2013年广东省佛山市高中阶段招生考试数学试题

2013年广东省佛山市高中阶段招生考试数学试题
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．（2013年佛山市）2-的相反数是( ) A ．2 B ．2- C ．
21 D ．2
1
- 2．（2013年佛山市）下列计算正确的是( )
A ．1243a a a =⋅
B ．743)(a a =
C ．3632)(b a b a =
D ．)0( 4
3≠=÷a a a a 3．（2013年佛山市）并排放置的等底等高的圆锥和圆柱(如图)的主视图是( )
4．（2013年佛山市）分解因式a a -3
的结果是( )
A ．)1(2
-a a B ．2
)1(-a a C ．)1)(1(-+a a a D ．)1)((2
-+a a a 5．（2013年佛山市）化简)12(2-÷的结果是( )
A ．122-
B ．22-
C ．21-
D ．22+ 6．（2013年佛山市）掷一枚有正反面的均匀硬币，正确的说法是( ) A ．正面一定朝上 B ．反面一定朝上
C ．正面比反面朝上的概率大
D ．正面和反面朝上的概率都是0．5 7．（2013年佛山市）如图，若∠A =60°，AC =20 m ，则BC 大约是(结果精确到0．1 m)( ) A ．34．64 m B ．34．6 m C ．28．3 m D ．17．3 m 8．（2013年佛山）半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．7
9．（2013年佛山市）多项式2
321xy xy -+的次数及最高次项的系数分别是( ) A ．3 3-， B ．3 2-， C ．3 5-， D ．3 2，
A ．
B ．
C ．
D ．
A
C
B
第7题图
第3题图
10．（2013年佛山市）某人匀速跑步到公园，在公园里某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，此人离家的距离y与时间x的关系的大致图象是( )
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．（2013年佛山市）数字9 600 000用科学记数法表示为________________．
12．（2013年佛山市）方程0
2
2
2=
-
-x
x的解是_________________．
13．（2013•佛山）在1，2，3，4四个数字中随机选两个不同的数字组成两位数，
则组成的两位数大于40的概率是．
14．（2013•佛山）图中圆心角∠AOB=30°，弦CA∥OB，延长CO与圆交于点D，
则∠BOD=．
15．（2013年佛山市）命题“对顶角相等”的条件是______________．
三、解答题(第16～20每小题6分，第21～23每小题8分，第24小题10分，第
25小题11分，共75分)
16．（2013年佛山市）计算：[])2
4
(
)2
(
5
21
3-
÷
-
-
-
-
+
⨯．
17．（2013年佛山市）网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF．
18．（2013年佛山市）按要求化简：
2
1
3
1
2
a
a
a-
+
+
-
．
A
B
C
D
E
F
第17题图
第14题图
要求：见答题卡．
19．（2013年佛山市）已知两个语句：
①式子12-x 的值在1(含1)与3(含3)之间； ②式子12-x 的值不小于1且不大于3． 请回答以下问题：
(1) 两个语句表达的意思是否一样(不用说明理由)？ (2) 把两个语句分别用数学式子表示出来．
20．（2013年佛山市）如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线AB 与高AO 的夹角．参考公式：圆锥的侧面积S=πrl ，其中r 为底面半径，l 为母线长．
21．（8分）（2013年佛山市）已知正比例函数y=ax 与反比例函数的图象有一个公共点A （1，2）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围．
22．（2013年佛山市）课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题(如推论、定理等)的正确性都需要通过推理的方法证实．
(1) 叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS ； (2) 证明推论AAS ．
要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、 求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．
23．（2013年佛山市）在一次考试中，从全体参加考试的1000名学生中随机抽取了120名学生的答题卷进行统计分析．其中，某个单项选择题答题情况如下表(没有多选和不选)：
(1) 根据统计表画出扇形统计图；
要求：画图前先求角；画图可借助任何工具，其中一个角的作图用尺规作图(保留痕迹，不写作法和证
A B C D
E
F
第22题图
第23题图
第21题图
明)；统计图中标注角度．
(2)如果这个选择题满分是3分，正确的选项是C，则估计全体学生该题的平均得分是多少？
