(完整版)2.2.2事件的相互独立性
合集下载
2.2.2 事件的相互独立性
P(A B) + P( AB) = P(A)P( B) + P( A )P(B) = 0.9 × 0.3 + 0.1 × 0.7 = 0.34
正向思考)至少有一队夺冠 队夺冠的概率为 (3)解1:(正向思考)至少有一队夺冠的概率为
P(AB) + P(A B) + P( AB) = 0.63 + 0.34 = 0.97
P( AB) = P( A)P(B) = 0.9×0.7 = 0.63
答:男女两队双双夺冠的概率为0.63. 男女两队双双夺冠的概率为0.63.
13
练习: 假使在即将到来的世乒赛上, 练习: 假使在即将到来的世乒赛上,我国乒 乓球健儿克服规则上的种种困难, 乓球健儿克服规则上的种种困难,技术上不 断开拓创新,在乒乓球团体比赛项目中, 断开拓创新,在乒乓球团体比赛项目中,我 们的中国女队夺冠的概率是0.9, 0.9,中国男队夺 们的中国女队夺冠的概率是0.9,中国男队夺 冠的概率是0.7, 0.7,那么男女两队双双夺冠的概 冠的概率是0.7,那么男女两队双双夺冠的概 率是多少? 率是多少?
(5).条件概率计算公式 条件概率计算公式: 条件概率计算公式
n( AB ) P( AB ) P ( B | A) = = n( A) P( A)
注意条件: 注意条件:必须 P(A)>0
3
思考1: 思考 :三张奖券只有一张可以中奖,现分 别由三名同学有放回地抽取,事件A为"第 一位同学没有抽到中奖奖券",事件B为 "最后一名同学抽到中奖奖券". 事件A的 发生会影响事件B发生的概率吗? 分析:事件A的发生不会影响事件B发生的概 率.于是:
只有女队夺冠的概率有多大? 变式一 只有女队夺冠的概率有多大? 恰有一队夺冠的概率有多大? 变式二 恰有一队夺冠的概率有多大? 至少有一队夺冠的概率有多大 有一队夺冠的概率有多大? 变式三 至少有一队夺冠的概率有多大?
课件10：2.2.2 事件的独立性
于是这段时间内至少有 1 个开关能够闭合，从而使线 路能够正常工作的概率是 1－P( A ·B ·C )＝1－0.027 ＝0.973.
即这段时间内线路正常工作的概率是 0.973.
小结 (1)解答此类题目时，先分析给的元件间是串联、并 联还是串并联混合关系，在此基础上结合事件的相互独立 性及互斥事件、对立事件的有关知识依据“串联通易求，并 联断易求”的原则，给予解答． (2)有的事件正面情况较繁，可以从其对立事件入手解决．
(3)一筐内有 6 个苹果和 3 个梨，“从中任取 1 个，取
出的是苹果”与“取出第一个后放回筐内，再取出 1
个是梨”．其中为相互独立事件的有
A．(1)(2)
B．(1)(3)
( B)
C．(2)
D．(2)(3)
探究点二 相互独立事件同时发生的概率 例 2 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以 获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽 奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0.05，求两次抽奖中以下事件的概率： (1)都抽到某一指定号码； (2)恰有一次抽到某一指定号码； (3)至少有一次抽到某一指定号码．
Hale Waihona Puke 跟踪训练 3 (1)如图(1)添加第四个开关 JD 与其他三个开关串 联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是 0.7，计算在这 段时间内线路正常工作的概率． (2)如图(2)两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内 每个开关能够闭合的概率都是 0.7，计算在这段时间内线路正 常工作的概率．
(1)
4．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，
乙能解决的概率是31，2 人试图独立地在半小时内解决它， 1
则两人都未解决的概率为___3___，问题得到解决的概率为 2
2.2.2事件的相互独立性1
硬币的结果（事件 ）没有影响，这时P(B|A)与P(B)相等吗？ 相等吗？ 硬币的结果（事件B）没有影响，这时 与 相等吗
下面看一例
在大小均匀的5个鸡蛋中有 个红皮蛋 在大小均匀的 个鸡蛋中有3个红皮蛋，2个白皮 个鸡蛋中有 个红皮蛋， 个白皮 每次取一个，有放回地取两次， 蛋，每次取一个，有放回地取两次，求在已知第一 次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率。 次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率。
P( A B) + P( A B) = P ( A) P ( B ) + P ( A) P ( B ) = 0 .6 × (1 0 .6 ) + (1 0 .6 ) × 0 .6 = 0 .24 + 0 .24 = 0 .48
人击中目标的概率为0.48. 答：其中恰由1人击中目标的概率为 其中恰由 人击中目标的概率为
例2 甲、乙二人各进行 次射击比赛，如果 人击 乙二人各进行1次射击比赛 如果2人击 次射击比赛，
中目标的概率都是0.6，计算： 中目标的概率都是 ，计算： (2) 其中恰有 人击中目标的概率？ 其中恰有1人击中目标的概率 人击中目标的概率？ 二人各射击1次 恰有1人击中目标 人击中目标” 解：“二人各射击 次，恰有 人击中目标”包括两种 情况:一种是甲击中 乙未击中（ A 一种是甲击中, 情况 一种是甲击中 乙未击中（事件 B ） 另一种是 甲未击中，乙击中（事件B发生）。 发生）。 根据题意， 甲未击中，乙击中（事件 发生 根据题意，这两 种情况在各射击1次时不可能同时发生 即事件B与 次时不可能同时发生， 种情况在各射击 次时不可能同时发生，即事件 与 互斥， 根据互斥事件的概率加法公式和相互独立 A B互斥， 事件的概率乘法公式， 事件的概率乘法公式，所求的概率是
下面看一例
在大小均匀的5个鸡蛋中有 个红皮蛋 在大小均匀的 个鸡蛋中有3个红皮蛋，2个白皮 个鸡蛋中有 个红皮蛋， 个白皮 每次取一个，有放回地取两次， 蛋，每次取一个，有放回地取两次，求在已知第一 次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率。 次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率。
P( A B) + P( A B) = P ( A) P ( B ) + P ( A) P ( B ) = 0 .6 × (1 0 .6 ) + (1 0 .6 ) × 0 .6 = 0 .24 + 0 .24 = 0 .48
人击中目标的概率为0.48. 答：其中恰由1人击中目标的概率为 其中恰由 人击中目标的概率为
例2 甲、乙二人各进行 次射击比赛，如果 人击 乙二人各进行1次射击比赛 如果2人击 次射击比赛，
中目标的概率都是0.6，计算： 中目标的概率都是 ，计算： (2) 其中恰有 人击中目标的概率？ 其中恰有1人击中目标的概率 人击中目标的概率？ 二人各射击1次 恰有1人击中目标 人击中目标” 解：“二人各射击 次，恰有 人击中目标”包括两种 情况:一种是甲击中 乙未击中（ A 一种是甲击中, 情况 一种是甲击中 乙未击中（事件 B ） 另一种是 甲未击中，乙击中（事件B发生）。 发生）。 根据题意， 甲未击中，乙击中（事件 发生 根据题意，这两 种情况在各射击1次时不可能同时发生 即事件B与 次时不可能同时发生， 种情况在各射击 次时不可能同时发生，即事件 与 互斥， 根据互斥事件的概率加法公式和相互独立 A B互斥， 事件的概率乘法公式， 事件的概率乘法公式，所求的概率是
2.2.2事件的相互独立性【公开课教学PPT课件】
皮匠中至少有一人解出的概率与诸
葛亮解出的概率比较，谁大？
分析:1 P(ABC) 1 0.9握 不能大过诸葛亮!
