2014级高等数学第二学期期末试卷(B类)

3.
交换二次积分
1 0
dx
2 x2
x
x2
f
(x, y)dy 的积分次序，结果为
（
）
（
）
(A)
1dy y 0 1 1 y2
f (x, y)dx ；
(B)
1dy y
0
1 1 y2
f (x, y)dx ；
(C)
1 0
dy
1 y
1 y2
f (x, y)dx ；
(D)
1dy 0
2 y y2 y2
f (x, y)dx 。
n1
(2)
若级数 xn
n1
收敛，且级数
an
n1 xn
收敛，请猜测级数 an 是否收敛，
n1
并证明（或说明）你的猜测结论。
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2014 级第二学期《高等数学》期中考试试卷 (B 类) （多元微分学部分试题）
1.
设
f
(x,
y)
2x2 y4 x2 y2
，则 lim x0
f (x, y)
y0
（A） 等于 0 ； （B）等于1； （C）等于 2 ；
2014 级高等数学第二学期期末试卷(B 类)
注 1：下面划去部分试题内容，不是 15 级(本次)期末考试范围。 注 2：后面增加的试题是本次期中考试范围内容。 一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1. 设向量 a, b 满足| a b || a b |，则必有
（
）
(A) a 0 ； (B) b 0 ； (C) a b 0 ； (D) a b 0 .
n1
n1
n1
（A） 0 ；
（B）1；
（C） 2 ；
（D） 3 。
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
6.
设连续函数
y
y(x)
满足方程
y(x)
3ex
x 0
y(t)dt
，则上述方程的解为：
________________________ . (请寻找定解条件，使得最终结果为特解)
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7. 点 (1,1, 1) 到直线 x y z 的距离为：______________. 1 2 2
五、（本大题共 18 分，其中第 14 题 8 分，第 15 题 10 分）
14. 求 lim[ 2 cos x2 y2 dxdy] ，其中 D ： x2 y2 t2 。
t t0 2 D
15. 计算 (x2 y2)dxdy ，其中 D ： 1 x2 ( y 1)2 1。
D
4
六、（本大题共 18 分，其中第 16 题 8 分，第 17 题 10 分）
16.
求级数
(1)n1
的和。
n1 n(n 1)
17. 将 f (x) arctan x 3 展开为 x 的幂级数，并求 f (2n1) (0) (n 0,1, 2,...) . x3
七、证明题（本题 8 分）
18.
(1)
若级数
xn
n1
绝对收敛，且级数
n1
an xn
收敛，证明：级数 an 绝对收敛。
求曲线
C
:
x2
y2
z2
1在点 (1, 2, 2) 处的切线方程。
z xy
13. (1) 设 f (x, y) x2 2y2 ，求 f (x, y) 的梯度，及 f (x, y) 在定点 P0(x0, y0)
处方向导数的最大值；
(2) 求(1)中函数 f (x, y) 在圆周 C : (x 1)2 y2 1上的方向导数的最大值。
4.
级数
(1)n
n0
1 的和为： 2n n!
（
）
（A）
e
1 2
1；
（B）
e
1 2
1；
（C） e1 ；
（D）
e
1 2
。
5. 下列命题中，正确命题的个数为
（
）
①
幂级数
n0
(n
1)an xn
与
n0
an n 1
xn
的收敛半径相同；
②
若级数
n1
an
条件收敛，则级数n1Fra bibliotek1 n
an
绝对收敛；
③ 若级数 an , bn 都发散，且 an cn bn(n 1,2,) ，则 cn 也发散。
11. 求极限 lim ex y sin x xy 。 x0 y2
12. 设函数 f (u, v) 具有一阶连续偏导数， z xy f (t, et )dt ，求 z ， 2 z 。
0
x xy
18. 设 f (x, y) 在 R2 上具有连续的二阶偏导数，证明： f (x, y) 在 R2 上可以表示为
，则
f (2015) (0) ________________。
三、（本大题共 8 分）
11. 设方程 ez x2 y2 3z 1确定了隐函数 z z(x, y) ，求 z , z , 2z . x y xy
四、（本大题共 18 分，其中第 12 题 8 分，第 13 题 10 分）
12.
2. 微分方程 y 4y 4y ex sin 2x 的一个特解形式为：
（其中， a,b,c 是待定常数。）
(A) y* aex bsin 2x ；
(B) y* aex bcos2x csin 2x ；
(C) y* aex x(bcos2x csin 2x) ；
(D) y* ae2x x2 (bcos 2x csin 2x) 。
8. 设 f (x, y) 具有连续的偏导数，且 f (3x, x) x3 x ， f2 (3x, x) x2 ， 则 f1(3x, x) ___________________。
9.
1
dx
1
xy sin(x2 y2)dy _________________。
1
x2
10.
设
f (x) 1 1 4x2
f x (x, y) 与 f y (x, y) 中至少有一个在U ((x0, y0), ) 内无界。(其中 0 。)
上述命题中
()
（A）仅① 正确；
（B）仅② 正确；
（C）①、②都正确；
（D）①、②都错误。
6. 设 z xy ，则 dz |(e,1) ___________________。
1
（D） 以上（A）、（B）、（C）都不正确。
5. 考虑以下命题，
① 若可微函数 f (x, y) 在区域 D 内满足 fx (x, y) 0 ，则有 f (x, y) ( y) ；
② 若函数 f (x, y) 在U ((x0, y0), ) 内可偏导，且 f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 间断，则
() （D）不存在。
3. 设有二元方程 x y2 sin(xy) 0 ，则在 (0, 0) 点的某邻域内，此方程 ( )
（A）仅可确定一个具有连续导数的隐函数 x x( y) ；
（B）仅可确定一个具有连续导数的隐函数 y y(x) ；
（C） 可确定两个具有连续导数的隐函数 y y(x) 和 x x( y) ；