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）．∴ |2＋|＝227)1(+-＝50．（2）∵ ||＝221)1(+-＝2．||＝2251+＝26，·＝（－1）×1＋1×5＝4．∴ cos ? ＝||||AC AB ?＝2624?＝13132．（3）设所求向量为＝（x ，y ），则x 2＋y 2＝1．①⼜ BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC ⊥m ，得2 x ＋4 y ＝0．②由①、②，得-==．55552y x 或==．－55552y x ∴（552，－55）或（－552，55）即为所求．13．【解】（1）要使向量a 、b 不能作为平⾯向量的⼀组基底，则向量a 、b 共线∴ 33tan 0cos 3sin 3=?=-θθθ故)(6Z k k ∈+=ππθ，即当)(6Z k k ∈+=ππθ时，向量a 、b 不能作为平⾯向量的⼀组基底（2）)cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a ⽽32cos 3sin 332≤+≤-θθ∴ 132||132+≤-≤-b a14．【解】（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +?+=+当的夹⾓）与是b a b a b b a t αα(cos ||||||222-=?-=时a+tb(t ∈R)的模取最⼩值（2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时||||b a t -= ∴0||||||||||||)(2=-=-?=+?=+?b a a b b a a b tb a b tb a b∴b ⊥(a +t b )18．解：设020),,(=-=?∴⊥=x y OB OC OBOC y x OC Θ①⼜0)1()2(3)2,1(,//=+---+=x y y x Θ即：73=-x y ②联⽴①、②得==7,14y x ………10分 )6,11(),7,14(=-==∴于是.19．解法⼀：设平移公式为-'=-'=k y y h x x 代⼊2x y -=，得到k h hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即，把它与22--=x x y 联⽴，得--=+-+-=22222x x y k h hx x y设图形的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由已知它们关于原点对称，即有：-=-=2121y y x x 由⽅程组消去y 得：02)21(222=++-+-k h x h x . 由.2102212121-==++=+h x x h x x 得且⼜将（11,y x ），),(22y x 分别代⼊①②两式并相加，得：.22221222121-+--++-=+k h x hx x x y y241)())((0211212-+-+-+-=∴k x x x x x x . 解得)49,21(.49-==a k . 平移公式为：-'=+'=4921y y x x 代⼊2x y -=得：22+--=x x y .解法⼆：由题意和平移后的图形与22--=x x y 交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另⼀图形上，因此只要找到特征点即可. 22--=x x y 的顶点为)49,21(-，它关于原点的对称点为（49,21-），即是新图形的顶点.由于新图形由2x y -=平移得到，所以平移向量为49049,21021=-=-=--=k h 以下同解法⼀.20．解：（1）.0)(])3[(.0,2=+-?-+=?∴⊥b t a k b t a y x y x 即Θ ).3(41,0)3(4,1,4,02222-==-+-∴===?t t k t t k 即Θ（2）由f (t )>0,得.303,0)3()3(,0)3(412><<-->+>-t t t t t t t 或则即。
平面向量练习题(附答案)
平面向量练习题一．填空题。
1． BA CD DB AC +++等于________．2．若向量＝（3，2），＝（0，－1），则向量2－的坐标是________．3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________．4.向量a 、b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹角为________．5．已知向量＝（1，2），＝（3，1），那么向量2－21的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若与共线，则||的值等于________．7．将点A （2，4）按向量a ＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______．8. 已知a=(1,－2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于______9. 已知向量a,b 的夹角为 120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a=______10. 设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于_____11. 已知BC CD y x BC AB 且),3,2(),,(),1,6(--===∥，则x+2y 的值为_____ 12. 已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹角为____13． 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC +的最小值是 .14．将圆222=+y x 按向量v =（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 . 二．解答题。
