统计学原理 第8章 相关与回归分析
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统计学原理 第8章
2 2 ( x x) f ( y y) f xf yf 其中：x , y f f
简捷法：r
f xyf xf yf
2 f x f xf 2 2 f y f yf 2
Spearman(斯皮尔曼)等级相关系数 （二列等级相关系数）
2 S xy
(x
x) ( y y )
n Lxy ( x x ) ( y y ) 2 2 2 ( x2 x ) 2 2 Lx
x x
Ly
(y
xy x y
xy x y SxS y y y
协方差
y) 2
试证： S x x x
表示与二分变量中p类别相对应的连续变量的平均数 表示与二分变量中q类别相对应的连续变量的平均数
xq
表示连续变量的标准差
例题
在某班随机抽取20个学生的语文考试成绩如下表所示。据此信 息，以99%的把握推断：该班学生的语文考试成绩与学生性别 之间是否存在必然关系？
所有语文考试成绩的标准差： 16.66 p=11/20=0.55 ，q=0.45，男生为p，女生为q， 男生的平均数为
商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系
、降雨量(x2) 、
②现象之间的这种依存关 收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系 系是不严格的，即无法用数学 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系 公式准确表示。
x
若现象间这种不严格的依存 关系近似一种直线关系，则其相 关关系的图示如右,为线性相关。
《统计学》课件第八章 相关回归分析
1．相关表 相关表是一种反映变量之间相关关 系的统计表。将某一变量按其取值的 大小排列，然后再将与其相关的另一 变量的对应值平行排列，便可得到简 单的相关表。 例1：某地区某企业近8年产品产量 与生产费用的相关情况如表6-1所示：
第一节 相关分析
表1 从表可看 出，产品产量 与生产费用之 间存在一定的 正相关关系。 产品产量与生产费用相关表
确定显著性水平 （通常 =0.05） 。 依据 和两个自由度 f1 、 f 2 查 F 分布表可得相应的临界值 F 。 第四步，做出判断。 如果 F > F ，拒绝原假设 H 0 ，表明回归效果显著；反之，则接受 原假设，表明线性回归方程的回归效果不显著。
回归分析
例6：以表6-1的资料为例，对其回归模型作F检验
第一节 相关分析
（五）相关系数
相关程度可分为以下几种情况： ① r 0.3 ，为无线性相关； ②0.3≤ r ＜0.5，为低度线性相关； ③0.5≤ r ＜0.8，为显著线性相关； ④ r ≥0.8，一般称为高度线性相关。 以上说明必须建立在相关系数通过显著 性检验的基础之上。
第一节 相关分析
180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
产 品 产 量
19 97 19 98 19 99 20 00 20 01 20 02 20 03 20 04
时间 生产费用（万元） 产品产量（千吨）
第一节 相关分析
（五）相关系数
相关系数是用来说明变量之间在直线相 关条件下相关关系密切程度和方向的统计分 析指标。其定义公式为：
（五）相关系数
4．相关系数的显著性检验 样本相关系数的检验包括两类检验： （1）对总体相关系数是否等于0进行检验； （2）对总体相关系数是否等于某一给定的不 为0的数值进行检验。
统计学课件第八章相关和回归分析
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图示
完全正线性相关
正线性相关
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完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
不相关
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三、相关分析的主要内容
根据研究目的，搜集有关资料 编制相关图表 计算相关系数 建立回归方程 进行统计检验
第八章 相关和回归分析
第一节 相关的意义和种类 第二节 相关图表和相关系数 第三节 一元线性回归分析 第四节 多元线性回归分析 第五节 非线性回归分析
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相关和回归分析是研究事物的相互关系， 测定它们联系的紧密程度，揭示其变化 的具体形式和规律性的统计方法，是构 造各种经济模型、进行结构分析、政策 评价、预测和控制的重要工具。
复相关(多元相关)：有两个及两个以上的自变量。 如: 某种商品的需求与其价格水平以及收入水平 之间的相关关系便是一种复相关。
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偏相关: 在某一现象与多种现象相关的场合，假定
其他变量不变，专门考察其中两个变量的相关 关系称为偏相关。
如: 在假定人们的收入水平不变的条件下，某
种商品的需求与其价格水平的关系就是一种偏 相关。
（2）圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为
S = R2
（3）企业的原材料消耗额(y)与产量(x1) 、单位 x3
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相关关系（correlation analysis）：
相关关系：变量之间存在 有依存关系，但这种关系 是不完全确定的随机关系， 即当一个(或一组)变量每 取一个值时，相应的另一 个变量可能有多个不同值 与之对应 。
统计学原理第八章 相关与回归分析
一、相关系数
（二）相关系数的计算