这种情况下至少有 几个臭皮匠才能顶
个诸葛亮呢？
小结反思
互斥事件
相互独立事件
概
不可能同时发生的
如果事件A（或B）是否发生对事 件B（或A）发生的概率没有影响，
B发生与否不影响A发生的概率
想一想 判断下列各对事件的关系
（1）运动员甲射击一次，射中9环与射中8环；互斥
（2）甲乙两运动员各射击一次，甲射中9环与
乙射中8环；
相互独立
(3)已知P( A) 0.6, P(B) 0.6, P( AB) 0.24
则事件A与B
相互独立
（4）在一次地理会考中，“甲的成绩合
高二数学 选修2-3
2.2.2事件的相互 独立性（一）
俗话说：“三个臭皮 匠抵个诸葛亮”。
那我们从数学中 概率的角度来看，如 何理解这句话呢？
明确问题： 已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,
臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老 二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独 立解题，问三个臭皮匠能抵一个诸葛
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发 生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。 记作P(B |A).
(5).条件概率计算公式:
P(B | A) n( AB) P( AB) n( A) P( A)
P(AB) P(A)P(B | A)
思考与探究
思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件 叫对立事件.
2.2.2事件的相互独立性
A的发生不影响B发生的概率 A的发生影响B发生的概率
（1）相互独立事件的定义：
事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生的 概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。
注： 互斥事件和相互独立事件的区别：
两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发 生； 两个事件相互独立是指一个事件的发生与否 对另一个事件发生的概率没有影响。
特别：如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，
A与B也相互独立
（2）相互独立事件同时发生的概率公式：
A,B是两个相互独立事件，则
P( AB) P( A)P(B)
如果事件A1，A2……，An相互独立，那么
P（A1A2……两次开奖活动，凡购买一定价值的商 品可以获得一张奖券，奖券上有一个兑奖号码，可以 参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活 动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率： （1）都抽到某一指定号码 （2）恰有一次抽到某一指定号码 （3）至少有一次抽到某一指定号码
解：记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A， “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B
练习1：生产一种零件，甲车间的合格率是96%,乙车间 的合格率是97％,从它们生产的零件中各抽取1件，都抽 到合格品的概率是多少？
解：设从甲车间生产的零件中抽取1件得到合格品为 事件A，从乙车间抽取一件得到合格品为事件B。
4.根据公式解答
1.射击时, 甲射10次可射中8次;乙射10次可射中7次. 则甲,乙同时射中同一目标的概率为____1245___
2.甲袋中有5球 (3红,2白), 乙袋中有3球 (2红,1白). 从每袋中任取1球,则至少取到1个白球的概率是__35_
3.加工某产品须经两道工序, 这两道工序的次品率分别 为a, b. 且这两道工序互相独立.产品的合格的概率是__.
（1）相互独立事件的定义：
事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生的 概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。
注： 互斥事件和相互独立事件的区别：
两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发 生； 两个事件相互独立是指一个事件的发生与否 对另一个事件发生的概率没有影响。
特别：如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，
A与B也相互独立
（2）相互独立事件同时发生的概率公式：
A,B是两个相互独立事件，则
P( AB) P( A)P(B)
如果事件A1，A2……，An相互独立，那么
P（A1A2……两次开奖活动，凡购买一定价值的商 品可以获得一张奖券，奖券上有一个兑奖号码，可以 参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活 动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率： （1）都抽到某一指定号码 （2）恰有一次抽到某一指定号码 （3）至少有一次抽到某一指定号码
解：记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A， “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B
练习1：生产一种零件，甲车间的合格率是96%,乙车间 的合格率是97％,从它们生产的零件中各抽取1件，都抽 到合格品的概率是多少？
解：设从甲车间生产的零件中抽取1件得到合格品为 事件A，从乙车间抽取一件得到合格品为事件B。
4.根据公式解答
1.射击时, 甲射10次可射中8次;乙射10次可射中7次. 则甲,乙同时射中同一目标的概率为____1245___
2.甲袋中有5球 (3红,2白), 乙袋中有3球 (2红,1白). 从每袋中任取1球,则至少取到1个白球的概率是__35_
3.加工某产品须经两道工序, 这两道工序的次品率分别 为a, b. 且这两道工序互相独立.产品的合格的概率是__.
2.2.2事件的相互独立性(用)
巩固练习
2、在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨 的概率是0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互 之间没有影响，计算在这段时间内： （1）甲、乙两地都下雨的概率；
P=0.2×0.3＝0.06
（2）甲、乙两地都不下雨的概率；
P=(1-0.2)×(1-0.3)=0.56
（3）其中至少有一方下雨的概率.
问题探究：
我们知道，当事件A的发生对事件B的发生有影 响时，条件概率P(B|A)和概率P(B)一般是不相等的， 但有时事件A的发生，看上去对事件B的发生没有影 响，比如依次抛掷两枚硬币的结果,抛掷第一枚硬币的结果
（事件A）对抛掷第二枚硬币的结果（事件B）没有影响， 这时P(B|A)与P(B)相等吗？
4.根据公式解答
( 互斥事件)
求 较 复 杂 事 件 概 率
分类
正向 分步
P(A+B)= P(A) + P (B) P(A· P(A) ·P (B) B)=
( 互独事件)
反向
对立事件的概率
独立事件一定不互斥. 互斥事件一定不独立.