1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2AB ＋的模； （2）试求向量AB 与的夹角；（3）试求与垂直的单位向量的坐标．2.已知向量a =(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b =(3,3)（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）求|a －b |的取值范围3．已知向量a 、b 是两个非零向量，当a +t b (t ∈R)的模取最小值时，（1）求t 的值（2）已知a 、b 共线同向时，求证b 与a +t b 垂直4. 设向量)2,1(),1,3(-==，向量OC 垂直于向量OB ，向量BC 平行于OA ，试求OD OC OA OD ,时=+的坐标.5.将函数y=－x 2进行平移，使得到的图形与函数y=x 2－x －2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a 及平移后的函数解析式.6.已知平面向量).23,21(),1,3(=-=若存在不同时为零的实数k 和t,使 .,,)3(2y x b t a k y b t a x ⊥+-=-+=且（1）试求函数关系式k =f （t ）（2）求使f （t ）>0的t 的取值范围.参考答案 1.2.（－3，－4）3.74.90° （21，321）． 6.73．7.（－3，2）．8.－29.12 10.31-11.012. 90°13.2-14.51--或（1）∵ ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），＝（2－1，5－0）＝（1，5）．∴ 2＋＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）．∴ |2＋|＝227)1(+-＝50． （2）∵ ||＝221)1(+-＝2．|AC |＝2251+＝26，AB ·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4． ∴ cos θ ＝＝2624⋅＝13132． （3）设所求向量为m ＝（x ，y ），则x 2＋y 2＝1． ①又 ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由⊥，得2 x ＋4 y ＝0． ② 由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．－55552y x ∴ （552，－55）或（－552，55）即为所求．13．【解】（1）要使向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底，则向量a 、b 共线 ∴ 33tan 0cos 3sin 3=⇒=-θθθ 故)(6Z k k ∈+=ππθ，即当)(6Z k k ∈+=ππθ时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底 （2）)cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a 而32cos 3sin 332≤+≤-θθ∴ 132||132+≤-≤-b a14．【解】（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+ 当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos ||||||222-=⋅-=时a+tb(t ∈R)的模取最小值（2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时||||b a t -= ∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b∴b ⊥(a +t b )18．解：设020),,(=-=⋅∴⊥=x y y x ① 又0)1()2(3)2,1(,//=+---+=x y y x BC OA BC 即：73=-x y ②联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x ………10分 )6,11(),7,14(=-==∴OA OC OD OC 于是.19．解法一：设平移公式为⎩⎨⎧-'=-'=k y y h x x 代入2x y -=，得到k h hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即，把它与22--=x x y 联立， 得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+-=22222x x y k h hx x y设图形的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由已知它们关于原点对称，即有：⎩⎨⎧-=-=2121y y x x 由方程组消去y 得：02)21(222=++-+-k h x h x . 由.2102212121-==++=+h x x h x x 得且又将（11,y x ），),(22y x 分别代入①②两式并相加，得：.22221222121-+--++-=+k h x hx x x y y241)())((0211212-+-+-+-=∴k x x x x x x . 