2．简单相关系数的取值范围 第一，当r>0时，表示两个变量呈正相关，当r<0时，表示两变量负相关。 第二，当r=1或r=-1时，表明两变量之间为完全的相关，即为函数关系。 第三，当r=0时，表明两变量之间没有相关关系。如果r =0，则表明两个现象之间完 全没有直线相关关系。（但并不表明两个现象之间没有非线性相关）
21
§3 一元线性回归分析
➢ 在相关分析中，已知两个变量之间有直线相关关系。 ➢ 就需要确定一个数学表达式反映因变量与自变量之间的关系。 ➢ 有了这种数学表达式就便于进行解析，当有了自变量的一定数值，
就可以估计因变量的数值平均来说将会有怎样的变动。 ➢ 这样的数学表达式称为回归方程式。 ➢ 由于变量之间关系的复杂性，回归方程式也有多种类型和形式。 ➢ 一元线性回归方程式是指一个自变量且相关形式为直线。
• 由于研究对象的不同，相关系数有多种定义方式，较为常用的是皮尔 逊相关系数。
• 相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无 法确切地表明两个变量之间相关的程度。
• 相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。 • 相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基
程度的大小，由于变量之间是对等的，因此相关系数是惟一确定的；而在 回归分析中，对于互为因果关系的两个变量，则有可能存在两个回归方程。 当x为自变量、y为因变量时，称y倚x的回归方程，当y为自变量、x为因变 量时，称x倚y的回归方程。
24
第三节 回归分析的基本问题
二、回归分析与相关分析的关系
（二）回归分析与相关分析的联系 相关分析是回归分析的基础和前提，回归分析则是相关分析的深入和
统计学原理第八章相关与回归分析
相关分析的内容 1.判断现象之间是否存在相关关系； 2.如果存在相关关系，则要进一步判断相
关关系的种类和关系的紧密程度； 3.对相关系数进行显著性检验。
回归分析的内容
• 1. 建立反映变量间依存关系的数学模型 即回归方程；
• 2.对回归方程进行显著性检验； • 3.用回归过程进行预测。
回归分析和相关分析的主要区别
4.相关系数的绝对值越接近于1，表示相关 程度越强；越接近于0，表示相关程度越 弱。具体标准为：
R 的绝对值：0.3以下 微弱相关；
0.3-0.5 低度相关；
0.5-0.8 显著相关；
0.8以上 高度相关。
以上结论必须建立在对相关系数的显著性 检验基础之上。
三、相关系数的显著性检验
显著性检验的具体步骤：
资料：
销售量 500
（公斤）
价格 10
（元）
相关表
700 9
900 7
600 9
1000 800 89
1200 6
销售量 500
（公斤）
价格 10
（元）
600 9
700 9
800 9
900 7
1000 8
1200 6
相关图（散点图）
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
一、一元线性回归方程
❖ 只涉及一个自变量的回归
❖ 因变量y与自变量x之间为线性关系
➢ 被预测或被解释的变量称为因变量，用y表示
➢ 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为
自变量，用x表示
❖ 因变量与自变量之间的关系用一个线性方 程来表示
一元线性回归模型
❖ 一元线性回归模型可表示为
关关系的种类和关系的紧密程度； 3.对相关系数进行显著性检验。
回归分析的内容
• 1. 建立反映变量间依存关系的数学模型 即回归方程；
• 2.对回归方程进行显著性检验； • 3.用回归过程进行预测。
回归分析和相关分析的主要区别
4.相关系数的绝对值越接近于1，表示相关 程度越强；越接近于0，表示相关程度越 弱。具体标准为：
R 的绝对值：0.3以下 微弱相关；
0.3-0.5 低度相关；
0.5-0.8 显著相关；
0.8以上 高度相关。
以上结论必须建立在对相关系数的显著性 检验基础之上。
三、相关系数的显著性检验
显著性检验的具体步骤：
资料：
销售量 500
（公斤）
价格 10
（元）
相关表
700 9
900 7
600 9
1000 800 89
1200 6
销售量 500
（公斤）
价格 10
（元）
600 9
700 9
800 9
900 7
1000 8
1200 6
相关图（散点图）
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
一、一元线性回归方程
❖ 只涉及一个自变量的回归
❖ 因变量y与自变量x之间为线性关系
➢ 被预测或被解释的变量称为因变量，用y表示
➢ 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为
自变量，用x表示
❖ 因变量与自变量之间的关系用一个线性方 程来表示
一元线性回归模型
❖ 一元线性回归模型可表示为
《统计学原理》第8章 相关与回归分析..
3
二、函数关系
1、变量之间存在严格的数量依存关系
2、这种关系可通过精确的数学方程式表达出来
3、变量之间确定性的依存关系 如：园的面积S和半径R之间的关系
S R
2
长方形的周长和两条边的关系 L 2x y
4
三、相关关系的种类
根据涉及的因素多少：单相关和复相关 根据相关的表现形态：线性相关和曲线相关 根据相关的变化方向：正相关和复相关 根据相关的程度：完全相关、不完全相关和不
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二、相关系数的简便算法
相关系数 r,
r
n x x
2
n xy x y
2 2
n y y
2
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三、相关系数说明的相关关系的密切程度
1、-1≤r≤1 2、如果r>0，线性正相关；r<0，线性负相关 3、如果r=0，则不存在线性关系 4、如果r<0.3 ，不相关 5、如果0.3<r<0.5，低度相关 6、0.5<r<0.8，显著相关 7、r>0.8，高度相关
