建筑力学 第十二章 组合变形

【例12.2】图12.4所示矩形截面木檩条，两端简支在屋 架上，跨度l=4m。承受由屋面传来的竖向均布荷载 q=2kN/m。屋面的倾角φ=20°，材料的许用应力［σ］ =10MPa。试选择该檩条的截面尺寸。 【解】(1) 荷载分解


荷载q与y轴间的夹角φ=20°，将均布荷载q沿截面 对称轴y、z分解，得

由于式中A和Wz都是未知的，无法求解。因此，可先不考虑 轴力N的影响，仅按弯曲强度条件初步选择工字钢型号，再按照 弯压组合变形强度条件进行校核。由
σmax= Mmax/Wz ≤［σ］ 得Wz ≥ Mmax/［σ］ = 77.5×103mm3=77.5cm3 查型钢表，选择14号工字钢，Wz=102cm3，A=21.5cm2。 根据式(12.7)校核，有
σmin=σymax=｜- P/A - Mz/Wz｜≤［σy］


σmax=σlmax=- P/A + Mz/Wz ≤［σl］


(4) 讨论
下面来讨论当偏心受压柱是矩形截面时，截面边 缘线上的最大正应力和偏心距e之间的关系。 图12.6(a)所示的偏心受压柱，截面尺寸为b×h， A=bh，Wz= bh2/6 ，Mz=Pe，将各值代入得
从图12.6(a)中可知：最大压应力发生在截面与偏 心力P较近的边线n-n线上；最大拉应力发生在截面与 偏心力P较远的边线m-m线上。其值分别为 σmin=σymax=- P/A - Mz/Wz σmax=σlmax=- P/A + Mz/Wz


截面上各点均处于单向应力状态，所以单向偏心 压缩的强度条件为
图11.7





【例12.3】图12.8所示矩形截面柱，屋架传来的压力 P1=100kN，吊车梁传来的压力P2=50kN，P2的偏心距 e=0.2m。已知截面宽b=200mm，试求： (1) 若h=300mm，则柱截面中的最大拉应力和最大压应 力各为多少? (2) 欲使柱截面不产生拉应力，截面高度h应为多少?在 确定的h尺寸下，柱截面中的最大压应力为多少? 【解】(1) 将荷载向截面形心简化，柱的轴向压力为 N=P1+P2=(100+50)kN=150kN
图12.2
中性轴的位置



因为中性轴上各点的正应力都等于零， 设在中性轴上任一点处的坐标为y0和z0，将 σ=0代入式(12.1)，有 σ=M(y0cosφ/Iz +z0 sinφ/Iy)=0 则 y0 cosφ/Iz +z0sinφ/Iy =0 上式称为斜弯曲时中性轴方程式。

图11.9




(2) 计算横梁的内力 横梁在Ry、P和Ny的作用下产生平面弯曲，横梁中 点截面D的弯矩最大，其值为 Mmax= Pl/4 = 15.5×3.4/4 kN· m=13.18kN· m 横梁在Rx和Nx作用下产生轴向压缩，各截面的轴 力都相等，其值为 N=Rx=17.57kN (3) 选择工字钢型号 由式(12.7)，有 σymax=｜- N/A - Mmax/Wz｜≤［σ］
z
Pz P z x+ Py y
Py P cos

Py y
x
Pz P sin

z
Pz y
x

wenku.baidu.com

矩形截面悬臂梁，集中力P作用在梁的 自由端，其作用线通过截面形心，并与竖向 形心主轴y的夹角为φ。 将力P沿截面两个形心主轴y、z方向分 解为两个分力，得 Py=Pcosφ Pz=Psinφ 分力Py和Pz将分别使梁在xOy和xOz两 个主平面内发生平面弯曲。


根据叠加原理，K点的正应力为 σ=σ′+σ″ = Mz· y/Iz + My· z/Iy =M(ycosφ/Iz +zsinφ/Iy) 式中Iz和Iy分别是横截面对形心主轴z和 y的惯性矩。正应力σ′和σ″的正负号，可通 过平面弯曲的变形情况直接判断，如图 12.2(b)所示，拉应力取正号，压应力取负号。
图11.2
强度条件



