八年级数学下册 5 核心素养专题 古代问题中的勾股定理测试题 (新版)新人教版

核心素养专题：古代问题中的勾股定理

◆类型一勾股定理应用中的实际问题

1．【“引葭赴岸”问题】如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是( )

A．10尺B．11尺

C．12尺D．13尺

第1题图第2题图2．(xx·西城区期末)《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何．

注：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去．

解决下列问题：

(1)示意图中，线段CE的长为________尺，线段DF的长为________尺；

(2)设户斜长x，则可列方程为________________．

3．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”

译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”根据题意，可得秋千的绳索长为________尺．

4．(xx·东营中考)我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度为________尺．

◆类型二 勾股定理的证明问题

5．(xx·丽水中考)我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示．在图②中，若正方形ABCD 的边长为14，正方形IJKL 的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH 的边长为________．

6．中国古代对勾股定理有深刻的认识．

(1)三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用四个全等的图①所示的直角三角形拼成一个如图②所示的大正方形，中间空白部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a ，b ，求(a ＋b)2的值；

(2)清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》，用现代的数学语言描述就是：若直角三角形的三边长分别为3，4，5的整数倍，设其面积为S ，则求其边长的方法：第一步S 6

＝m ；第二步：m ＝k ；第三步：分别用3，4，5乘以k ，得三边长．当面积S ＝150时，请用“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长．

参考答案与解析

1．D 2.(1)4 2 (2)(x －4)2＋(x －2)2＝x 2 3.14.5

4．25 解析：将圆柱侧面展开，如图，AC ＝3尺，CD ＝205

＝4(尺)，∴AD ＝32＋42＝5(尺)，∴葛藤的最短长度为5×5＝25(尺)．

5．10

6．解：(1)根据勾股定理可得a 2＋b 2＝13，四个直角三角形的面积是12

ab ×4＝13－1＝12，即2ab ＝12，则(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2＝13＋12＝25，即(a ＋b )2＝25.

(2)当S ＝150时，k ＝m ＝S

6＝1506

＝25＝5，所以三边长分别为：3×5＝15，4×5＝20，5×5＝25，所以这个直角三角形的三边长为15，20，25.

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