4、相关分析的主要内容
2
一、相关关系
1、现象之间在数量上的相互依存关系 2、这种依存关系不能用精确的关系式表示出来 3、是变量之间随机性的依存关系；可以是因果关 系、互为因果关系、也可能是共变关系。 如：吸烟和得肺病之间有相关关系不良生活习惯 和身体健康之间有相关关系努力学习和考试成绩 之间有相关关系等 绝大多数现象之间存在相关关系
249 267 289
329 406 451 513
1998 1999 2000
2001 2002 2003
1068.8 1169.2 1250.7
1429.5 1725.9 2099.5
二、函数关系
1、变量之间存在严格的数量依存关系
2、这种关系可通过精确的数学方程式表达出来
3、变量之间确定性的依存关系 如：园的面积S和半径R之间的关系
S R
2
长方形的周长和两条边的关系 L 2x y
4
三、相关关系的种类
根据涉及的因素多少：单相关和复相关 根据相关的表现形态：线性相关和曲线相关 根据相关的变化方向：正相关和复相关 根据相关的程度：完全相关、不完全相关和不
9
二、相关系数的简便算法
相关系数 r,
r
n x x
2
n xy x y
2 2
n y y
2
10
三、相关系数说明的相关关系的密切程度
1、-1≤r≤1 2、如果r>0，线性正相关；r<0，线性负相关 3、如果r=0，则不存在线性关系 4、如果r<0.3 ，不相关 5、如果0.3<r<0.5，低度相关 6、0.5<r<0.8，显著相关 7、r>0.8，高度相关
4、相关分析的主要内容
2
一、相关关系
1、现象之间在数量上的相互依存关系 2、这种依存关系不能用精确的关系式表示出来 3、是变量之间随机性的依存关系；可以是因果关 系、互为因果关系、也可能是共变关系。 如：吸烟和得肺病之间有相关关系不良生活习惯 和身体健康之间有相关关系努力学习和考试成绩 之间有相关关系等 绝大多数现象之间存在相关关系
249 267 289
329 406 451 513
1998 1999 2000
2001 2002 2003
1068.8 1169.2 1250.7
1429.5 1725.9 2099.5
第八章 相关与回归分析 《统计学原理》PPT课件
二、相关系数
（一）相关系数的概念 （二）相关系数的计算 （三）相关系数的检验
（一）相关系数的概念
相关系数是在两个变量直线相关的 条件下，测定变量之间相关方向和相关 密切程度的统计指标，通常用r表示，其 全称是直线积差相关系数。
定义式：
r
2 xy
1 n
x
x
y
y
x y
1 n
x
x
2
1 n
y
y
2
x xy y x x 2 y y2
（二）按现象之间的相关方向划分正相关 和负相关。
（三）按现象之间相关的形式划分为直线 相关与曲线相关。
（四）按现象之间相关的程度划分为不相 关、不完全相关和完全相关。
三、相关分析的内容
（一）确定现象之间是关系的方向和密切程度
第二节 简单线性相关分析
➢相关关系：当一个或几个相互联系的变量取
一定数值时，与之相对应的另一变量的值虽然 不确定，但仍按某种规律在一定的范围内变化。 变量间的这种相互关系，称为具有不确定性的 相关关系。
（二）函数关系与相关关系的区别与联系
1.区别：具有相关关系的变量之间的数量关系不 确定，而具有函数关系的变量之间的数量关系 是确定的。
➢ 如果r =0，则表明两个现象之间完全没有直线相 关关系。（但并不表明两个现象之间没有非线性 相关）
➢ 相关系数的绝对值 r 在0.3以下是无直线相关，
在0.3—0.5是低度直线相关，在0.5—0.8是显著相 关，0.8以上是高度相关。
第三节 一元线性回归分析
一、回归分析的概念 二、回归的种类 三、相关分析与回归分析的关系 四、一元线性回归 五、一元线性回归方程的检验 六、回归估计标准误差 七、利用一元线性回归方程进行预测
[课件]统计学：第八章 相关与回归分析PPT
![[课件]统计学：第八章 相关与回归分析PPT](https://img.taocdn.com/s3/m/f088c63d650e52ea551898e9.png)
2018/12/4 河北工程大学经济管理学院 8
二、相关关系的种类
把握以下问题： 1、按相关程度划分； 2、按相关方向划分； 3、按相关形式划分； 4、按变量多少划分； 5、按相关性质划分。
2018/12/4 河北工程大学经济管理学院 9
1、按相关程度划分
可分为完全相关、不完全相关和不相关 （1 ）完全相关：当一种现象的数量变化完全 由另一个现象的数量变化所确定时，称这两 种现象之间的关系为完全相关，例如圆的周 长 L 决定于它的半径 R ，即 L=2∏R 。在这种 情况下，相关关系即为函数关系，也可以说 函数关系是相关关系的一种特例。
第八章 相关与回归分析
本章分三节： 第一节 相关与回归分析的基本概 念 第二节 一元线性回归分析 第三节 相关分析
2018/12/4
河北工程大学经济管理学院
3
第一节 相关与回归分析的 基本概念
本节需要把握四个问题： 一、函数关系与相关关系； 二、相关关系的种类； 三、相关分析与回归分析； 四、相关表和相关图。
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三、相关分析与回归分析
把握以下问题： 1、相关分析与回归分析的概念； 2、二者的联系； 3、二者的区别； 4、应用中注意局限性。
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3、二者关系
上述函数关系和相关关系之间并不存在 严格的界限，一定条件下可以转化。由 于有测量误差等原因，函数关系在实际 中往往通过相关关系表现出来；反之当 对现象之间的内在联系和规律性了解得 更清楚深刻的时候，相关关系也可能转 化为函数关系。因此，相关关系通常可 以用一定的函数关系表达式去近似地描 述。
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二、相关关系的种类
