立体几何的解题技巧

立体几何大题的解题技巧

综合提升

【命题分析】高考中立体几何命题特点：

1线面位置关系突出平行与垂直，将侧重于垂直关系• 2、 空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现 3、 多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题

，填空题出现.

4、 有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题 ，特别就是与球有关的问题将就是高考命题的热点 此类题目分值一般在 17---22分之间，题型一般为1个选择题,1个填空题,1个解答题、

【考点分析】掌握两条直线所成的角与距离的概念 ，对于异面直线的距离，只要求会计算已给 出公垂线时的距离、 掌握斜线在平面上的射影、 直线与平面所成的角、 直线与平面的距离的 概念、掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念、 【高考考查的重难点*状元总结】空间距离与角：

“六个距离”：

PQ*u

2点P 到线I 的距离d ----------------- （Q 就是直线I 上任意一点，u 为过点P 的直线I 法向量）

u

PQ*u

3两异面直线的距离 d --------------- （P 、Q 分别就是两直线上任意两点 u 为两直线公共法向量）

u

PQ*u

4点P 到平面的距离 d ------------------ （Q 就是平面上任意一点，u 为平面法向量）

u

5直线与平面的距离【同上】 6平行平面间的距离【同上】

“三个角度”

不论就是求空间距离还就是空间角 ，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，

即寓

证明于运算之中，正就是本专题的一大特色、

1两点间距离

X 2)2 (% y 2)2 (乙 Z 2)2

1

异面直线角【0,2】

cos

【辨】直线倾斜角范围【0，）

2线面角

I0

,2 】

sin 3二面角

【0,】 cos

V 1 v 2

=cos v,n

-- 或者解三角形

v|n

或者找垂直线，解三角形

n 1

n

2

求解空间距离与角的方法有两种:一就是利用传统的几何方法，二就是利用空间向量。

其中，利用空间向量求空间距离与角的套路与格式固定，就是解决立体几何问题这套强有力的工具时，使得高考题具有很强的套路性。

【例题解析】

考点1点到平面的距离

求点到平面的距离就就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足,当然别忘了转化法与等体积法的应用、典型例题例1(福建卷)如图，正三棱柱ABC ABC的所有棱长都为2 , D为CC1中点.

(I )求证：AB1丄平面A1BD ；

(n )求二面角 A AD B的大小；

(川)求点C到平面ABD的距离.

考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的

大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能

力与运算能力.

解:解法一：(I )取BC中点0,连结AO .

Q A ABC为正三角形，A0丄BC .

Q正三棱柱ABC A1B1C1中，平面ABC丄平面BCC1B1，

A0丄平面BCC1B .

连结BO,在正方形BBiGC中，0, D分别为

BC, CC i的中点，巳0丄BD , AB1丄BD .

(n)设AB1与AB交于点G ,在平面A BD中，作GF丄AD于F，连结AF ,由(I)得AB’丄平面

ABD .

AF丄AD, /AFG为二面角 A A,D B的平面角

在厶AA,D中,由等面积法可求得AF 4L5 ,

5

又Q AG - 2，曲AFG AG--2卫•

2 AF 45 4

5

所以二面角A AD B的大小为

.T To arcs in

4

在正方形ABBA 中，AB丄A1B , AB i丄平面A i BD .

(川)△ ABD 中 ‘ BD AD .5, AB 2 2, S^BD 6, S ^BCD 1. 在正三棱柱中，A 到平面BCGB 的距离为73. 设点C 到平面A t BD 的距离为d .

•J

3S

A BCD

S A A ,BD

点C 到平面ABD 的距离为2.

2

解法二：(I )取BC 中点0,连结AO .

Q △ ABC 为正三角形，AO 丄BC .

Q 在正三棱柱 ABC ABQ 中，平面ABC 丄平面BCC 1B 1,

AD 丄平面BCC i B i .

廿 , uuu ujuD uur ,,.,、‘

取B 1C 1中点O ’，以O 为原点，OB ,OO, ,OA 的万向为X , 则 B(1,0,0)，D( 1,1,0)，A(0,2,73), A(0,0,T 3),B I (1,2,0), uuur uuu lur AB (1,2, T3),BD (210),BA ( 1,2,3) uuur uuu uur uur Q AB i gBD 2 2 0 0, AB ,gBA

1 4 3 0,

uur uu uur uur AB ,丄 BD, AB -丄 BA .

AB -丄平面ABD.

(n )设平面A , AD 的法向量为n (x , y, z).

uur uur uuu 屮 AD ( -1, J3),AA (0,2,0). Qn 丄 AD ,n 丄 AA ,,

uuu

-

ngAD 0, x y .3z 0,

y

°,

uur - ngAA

0， 2y

0,

x 3z.

令z 1得n ( . 3,01)为平面A AD 的一个法向量 由(I )知AB -丄平面ABD ,

V C ABD 得-S A BCD 3

g.3

S A A ,BD

gd ，

y , z 轴的正方向建立空间直角坐标系

BCD