作业
解
1 记 " 第 1次抽奖抽到某一指定号
码 " 为事件 A ,
" 第 2 次抽奖抽到某一指定号 奖都抽到某指定号码 果互不影响 两次抽奖都抽到某一指
码 " 为事件 B , 则 " 两次抽 ,
" 就是事件 AB .由于两次抽奖结 定号码的概率
,因此 A 与 B 相互独立 .于是由独立性可得
P AB P A P B 0 . 05 0 . 05 0 . 0025 . 2 "两 次 抽 奖 恰 有 一 次 抽 到 某 一 指 定 号 码 "可 以 用 A B
课件7：2.2.2 事件的相互独立性
方法归纳 解决此类问题应注意什么？ (1)恰当用事件的“并”“交”表示所求事件． (2)“串联”时系统无故障易求概率，“并联”时系统有故障 易求概率，求解时注意对立事件概率之间的转化．
学以致用 3．在一段线路中并联着 3 个自动控制的常开开关，只要 其中 1 个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某 段时间内每个开关能够闭合的概率都是 0.7，计算在这段 时间内线路正常工作的概率．
() A．0.56 C．0.75
B．0.48 D．0.6
【解析】都击中目标的概率为 P＝0.8×0.7＝0.56. 【答案】A
3．一件产品要经过 2 道独立的加工程序，第一道工序的
次品率为 a，第二道工序的次品率为 b，则产品的正品率
为( )
A．1－a－b
B．1－ab
C．(1－a)(1－b)
D．1－(1－a)(1－b)
解：如图所示，记这段时间内开关 KA、KB、KC 能够闭合 分别为事件 A、B、C.
由题意知，这段时间内 3 个开关是否能够闭合相互之间也 没有影响，根据相互独立事件的概率公式得，这段时间内 3 个开关都不能闭合的概率是 P( A B C )＝P( A )P( B )P( C ) ＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)] ＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027.
探究二 相互独立事件同时发生的概率 典例 2 甲、乙两人独立破译密码的概率分别为13、14，求： (1)两个人都译出密码的概率； (2)两个人都译不出密码的概率； (3)恰有一人译出密码的概率； (4)至多一人译出密码的概率； (5)至少一人译出密码的概率．
解：记 A 为“甲独立地译出密码”，B 为“乙独立地译出密码”． 则 A 与 B， A 与 B 均相互独立． (1)两个人都译出密码的概率为 P(AB)＝P(A)P(B)＝13×14＝112. (2)两个人都译不出密码的概率为 P( A B )＝P( A )P( B )＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－131－14＝12.
高中数学选修2(新课标)课件2.2.2事件的相互独立性
(4)解法一：至多有 1 人击中目标，即事件 A B 或事件 A B 或事 件 A B 发生．由于两人各射击一次，事件 A B 、事件 A B、事件 A B 不可能同时发生，为互斥事件，所以至多有 1 人击中目标的概率 为 P( A B )＋P(A B )＋P( A B)＝P( A )P( B )＋0.48＝0.4×0.4＋0.48 ＝0.64.
由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为18，这时 A 中含有 6 个基本事件，B 中含有 4 个基本事件，AB 中含有 3 个基本事件．于
是 P(A)＝68＝34，P(B)＝48＝12，P(AB)＝38，显然有 P(AB)＝38＝P(A)P(B) 成立．从而事件 A 与 B 是相互独立的．
【答案】 (2)见解析
状元随笔 (1)因为事件 A 和事件 B 相互独立，故 P(A B )＝P(A)
－P(A)P(B)＝P(A)(1－P(B))＝P(A)P( B )．
由相互独立事件的定义知事件 A 与事件 B 相互独立．类似可证
明 A 与 B， A 与 B 也都相互独立． (2)两个事件的相互独立性可以推广到 n(n＞2，n∈N*)个事件的
＋P( A )P(B)＝0.6×0.4×2＝0.48.
(3)至少有 1 人击中目标，即事件 A B 或事件 A B 或事件 AB 发 生，由于两人各射击一次，事件 A B 、事件 A B、事件 AB 不可能同 时发生，为互斥事件，所以至少有 1 人击中目标的概率为 P(AB)＋ P(A B )＋P( A B)＝0.36＋0.48＝0.84.
【答案】 (1)①②③
(2)一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能 的，令 A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多 有一个女孩}．对下列两种情形，讨论 A 与 B 的独立性：
由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为18，这时 A 中含有 6 个基本事件，B 中含有 4 个基本事件，AB 中含有 3 个基本事件．于
是 P(A)＝68＝34，P(B)＝48＝12，P(AB)＝38，显然有 P(AB)＝38＝P(A)P(B) 成立．从而事件 A 与 B 是相互独立的．
【答案】 (2)见解析
状元随笔 (1)因为事件 A 和事件 B 相互独立，故 P(A B )＝P(A)
－P(A)P(B)＝P(A)(1－P(B))＝P(A)P( B )．
由相互独立事件的定义知事件 A 与事件 B 相互独立．类似可证
明 A 与 B， A 与 B 也都相互独立． (2)两个事件的相互独立性可以推广到 n(n＞2，n∈N*)个事件的
＋P( A )P(B)＝0.6×0.4×2＝0.48.
(3)至少有 1 人击中目标，即事件 A B 或事件 A B 或事件 AB 发 生，由于两人各射击一次，事件 A B 、事件 A B、事件 AB 不可能同 时发生，为互斥事件，所以至少有 1 人击中目标的概率为 P(AB)＋ P(A B )＋P( A B)＝0.36＋0.48＝0.84.
【答案】 (1)①②③
(2)一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能 的，令 A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多 有一个女孩}．对下列两种情形，讨论 A 与 B 的独立性：
第二章2.22.2.2事件的相互独立性
③在含有 2 红 1 绿三个大小相同的小球的口袋中，任 取一个小球，观察颜色后放回袋中，事件 A＝“第一次取 到绿球”，B＝“第二次取到绿球”．
解：①事件 A 与 B 是互斥事件，故 A 与 B 不是相互
独立事件．
②第一枚出现正面还是反面，对第二枚出现反面没有
影响，所以 A 与 B 相互独立．
③由于每次取球观察颜色后放回，故事件 A 的发生 对事件 B 发生的概率没有影响，所以 A 与 B 相互独立．
(2)“2人中恰有1人射中目标”包括两种情况：一种 是甲射中，乙未射中(事件AB发生)；另一种是甲未射 中，乙射中(事件AB发生)．根据题意，事件AB与AB互 斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概 率乘法公式，所求的概率为
P(AB)＋P(AB)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B) ＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9 ＝0.08＋0.18＝0.26.