把握以下问题： 1、按相关程度划分； 2、按相关方向划分； 3、按相关形式划分； 4、按变量多少划分； 5、按相关性质划分。
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1、按相关程度划分
可分为完全相关、不完全相关和不相关 （1 ）完全相关：当一种现象的数量变化完全 由另一个现象的数量变化所确定时，称这两 种现象之间的关系为完全相关，例如圆的周 长 L 决定于它的半径 R ，即 L=2∏R 。在这种 情况下，相关关系即为函数关系，也可以说 函数关系是相关关系的一种特例。
第八章 相关与回归分析
本章分三节： 第一节 相关与回归分析的基本概 念 第二节 一元线性回归分析 第三节 相关分析
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第一节 相关与回归分析的 基本概念
本节需要把握四个问题： 一、函数关系与相关关系； 二、相关关系的种类； 三、相关分析与回归分析； 四、相关表和相关图。
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三、相关分析与回归分析
把握以下问题： 1、相关分析与回归分析的概念； 2、二者的联系； 3、二者的区别； 4、应用中注意局限性。
2018/12/4 河北工程大学经济管理学院 7
3、二者关系
上述函数关系和相关关系之间并不存在 严格的界限，一定条件下可以转化。由 于有测量误差等原因，函数关系在实际 中往往通过相关关系表现出来；反之当 对现象之间的内在联系和规律性了解得 更清楚深刻的时候，相关关系也可能转 化为函数关系。因此，相关关系通常可 以用一定的函数关系表达式去近似地描 述。
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2013统计学原理--chapter8(硕士)相关分析和回归分析
r123 r ,n3 认为变量 X 1和X 2存在偏相关
偏相关系数的假设检验 ----Fisher变换
（三变量情形）
1 r z 0.5 ln 1 r 1 在原假设下近似服从N ( 0， ) n4
偏相关系数的计算公式
------（m变量情形）
rij 12( i 1)(i 1)( j 1)( j 1)m ij ii jj r1m r2 m r3 m 1
第8章 相关分析和回归分析
变量相关的概念 相关关系的种类 相关关系的测度
变量间的关系 函数关系 是变量之间的一种完全确 定的关系。 统计相关关系是变量之间存在的不 完全确定性的关系。 1.相关与不相关 2.独立与不独立
相关关系的种类
单相关与复相关 正相关与负相关 不相关、完全相关和不完全相关 简单相关 偏相关 复相关 典型相关 样本相关系数 总体相关系数
若 rij 12( i 1)(i 1)( j 1)( j 1)m r , n m , 则 认为变量X i 和X j 存在偏相关。
偏相关系数的检验 ----Fisher变换（m变量情形）
1 r123m z 0.5 ln 1 r123m 1 在原假设下近似服从 N (0， ) n m 1
偏相关系数的性质
偏相关系数的取值范围是在-1到+1之间。
若 r12· 3= 0,但是 r12 0，则说明X1和X2的相关性完全 是由X3的影响引起的。
若 r12· 3= r12 ，则说明X3不影响X1和X2的相关性。
若| r12· 3 | <| r12 | ，则说明X1和X2的相关性因X3的存 在而有所加强。 若| r12· 3 | >| r12 | ，则说明X1和X2的相关性因X3的存 在而有所减弱。
统计学原理任务八——相关与回归分析
8.1
一、相关关系的定义
函数关系之所以是确定性的一一对应关系， 就是因为我们所考察的变量就是受影响变量 的全部影响因素；而相关关系之所以是不严 格的非一一对应关系，就是因为我们所考察 的变量只是受影响变量的一部分影响因素， 受影响变量还存在其他我们没有考察到的影 响因素。
8.1
一、相关关系的定义
8.1
二、相关关系的种类
（一）按相关的程度大小不同，分为完全相关、不完 全相关和不相关 完全相关是指一个变量变动完全由另一个或另一组变 量所决定，这时相关关系就转化为函数关系。 不完全相关是介于完全相关和不相关之间的一种相关 关系。在不完全相关中，一个变量变动不仅取决于另 一个或另一组变量变动，而且还受随机因素干扰。 不相关是一个变量变动与另一个或另一组变量变动相 互独立，变量之间彼此互不影响，不存在任何依存关 系。
8.1
一、相关关系的定义
函数关系是指变量之间所存在的严格的依存 关系，即当一个（或一组）变量的数值确定 之后，另一个受其影响的变量的数值也随之 唯一确定下来。这种一一对应的关系可以通 过一个数学函数来反映。 例如，圆的面积s与其半径r之间的关系为 s=πr^2；自由落体下落的高度h与其经历的 时间t之间的关系为h=1/2gt^2，等等。
虽然，函数关系与相关关系是两种性质不同的 依存关系，但是它们之间却存在着密切联系。 一方面，由于存在着测量误差，理论上存在函 数关系的多个变量的实际测量数据之间并不一 定存在一一对应关系，而往往表现为不严格的 相关关系。 另一方面，在研究极为密切的相关关系时，我 们可以借助于函数关系对其进行拟合，然后通 过一些实际观测值运用一定的数学方法求得函 数的具体表达式，最后就可以运用该函数关系 式依据自变量的一定数值来估计因变量的数值。
统计学原理第8章相关与回归分析[精]
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估计标准误差就是因变量的估计值yc与实际值y之间差异 公 的平均程度。记为Syx,它的基本公式为:
式
或
式中,Syx表示估计标准误差;下标yx表示y依x的回归方程; y是因变量的实际值;yc是因变量的估计值。
例8.4以例8.1的资料计算估计标准误差。
步骤： 1.设计一张计算表,将已知x的值代入回归方程求出对应的yc的值 2.计算离差y-yc并加以平方求和 3.求出估计标准误差Syx。
数关系。
当r=0时,表示x与y完全没有线性相关。
