倒格子与布里渊区

2、倒格子
布喇菲格子的基矢a1、 a2 、a3为正格子基矢，称Rl=l1a1+l2a2+l3a3决 定的空间为正格子，=a1· (a2×a3)为正格子元胞体积。
定义
b1 2
a
2

a3
a2 a a 1 a b3 2 b 2
3 1 2
为倒格子基矢，由Kh=h1b1+h2b2+h3b3决定的空间为倒格子， =b1· (b2×b3)为倒格子元胞体积。 正格子空间的长度量纲是m,倒格子空间的长度量纲为m-1。
第六节 倒格子与布里渊区
一、倒格子的引入与定义
1、 倒格点
布喇菲格子由无数位向不同的晶面族构成，描述一族晶面的特征 必须有两个参量：面间距、晶面法向。 为了处理问题方便，在数学上将晶面族的特征用一个矢量综合体 现出来，矢量的方向代表这族晶面的法向，矢量的模值比例于这 族晶面的面间距，这样确定的矢量称为倒格矢。倒格矢的端点称 为倒格点。 倒格点的总体构成倒格子空间。 每个倒格点都表示了晶体中一族晶面的特征，倒格点的位置矢量 （倒格矢）体现了晶面的面间距和法向。
3，两种格子元胞间的关系


2

3
倒格子元胞体积与正格子元胞体积存在倒数关系。
4、正格子（h1h2h3)晶面族与倒格矢Kh的关系
正格子中任一晶面族（h1h2h3)可以在所对应的倒格子空间找到一 个倒格矢 Kh =h1b1+ h2b2+ h3b3来体现晶面族的法向和面间距。 对于任意给定的倒格矢Kh ´ =h1 ´ b1+ h2 ´ b2+h3 ´ b3都能得到与之 垂直的晶面族的晶面指数（h1h2h3)。 正格子与倒格子是相对应的，二者互为倒格子。 倒格子的倒格子就是正格子。
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2、实例
一维格子
图1-42a 一维正晶格、基矢a=ai
图1-42b 一维倒格子空间、基矢b=(2/a) i
图1-42c 各布里渊区分布情况
二维正方格子 (1)设二维正方格子的基矢为a1=ai、a2=aj，则对应的倒格子基 矢为b1=(2/a)i、b2=(2/a)j (2)由b1、b2作出倒格子空间。倒格子元胞仍为正方形，元胞大 小为(2/a)2。
（3）由原点O作最近邻、次近邻等倒格点连线垂直平分线，得 到各布里渊区。
（4）各布里渊区的大小相同，且都与倒格子元胞大小相等。
简单立方格子 （1）设简单立方格子的基矢为a1=ai、a2=aj、a3=ak，则对应的 倒格子基矢为b1=(2/a)i 、b2= (2/a)j、b3=(2/a)k。 （2）由b1 、 b2 、 b3作出倒格子空间。倒格子元胞仍为简单立 方，元胞大小为(2/a)3。 （3）简约布里渊区是原点与六个最近邻倒格点连线的中垂面围 成的立方体，其体积为(2/a)3，且包含了一个格点。
四、布里渊区 1、布里渊区的定义
布里渊区：倒格子空间被倒格矢Kh的垂直平分面分割成的区域。 （1）被倒格矢的垂直平分面包围的、围绕着原点的最小区域 称为第一布里渊区，又称为简约布里渊区。 （2）在第一布里渊区的外面， 由若干块对称分布且不相连的 较小区域分别组成第二、第三等布里渊区。 只要晶体的布喇菲格子类型相同，倒格子类型就相同，布里渊区 的形状就一样。 同一晶格中每个布里渊区占据倒格子空间的体积相同，都等于倒 格子元胞体积*=(2)3/ 。 简约布里渊区以外的各布里渊区可以分别用适当的倒格矢平移到 简约布里渊区内，且既无空隙，又无重叠。
图1-12(a)简单立方
图1-44简单立方格子的简约布里渊区
3、边界方程 布里渊区界面的一般方程，实质上就是倒格子空间倒格矢的中垂 面方程。 布里渊区的界面方程的几何求法： （1）任取一倒格矢Kh，作其中垂面。 （2）考察从原点O到中垂面的任意矢量k，它在Kh上的投影为 Kh长度的一半。
K K K
即
h h
1 2
K
h
1 K K h 2
K
2 h
图1-45 布里渊区界面方程示意图
求简立方格子简约布里渊区 （1）简立方格子的倒格子仍为简单立方，六个最近邻 倒格点的倒格矢为
2 2 2 K h a i, a j , a k
（2）将矢量 k=k x i+k y j+k z k代入 k· k h=½|k h| 2 中，得到
Gh
i
i
G h(r R l )
G hr iG hR l
e
V r R1 V r e
i
G h R l
Gh · Rl=2μ (μ 为整数）。 由于正格矢Rl 与倒格矢Kh之间满足Rl · Kh= 2μ ,因而Gh 必为倒格子中的一个倒格矢 。那么
V r V Kh
3、倒格子的意义
正格子中一族晶面转化成了倒格子中的一个倒格点。
（1）由 和叉乘的几何意义可知，b3沿着a1×a2 的方向，或者说b3就是a1和a2所确定的晶面（001）的法线方向。 同时
b3 2
a a
1
2
倒格子基矢b3的方向表示了正格子中（001）晶面的法向， 其模值比例于（001）面的面间距。 （2）倒格子基矢（b1b2b3)及其对应的倒格点分别表示了正格 子中三族不同位向的晶面。 （3）倒格子空间中任一倒格点都体现了正格子中一族晶面的 特征，倒格点位矢的方向是这族晶面的法向，而它的大小比例于 该晶面族面间距的倒数。 倒格点与x射线斑点存在一一对应关系，从而使晶体衍射分析简 单而直观。
a
b
c
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二、正格子与倒格子的关系 1、两种格子基矢间的关系
a b
正格子基矢ai与倒格子基矢bj之间满足 2 当i等于j时 j 2 ij 0 i 当i不等于j时