进行强度计算，首先要确定危险截面和 危险点的位置。危险点在危险截面上离中性 轴最远的点处，对于工程上常用具有棱角的 截面，危险点一定在棱角上。图12.2(a)所示 的悬臂梁，固定端截面的弯矩值最大，为危 险截面，该截面上的B、C两点为危险点，B 点产生最大拉应力，C点产生最大压应力。 若材料的抗拉和抗压强度相等，则斜弯 曲的强度条件为 σmax= Mzmax/Wz + Mymax/Wy ≤［σ］


从中可得到中性轴有如下特点： (1) 中性轴是一条通过形心的斜直线。 (2) 力P穿过一、三象限时，中性轴穿过 二、四象限。反之位置互换。 (3) 中性轴与z轴的夹角α(图12.2(c))的正 切为 tanα=｜y0/z0｜= Iz/Iytanφ 从上式可知，中性轴的位置与外力的数 值有关，只决定于荷载P与y轴的夹角φ及截 面的形状和尺寸。
• •
• •
图12.5



(2) 应力计算 对于该横截面上任一点K(图12.6)，由 轴力N所引起的正应力为 σ′=- N/A 由弯矩Mz所引起的正应力为 σ″=- Mzy/Iz 根据叠加原理，K点的总应力为 σ=σ′+σ″=- N/A - Mzy/Iz
图12.6


(3) 强度条件
图12.1
二、组合变形的分析方法及计算原理 处理组合变形问题的方法： 1.将构件的组合变形分解为基本变形； 2.计算构件在每一种基本变形情况下的应力； 3.将同一点的应力叠加起来，便可得到构 件在组合变形情况下的应力。 叠加原理是解决组合变形计算的基本原理 叠加原理应用条件：即在材料服从胡克定 律，构件产生小变形，所求力学量定荷载 的一次函数的情况下，
§12.2 斜弯曲
• 对于横截面具有对称轴的梁，当横 向力作用在梁的纵向对称面内时，梁变 形后的轴线仍位于外力所在的平面内， 这种变形称为平面弯曲。 • 如果外力的作用平面虽然通过梁轴 线，但是不与梁的纵向对称面重合时， 梁变形后的轴线就不再位于外力所在的 平面内，这种弯曲称为斜弯曲。
变形后，杆件的轴线弯成一空间曲线称为斜弯 曲。斜弯曲可分解为两个平面弯曲。
一 单向偏心压缩（拉伸）
• 图12.5(a)所示的柱子，荷载P的作用线与柱的轴线 不重合，称为偏心力，其作用线与柱轴线间的距离e称 为偏心距。偏心力P通过截面一根形心主轴时，称为单 向偏心受压。 (1) 荷载简化和内力计算 将偏心力P向截面形心平移，得到一个通过柱轴线 的轴向压力P和一个力偶矩m=Pe的力偶，如图12.5(b) 所示。 横截面m-n上的内力为轴力N和弯矩Mz，其值为 N=P Mz=Pe



【例12.4】图12.9(a)所示的悬臂式起重架，在横梁的中 点D作用集中力P=15.5kN，横梁材料的许用应力［σ］ =170MPa。试按强度条件选择横梁工字钢的型号(自重 不考虑)。 【解】(1) 计算横梁的外力 横梁的受力图如图12.9(b)所示。为了计算方便， 将拉杆BC的作用力NBC分解为Nx和Ny两个分力。由平 衡方程解得 Ry=Ny= P/2 =7.75kN Rx=Nx=Nycotα=7.75× 3.4/1.5 kN=17.57kN






Wy≥387×103mm3 由 Wy= hb2/6 = 1.5b3/6 ≥387×103 解得 b≥115.68mm 为便于施工，取截面尺寸b=120mm，则 h=1.5b=1.5×120mm=180mm 选用120mm×180mm的矩形截面。
§12.3 偏心压缩（拉伸）



在距自由端为x的横截面上，两个分力 Py和Pz所引起的弯矩值分别为 Mz=Py·x=Pcosφ·x=Mcosφ My=Pz·x=Psinφ·x=Msinφ 该截面上任一点K(y，z)，由Mz和My所 引起的正应力分别为 σ′= Mz· y/Iz =y Mcosφ/Iz σ″= My· z/Iy =z Msinφ/Iy