解得)49,21(.49-==a k .平移公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=4921y y x x 代入2x y -=得：22+--=x x y .解法二：由题意和平移后的图形与22--=x x y 交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可.22--=x x y 的顶点为)49,21(-，它关于原点的对称点为（49,21-），即是新图形的顶点.由于新图形由2x y -=平移得到，所以平移向量为49049,21021=-=-=--=k h 以下同解法一.20．解：（1）.0)(])3[(.0,2=+-⋅-+=⋅∴⊥t k t 即).3(41,0)3(4,1,4,02222-==-+-∴===⋅t t k t t k 即 （2）由f (t )>0,得.303,0)3()3(,0)3(412><<-->+>-t t t t t t t 或则即。
平面向量练习题(附答案)
平面向量练习题一．填空题。
1． BA CD DB AC +++等于________．2．若向量＝（3，2），＝（0，－1），则向量2－的坐标是________．3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________．4.向量a 、b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹角为________．5．已知向量＝（1，2），＝（3，1），那么向量2－21的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若与共线，则||的值等于________．7．将点A （2，4）按向量a ＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______．8. 已知a=(1,－2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于______9. 已知向量a,b 的夹角为 120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a=______10. 设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于_____11. 已知BC CD y x BC AB 且),3,2(),,(),1,6(--===∥，则x+2y 的值为_____ 12. 已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹角为____13． 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC +的最小值是 .14．将圆222=+y x 按向量v =（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 .二．解答题。
1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2AB ＋AC 的模； （2）试求向量AB 与AC 的夹角；（3）试求与垂直的单位向量的坐标．2.已知向量a =(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b =(3,3)（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）求|a －b |的取值范围3．已知向量a 、b 是两个非零向量，当a +t b (t ∈R)的模取最小值时，（1）求t 的值（2）已知a 、b 共线同向时，求证b 与a +t b 垂直4. 设向量)2,1(),1,3(-==OB OA ，向量垂直于向量，向量 平行于，试求,=+的坐标.5.将函数y=－x 2进行平移，使得到的图形与函数y=x 2－x －2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a 及平移后的函数解析式.6.已知平面向量).23,21(),1,3(=-=b a 若存在不同时为零的实数k 和t,使 .,,)3(2t k t ⊥+-=-+=且（1）试求函数关系式k =f （t ）（2）求使f （t ）>0的t 的取值范围.参考答案1.2.（－3，－4）3.74.90°（21，321）．6.73．7.（－3，2）．8.－29.1210.31-11.012. 90°13.2-14.51--或（1）∵ ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），＝（2－1，5－0）＝（1，5）． ∴ 2＋＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）．∴ |2＋|＝227)1(+-＝50．（2）∵ ||＝221)1(+-＝2．||＝2251+＝26，·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4． ∴ cos θ ＝||||AC AB ⋅＝2624⋅＝13132． （3）设所求向量为m ＝（x ，y ），则x 2＋y 2＝1． ①又 BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC ⊥m ，得2 x ＋4 y ＝0． ② 由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．