24．（10分）（2013年佛山市）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．
25．（2013年佛山市）我们知道，矩形是特殊的平行四边形，所以矩形除了具备平行四边形的一切性质还有其特殊的性质；同样，黄金矩形是特殊的矩形，因此黄金矩形有与一般矩形不一样的知识．已知平行四边形ABCD，∠A=60°，AB=2a，AD=a．
(1)把所给的平行四边形ABCD用两种方式分割并作说明
第25题图
第24题图
(见答题卡表格里的示例)；
要求：用直线段分割，分割成的图形是学习过的特殊图形且不超出四个．
(2)图中关于边、角和对角线会有若干关系或问题．现在请计算两条对角线的长度．要求：计算对角线BD长的过程中要有必要的论证；直接写出对角线AC的长．解：在表格中作答
2013年广东省佛山市高中阶段招生考试数学试题参考答案
一、1．A
分析：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案．
解：﹣2的相反数是2，故选A．
点评：此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．
2．C
分析：根据同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的运算性质，利用排除法求解
解：A、应为a3•a4=a7，故本选项错误；B、应为（a3）4=a12，故本选项错误；C、每个因式都分别乘方，正确；
D、应为a3÷a4=（a≠0），故本选项错误．故选C．
点评：本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方和幂的乘方，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．
3．B
分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
解：圆锥的左视图是三角形，圆柱的左视图是长方形，故选B．
点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4．C
分析：首先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解即可．
解：a3﹣a=a（a2﹣1）=a（a+1）（a﹣1），故选C．
点评：此题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能再分解为止．
5．D
分析：分子、分母同时乘以（+1）即可．
解：原式===2+．故选D．
点评：本题考查了分母有理化，正确选择一个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．6．D
分析：根据掷一枚有正反面的均匀硬币，则得到正反两面的概率相等，即可得出答案．
解：因为掷一枚有正反面的均匀硬币，所以正面和反面朝上的概率都是0．5．故选D．
点评：此题主要考查了概率的意义，根据正反面出现的机会均等是解题关键．
7．B
分析：首先计算出∠B的度数，再根据直角三角形的性质可得AB=40 m，再利用勾股定理计算出BC长即可．解：因为∠A=60°，∠C=90°，所以∠B=30°，所以AB=2AC．因为AC=20 m，所以AB=40 m．所以
BC====20≈34．6（m）．故选B．
点评：此题主要考查了勾股定理，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 8．C
分析：过点O 作OD ⊥AB 于点D ，由垂径定理可求出BD 的长，在Rt △BOD 中，利用勾股定理即可得出OD 的长．
解：如图所示，过点O 作OD ⊥AB 于点D ．
因为OB=3，AB=4，OD ⊥AB ，所以BD=AB=×4=2． 在Rt △BOD 中，OD=
=
=
．故选C ．
点评：本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用勾股定理求出OD 的长是解答此题的关键． 9．A
分析：根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得此多项式为3次，最高次项是﹣3xy 2
，系数是数字因数，故为﹣3．
解：多项式1+2xy ﹣3xy 2
的次数是3，最高次项是﹣3xy 2
，系数是﹣3；故选A ． 点评：此题主要考查了多项式，关键是掌握多项式次数的计算方法与单项式的区别． 10．B
分析：根据在每阶段中，离家的距离随时间的变化情况即可进行判断．
解：图象应分三个阶段，第一阶段：匀速跑步到公园，在这个阶段，离家的距离随时间的增大而增大；第二阶段：在公园停留了一段时间，这一阶段离家的距离不随时间的变化而改变，故D 错误；第三阶段：沿原路匀速步行回家，这一阶段，离家的距离随时间的增大而减小，故A 错误；并且这段的速度小于第一阶段的速度，则C 错误．故选B ．
点评：本题考查了函数的图象，理解每阶段中，离家的距离与时间的关系，根据图象的斜率判断运动的速度是解决本题的关键． 二、11．9．6×10
6
分析：科学记数法的表示形式为a ×10n
的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．