当0<|r|<1时,表示x与y存在着一定的线性相关。一般分四个
等级,判断标准如下:
若0<|r|<0.3,则称x与y为微弱相关;
若0.3<|r|<0.5, 则称x与y为低度相关;
若0.5<|r|<0.8, 则称x与y为显著相关;
若0.8<|r|<1, 则称x与y为高度相关。
8.3.2简单直线回归方程
a, b是待定参数 利用最小二乘法 得到a，b求值，再反解得到方程式
建立回归直线的过程：列计算表,求出∑xy,∑x2,∑y2,x,y; 计算Lxy,Lxx和Lyy的值;求出b和a的值并写出方程
例 8.2某工厂某产品的产量与单位成本资料见表8.2,试 求单位成本依产量的回归直线方程。
★ 填空题 (1) 现象之间的相关关系，从相关因素的个数看，可分为()和()；从相关的形式
的两个回归方程。() (9) 估计标准误差指的就是因变量的估计值yc与实际值y之间的平均误差程度。() (10) 在任何相关条件下，都可以用相关系数r说明变量之间相关的密切程度。() (11) 若变量x与y的相关系数r1=-0.8，变量p与q的相关系数r2=-0.92，由于r1>r2，
统计学原理第八章相关分析与回归分析
21
例1：P354页，第1题
企业 产量 X 单位成 XY
X2
Y2
序号 （4件） 本(元)Y
1
2
52
104
4
2704
2
3
54
162
9
2916
3
4
52
208
16
2704
4
4
48
192
16
2304
5
5
48
240
25
2304
6
6
∑
24
46
276
36
2116
300
1182
106 15048
即：∑X=24，∑Y=300， ∑XY=1182，
• 2） X倚Y的直线方程的确定
• 根据最小平方法的原理：(x xc )2 最小值
• 将xc = c + dy代入上述公式中，分别对c和d 求一阶偏导数，并令偏导数等于0，就可以
得出两个正规方程：
x nc dy yx cy dy2
d
nyx y n y2 (
x
y )2
c x dy
举例：P355，第4题。
• 偏相关：在复相关中，当假定其他变量不 变时，其中两个变量间的相关关系称为偏 相关。例如，在假定人们收入水平不变的 条件下，某种商品的需求与其价格水平的 关系就是一种偏相关。
9
三、相关分析与回归分析
• （一）相关分析 • 是用一个指标（相关系数）来表明现象
之间相互依存的密切程度。 • （二）回归分析 • 是根据相关关系的具体形态，选择一个
• 曲线相关：如果现象之间的相关关系近似 地表现为某种曲线形式时，就称这种相关 关系为曲线相关。
统计学原理第8章相关与回归分析
两个回归方程。() (9) 估计标准误差指的就是因变量的估计值yc与实际值y之间的平均误差程度。() (10) 在任何相关条件下，都可以用相关系数r说明变量之间相关的密切程度。() (11) 若变量x与y的相关系数r1=-0.8，变量p与q的相关系数r2=-0.92，由于r1>r2，因
此x与y间相关的程度比较高。()
27
同步练习
★ 判断题 (1) 根据结果标志对因素标志的不同反映，可以把现象间数量上的依存关系划分为
函数关系和相关关系。() (2) 正相关指的就是因素标志和结果标志的数量变动方向都是上升的。() (3) 相关系数是测定变量间相关密切程度的唯一方法。() (4) 只有当相关系数接近于1时，才能说明两变量之间存在高度相关系数。() (5) 若变量x的值减少，y的值也减少，说明变量x与y之间存在相关关系。() (6) 回归系数b和相关系数r都可以来判断现象之间相关的密切程度。() (7) 若回归直线方程为：yc=160-2.3x，则变量x与y之间存在负的相关关系。() (8) 回归分析中，对于没有明显因果关系的两个变量x与y，可以建立y依x和x依y的
D产量每增加1000件时，单位成本下降78元
E产品的产量随生产用固定资产价值的减少而减少
(4) 测定现象间有无相关关系的方法是()。
A编制相关表 B绘制相关图 C对客观现象作定性分析
D计算估计标准误系数时，()。
A相关的两个变量都是随机的
B相关的两个变量是对等的关系
C相关的两个变量一个是随机的，一个是可以控制的量
特点 在进行回归分析时,必须根据研究目的确定相关的变量中谁为自变 量,谁为因变量。 回归方程的作用在于由自变量的数值来估计因变量的值。一个回 归方程只能作一种推算或估计。 在回归分析中,因变量是随机的,自变量是可以控制的量。
此x与y间相关的程度比较高。()
27
同步练习
★ 判断题 (1) 根据结果标志对因素标志的不同反映，可以把现象间数量上的依存关系划分为
函数关系和相关关系。() (2) 正相关指的就是因素标志和结果标志的数量变动方向都是上升的。() (3) 相关系数是测定变量间相关密切程度的唯一方法。() (4) 只有当相关系数接近于1时，才能说明两变量之间存在高度相关系数。() (5) 若变量x的值减少，y的值也减少，说明变量x与y之间存在相关关系。() (6) 回归系数b和相关系数r都可以来判断现象之间相关的密切程度。() (7) 若回归直线方程为：yc=160-2.3x，则变量x与y之间存在负的相关关系。() (8) 回归分析中，对于没有明显因果关系的两个变量x与y，可以建立y依x和x依y的
D产量每增加1000件时，单位成本下降78元
E产品的产量随生产用固定资产价值的减少而减少
(4) 测定现象间有无相关关系的方法是()。
A编制相关表 B绘制相关图 C对客观现象作定性分析
D计算估计标准误系数时，()。
A相关的两个变量都是随机的
B相关的两个变量是对等的关系
C相关的两个变量一个是随机的，一个是可以控制的量
特点 在进行回归分析时,必须根据研究目的确定相关的变量中谁为自变 量,谁为因变量。 回归方程的作用在于由自变量的数值来估计因变量的值。一个回 归方程只能作一种推算或估计。 在回归分析中,因变量是随机的,自变量是可以控制的量。
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关系数 7. 常用的可以转换为线性回归的非线性函数 8. 非线性相关指数
实例1: 中国妇女生育水平的决定因素是什么?