第二章 随机变量及其分布
2.2 二项分布及其应用 2．2.2 事件的相互独立性
[学习目标] 1.在具体情境中，了解两个事件相互独 立的概念(重点)． 2.能利用相互独立事件同时发生的概 率公式解决一些简单的实际问题(难点)．
1．相互独立事件的定义和性质 (1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝ P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立． (2)如果A与B相互独立，那么A与B，A_与B_，A与_ B也 都相互独立． (3)如果A与B相互独立，那么P(B|A)＝P(B)，P(A|B) ＝P(A)．
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为 P2＝1－ P(A- B—C)＝1－P(A- )P(B- )P(C- )＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
[迁移探究] 在典例 2 条件下，求恰有一列火车正点 到达的概率．
课件5：2.2.2 事件的相互独立性
(2)事件A与B是否具备独立性，一般都由题设条件给出．但实际 问题的场合里往往要根据实际问题的性质来判定两个事件或一组事件 是否相互独立．通常，诸如射击问题，若干电子元件或机器是否正常 工作，有放回地抽样等场合下对应的事件(组)认为是相互独立的．
自我检测
1．若 A 与 B 是相互独立事件，则下面不是相互独立事件 的是( )
于是 P(A)＝12，P(B)＝34，P(AB)＝12. 由此可知 P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件 A，B 不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形 为 Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男， 男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女， 女)}，
(3)恰有一人译出密码分为两类：甲译出乙译不出；乙译出 甲译不出，即 A B ＋ A B，
∴P(A B ＋ A B)＝P(A B )＋P( A B)＝P(A)P( B )＋P( A )P(B) ＝13×1－14＋1－13×14＝152.
(4)至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码， ∴1－P(AB)＝1－112＝1112.
(5)记事件 A5＝“事件 A，B，C 恰有一个发生”，则有三种 情况：
第一种，事件 A 发生，事件 B，C 不发生，即 A·B ·C ； 第二种，事件 B 发生，事件 A，C 不发生，即 A ·B·C ； 第三种，事件 C 发生，事件 A，B 不发生，即 A ·B ·C； 而这三种情况不可能同时发生，即 A·B ·C ， A ·B·C ， A ·B ·C 彼此互斥，所以 P(A5)＝P(A·B ·C )＋P( A ·B·C )＋ P( A ·B ·C)＝14＋18＋112＝2114.
2．判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行 分析，也就是看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没 有影响就是相互独立事件；有影响就不是相互独立事件．
2.2.2 事件的相互独立性
A.p1p2 B.p1(1-p2)+p2(1-p1) C.1-p1p2 D.1-(1-p1)(1-p2) 答案:B
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
判断事件的相互独立性 例1 判断下列各对事件是否为相互独立事件: (1)甲组有3名男生,2名女生;乙组有2名男生,3名女生,现从甲、乙 两组中各选1名学生参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从 乙组中选出1名女生”; (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个乒乓球中任意 取出1个,取出的是白乒乓球”与“从剩下的7个乒乓球中任意取出1 个,取出的还是白乒乓球”.
4 次射击恰有 3 次连续击中目标”为事件 C,则 C=A1A2A3������4 ∪ ������1A2A3A4,且 A1A2A3������4与������1A2A3A4 是互斥事件.
因为 A1,A2,A3,A4 相互独立,
所以 Ai 与������������ (i,j=1,2,3,4,且 i≠j)之间也相互独立, 由于 P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=23,
例3小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海 的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之 间是否正点到达互不影响.求:
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率; (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
解:用 A,B,C 分别表示这三列火车正点到达的事件, 则 P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9, 所以 P(������)=0.2,P(������)=0.3,P(������)=0.1. (1)由题意得 A,B,C 之间互相独立, 所以恰好有两列火车正点到达的概率为
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
判断事件的相互独立性 例1 判断下列各对事件是否为相互独立事件: (1)甲组有3名男生,2名女生;乙组有2名男生,3名女生,现从甲、乙 两组中各选1名学生参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从 乙组中选出1名女生”; (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个乒乓球中任意 取出1个,取出的是白乒乓球”与“从剩下的7个乒乓球中任意取出1 个,取出的还是白乒乓球”.
4 次射击恰有 3 次连续击中目标”为事件 C,则 C=A1A2A3������4 ∪ ������1A2A3A4,且 A1A2A3������4与������1A2A3A4 是互斥事件.
因为 A1,A2,A3,A4 相互独立,
所以 Ai 与������������ (i,j=1,2,3,4,且 i≠j)之间也相互独立, 由于 P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=23,
例3小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海 的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之 间是否正点到达互不影响.求:
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率; (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
解:用 A,B,C 分别表示这三列火车正点到达的事件, 则 P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9, 所以 P(������)=0.2,P(������)=0.3,P(������)=0.1. (1)由题意得 A,B,C 之间互相独立, 所以恰好有两列火车正点到达的概率为
人教A版数学选修2—32.2.2事件的相互独立性
A．A与 B. 与B C. 与 D．A与 2．一袋中有3个红球，2个白球，另一袋中有2个红球，1个 白球，从每袋中任取1个球，则至少取1个白球的概率为( ) A. 3/8 B.3/5 C. 2/5 D.1/5 3.红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛， 甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．求：
(2)至多有一机构研制出该疫苗，即事件 ( A B C ∪A B C ∪ A B C ∪ A B C)发生，故所求事件的概 率为 P( A B C ∪A B C ∪ A B C ∪ A B C) ＝P( A B C )＋P(A B C )＋P( A B C )＋P( A B C) ＝ P( A )P( B )P( C ) ＋ P(A)P( B )P( C ) ＋ P( A )P(B) P C ＋ P( A )P( B )P(C) ＝45×34×23＋15×34×23＋45×14×23＋45×34×13＝25＋110＋125＋15＝56.
什么？ P(A+B)=P(A)+(B)
(3) 若A与A为对峙事件，则P（A）与P（A）关 系如何？
P(A)+P(Ā)=1
自主探究：设A，B为两个事件，若P(AB)＝ P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
• 自我测评： • 1.答案：(1)√ (2)√ (3)√ • 2.答案：A • 3.答案：A • 4.答案：0.56
• 重点难点
• 1.理解相互独立事件的定义及意义．
• 2.掌握综合运用互斥事件的概率加法公式及独 立事件的乘法公式解题
复习回顾
一.(1) 什么叫做互斥事件？什么叫做对峙事件？ 不可能同时产生的两个事件叫做互斥事件；如果两 个互斥事件有一个产生时另一个必不产生，这样的 两个互斥事件叫对峙事件. (2) 两个互斥事件A、B有一个产生的概率公式是
(2)至多有一机构研制出该疫苗，即事件 ( A B C ∪A B C ∪ A B C ∪ A B C)发生，故所求事件的概 率为 P( A B C ∪A B C ∪ A B C ∪ A B C) ＝P( A B C )＋P(A B C )＋P( A B C )＋P( A B C) ＝ P( A )P( B )P( C ) ＋ P(A)P( B )P( C ) ＋ P( A )P(B) P C ＋ P( A )P( B )P(C) ＝45×34×23＋15×34×23＋45×14×23＋45×34×13＝25＋110＋125＋15＝56.