解：将9 600 000用科学记数法表示为：9．6×106
．故答案为9．6×106
．
点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n
的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 12．x 1=
+1，x 2=﹣
+1
分析：首先把常数﹣2移到等号右边，再两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方公式，再开方，解方程即可．
第8题解析图
解：x 2﹣2x ﹣2=0，移项，得x 2﹣2x=2，配方，得x 2﹣2x+1=2+1，即（x ﹣1）2
=3，两边开平方，得x ﹣1=，
则x 1=
+1，x 2=﹣
+1．
点评：此题主要考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 13．
分析：画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解． 解：根据题意画出树状图如下：
一共有12种情况，组成的两位数大于40的情况有3种，所以P （组成的两位数大于40）==．故答案为．
点评：本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为概率=所求情况数与总情况数之比． 14．30°
分析：根据平行线的性质由CA ∥OB 得到∠CAO=∠AOB=30°，利用半径相等得到∠C=∠OAC=30°，然后根据圆周角定理得到∠AOD=2∠C=60°，则∠BOD=60°﹣30°=30°． 解：因为CA ∥OB ，所以∠CAO=∠AOB=30°．
因为OA=OC ，所以∠C=∠OAC=30°，所以∠AOD=2∠C=60°，所以∠BOD=60°﹣30°=30°．故答案为30°． 点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．也考查了平行线的性质． 15．两个角是对顶角
分析：根据命题由题设与结论组成，可得到“对顶角相等”的条件是若两个角是对顶角，结论是这两个角相等． 解：“对顶角相等”的条件是两个角是对顶角．故答案为两个角是对顶角．
点评：本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题；命题由题设与结论组成，两个互换题设与结论的命题称为互逆命题．
三、16．分析：根据负整数指数幂以及绝对值、乘方运算法则等性质，先算乘方，再算乘除，最后算加法得出即可．
解：2×[5+（﹣2）3
]﹣（﹣|﹣4|÷2-1
=2×（5﹣8）﹣（﹣4÷）=﹣6﹣（﹣8）=2． 点评：此题主要考查了实数运算，本题需注意的知识点是：负整数指数幂时，a -p
=．
17．分析：利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC ∽
△DEF ． 解：因为AC=，BC=
=
，AB=4，DF=
=2
，EF=
=2
，ED=8，所以
=
=
=
2
1
，所以△ABC ∽△DEF ． 点评：本题考查了相似三角形的判定、勾股定理．三角形相似的判定方法有：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A ”型和“X ”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
18．分析：首先通分，把分母化为（a+1）（a ﹣1），再根据同分母分数相加减，分母不变，分子相加减进行计算，注意最后结果要化简． 解：原式=
﹣
=
=
=
．
点评：此题主要考查了分式的加减，关键是掌握异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
19．分析：（1）注意分析“在1（含1）与3（含3）之间”及“不小于1且不大于3”的意思即可； （2）根据题意可得不等式组．
解：（1）一样；
（2）①式子2x ﹣1的值在1（含1）与3（含3）之间可得1≤2x ﹣1≤3； ②式子2x ﹣1的值不小于1且不大于3可得
．
点评：此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，抓住题干中体现不等关系的词语．
20．分析：设出圆锥的半径与母线长，利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长得到圆锥的半径与母线长，进而表示出母线与高的夹角的正弦值，也就求出了夹角的度数． 解：设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则πl =2πr ，所以l =2r ． 所以母线与高的夹角的正弦值==，所以母线AB 与高AO 的夹角30°．
点评：此题主要考查了圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；注意利用一个角相应的三角函数值求得角的度数．
21．分析：（1）分别把A 点坐标代入正比例函数解析式和反比例函
数解析式，求出a 与b 的值，从而确定两函数解析式；
（2）先画出
y=和y=2x 的图象，根据对称性得到两函数的另一个交
点B 与点A 关于原点对称，则B 点坐标为（﹣1，﹣2），然后观察图