妇女生育水平除了受计划生育政策影响以外，还可能 与社会、经济、文化等多种因素有关。 1. 影响中国妇女生育率变动的因素有哪些？ 2. 各种因素对生育率的作用方向和作用程度如何？ 3. 哪些因素是影响妇女生育率主要的决定性因素？ 4. 如何评价计划生育政策在生育水平变动中的作用？ 5. 计划生育政策与经济因素比较,什么是影响生育率的
1
n
相关系数的特点总结
• 相关系数的取值在-1与1之间。
• 当r=0时，表明X与Y没有线性相关关系。
• 当 0 r 1 时，表明X与Y存在一定的线性 相关关系: 若 r 0 表明X与Y 为正相关; 若 r 0 表明X与Y 为负相关。
• 当 r 1 时，表明X与Y完全线性相关: 若r=1，称X与Y完全正相关； 若r=-1，称X与Y完全负相关。
20
B 15 10 5
0
0
2
4
6
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12
完全相关 (B) 不完全相关 (A) 不相关 (C)
35 30
C 25 20 15 10 5 0 0
5
10
15
回归的古典意义
高尔顿遗传学的回归概念
父母身高与子女身高的关系: 无论高个子或低个子的子女 都有向人的平均身高回归的 趋势
回归的现代意义
一个因变量对若干解释变量依存关系的研究 回归的目的（实质）：
n y2
2
1 n
xx
x
yy
y
11
2r
1 n
xx
x
yy
y
2
2
2r 2 0 r 1 同理可证 : r 1
xx
x
yy
y
2
0
2
xx
x
yy
y
xx
x
2
yy
y
2
又 x x N (0,1), y y N (0,1)
x
y
xx
x
2
yy
y
2
n
n
2n
r
xx
x
yy
y
线性相关的判断准则
r 0.3 微弱相关 0.3 r 0.5 低度相关 0.5 r 0.8 显著相关 0.8 r 1 高度相关
r 0 x与y无线性关系,但可能有其他关系
r 1 x与y有完全线性关系:函数关系 [例]为了解餐饮业消费数额与小费之间的数额关系，特从若干 名消费者中随机抽取10消费者调查，所得数额如下：
n x y
xx
x
yy
y
n
x
x
x
x
y
y
y
y
n
(x x)(y y) 标准化的协方差 n
2、使 r 1 1 r 1
r
xx
x
yy
y
2r
2
xx
x
yy
y
n
n
1 n
xx
x
yy
y
2
xx
x
2
yy
y
2
2
1 n
xx
x
yy
y
(x x)2 ( y y)2
n
2 x
n
2 y
( y y )2 1
总体相关系数反映总体两个变量X和Y的线性相关程度。 特点：对于特定的总体来说，X和Y的数值是既定的
总体相关系数是客观存在的特定数值。
● 样本相关系数
通过X和Y 的样本观测值去估计样本相关系数变量
X和Y的样本相关系数通常用 rXY 表示
rxy
(xi x )( yi y ) (xi x )2 ( yi y )2
再问：若令账单消费额为y，小费为x，则r的取值是否改变 ?
使用相关系数的注意事项
▲X和Y 都是相互对称的随机变量，所以
XY YX
▲其接近于1的程度与样本容量n有关， n小， r 1。特例：当n = 2时，r = 1。
▲相关系数只反映变量间的线性相关程度，不 能说明非线性相关关系。
▲相关系数不能确定变量的因果关系，也不能 说明相关关系具体接近于哪条直线。
Y= f（X）+ε
(ε为随机变量)
◆没有关系 35
30
变量间关系的图形描述： 25 20
Y
坐标图(散点图)
15 10
5
0
0
10
20
30
X
相关关系的类型
● 从涉及的变量数量看
简单相关
多重相关（复相关）
● 从变量相关关系的表现形式看
线性相关——散布图接近一条直线(左图)
非线性相关——散布图接近一条曲线(右图)
（一）协方差xy的作用 1、显示x与y之间的相关方向。
Y (二)
x x (xn , yn ) (一)
•
•
r xy x y (三)
•
• •
yy
(四)
•
(x1, y1 )
xy
(x x)(y n
y)
X
(一) (三) (x x)(y y)
(x x) ( y y)
xy 0 正相关 r 0
r r r
0 0 0
无直线相关 正相关 负相关
第二、显示x与y之间的相关密切程度
xy 越大 x与y之间的相关程度越高
xy
越小
x与y之间的相关程度越低
（二）x、y的作用 1、使不同变量的协方差标准化直接对比。
(x x)( y y)
r xy x y
n
x y
(x x)( y y)
8.1 简单线性相关分析
一、简单线性相关系数及检验 二、总体回归函数与样本回归函数 三、回归系数的估计 四、简单线性回归模型的检验 五、简单线性回归模型预测
一、简单线性相关系数及检验
●总体相关系数
对于所研究的总体，表示两个相互联系变量相关程度 的总体相关系数为：
Cov( X ,Y )
Var( X )Var(Y )
50.7
5 2570.49
25 253.5
63.6
12 4044.96
144 763.2
78.5
9.4 6162.25 88.36 737.9
87.9
8.1 7726.41 65.61 711.99
98.8
17 9761.44
289 1679.6
107.3
16 11513.29
256 1716.8
102.3 15.4 10465.29 237.16 1575.42
(引自《光明日报》刘军/文）
问题: 肥胖症和体重超常与死亡人数真有显著 的数量关系吗?