什么？ P(A+B)=P(A)+(B)
(3) 若A与A为对峙事件，则P（A）与P（A）关 系如何？
P(A)+P(Ā)=1
自主探究：设A，B为两个事件，若P(AB)＝ P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
• 自我测评： • 1.答案：(1)√ (2)√ (3)√ • 2.答案：A • 3.答案：A • 4.答案：0.56
• 重点难点
• 1.理解相互独立事件的定义及意义．
• 2.掌握综合运用互斥事件的概率加法公式及独 立事件的乘法公式解题
复习回顾
一.(1) 什么叫做互斥事件？什么叫做对峙事件？ 不可能同时产生的两个事件叫做互斥事件；如果两 个互斥事件有一个产生时另一个必不产生，这样的 两个互斥事件叫对峙事件. (2) 两个互斥事件A、B有一个产生的概率公式是
课件5：2.2.2 事件的独立性
→ 选择公式计算求值 解 令事件 A、B、C 分别表示 A、B、C 三个独立的研
究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件 A、B、C 相互独立，且 P(A)＝15，P(B)＝14，P(C)＝13.
(1)他们都研制出疫苗，即事件 ABC 发生，故 P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝15×14×13＝610. (2)他们都失败即事件 A B C 同时发生． 故 P( A B C )＝P( A )P( B )P( C ) ＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C)) ＝(1－15)(1－14)(1－13)＝45×34×23＝25.
(2)设 2 个白球为 a，b，两个红球为 1,2，则从袋中取 2 个球的所有取法为{a，b}，{a,1}，{a,2}，{b,1}，{b,2}，{1,2}，
则 P(A)＝46＝23，P(B)＝56，P(AB)＝23， ∴P(AB)≠P(A)·P(B)． ∴事件 A，B 不是相互独立事件，事件 A，B 能同时发生， ∴A，B 不是互斥事件．
解 (1)只有一个机构研制出疫苗，该事件为(A B C ∪ A B C ∪ A B C)，故所求事件的概率为 P＝P( A B C∪ A B C ∪A B C )
＝P( A )P( B )P(C)＋P( A )P(B)P( C )＋P(A)P( B )P( C ) ＝(1－P(A))(1－P(B))P(C)＋(1－P(A))·P(B)(1－P(C))＋ P(A)(1－P(B))(1－P(C)) ＝(1－15)×(1－14)×13＋(1－15)×14×(1－13)＋15×(1－14)(1－13)
＝45×34×23＋15×34×23＋45×14×23＋45×34×13＝25＋110＋125＋15＝56.
类型3 相互独立事件的实际应用
究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件 A、B、C 相互独立，且 P(A)＝15，P(B)＝14，P(C)＝13.
(1)他们都研制出疫苗，即事件 ABC 发生，故 P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝15×14×13＝610. (2)他们都失败即事件 A B C 同时发生． 故 P( A B C )＝P( A )P( B )P( C ) ＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C)) ＝(1－15)(1－14)(1－13)＝45×34×23＝25.
(2)设 2 个白球为 a，b，两个红球为 1,2，则从袋中取 2 个球的所有取法为{a，b}，{a,1}，{a,2}，{b,1}，{b,2}，{1,2}，
则 P(A)＝46＝23，P(B)＝56，P(AB)＝23， ∴P(AB)≠P(A)·P(B)． ∴事件 A，B 不是相互独立事件，事件 A，B 能同时发生， ∴A，B 不是互斥事件．
解 (1)只有一个机构研制出疫苗，该事件为(A B C ∪ A B C ∪ A B C)，故所求事件的概率为 P＝P( A B C∪ A B C ∪A B C )
＝P( A )P( B )P(C)＋P( A )P(B)P( C )＋P(A)P( B )P( C ) ＝(1－P(A))(1－P(B))P(C)＋(1－P(A))·P(B)(1－P(C))＋ P(A)(1－P(B))(1－P(C)) ＝(1－15)×(1－14)×13＋(1－15)×14×(1－13)＋15×(1－14)(1－13)
＝45×34×23＋15×34×23＋45×14×23＋45×34×13＝25＋110＋125＋15＝56.
类型3 相互独立事件的实际应用
课件8：2.2.2 事件的相互独立性
变式 本题中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概 率是多少？ 解：解法一：记 E 表示事件“至少购买甲、乙两种保险中 的一种”，则事件 E 包括－A B，A－B ，AB，且它们彼此为 互斥事件． 所以 P(E)＝P(－A B＋A－B ＋AB)＝P(－A B)＋P(A－B )＋P(AB) ＝0.5×0.6＋0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.8.
由于 P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝23， 故 P(C)＝P(A1A2A3 A4 ∪ A1 A2A3A4) ＝P(A1)P(A2)P(A3)P( A4 )＋P( A1 )P(A2)P(A3)P(A4) ＝233×13＋13×233＝1861.
(3)记事件 Bi 表示“乙第 i 次射击击中目标”(其中 i＝ 1,2,3,4)，并记事件 D 表示“乙在第 4 次射击后终止射击”， 则 D＝B1B2 B3 B4 ∪ B1 B2 B3 B4 ，且 B1B2 B3 B4 与 B1 B2 B3 B4 是互斥事件． 由于 B1，B2，B3，B4 之间相互独立， 所以 Bi 与 Bj (i，j＝1,2,3,4，且 i≠j)之间也相互独立． 由于 P(Bi)＝43(i＝1,2,3,4)，
(4)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”的概率为 58，若前一事件发生了，则“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发 生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发 生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互 独立事件，也不是互斥事件．
【解析】 对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目 标是互不影响的，所以事件 A 与 B 相互独立；对同一目 标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事 件 A 与 B 可能同时发生，所以事件 A 与 B 不是互斥事件． 【答案】 A
2.2.2事件的相互独立性
P1 (1－P2) +(1－P1)P2+P1P2
2014-3-3
=P1 + P2 － P1P2
申占宝
15
练习4: 已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠 老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为 0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中 至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比 较，谁大？ 略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为
2.2.2事件的相互独立性
2014-3-3
申占宝
1
复习回顾
(1).条件概率的概念
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发生的条 件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B |A).
(2).条件概率计算公式:
n( AB) P( AB) P( B | A) n( A) P( A)
(3)条件概率的加法公式 若 B和 C是两个互斥事件, 则 P ( B C A)
P ( ABC ) P ( A)P ( B )P (C ) 1 P ( A) 1 P ( B ) 1 P (C )
∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能 正常工作的概率是 P 1 P ( A B C ) 1 0.027 0.973
2014-3-3 申占宝 3
相互独立的概念
设A，B为两个事件，如果 P( AB) P( A) P( B) 则称事件A与事件B相互独立。
注意: (1)互斥事件:两个事件不可能同时发生 (2)相互独立事件:两个事件的发生彼此互不影响 判断两个事件相互独立的方法
1.定义法:P(AB)=P(A)P(B)
1 P ( A ) P ( B ) 1 [1 P ( A)][1 P ( B)]
2014-3-3
=P1 + P2 － P1P2
申占宝
15
练习4: 已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠 老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为 0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中 至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比 较，谁大？ 略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为
2.2.2事件的相互独立性
2014-3-3
申占宝
1
复习回顾
(1).条件概率的概念
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发生的条 件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B |A).