象得到当﹣1＜x ＜0或x ＞1时，正比例函数图象都在反比例函数图
象上方，即正比例函数值大于反比例函数值．
解：（1）把A （1，2）代入y=ax ，得a=2，所以正比例函数解析式为
y=2x ；
把A （1，2）代入
y=，得b=1×2=2，所以反比例函数解析式为y=．
（2）如图，当﹣1＜x ＜0或x ＞1时，正比例函数值大于反比例函数
值．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
22．分析：（1）两角及其中一角的对边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）根据三角形内角和定理和全等三角形的判断定理ASA 来证明．
解：（1）三角形全等的判定方法中的推论AAS 指的是：两角及其中一角的对边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）已知：在△ABC 与△DEF 中，∠A=∠D ，∠C=∠F ，BC=EF ．
求证：△ABC ≌△DEF ．
证明：如图，在△ABC 与△DEF 中，∠A=∠D ，∠C=∠F （已知），所以∠A+∠C=∠D+∠F （等量代换）． 又因为∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和定理），所以∠B=∠E ．
所以在△ABC 与△DEF 中，，所以△ABC ≌△DEF （ASA ）． 点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ． 注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
23．分析：（1）根据用每个选项的人数除以总数即可得出扇形图中所占比例，进而求出各角的度数；
（2）根据统计表求出总得分，进而得出平均分即可．
解：（1）根据图表数据得出：选A 的所占圆心角为：
×360°=45°；选B 的所占圆心角为：×360°=15°；选C 的所占圆心角为：
×360°=270°；选D 的所占圆心角为：
×360°=30°．如图所示：
第21题解析图
（2）因为选择题满分是3分，正确的选项是C ，所以全体学生该题的平均得分为：
=2．25（分）．
点评：本题考查的是扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
24．分析：（1）把点A 、B 、C 代入抛物线解析式y=ax 2+bx+c 利用待定系数法求解即可；
（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；
（3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可．
解：（1）因为抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （0，3），B （3，0），C （4，3），所以，解得， 所以抛物线的函数表达式为y=x 2﹣4x+3；
（2）因为y=x 2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，所以抛物线的顶点坐标为（2，
﹣1），对称轴为直线x=2；
（3）如图，因为抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），所以PP ′=1，阴影部
分的面积等于平行四边形A ′APP ′的面积，平行四边形A ′APP ′的面
积=1×2=2，所以阴影部分的面积=2．
点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二
次函数图象与几何变换，第（3）小题根据平移的性质，把阴影部分的面
积转化为平行四边形的面积是解题的关键．
25．分析：（1）方案一：分割成两个等腰梯形；
方案二：分割成一个等边三角形、一个等腰三角形和一个直角三角形；
（2）利用平行四边形的性质、等边三角形的性质、勾股定理作答，认真计算即可．
解：（1）在表格中作答：
第24题解析图
第23题解析图
，上底长都为，下底长都为a 、
因为AB=2a ，E 为AB 中点，所以AE=BE=a ．
因为AD=AE=a ，∠A=60°，所以△ADE 为等边三角形，∠ADE=∠DEA=60°，DE=AE=a ．
又因为∠BED+∠DEA=180
°，所以∠BED=180°﹣∠DEA=180°﹣60°=120°．
又因为DE=BE=a ，∠BED=120°，所以∠BDE=∠DBE=（180°﹣120°）=30°．
所以∠ADB=∠ADE+∠BDE=60°+30°=90°．
所以Rt △ADB 中，∠ADB=90°，由勾股定理，得BD 2+AD 2=AB 2，即BD 2+a 2=（2a ）2，解得BD=
a ．
如下图②所示，AC=2OC=2
=2=2•a=a ． 所以BD=
a ，AC=a ．
点评：本题是几何综合题，考查了四边形（平行四边形、等腰梯形、菱形、矩形）、三角形（等边三角形、等腰三角形、直角三角形）的图形与性质．第（1）问侧重考查了几何图形的分割、剪拼、动手操作能力和空间想象能力；第（2）问侧重考查了几何计算能力．本题考查知识点全面，对学生的几何综合能力要求较高，是一道好题．
第25题解析图。