这些类型的问题可以运用相关分析与回归分析的 方法去解决。
8.0 相关与回归的基本概念
一、变量间的相互关系 二、相关关系的类型 三、相关分析与回归分析
一、变量间的相互关系
◆确定性的函数关系 Y=f (X)
◆不确定性的统计关系—相关关系
第8章 相关与回归分析
8.0 相关与回归的基本概念 8.1 简单线性相关分析 8.2 一元线性回归分析 8.3 多元线性相关与回归分析 8.4 非线性相关与回归分析 8.5复相关和偏相关
学习目标
1. 变量间的相关关系与相关系数的计算 2. 总体回归函数与样本回归函数 3. 线性回归的基本假定 4. 简单线性回归参数的估计与检验 5. 多元线性回归参数的估计与检验 6. 多个变量的线性相关关系：复相关系数和偏相
由固定的自变量去估计因变量的平均值
总 体
样
自变量固定值
本
相关分析与回归分析的联系
●共同的研究对象：都是对变量间相关关系的 分析
●只有当变量间存在相关关系时，用回归分析 去寻求相关的具体数学形式才有实际意义
●相关分析只表明变量间相关关系的性质和程 度，要确定变量间相关的具体数学形式依赖 于回归分析
● 相关分析中相关系数的确定建立在回归分析 的基础上
xy yx xy x y xy y x x y nx y
n
n
xy
xy n
xy n
n
x n
y n
xy xy n
[简捷计算公式]
(x x )2 (x2 2xx x 2 )
x2 2xx x 2 x2 2 x x n x 2 n
x 2
2(x) 2 n
n
关于相关的普通错误
在解释关于相关的结果中会出现三种普通的错误：
1、相关就一定意味着因果关系。如：一项研究表明，统 计学教授的薪金与每人的啤酒消费量之间有很强的正相关 关系，但这两个变量都受经济形势的影响。（隐藏变量）
2、相关系数为0，一定不相关。
3、基于平均数进行相关分析与基于个体数据进行相关分 析，其相关程度不一样。如：一项研究中，关于个人收入 和教育的成对数据产生了一个0.4的线性相关系数，但当 使用区域平均时，线性相关系数变为0.7。
[负相关]
Y r xy
x y
xy
(x
x)(y n
y)
(二)
•
(x1, y1 ) •
xx
•
(三)
•
(一)
yy
(四)
• •
(xn , yn )
(二) (四) (x x)(y y)
X
(x x) ( y y)
xy 0 负相关 r 0
2、显示x与y之间的相关程度。
餐饮消费额与小费数据如下：单位：美元 消 33.5 50.7 87.9 98.8 63.6 107.3 120.7 78.5 102.3 140.6 费 小 5.5 5.0 8.1 17 12 16 18.6 9.4 15.4 22.4 费
实例1: 中国妇女生育水平的决定因素是什么?
妇女生育水平除了受计划生育政策影响以外，还可能 与社会、经济、文化等多种因素有关。 1. 影响中国妇女生育率变动的因素有哪些？ 2. 各种因素对生育率的作用方向和作用程度如何？ 3. 哪些因素是影响妇女生育率主要的决定性因素？ 4. 如何评价计划生育政策在生育水平变动中的作用？ 5. 计划生育政策与经济因素比较,什么是影响生育率的
1
n
相关系数的特点总结
• 相关系数的取值在-1与1之间。
• 当r=0时，表明X与Y没有线性相关关系。
• 当 0 r 1 时，表明X与Y存在一定的线性 相关关系: 若 r 0 表明X与Y 为正相关; 若 r 0 表明X与Y 为负相关。
• 当 r 1 时，表明X与Y完全线性相关: 若r=1，称X与Y完全正相关； 若r=-1，称X与Y完全负相关。
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B 15 10 5
0
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4
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完全相关 (B) 不完全相关 (A) 不相关 (C)
35 30
C 25 20 15 10 5 0 0
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回归的古典意义
高尔顿遗传学的回归概念
父母身高与子女身高的关系: 无论高个子或低个子的子女 都有向人的平均身高回归的 趋势
回归的现代意义
一个因变量对若干解释变量依存关系的研究 回归的目的（实质）：
n y2
2
1 n
xx
x
yy
y
11
2r
1 n
xx
x
yy
y
2
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2r 2 0 r 1 同理可证 : r 1
xx
x
yy
y
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xx
x
yy
y
xx
x
2
yy
y
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又 x x N (0,1), y y N (0,1)
x
y
xx
x
2
yy
y
2
n
n
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r
xx
x
yy
y
线性相关的判断准则
r 0.3 微弱相关 0.3 r 0.5 低度相关 0.5 r 0.8 显著相关 0.8 r 1 高度相关
r 0 x与y无线性关系,但可能有其他关系
r 1 x与y有完全线性关系:函数关系 [例]为了解餐饮业消费数额与小费之间的数额关系，特从若干 名消费者中随机抽取10消费者调查，所得数额如下：
n x y
xx
x
yy
y
n
x
x
x
x
y
y
y
y
n
(x x)(y y) 标准化的协方差 n
2、使 r 1 1 r 1
r
xx
x
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yy
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n
n
1 n
xx
x
yy
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2
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2
yy
y
2
2
1 n
xx
x
yy
y
(x x)2 ( y y)2
n
2 x
n
2 y
( y y )2 1
总体相关系数反映总体两个变量X和Y的线性相关程度。 特点：对于特定的总体来说，X和Y的数值是既定的
总体相关系数是客观存在的特定数值。
● 样本相关系数
通过X和Y 的样本观测值去估计样本相关系数变量
X和Y的样本相关系数通常用 rXY 表示
rxy
(xi x )( yi y ) (xi x )2 ( yi y )2
再问：若令账单消费额为y，小费为x，则r的取值是否改变 ?