(2).条件概率计算公式:
n( AB) P( AB) P( B | A) n( A) P( A)
(3)条件概率的加法公式 若 B和 C是两个互斥事件, 则 P ( B C A)
P ( ABC ) P ( A)P ( B )P (C ) 1 P ( A) 1 P ( B ) 1 P (C )
∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能 正常工作的概率是 P 1 P ( A B C ) 1 0.027 0.973
2014-3-3 申占宝 3
相互独立的概念
设A，B为两个事件，如果 P( AB) P( A) P( B) 则称事件A与事件B相互独立。
注意: (1)互斥事件:两个事件不可能同时发生 (2)相互独立事件:两个事件的发生彼此互不影响 判断两个事件相互独立的方法
1.定义法:P(AB)=P(A)P(B)
1 P ( A ) P ( B ) 1 [1 P ( A)][1 P ( B)]
2.2.2事件的相互独立性(2)
三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同 学有放回地抽取，事件A为“第一名同学没有抽到 中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中奖奖 券”，事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？
事件A的发生不会影响事件B发生的概率 P( AB) P( B | A) P( B) P( B | A) P( A) P( AB) P( A) P( B | A) P( A) P( B)
高二数学 选修2-3
2.2.2事件的相互独立性
数学组
吴玲芳
复习回顾
①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件 叫对立事件.
②两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是 什么？ P(A+B)=P(A)+(B) ③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关 系如何？
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人
击中目标的概率都是0.6，计算：
（1）两人都击中目标的概率；
(2)其中恰有1人击中目标的概率; 解： 记“甲射击1次,击中目标”为事件 A.P(A)=0.6 (3)(1) 至少有一人击中目标的概率 .
“乙射击1次,击中目标”为事件B. P(B)=0.6 “甲与乙各射击1次,都击中目标”为事件
例 1 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值
的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码， 可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果 两次兑奖活动的中奖概率都是0.05 ,求两次抽奖中以 下事件的概率：
（1）都抽到某一指定号码； 解： 设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A,P(A)=0.05 “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B, “两次抽奖抽到某一指定号码”为事件AB (1)由于两次抽奖的结果互不影响，因此事件A与事件 B互相独立，于是独立性可得，两次抽奖抽到某一指 定号码的概率为 P(B)=0.05
事件A的发生不会影响事件B发生的概率 P( AB) P( B | A) P( B) P( B | A) P( A) P( AB) P( A) P( B | A) P( A) P( B)
高二数学 选修2-3
2.2.2事件的相互独立性
数学组
吴玲芳
复习回顾
①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件 叫对立事件.
②两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是 什么？ P(A+B)=P(A)+(B) ③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关 系如何？
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人
击中目标的概率都是0.6，计算：
（1）两人都击中目标的概率；
(2)其中恰有1人击中目标的概率; 解： 记“甲射击1次,击中目标”为事件 A.P(A)=0.6 (3)(1) 至少有一人击中目标的概率 .
“乙射击1次,击中目标”为事件B. P(B)=0.6 “甲与乙各射击1次,都击中目标”为事件
例 1 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值
的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码， 可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果 两次兑奖活动的中奖概率都是0.05 ,求两次抽奖中以 下事件的概率：
（1）都抽到某一指定号码； 解： 设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A,P(A)=0.05 “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B, “两次抽奖抽到某一指定号码”为事件AB (1)由于两次抽奖的结果互不影响，因此事件A与事件 B互相独立，于是独立性可得，两次抽奖抽到某一指 定号码的概率为 P(B)=0.05
2.2.2事件的互独立性
P(A•B)=P(A) •P(B)=0.6×0.6＝0.36 答：两人都击中目标的概率是0.36
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击
中目标的概率都是0.6，计算： (2) 其中恰有1人击中目标的概率？ 解：“二人各射击1次，恰有1人击中目标”包括两种 情况:一种是甲击中, 乙未击中（事件 B ） 另一种是 A 甲未击中，乙击中（事件Ā•B发生）。 根据题意，这两 种情况在各射击1次时不可能同时发生，即事件Ā•B与 根据互斥事件的概率加法公式和相互独立 A• B互斥， 事件的概率乘法公式，所求的概率是
P( A B) P( A) P( B)
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件的概率的积。 一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即
P（A1· 2……An）=P（A1）· A P（A2）……P（An）
3、互斥事件和相互独立事件的区别
互斥事件 概念 不可能同时发生 的两个事件
相互独立事件
事件A(或B)是否发生 对事件B(或A)发生的 概率没有影响
符号
互斥事件A、B中 有一个发生,记作
:A+B )
相互独立事件A 、B同时发生记 作:A· B
计算 B)=P(A)· P(B) 公式 P(A+B)=P(A)+P(B P(A·
请判断下列各对事件的关系
B表示事件“最后一名同学中奖”.
事件A的发生不会影响事件B发生的概率。
4
1、事件的相互独立性 设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事 件A与事件B相互独立。 即事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生的 概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击
中目标的概率都是0.6，计算： (2) 其中恰有1人击中目标的概率？ 解：“二人各射击1次，恰有1人击中目标”包括两种 情况:一种是甲击中, 乙未击中（事件 B ） 另一种是 A 甲未击中，乙击中（事件Ā•B发生）。 根据题意，这两 种情况在各射击1次时不可能同时发生，即事件Ā•B与 根据互斥事件的概率加法公式和相互独立 A• B互斥， 事件的概率乘法公式，所求的概率是
P( A B) P( A) P( B)
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件的概率的积。 一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即
P（A1· 2……An）=P（A1）· A P（A2）……P（An）
3、互斥事件和相互独立事件的区别
互斥事件 概念 不可能同时发生 的两个事件
相互独立事件
事件A(或B)是否发生 对事件B(或A)发生的 概率没有影响
符号
互斥事件A、B中 有一个发生,记作
:A+B )
相互独立事件A 、B同时发生记 作:A· B
计算 B)=P(A)· P(B) 公式 P(A+B)=P(A)+P(B P(A·
请判断下列各对事件的关系
B表示事件“最后一名同学中奖”.
