信息学竞赛图论习题

图论算法

最小生成树算法(Prim算法)

单源最短路径算法(Dijkstra算法)

任意结点最短路径算法(Floyd算法)

求有向带权图的所有环

Bellman-Ford算法

计算图的连通性

计算最佳连通分支

计算拓扑序列

图论算法习题

网络建设问题

最短变换问题

挖地雷

乌托邦城市

乌托邦交通中心

某大学准备在校园网中构建校园网络，已知在校园网中选好了N（N<1000）个点，并准备在这些点安装网络设备和电脑。若要将N个点互相连接起来，问怎样布线才能使得总距离最短，两点间的布线长度等于这两个点的几何距离。

【输入】network.in

输入文件的第一行为一个正整数N(1≤N≤100)。

接下来N行，每行2个数U,V ，表示坐标。

【输出】network.out

输出最短路径距离（保留两位小数）

【样例数据】

【输入】

5

0 0

0 1

0 -1

1 0

-1 0

【输出】

4.00

{思路分析：此题可以应用PRIM算法解决，关键是根据输入文件算出图的邻接矩阵，然后可以直接应用PRIM算法。}

program network;

const

vmax=100;

var

w:array[1..vmax,1..vmax]of real;

x,y:array[1..vmax] of real;

i,j,k,v,e:integer;

sum:real;

procedure prim(v0:integer);

var

flag:array[1..vmax] of boolean;

min:real;

prevk,nextk:integer;

begin

fillchar(flag,sizeof(flag),false);

flag[v0]:=true;

for i:=1 to v-1 do

begin

min:=1e38;

for k:=1 to v do

if flag[k] then

for j:=1 to v do

if (not flag[j]) and (w[k,j]0)

then begin

min:=w[k,j];

nextk:=j;

prevk:=k;

end;

if min<>1e10

then begin

flag[nextk]:=true;

{writeln(prevk,' ',nextk,' ',min:0:2); 此部分输出每个结点对的距离，因题目不要求所以不输出。}

sum:=sum+min;

end;

end;

end;{prim}

begin

assign(input,'network.in');

reset(input);

assign(output,'network.out');

rewrite(output);

fillchar(w,sizeof(w),0);

readln(v);

for i:=1 to v do

readln(x[i],y[i]);

for i:=1 to v do {计算图的邻接矩阵} begin

for j:=i+1 to v do

begin

w[i,j]:=sqrt(sqr(x[i]-x[j])+sqr(y[i]-y[j]));

w[j,i]:=w[i,j];

end;

end;

sum:=0;

prim(1);

writeln(sum:0:2);

close(input);

close(output);

end.

无向图的生成树就是从图的边集中选择一些边，使得这些边构成一个连通无环图，也就是树。如果给每一条边加一个权，所有生成树中权和最小的生成树称为最小生成树。

【Prim算法思想】

任意时刻的中间结果都是一棵树，每次花费最小的代价，用一条边把不在树中的结点加进来。【最小生成树算法实例】

现有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系，边上的权代表公路造价。在分析了这张图后发现，任一对城市都是连通的。现在要求用公路把所有城市联系起来，如何设计可使得工程的总造价最少？

【输入】第一行两个数v(v<=200),e，分别代表城市数和边数以下e行，每行为两个顶点和它们之间的边权w(w<1000)。

【输出】 v-1行，每行为两个城市的序号，表明这两个城市间建一条公路，再加该公路的造价。

【输入样例】

6 10

1 2 10

1 5 19

1 6 21

2 3 5

2 4 6

2 6 11

3 4 6

4 5 18

4 6 14

5 6 33

【输出样例】

1 2 10

2 3 5

2 4 6

2 6 11

4 5 18 原图

最小生成树

program prim_example;

Const

vmax=200

var

w:array[1..vmax,1..vmax]of integer;

i,j,k,v,e:integer;

procedure prim(v0:integer); {v0是开始结点}

var

flag:array[1..vmax] of boolean;

min,prevk,nextk:integer;

begin

fillchar(flag,sizeof(flag),false);

flag[v0]:=true; {先选出v0}

for i:=1 to v-1 do {一共寻找v-1条边}

begin

min:=maxint;

for k:=1 to v do

if flag[k] then {找已在集合中的顶点}

for j:=1 to v do {求满足条件的边的最小值}

if (not(flag[j])) and (w[k,j]0) then begin

min:=w[k,j]; {记下最小值}

nextk:=j;

prevk:=k;

end;

if min<>maxint

then begin

flag[nextk]:=true; {最小值对应顶点进入集合}

writeln(prevk,' ',nextk,‘ ',min);

end;

end;{for}

end;{prim}

begin

assign(input,'prim.in');

reset(input);

assign(output,'prim.out');

rewrite(output);

fillchar(w,sizeof(w),0);

readln(v,e);

for k:=1 to e do

begin

read(i,j);

readln(w[i,j]);

w[j,i]:=w[i,j];