八年级一次函数分段函数经典讲解

认清分段函数,解决收费问题

定义：一般地，如果有实数a1，a2，a3……k1,k,2k3……b1,b2,b3……且a1≤a2≤a3……函数Y与自变量X之间存在

k1x+b1 x≤a1

y = k2x+b2 a1≤x≤a2 ①的函数解析式，则称该函数解析式为X的分段函数。

K3x+b3 a2≤x≤a3

…………

应该指出:(一), 函数解析式①这个整体只是一个函数,并非是Y=K1X+b1 Y=K2X+b2……等几个不同函数的简单组合,而k1x+b1,k2x+b2……是函数Y的几种不同的表达式.。所以上例中Y=｛这个整体只是一个函数，不能认为

它是两个不同的函数，只能说110X和110×80%X是同一函数中的自变量X在两种不同取值范围内的不同表达式。

(二),由于k1,k2,k3……b1,b2,b3是实数,所以函数Y在X的某个范围内的特殊函数,如正比例

函数和常数函数。

(三),由于问题的不同，当然分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而

是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。

(四), 一次函数的分段函数是简单的分段函数。

分段函数应用题

分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，

分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种

重要题型。

收费问题与我们的生活息息相关,如水费问题、电费问题、话费问题等，这些收费

问题往往根据不同的用量，采用不同的收费方式.以收费为题材的数学问题多以分段

函数的形式出现在中考试题中，下面请看几例.

一、话费中的分段函数

例1

（四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间（分钟）

与相应话费（元）之间的函数图象如图1所示：

（１）月通话为100分钟时，应交话费元；

（２）当x100时，求与之间的函数关系式；

（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？

图1

分析：本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图象可观察到，在0到100分钟之间月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的正比例函数,当x100时, 月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的一次函数.

解：（1）观察图象可知月通话为100分钟时，应交话费40元；

（2）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b

由图上知：x=100时,y=40；x=200时,时，y=60

则有,解之得

所求函数关系式为..

（3）把x=280代入关系式,得

即月通话为280分钟时，应交话费76元．

二、水费中的分段函数

例2（广东）某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法

，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图 2.

(1)分别写出当0x15和x15时,y与x的函数关系式;

(2)若某户该月用水21吨,则应交水费多少元?

分析:本题是一道与收水费有关的分段函数问题.观察图象可知,

0x15时y是x的正比例函数; x≥15时,y是x的一次函数.

解:

(1)当0x15时,设y=kx,把x=15,y=27代入,得27=15k,所以k=,所以y=x;当x

15时,设y=ax+b,将x=15,y=27和x=20,y=39.5代入,得

解得a=2.5,b=-10.5

所以y=2.5x-10.5 图2

(2)当该用户该月用21吨水时,

三、电费中分段函数

例3

(广东)今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取

按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函

数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：

（1）分别写出当0x100和x100时，y与x的函数关系式；

（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；

（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？

图3

分析:从函数图象上看图象分为两段,当0x100时,电费y是电量x的正比例函数,当x100时,y是x的一次函数,且函数图象经过点(100,65)和(130,89),设出相应的函数关系

式,将点的坐标代入即可确定函数关系式,根据函数关系式可解决问题.

解: (1)设当0x100时,函数关系式为y=kx,将x=100,y=65代入,得k=0.65,所以y=0.65x; 设当x100时,函数关系式为y=ax+b,将x=100,y=65和x=130,y=89代入,得

解得a=0.8,b=-15.所以y=0.8x-15

综上可得

(2)用户月用电量在0度到100度之间时,每度电的收费的标准是0.65元;超出100度时,每度电的收费标准是0.80元.

(3)用户月用电62度时,用户应缴费40.3元,若用户月缴费105元时,该户该月用了150度电.

谈谈中考中的分段函数

分段函数，是近几年中考数学中经常遇到的题型。它是考查分类思想，读取、搜集、

处理图像信息等综合能力的综合题。这些分段函数都是直线型。

通常是正比例函数的图像和一次函数的图像构成。下面我们归纳分析如下，供学习时参考。

1、二段型分段函数

1.1正比例函数与一次函数构成的分段函数

解答这类分段函数问题的关键,就是分别确定好正比例函数的解析式和一次函数的解

析式。

例1某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修3天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成．工程进度满足如图1所示的函数关系，该家庭共支付工资8000元．

（1）完成此房屋装修共需多少天？

（2）若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少

元？

解析：设正比例函数的解析式为：y=k1x，