将荷载P沿梁横截面的y、z轴分解
Py=Pcosφ=30cos15°kN=29kN Pz=Psinφ=30sin15°kN=7.76kN


(2) 内力计算
吊车荷载P位于梁的跨中时，吊车梁处于最不利的 受力状态，跨中截面的弯矩值最大，为危险截面。
图12.3





该截面上由Py在xOy平面内产生的最大弯矩为 Mzmax= Pyl/4 = 29×4/4kN· m=29kN· m 该截面上由Pz在xOz平面内产生的最大弯矩为 Mymax= Pzl/4 = 7.76×4/4 kN· m=7.76kN· m (3) 强度校核 由型钢表查得32a号工字钢的抗弯截面系数Wy和 Wz分别为 Wy=70.8cm3=70.8×103mm3 Wz=692.2cm3=692.2×103mm3
组合变形
一、概述 二、斜弯曲 三、偏心拉压
§12.1 概述
一、 组合变形的概念 • 在实际工程中，构件的受力情况是 复杂的，构件受力后的变形往往不仅是 某一种单一的基本变形，而是由两种或 两种以上的基本变形组合而成的复杂变 形，称为组合变形。 • 例如，图12.1(a)所示的屋架檩条 ；图12.1(b)所示的空心墩；图12.1(c)所 示的厂房支柱，也将产生压缩与弯曲的 组合变形。


对于不同的截面形状， Wz/Wy 的比值 可按下述范围选取： 矩形截面： Wz/Wy = h/b=1.2～2； 工字形截面：Wz/Wy =8～10； 槽形截面： Wz/Wy =6～8。

【例12.1】跨度l=4m的吊车梁，用32a号工字钢制成， 材料为A3钢，许用应力［σ］=160MPa。作用在梁上的 集中力P=30kN，其作用线与横截面铅垂对称轴的夹角 φ=15°，如图12.3所示。试校核吊车梁的强度。 【解】(1) 荷载分解




- 150×103/200h + 10×106/ 200h2/6 ≤0 则 h≥400mm 取 h=400mm 当h=400mm时，截面的最大压应力为 σymax=- P/A - Mz/Wz =(-1.875-1.875)MPa=-3.75MPa 对于工程中常见的另一类构件，除受轴向荷载外， 还有横向荷载的作用，构件产生弯曲与压缩的组合变 形。
图12.8




截面的弯矩为 Mz=P2e=50×0.2kN· m=10kN· m (2) 计算σlmax和σymax 由式(12.6)，得 σlmax=- P/A + Mz/Wz =(-2.5+3.33)MPa=0.83MPa σymax= -P/A - Mz/Wz =(-2.5-3.33)MPa=-5.83MPa (3) 确定h和计算σymax 欲使截面不产生拉应力，应满足σlmax≤0，即 - P/A + Mz/Wz ≤0


σmax=- P/bh +Pe/bh2/6 =- P/bh(1- 6e/h)
边缘m-m上的正应力σmax的正负号，由上式中(16e/h )的符号决定，可出现三种情况：



① 当 6e/h <1，即e< h/6 时，σmax为压应力。截面 全部受压，截面应力分布如图12.7(a)所示。 ② 当 6e/h =1，即e= h/6 时，σmax为零。 截面全部受压，而边缘m-m上的正应力恰好为零， 截面应力分布如图12.7(b)所示。 ③ 当 6e/h >1，即e> h/6 时，σmax为拉应力。截面 部分受拉，部分受压，应力分布如图12.7(c)所示。
qy=qcosφ=2cos20°kN/m



=1.88kN/m
qz=qsinφ=2sin20°kN/m =0.68kN/m
图12.4

(2) 内力计算 檩条在qy和qz单独作用下，最大弯矩均发生在跨中 截面，其值分别为 Mzmax= qyl2/8 = 1.88×42/8kN· m=3.76kN· m Mymax= qzl2/8 = 0.68×42/8kN· m=1.36kN· m (3) 选择截面尺寸 根据式(12.4)，檩条的强度条件为 Mzmax/Wz + Mymax/Wy ≤［σ］ 上式中包含有Wz和Wy两个未知数。现设 Wz/Wy = h/b=1.5，代入上式，得 3.76×106/1.5Wy + 1.36×106/Wy ≤10