浙江省高中数学竞赛试卷 含答案

2017年浙江省高中数学竞赛

一、填空题：本大题共10个小题,每小题8分,共80分.

1.在多项式3

10

(1)(2)x x -+的展开式中6

x 的系数为 ．

2.已知

3)5a -=,则实数a = ．

3.设2

()f x x ax b =++在[]0,1中有两个实数根,则2

2a b -的取值范围为 ．

4.设x ,y R ∈,且

222222sin cos cos cos sin sin 1sin()

x x x y x y

x y -+-=+,则x y -= ．

5.已知两个命题,命题p :函数()log a f x x =(0x >)单调递增；命题q ：函数

2()1g x x ax =++（x R ∈）．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则实数a 的取值范围

为 ．

6.设S 是5

(0,)8中所有有理数的集合，对简分数

q S p

∈，(,)1p q =，

定义函数1()q q f p p +=，则2

()3

f x =

在S 中根的个数为 ． 7.已知动点P ，M ，N 分别在x 轴上，圆2

2

(1)(2)1x y -+-=和圆2

2

(3)(4)3x y -+-=上，则||||PM PN +的最小值为 ．

8.已知棱长为1的正四面体P ABC -，PC 的中点为D ，动点E 在线段AD 上，则直线BE 与平面ABC 所成的角的取值范围为 ．

9.已知平面向量a r ，b r ，c r ，满足||1a =r ，||2b =r ，||3c =r

，01λ<<，若0b c ⋅=r r ，则|(1)|a b c λλ---r r r

所有取不到的值的集合为 ．

10.已知2

2,0,

()1,0,

x x f x x x -<⎧=⎨

-≥⎩方程()|()2*40f x f x a +--=有三个

根123x x x <<．若32212()x x x x -=-，则实数a = ．

二、解答题：本大题共5个小题，满分120分，将答案填在答题纸上）

11.设1()f x =

，1()n f x +=，1n =，2，…．对每个n ，求()n f x 3x =

的实数解．

12.已知椭圆22

162

x y +=的右焦点为F ，过F 的直线(2)y k x =-交椭圆于P ，Q 两点(0)k ≠．若PQ 的中点为原点，直线ON 交直线3x =于M ．

（1）求MFQ ∠的大小； （2）求

PQ

MF

的最大值． 13.设数列{}n a 满足：1|2|2n n a a +-=，||2n a ≤，n =1,2,3，…． 证明：如果1a 为有理数，则从某项后{}n a 为周期数列．

14.设1a ，2a ，3a ；1b ，2b ，3b Z +

∈，证明：存在不全为零的数1λ，2λ，{}30,1,2λ∈，

使得112233a a a λλλ++和112233b b b λλλ++同时被3整除． 15.设{}12,,n a a a σ=…,为{}1,2,,n …的一个排列，记1

1

()n

i i i F a a

σ+==

∑，11n a a +=，求

min ()F σ．

2017年浙江省高中数学竞赛答案

一、填空题

1.4128-

3.[]0,2

4.22

k ππ+（k Z ∈） 5.(2,1][2,)-+∞U

7.1 8.0,arctan 7⎡⎢⎣⎦

9.(1)(4,)-∞+∞U

10.

3

2

三、解答题

11.证明：利用数学归纳法． （1）2x =是()3n f x x =的解．

当1n =时，2x =是1()f x =

3x =的解.

当n k =时，设(2)6k f =，则1(2)6k f +=

=. 由此可得2x =是()3n f x x =的解（对于所有的n ）.

（2）当2x >时，2

3()32

n f x x x <<．

当1n =时，213()3(2)2

f x x x x =<<>．

当n k =时，设2

3()32

k f x x x <<

，则1()3k f x x +=<=． 由此可得2x >都不是()3n f x x =的解（对于所有的n ）． （3）当02x <<时，()3n f x x >．

当1n =时，1()3f x x =

>=（02x <<）.

当n k =时，设()3k f x x >，则1()3k f x x +=

>>． 由此可得02x <<都不是()3n f x x =的解（对于所有的n ）． 因此，对每个n ，()3n f x x =的实数解为2x =．

12.解：（1）联立22

1,62

(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩

可得2222

(31)121260k x k x k +-+-=． 设P 点的坐标为(,)p p x y ，Q 点的坐标为(,)q q x y ，

则221231p q k x x k +=+，22

126

31

p q k x x k -=+． 于是有2

4()431

p q p q k

y y k x x k k -+=+-=

+． 因为PQ 的中点为N ，所以22

262(,)3131k k N k k -++，因此ON 的斜率1

3ON k k

=-， 因为直线ON 交直线3x =于M ，所以1

(3,)M k -，故MF 的斜率为1MF k k

=-， 即得1MF PQ k k ⋅=-，因此MF 与PQ 垂直，2

MFQ π

∠=

．

（2）222

2222

()()

()()11p q p q p q x x k x x PQ I k x x MF k

-+-===-+22()4p q p q k x x x x ⎡⎤=+-⎣⎦ 422

22

21442124(31)

31k k k k k ⎡⎤-=-⎢⎥++⎣⎦22

22124(31)k k k +=+． 令2

31u k =+，则2(1)(2)8

3u u I u -+=221611116119()()32234

16u u u ⎡⎤=---=---⎢⎥⎣⎦，

由于2

311u k =+>，故1

01u

≤

< . 因此max 3I =（当4u =时取到最大值，也即1k =±）． 综上所述，

PQ

MF

13.证明：（1）若1a 为有理数，则{}n a 为一个有理数数列． （2）对于任意的n ，设n y

a x

=

，(,)1y x =，由已知条件，有且仅有下述一个等式成立： 12222n n y x a a x ++=+=或12222n n y x

a a x

+-=-=． (*)

n a 与1n a +有相同的分母（不进行约分）．

（3）设1q

a p

=

，(,)1p q =，则n n b a p =，n b 为整数，由于||2n a ≤，n =1，2,3，…，因