使用相关系数的注意事项
▲X和Y 都是相互对称的随机变量，所以
XY YX
▲其接近于1的程度与样本容量n有关， n小， r 1。特例：当n = 2时，r = 1。
▲相关系数只反映变量间的线性相关程度，不 能说明非线性相关关系。
▲相关系数不能确定变量的因果关系，也不能 说明相关关系具体接近于哪条直线。
Y= f（X）+ε
(ε为随机变量)
◆没有关系 35
30
变量间关系的图形描述： 25 20
Y
坐标图(散点图)
15 10
5
0
0
10
20
30
X
相关关系的类型
● 从涉及的变量数量看
简单相关
多重相关（复相关）
● 从变量相关关系的表现形式看
线性相关——散布图接近一条直线(左图)
非线性相关——散布图接近一条曲线(右图)
（一）协方差xy的作用 1、显示x与y之间的相关方向。
Y (二)
x x (xn , yn ) (一)
•
•
r xy x y (三)
•
• •
yy
(四)
•
(x1, y1 )
xy
(x x)(y n
y)
X
(一) (三) (x x)(y y)
(x x) ( y y)
xy 0 正相关 r 0
r r r
0 0 0
无直线相关 正相关 负相关
第二、显示x与y之间的相关密切程度
xy 越大 x与y之间的相关程度越高
xy
越小
x与y之间的相关程度越低
（二）x、y的作用 1、使不同变量的协方差标准化直接对比。
(x x)( y y)
r xy x y
n
x y
(x x)( y y)
8.1 简单线性相关分析
一、简单线性相关系数及检验 二、总体回归函数与样本回归函数 三、回归系数的估计 四、简单线性回归模型的检验 五、简单线性回归模型预测
一、简单线性相关系数及检验
●总体相关系数
对于所研究的总体，表示两个相互联系变量相关程度 的总体相关系数为：
Cov( X ,Y )
Var( X )Var(Y )
50.7
5 2570.49
25 253.5
63.6
12 4044.96
144 763.2
78.5
9.4 6162.25 88.36 737.9
87.9
8.1 7726.41 65.61 711.99
98.8
17 9761.44
289 1679.6
107.3
16 11513.29
256 1716.8
102.3 15.4 10465.29 237.16 1575.42
(引自《光明日报》刘军/文）
问题: 肥胖症和体重超常与死亡人数真有显著 的数量关系吗?
这些类型的问题可以运用相关分析与回归分析的 方法去解决。
8.0 相关与回归的基本概念
一、变量间的相互关系 二、相关关系的类型 三、相关分析与回归分析
一、变量间的相互关系
◆确定性的函数关系 Y=f (X)
◆不确定性的统计关系—相关关系
第8章 相关与回归分析
8.0 相关与回归的基本概念 8.1 简单线性相关分析 8.2 一元线性回归分析 8.3 多元线性相关与回归分析 8.4 非线性相关与回归分析 8.5复相关和偏相关
学习目标
1. 变量间的相关关系与相关系数的计算 2. 总体回归函数与样本回归函数 3. 线性回归的基本假定 4. 简单线性回归参数的估计与检验 5. 多元线性回归参数的估计与检验 6. 多个变量的线性相关关系：复相关系数和偏相
由固定的自变量去估计因变量的平均值
总 体
样
自变量固定值
本
相关分析与回归分析的联系
●共同的研究对象：都是对变量间相关关系的 分析
●只有当变量间存在相关关系时，用回归分析 去寻求相关的具体数学形式才有实际意义
●相关分析只表明变量间相关关系的性质和程 度，要确定变量间相关的具体数学形式依赖 于回归分析
● 相关分析中相关系数的确定建立在回归分析 的基础上
xy yx xy x y xy y x x y nx y
n
n
xy
xy n
xy n
n
x n
y n
xy xy n
[简捷计算公式]
(x x )2 (x2 2xx x 2 )
x2 2xx x 2 x2 2 x x n x 2 n
x 2
2(x) 2 n
n
关于相关的普通错误
在解释关于相关的结果中会出现三种普通的错误：
1、相关就一定意味着因果关系。如：一项研究表明，统 计学教授的薪金与每人的啤酒消费量之间有很强的正相关 关系，但这两个变量都受经济形势的影响。（隐藏变量）
2、相关系数为0，一定不相关。
3、基于平均数进行相关分析与基于个体数据进行相关分 析，其相关程度不一样。如：一项研究中，关于个人收入 和教育的成对数据产生了一个0.4的线性相关系数，但当 使用区域平均时，线性相关系数变为0.7。
[负相关]
Y r xy
x y
xy
(x
x)(y n
y)
(二)
•
(x1, y1 ) •
xx
•
(三)
•
(一)
yy
(四)
• •
(xn , yn )
(二) (四) (x x)(y y)
X
(x x) ( y y)
xy 0 负相关 r 0
2、显示x与y之间的相关程度。
餐饮消费额与小费数据如下：单位：美元 消 33.5 50.7 87.9 98.8 63.6 107.3 120.7 78.5 102.3 140.6 费 小 5.5 5.0 8.1 17 12 16 18.6 9.4 15.4 22.4 费