三维对流扩散方程的多重网格算法研究_葛永斌

1引言

对流扩散方程的数值求解在计算流体力学领域扮演着非常重要的角色，许多的物理现象，如流体的流动和传热等都是由该方程所控制的。因此，研究对流扩散方程精确稳定和高效的数值求解方法就显得非常重要。

近年来，采用多重网格方法来实现偏微分方程的高效求解引起了研究者的广泛关注[1-8]。文献[1-2]分别提出了求解二维泊松方程和二维对流扩散方程的基于有限差分法的多重网格算法；文献[3-4]又提出求解三维泊松方程和三维对流扩散方程基于四阶紧致差分格式的多重网格算法。需要指出的是，上述方法都是在等距网格上建立和实施的。然而，对于一些特殊问题，物理量在不同的空间方向上呈现不同的性态特征和不同的变化规律。在不同的空间方向上采用不相等的网格步长（一般网格步长）会更经济有效[5-6]。文献[5-6]建立了二维泊松方程和二维对流扩散方程一般网格步长下的四阶紧致差分格式及部分半粗化的多重网格算法，均取得了精确高效的计算结果。文献[7]建立了三维对流扩散方程一般网格步长下的四阶紧致差分格式，并采用多重网格方法进行求解，较传统迭代法的收敛速度有了很大的改善，但其多重网格算法采用的仍然是完全粗化的过程，因此多重网格算法的效率并没有达到最优。对于线性椭圆型问题，一般只需要一个V循环就可将误差削减一个数量级，而文献[7]需要2~5个V循环。

另一方面，从文献[5-6]的数值计算结果看，对于二维问题，网格部分半粗化的多重网格算法比网格完全粗化的多重网格算法具有更高的收敛效率。而该算法是否可以推广到三维，对于三维问题是否也能达到同等的计算效果，尚未见相关文献报道。因此，采用二阶中心差分格式和文献[7]建立的一般网格步长下的四阶紧致差分格式，研究三维对流扩散方程的网格部分半粗化策略下的多重网格算法，构造相应的插值算子和限制算子，并通过数值实验来验证本文算法的有效性和精确性。

三维对流扩散方程的多重网格算法研究

葛永斌，曹富军，马廷福，郝庆一

GE Yong-bin，CAO Fu-jun，MA Ting-fu，HAO Qing-yi

宁夏大学数学计算机学院，银川750021

School of Mathematics and Computer Science，Ningxia University，Yinchuan750021，China

E-mail：ge_y_b@

GE Yong-bin，CAO Fu-jun，MA Ting-fu，et al.Research on multigrid algorithm for3D convection-diffusion equation. Computer Engineering and Applications，2009，45（13）：54-58.

Abstract：Multigrid algorithms based on the finite difference method of three dimensional（3D）convection diffusion equation are studied.The second order central difference and the fourth order compact difference schemes in general meth-size are presented.A partial semi-coarsening multigrid strategy is designed to solve the resulting sparse linear systems and the corresponding restriction and interpolation operators are also constructed.Finally，the computational results are compared with those computed by traditional multigrid method under full-coarsening strategy in equal mesh-size.The numerical experiments verify that the present partial semicoarsening multigrid method with general mesh-size is more accurate and efficient than the traditional multigrid method with equal mesh-size discretization for anisotropic problems.

Key words：3D convection diffusion equation；general mesh-size；fourth-order compact difference scheme；multigrid method

摘要：研究了三维对流扩散方程基于有限差分法的多重网格算法。差分格式采用一般网格步长下的二阶中心差分格式和四阶紧致差分格式，建立了与两种格式相适应的部分半粗化的多重网格算法，构造了相应的限制算子和插值算子，并与传统的等距网格下的完全粗化的多重网格算法进行了比较。数值研究结果表明，对于各向异性问题，一般网格步长下的部分半粗化多重网格算法比等距网格下的完全粗化多重网格算法具有个更高的精度和更好的收敛效率。

关键词：三维对流扩散方程；一般网格步长；四阶紧致差分格式；多重网格方法

DOI：10.3778/j.issn.1002-8331.2009.13.016文章编号：1002－8331（2009）13-0054-05文献标识码：A中图分类号：TP301.6

基金项目：国家自然科学基金（the National Natural Science Foundation of China under Grant No.10502026，No.10662006）；宁夏自然科学基金（the Natural Science Foundation of Ningxia of China under Grant 0725）。

作者简介：葛永斌（1975－），博士，副教授，主要研究方向：计算流体力学,高性能计算技术；曹富军（1984-），硕士研究生；马廷福（1981-），助教，主要研究方向：计算流体力学。

收稿日期：2008-03-20修回日期：2008-05-19