常德市中考数学压轴题总复习题

2021年湖南省常德市中考数学压轴题总复习解析版

1．如图，矩形OABC 顶点A 在x 轴上，顶点C 在y 轴上，点B 的坐标为（8，6），点D 是

BC 边上一点，且D 为BC 中点，OB 与AD 相交于点E ，动点P 从点O 沿y 轴向点C 运动，运动速度为1单位长/秒，过点P 的直线与x 轴平行分别交OB 、AD 、AB 于点M 、N 、Q ，设点P 的运动时间为t 秒．

（1）求点D 的坐标和直线AD 的解析式；

（2）设线段MN 的长度为l ，求l 与t 的函数关系式，写出t 的取值范围；

（3）若点G 为过三点O 、M 、N 的圆的圆心（当M 、N 重合时，规定点G 在过M 点且与y 轴平行的直线上），当动点P 从点O 运动到点C ，点G 也随之运动，求点G 的运动路径长．

解：（1）点D （4，6），点A （8，0），

将点AD 的坐标代入一次函数表达式y ＝kx +b 得：{6=4k +b 0=8k +b ，解得：{k =−32b =12

， 故直线AD 的表达式为：y =−32x +12，

同理直线OB 的表达式为：y =34x ，

联立上述两式并解得：x =

163， 即点E （163，4）；

（2）①当点E 在MN 上方时，即0＜t ≤4时，

∵PM ∥CD ，则OP OC =PM BC ，即：t 6=PM 8，则PM =43t ，此时点M （43t ，t ）， 同理点N （8−23t ，t ），

l ＝8−23t −43t ＝8﹣2t ，

②当点E 在MN 上方时，即4＜t ≤6时，

点M 、N 的坐标不变；

l =43t ﹣8+23t ＝2t ﹣8，

即：l ={8−2t ，0＜t ≤42t −8，4＜t ≤6

； （3））①当点E 在MN 上方时，即0＜t ≤4时，

线段MN 的中垂线为x ＝4+13t ，

O 、M 中点的坐标为（23t ，12t ），OM 中垂线的k 值为−43， 则OM 中垂线的表达式为：y =−43x +

2518t ， 当x ＝4+13t 时，y =1718t −163，

即点G （4+13t ，1718

t −163）， 在点G 所在的直线表达式为：y =176x −503，

t ＝0时，点G （4，−163），

t ＝4时，点G （4+43，−149

）， 点G 运动的路径为直线即为两点间的距离=√(43)2+(349)2=

10√139， ②当点E 在MN 上方时，即4＜t ≤6时，

点G 所在的直线表达式不变，

同理可得在此时间段点G 运动的距离为：

5√139， 故：点G 的运动路径长=10√139+5√139=5√133

． 2．已知：矩形ABCD 内接于⊙O ，连接BD ，点E 在⊙O 上，连接BE 交AD 于点F ，∠BDC +45°

＝∠BFD ，连接ED ．

（1）如图1，求证：∠EBD ＝∠EDB ；

（2）如图2，点G 是AB 上一点，过点G 作AB 的垂线分别交BE 和BD 于点H 和点K ，若HK ＝BG +AF ，求证：AB ＝KG ；

（3）如图3，在（2）的条件下，⊙O 上有一点N ，连接CN 分别交BD 和AD 于点M 和点P ，连接OP ，∠APO ＝∠CPO ，若MD ＝8，MC ＝3√10，求线段GB 的长．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，∠BAD＝90°，

∴∠BDC＝∠DBA，BD是⊙O的直径，

∴∠BED＝90°，

∵∠BFD＝∠ABF+∠BAD，∠BFD＝∠BDC+45°，

∴∠ABF+90°＝∠DBA+45°，

∴∠DBA﹣∠ABF＝45°，

∴∠EBD＝45°，

∴△BED是等腰直角三角形，

∴∠EBD＝∠EDB；

（2）证明：过点K作KS⊥BE，垂足为R，交AB于S，如图2所示：∵KG⊥AB，

∴∠BGH＝∠KRH＝∠SRB＝∠KGS＝90°，

∴∠SBR＝∠HKR，

∵∠BED＝90°，

∴∠RBK＝∠RKB＝45°，

∴BR＝KR，

在△SRB和△HRK中，{∠SBR=∠HKR

BR=KR

∠SRB=∠HRK=90°

，

∴△SRB≌△HRK（ASA），

∴SB＝HK，

∵SB＝BG+SG，HK＝BG+AF，∴BG+SG＝BG+AF，

∴SG＝AF，

在△ABF 和△GKS 中，{∠ABF =∠GKS

∠BAF =∠KGS =90°AF =SG

，

∴△ABF ≌△GKS （AAS ），

∴AB ＝KG ；

（3）解：过点O 分别作AD 与CN 的垂线，垂足分别为Q 和T ，连接OC ，如图3所示： ∵∠APO ＝∠CPO ，

∴OQ ＝OT ，

在Rt △OQD 和Rt △OTC 中，{OQ =OT OD =OC

， ∴Rt △OQD ≌Rt △OTC （HL ），

∴DQ ＝CT ，

∴AD ＝CN ，

∵四边形ABCD 是矩形，

∴AD ＝CN ＝BC ，

连接ON ，

在△NOC 和△BOC 中，{ON =OB

OC =OC CN =BC

，

∴△NOC ≌△BOC （SSS ），

∴∠BCO ＝∠NCO ，

设∠OBC ＝∠OCB ＝∠NCO ＝α，

∴∠MOC ＝2α，

过点M 作MW ⊥OC 于W ，在OC 上取一点L ，使WL ＝OW ，连接ML ，

∴MO ＝ML ，

∴∠MOL ＝∠MLO ＝2α，

∴∠LCM ＝∠LMC ＝α，

∴ML ＝CL ，

设OM ＝ML ＝LC ＝a ，则OD ＝a +8＝OC ，

∴OL ＝8，OW ＝WL ＝4，

∴CW ＝4+a ，

由勾股定理得：OM 2﹣OW 2＝MW 2＝MC 2﹣CW 2，即a 2﹣42＝（3√10）2﹣（4+a ）2，