事件A的发生不会影响事件B发生的概率。
4
1、事件的相互独立性 设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事 件A与事件B相互独立。 即事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生的 概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。
2.2.2事件的相互独立性(一)2013.5.23
相互独立
第10页，共34页。
2.相互独立事件的性质：
(1)必然事件 及不可能事件与任何事件A相互独立. (2)若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立:
① A 与 B；② A 与 B； ③ A 与 B.
例证① A A A(B B ) AB AB P( A) P( AB) P( AB )
是97％,从它们生产的零件中各抽取1件，都抽到合格品 的概率是多少？
解：设从甲车间生产的零件中抽取1件得到合格品为
事件A，从乙车间抽取一件得到合格品为事件B。那么， 2件都是合格品就是事件A•B发生，又事件A与B相互独
立，所以抽到合格品的概率为
P( A • B) P( A) • P(B) 96 • 97 582 100 100 625
P( AB) P( A) P( AB) P( A) P( A)P(B)
P( A)1 P(B) P( A)P(B)
第11页，共34页。
3.相互独立事件同时发生的概率公式
1.若A、B是相互独立事件，则有P(AB)= P(A)P(B)
即两个相互独立事件同时发生的概率， 等于
每个事件发生的概率的积。
③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关 系如何？
P(A)+P(Ā)=1
第2页，共34页。
复习回顾
(4).条件概率
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发生的
条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。 记作P(B |A).
(5).条件概率计算公式: P(B | A) n( AB) P( AB) n( A) P( A)
0.24 0.24 0.48 答：其中恰由1人击中目标的概率为0.48.
第21页，共34页。
第10页，共34页。
2.相互独立事件的性质：
(1)必然事件 及不可能事件与任何事件A相互独立. (2)若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立:
① A 与 B；② A 与 B； ③ A 与 B.
例证① A A A(B B ) AB AB P( A) P( AB) P( AB )
是97％,从它们生产的零件中各抽取1件，都抽到合格品 的概率是多少？
解：设从甲车间生产的零件中抽取1件得到合格品为
事件A，从乙车间抽取一件得到合格品为事件B。那么， 2件都是合格品就是事件A•B发生，又事件A与B相互独
立，所以抽到合格品的概率为
P( A • B) P( A) • P(B) 96 • 97 582 100 100 625
P( AB) P( A) P( AB) P( A) P( A)P(B)
P( A)1 P(B) P( A)P(B)
第11页，共34页。
3.相互独立事件同时发生的概率公式
1.若A、B是相互独立事件，则有P(AB)= P(A)P(B)
即两个相互独立事件同时发生的概率， 等于
每个事件发生的概率的积。
③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关 系如何？
P(A)+P(Ā)=1
第2页，共34页。
复习回顾
(4).条件概率
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发生的
条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。 记作P(B |A).
(5).条件概率计算公式: P(B | A) n( AB) P( AB) n( A) P( A)
0.24 0.24 0.48 答：其中恰由1人击中目标的概率为0.48.
第21页，共34页。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n( A) P( A) 2
答:事件A的发生会影响事件B发生的概率
思考2：三张奖券有一张可以中奖。现由三名 同学依次有放回地抽取，问：最后一名去抽的 同学的中奖概率会受到第一位同学是否中奖的 影响吗？
设A为事件“第一位同学没有中奖”；
B为事件“最后一名同学中奖”。
答：事件A的发生不会影响事件B发生的概率。 P(B | A) P(B)
应用公式的前提： 1.事件之间相互独立 2.这些事件同时发生.
例题举例
例1、假使在即将到来的2016年奥运会上，我国 乒乓球健儿克服规则上的种种困难，技术上不断 开拓创新，在团体比赛项目中，我们的中国女队 夺冠的概率是0.9,中国男队夺冠的概率是0.7,那 么男女两队双双夺冠的概率是多少?
解：设事件A：中国女队夺冠; 事件B：中国男队夺冠．
人教版高中数学选修2-3 第二章《随机变量及其分布》
复习回顾
①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件 叫对立事件.
②两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是
什么？ P(A+B)=P(A)+(B)
③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关 系如何？
相互独立的概念
设A，B为两个事件，如果 P (1)互斥事件:两个事件不可能同时发生 (2)相互独立事件:两个事件的发生彼此互不影响
判断两个事件相互独立的方法 1.定义法:P(AB)=P(A)P(B) 2.经验判断:A发生与否不影响B发生的概率
（2）当已知事件的发生影响所求事件的概率，一般也认 为是条件概率。
思考与探究
思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三名 同学依次无放回地抽取，问：最后一名去抽的 同学的中奖概率会受到第一位同学是否中奖的 影响吗？
设A为事件“第一位同学没有中奖”； B为事件“最后一名同学中奖”。 P(B A) n(AB) P( AB) 1
由于男队（或女队）是否夺冠，对女队（或男队）夺冠 的概率是没有影响的，因此A与B是相互独立事件.又 “男女两队双双夺冠”就是事件AB发生，根据独立性可 得，男女两队双双夺冠的概率为
P(AB) P(A)P(B) 0.90.7 0.63
答：男女两队双双夺冠的概率为0.63.
例2.甲, 乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌 机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为0.5, 求敌 机被击中的概率.
又 P(AB) P(A)P(B | A) P(AB) P(A)P(B)
我们知道，当事件A的发生对事件B的发生有影响时， 条件概率P(B|A)和概率P(B)一般是不相等的，但有时 事件A的发生，看上去对事件B的发生没有影响，比如
依次抛掷两枚硬币，抛掷第一枚硬币的结果（事件A）对抛掷 第二枚硬币的结果（事件B）没有影响，这时P(B|A)与P(B)相 等吗？
是
事件B：第二次罚球，球进了.
②袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球.
不是 事件A：第一次从中任取一个球是白球.
事件B：第二次从中任取一个球是白球.
③袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球. 事件A：第一次从中任取一个球是白球.
是 事件B：第二次从中任取一个球是白球.
练2、判断下列各对事件的关系
B发生与否不影响A发生的概率
相互独立事件的性质：
(1)必然事件 及不可能事件与任何事件A相互独立. (2)若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立:
① A 与 B；② A 与 B； ③ A 与 B.
练习1.判断下列事件是否为相互独立事件.
① 篮球比赛的“罚球两次”中， 事件A：第一次罚球，球进了.
P(A)+P(Ā)=1
复习回顾
(1).条件概率的概念
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发生的条 件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B |A).