－55552y x ∴ （552，－55）或（－552，55）即为所求．13．【解】（1）要使向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底，则向量a 、b 共线 ∴ 33tan 0cos 3sin 3=⇒=-θθθ 故)(6Z k k ∈+=ππθ，即当)(6Z k k ∈+=ππθ时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底 （2）)cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a 而32cos 3sin 332≤+≤-θθ∴ 132||132+≤-≤-b a14．【解】（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+ 当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos ||||||222-=⋅-=时a+tb(t ∈R)的模取最小值（2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时||||b a t -=∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b ∴b ⊥(a +t b )18．解：设020),,(=-=⋅∴⊥=x y y x ① 又0)1()2(3)2,1(,//=+---+=x y y x BC OA BC 即：73=-x y ②联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x ………10分 )6,11(),7,14(=-==∴OA OC OD OC 于是.19．解法一：设平移公式为⎩⎨⎧-'=-'=k y y h x x 代入2x y -=，得到k h hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即，把它与22--=x x y 联立， 得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+-=22222x x y k h hx x y设图形的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由已知它们关于原点对称，即有：⎩⎨⎧-=-=2121y y x x 由方程组消去y 得：02)21(222=++-+-k h x h x . 由.2102212121-==++=+h x x h x x 得且又将（11,y x ），),(22y x 分别代入①②两式并相加，得：.22221222121-+--++-=+k h x hx x x y y241)())((0211212-+-+-+-=∴k x x x x x x . 解得)49,21(.49-==a k . 平移公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=4921y y x x 代入2x y -=得：22+--=x x y .解法二：由题意和平移后的图形与22--=x x y 交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可.22--=x x y 的顶点为)49,21(-，它关于原点的对称点为（49,21-），即是新图形的顶点.由于新图形由2x y -=平移得到，所以平移向量为49049,21021=-=-=--=k h 以下同解法一.20．解：（1）.0)(])3[(.0,2=+-⋅-+=⋅∴⊥t k t 即 ).3(41,0)3(4,1,4,02222-==-+-∴===⋅t t k t t k 即（2）由f (t )>0,得.303,0)3()3(,0)3(412><<-->+>-t t t t t t t 或则即。
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3、（1）→ AB =（9，－1），→ BA =（－9，1）
（2）→ AB =（－5，－13），→ BA =（5，13）
练习 7.2.2
1、填空题：
如 果 a＝ (a1， a2)， b＝ (b1， b2)， 则 a＋ b＝
＝
，λa＝
其中 λ 是实数。
， a－ b
2、已知 a＝(2，1)，b＝(－3，4)，求 a＋b，a－b，3a＋4b． 参考答案： 1、(a1＋b1，a2＋b2)，(a1－b1，a2－b2)，(λa1，λa2) 2、a＋b＝(2，1)＋(－3，4)＝(－1，5)；a－b＝(2，1)－(－3，4)＝(5，－3)；
b a
， AD-CD
b a a
参考答案：
1、（1） b ； a （2） OQ
2、
a-b
b a a
练习 7.1.4
1、选择题
（1）如图所示，D 是△ABC 的边 AB 的中点，则向量 CD 等于（
A．
BC+
1
BA
B．
BC+
1
BA
A
2
2
C．
BC
1
BA
D．
BC
1
BA
D
2
2
A
（2）化简 PM PN MN 所得结果是（
练习 7.3.2
1、设 a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求：(1) a·b； (2) | a |； (3) | b |； (4)‹a，b›． 2、已知 A(2，－4)，B(－2，3)，求|→ AB |． 3、已知 A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，求证：→ AB → AC ． 参考答案： 1、(1) a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5； (2) | a |＝ 32＋(－1)2＝ 10；
