函数与方程①第三章集体备课

诚西郊市崇武区沿街学校第一课时：3.方程的根与函数的零点

教学要求：结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而理解函数的零点与方程根的联络；掌握零点存在的断定条件.

教学重点：体会函数的零点与方程根之间的联络，掌握零点存在的断定条件.

教学难点：恰当的使用信息工具，讨论函数零点个数.

教学过程：

一、复习准备：

考虑：一元二次方程2ax +bx+c=o(a ≠0)的根与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象之间有什么关系？ .二、讲授新课：

1、讨论函数零点与方程的根的关系：

①讨论：方程x 2-2x-3=o 的根是什么？函数y=x 2-2x-3的图象与x 轴的交点

方程x 2-2x+1=0的根是什么？函数y=x 2-2x+1的图象与x 轴的交点？

方程x 2-2x+3=0的根是什么？函数y=x 2-2x+3的图象与x 轴有几个交点？

②根据以上讨论，让学生自己归纳并发现得出结论：→推广到y=f(x)呢？

一元二次方程2ax +bx+c=o(a ≠0)的根就是相应二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交点横坐标. ③定义零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点.

④讨论：y=f(x)的零点、方程f(x)=0的实数根、函数y=f(x)的图象与x 轴交点的横坐标的关系？ 结论：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y=f(x)有零点 ⑤练习：求以下函数的零点244y x x =-+；243y x x =-+→小结：二次函数零点情况

2、教学零点存在性定理及应用：

①探究：作出243y x x =-+的图象，让同学们求出f(2),f(1)和f(0)的值,观察f(2)和f(0)的符号

②观察下面函数)(x f y =的图象，在区间],[b a 上______(有/无)零点；

)(a f ·)(b f _____0〔＜或者者＞〕.在区间],[c b 上______(有/无)零点；

)(b f ·)(c f _____0〔＜或者者＞〕

．在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0〔＜或者者＞)．

③定理：假设函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间〔a,b 〕内有零点，即存在c ∈(a,b),使得f(c)=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根.

④应用：求函数f(x)=Lnx+2x-6的零点的个数.〔试讨论一些函数值→分别用代数法、几何法〕

⑤小结：函数零点的求法

代数法：求方程()0f x =的实数根；

几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数

)(x f y =的图象联络起来，并利用函数的性质找出零点．

⑥练习：求函数23x y =-的零点所在区间.

3、小结：零点概念；零点、与x 轴交点、方程的根的关系；零点存在性定理

三、稳固练习：1.P97,1,题2,题〔教师计算机演示，学生答复〕

2.求函数3222y x x x =--+的零点所在区间，并画出它的大致图象.

3.求以下函数的零点：

254y x x =--；)13)(1(2+--=x x x y ；220y x x =-++； 22()(2)(32)f x x x x =--+.

4. 2()2(1)421f x m x mx m =+++-：〔1〕m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个零点；

〔2〕假设函数至少有一个零点在原点右侧，求m 的值．

5.作业：P102,2题；P1251题

第二课时：3.用二分法求方程的近似解

教学要求：根据详细函数图象，可以借助计算器用二分法求相应方程的近似解.通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联络，初步形成用函数观点处理问题的意识.

教学重点：用二分法求方程的近似解.

教学重点：恰当的使用信息工具.

教学过程：

一、复习准备：

1.提问：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？

零点概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点.

方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y=f(x)有零点

假设函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间〔a,b 〕内有零点，即存在c ∈(a,b),使得f(c)=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根.

2.探究：一元二次方程求根公式？三次方程？四次方程？

材料：高次多项式方程公式解的探究史料：在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔〔Abel 〕和伽罗瓦〔Galois 〕的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四那么运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作详细计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中非常重要的课题

二、讲授新课：

1.教学二分法的思想及步骤：

①出例如：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好.〔让同学们自由发言，找出最好的方法〕

解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球

第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球

第三次，两端各放一个球，假设平衡，剩下的就是重球，否那么，低的就是重球.

其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？

②探究：ln 26y x x =+-的零点所在区间？如何找出这个零点？→师生用二分法探究

③定义二分法的概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a).f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection) ④探究：给定精度ε，用二分法求函数

()f x 的零点近似值的步骤如下： A ．确定区间[,]a b ，验证()()0f a f b <，给定精度ε；B.求区间(,)a b 的中点1x ；