(2).条件概率计算公式:
P(B | A) n( AB) P( AB) n( A) P( A)
条件概率的判断：
（1）当题目中出现“在……前提（条件）下”等字眼， 一般为条件概率。
互斥事件
（1）运动员甲射击一次，射中9环与射中8环；
（2）甲乙两运动员各射击一次，甲射中9环与乙
射中8环；
相互独立
(3)已知P( A) 0.6, P(B) 0.6, P( AB) 0.24
相互独立
（4）在一次地理会考中，“甲的成绩合
格”与“乙的成绩优秀”
相互独立
相互独立事件同时发生的概率公式
例3、某商场推出两次开奖活动，凡购买一定 价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一 个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相 同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概 率都为0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：
（1）“都抽到中奖号码”；
（2）“恰有一次抽到中奖号码”；
（3）“至少有一次抽到中奖号码”。
1.若A、B是相互独立事件，则有P(A·B)= P(A)·P(B) 即两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积。
2.推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那 么这n个事件同时发生的概率
等于每个事件发生的概率的积.即： P(A1·A2·…·An)= P(A1)·P(A2)·…·P(An)
例题解析
（1）“都抽到中奖号码”； 解: (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码” 为事件A， “第二次抽奖抽到某一指定号码” 为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号 码”就是事件AB。 由于两次的抽奖结果是互不影响的,因此A和B 相互独立.于是由独立性可得,两次抽奖都抽 到某一指定号码的概率为：
解设 A={甲击中敌机},B={乙击中敌机},C={敌机被击中}
则 C A B. 依题设,P(A) 0.6, P(B) 0.5
由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中
敌机的可能性，所以 A与B独立,进而A 与 B独立. C A B AB P(C) 1 P(C )
1 P( A)P(B) 1 [1 P( A)][1 P(B)] 1 (1 0.6)(1 0.5) = 0.8
答:事件A的发生会影响事件B发生的概率
思考2：三张奖券有一张可以中奖。现由三名 同学依次有放回地抽取，问：最后一名去抽的 同学的中奖概率会受到第一位同学是否中奖的 影响吗？
设A为事件“第一位同学没有中奖”；
B为事件“最后一名同学中奖”。
答：事件A的发生不会影响事件B发生的概率。 P(B | A) P(B)
应用公式的前提： 1.事件之间相互独立 2.这些事件同时发生.
例题举例
例1、假使在即将到来的2016年奥运会上，我国 乒乓球健儿克服规则上的种种困难，技术上不断 开拓创新，在团体比赛项目中，我们的中国女队 夺冠的概率是0.9,中国男队夺冠的概率是0.7,那 么男女两队双双夺冠的概率是多少?
解：设事件A：中国女队夺冠; 事件B：中国男队夺冠．
人教版高中数学选修2-3 第二章《随机变量及其分布》
复习回顾
①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件 叫对立事件.
②两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是
什么？ P(A+B)=P(A)+(B)
③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关 系如何？
相互独立的概念
设A，B为两个事件，如果 P (1)互斥事件:两个事件不可能同时发生 (2)相互独立事件:两个事件的发生彼此互不影响
判断两个事件相互独立的方法 1.定义法:P(AB)=P(A)P(B) 2.经验判断:A发生与否不影响B发生的概率
（2）当已知事件的发生影响所求事件的概率，一般也认 为是条件概率。
思考与探究
思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三名 同学依次无放回地抽取，问：最后一名去抽的 同学的中奖概率会受到第一位同学是否中奖的 影响吗？
设A为事件“第一位同学没有中奖”； B为事件“最后一名同学中奖”。 P(B A) n(AB) P( AB) 1
由于男队（或女队）是否夺冠，对女队（或男队）夺冠 的概率是没有影响的，因此A与B是相互独立事件.又 “男女两队双双夺冠”就是事件AB发生，根据独立性可 得，男女两队双双夺冠的概率为
P(AB) P(A)P(B) 0.90.7 0.63
答：男女两队双双夺冠的概率为0.63.
例2.甲, 乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌 机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为0.5, 求敌 机被击中的概率.
又 P(AB) P(A)P(B | A) P(AB) P(A)P(B)
我们知道，当事件A的发生对事件B的发生有影响时， 条件概率P(B|A)和概率P(B)一般是不相等的，但有时 事件A的发生，看上去对事件B的发生没有影响，比如
依次抛掷两枚硬币，抛掷第一枚硬币的结果（事件A）对抛掷 第二枚硬币的结果（事件B）没有影响，这时P(B|A)与P(B)相 等吗？
是
事件B：第二次罚球，球进了.
②袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球.
不是 事件A：第一次从中任取一个球是白球.
事件B：第二次从中任取一个球是白球.
③袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球. 事件A：第一次从中任取一个球是白球.
是 事件B：第二次从中任取一个球是白球.
练2、判断下列各对事件的关系
B发生与否不影响A发生的概率
相互独立事件的性质：
(1)必然事件 及不可能事件与任何事件A相互独立. (2)若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立:
① A 与 B；② A 与 B； ③ A 与 B.
练习1.判断下列事件是否为相互独立事件.
① 篮球比赛的“罚球两次”中， 事件A：第一次罚球，球进了.
P(A)+P(Ā)=1
复习回顾
(1).条件概率的概念
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发生的条 件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B |A).
(2).条件概率计算公式:
P(B | A) n( AB) P( AB) n( A) P( A)
条件概率的判断：
（1）当题目中出现“在……前提（条件）下”等字眼， 一般为条件概率。
互斥事件
（1）运动员甲射击一次，射中9环与射中8环；
（2）甲乙两运动员各射击一次，甲射中9环与乙
射中8环；
相互独立
(3)已知P( A) 0.6, P(B) 0.6, P( AB) 0.24
相互独立
（4）在一次地理会考中，“甲的成绩合
格”与“乙的成绩优秀”
相互独立
相互独立事件同时发生的概率公式
例3、某商场推出两次开奖活动，凡购买一定 价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一 个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相 同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概 率都为0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：
（1）“都抽到中奖号码”；
（2）“恰有一次抽到中奖号码”；
（3）“至少有一次抽到中奖号码”。
1.若A、B是相互独立事件，则有P(A·B)= P(A)·P(B) 即两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积。
2.推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那 么这n个事件同时发生的概率
等于每个事件发生的概率的积.即： P(A1·A2·…·An)= P(A1)·P(A2)·…·P(An)
例题解析
（1）“都抽到中奖号码”； 解: (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码” 为事件A， “第二次抽奖抽到某一指定号码” 为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号 码”就是事件AB。 由于两次的抽奖结果是互不影响的,因此A和B 相互独立.于是由独立性可得,两次抽奖都抽 到某一指定号码的概率为：
解设 A={甲击中敌机},B={乙击中敌机},C={敌机被击中}
则 C A B. 依题设,P(A) 0.6, P(B) 0.5
由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中
敌机的可能性，所以 A与B独立,进而A 与 B独立. C A B AB P(C) 1 P(C )
1 P( A)P(B) 1 [1 P( A)][1 P(B)] 1 (1 0.6)(1 0.5) = 0.8