y
3
2
a
b
1
叫做向量的坐标。
e2
（2）已知 A (x1，y1)，点 B (x2，y2)，则→ AB 的 －3 －2 －1 O e1 1 2 3 x
坐标为
。
2、如图，用基向量 e1，e2 分别表示向量 a，b，c，
－1
c
d
d，并求出它们的坐标．
－2
3、已知 A，B 两点的坐标，求 → AB ，→ BA
）B
A． MP
B． NP
C． 0
A
D． MN
）
C A
2、化简题：
（1）3（a −2 b）－（2 a＋b）；（2） a −2（a −4 b）＋3（2a −b）．
参考答案：
1、（1）B（2）C
2、（1）a −7 b （2）5a +5 b
练习 7.2.1
1、填空题： （1）对任一个平面向量 a，都存在着一对有序 实 数 （x， y） ， 使 得 a=xi+yj。 有 序 实 数 对
b
；
（5）与非零向量 a 的模相等，且方向相反的向量叫做向量 a 的
；
2、选择题
（1）下列说法正确的是（ ）
A．若|a|=0，则 a=0
B．若|a|=|b|，则 a=b
C．若|a|=|b|，则 a 与 b 是平行向量
D．若 a∥b，段就是向量，向量就是有向线段；②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的
3a＋4b＝3(2，1)＋4(－3，4)＝(6，3)＋(－12，16)＝(－6，19)
练习 7.2.3
1、判断下列两个向量是否平行： (1) a＝(－1，3)，b＝(5，－15)；(2) e＝(2，0)，f＝(0，3)
2、已知点 A(－2，－1)，B(0，4)，向量 a＝(1，y)，并且→ AB ∥a，求 a 的纵坐标 y 3、已知点 A(－2，－3)，B(0，1)，C(2，5)，求证：A，B，C 三点共线． 参考答案： 1、(1) 因为(－1)×(－15)－3×5＝0，所以向量 a 和向量 b 平行； (2) 因为 2×3－0×0＝6≠0，所以向量 e 和 f 不平行． 2、由已知条件得→ AB ＝(0，4)－(－2，－1)＝(2，5)，
方向相同或相反；③向量 AB 与向量 CD 共线，则 A、B、C、D 四点共线；④如
果 a∥b，b∥c.那么 a∥c
正确的命题个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.0
参考答案：
1、（1）数量；向量（2）模；零向量；单位向量（3）平行的向量；共线向量；
零向量
（4）相等（5）负向量
2、（1）A（2）B
练习 7.1.2
第 7 章 平面向量习题
练习 7.1.1
1、填空题
（1）只有大小，没有方向的量叫做
；既有大小，又有方向的量叫
做
；
（2）向量的大小叫做向量的
，模为零的向量叫做
，模为 1
的向量叫做
；
（ 3） 方 向 相 同 或 相 反 的 两 个 非 零 向 量 互 相
，平行向量又
叫
，规定： 与任何一个向量平行；
（ 4） 当 向 量 a 与 向 量 b 的 模 相 等 ， 且 方 向 相 同 时 ， 称 向 量 a 与 向 量
(3) | b |＝ 12＋(—2)2＝ 5； (4)因为 cos‹a，b›＝ a b ＝ 5 ＝ ，
| a || b | × 2
π 所以‹a，b›＝ ．
4 2、因为 A(2，－4)，B(－2，3)，所以→ AB ＝(－2，3) －(2，－4)＝(－4，7)， 所以|→ AB |＝ 72＋(－4)2＝ 65． 3、因为→ AB ＝(2－1，3－2)＝(1，1)，→ AC ＝(－2－1，5－2)＝(－3，3)， 可得→ AB ·→ AC ＝(1，1)·(－3，3)＝0． 所以→ AB → AC ．
－3
的坐标：
(1) A(－3，4)，B(6，3)；(2) A(－3，6)，B(－8，－7)．
参考答案：
1、（1）（x，y）（2）(x2－x1，y2－y1)
2、a＝3e1＋2e2＝(3，2 )，b＝－2e1＋3e2＝(－2，3)，
c＝－2e1－3e2＝(－2，－3)，d＝2e1－3e2＝(2，－3)．
b a a
参考答案： 1、（1）C（2）B 2、 方法一：三角形法则 法则
方法二：平行四边行
b
a
a+b
a+b
a
a
练习 7.1.3
1、填空题
（1）在平行四边形 ABCD 中，若 AB=a ， BD=b ，则 AB+CB
；
（2）化简: OP QP PS SP
；
2、作图题：如图所示，已知向量 a 与 b，求 a-b
练习 7.3.1
1．已知 | a |，| b |，‹a，b›，求 a·b： (1) | a |＝7，| b |＝12，‹a，b›＝120°；(2) | a |＝8，| b |＝4，‹a，b›＝π； 2．已知 | a |，| b |，a·b，求 ‹a，b›： (1) | a || b |＝16，a·b＝－8；(2) | a || b |＝12，a·b＝6 3． 3、已知 a·a＝16，求| a | 参考答案： 1、（1）－42（2）－32 2、（1）120°（2）30° 3、4
1、选择题
（1）如右图所示，在平行四边行 ABCD 中，下列结论错误的是（
A． AB=DC
B． AD+AB=AC
D
C． AB +AD=BD
D． AD+CB=0
A
（2）化简： AB+BC CD =（ ）
）
C B
A． AC
B． AD
C． BD
D． 0
2、作图题：如图所示，已知向量 a 与 b，求 a+b
5 因为→ AB ∥a，所以 1×5－2×y＝0．解得 y＝ ．
2 3、由已知条件得→ AB ＝(0，1)－(－2，－3)＝(2，4)，→ AC ＝(2，5)－(－2，－3)＝(4，8)． 因为 2×8－4×4＝0，所以 → AB ∥ → AC ，又线段 AB 和 AC 有公共点 A，所以 A，B，C 三点共线．