（i、j=1、2、3）
2、两种格子格矢间的关系。
正格矢Rl=l1a1+l2a2+l3a3与倒格子Kh=h1b1+h2b2+h3b3之间满 足Rl · Kh =2(为整数）。反之，若两矢量点积为2 的整数倍， 且其中一个矢量为正格矢，则另一矢量必为倒格矢。
K h e
i
K h r
这说明： 具有正格子周期性的函数作傅里叶展开时，只需对倒格矢展开 物理量在正格子中的表述与倒格子中的表述之间遵从傅里叶变 换的关系。
2、波矢空间

波矢 K 2

s
0
பைடு நூலகம்
，其中为波长，S0为波传播方向的单位矢量。
波矢的量纲为m-1,与倒格子 空间的量纲一致，因而可以在倒格 子空间中描述波矢。 倒格子空间又称为波矢空间或状态空间。
三、晶体的傅里叶变换与波矢空间 1、晶体的傅里叶变换
假定在晶格中任意一点r的物理量为V（r），则根据晶格的 周期性有 V（r）=V(r+Rl) 傅里叶展开： i G r h
V r V Gh
G h e
V r R l V Gh e
V r R1 V G h e Gh
K
x


a
,K y

, K a
z

a
图1-44 简单立方格 子的简约布里渊区
作业
11、对于六方密堆积结构，初基元胞基矢为：
a a a1 2 i 3 j ; a 2 2 i 3 j ; a 3 ck




求其倒格子基矢，并判明倒格子也是六方结构。 12、用倒格矢的概念证明：立方晶系的[h k l]晶向与（h k l）晶面 垂直。 13、若轴矢abc构成简单正交系，证明：晶面族（hkl）的面间距为 1 14、试证体心立方格子和面心立 2 方格子互为正倒格子。 1 15、试画出b=2a的二维矩形正格 = d hkl 2 2 2 子的倒格子和前三个布里渊区， h k l + + 并求 出简约布里渊区的边界方程。