倒格子与布里渊区
17 倒格子
2 π a a 2 3 a b a 1 1 1 Ω
0 i j
2π
2 π a a 3 1 a b a 1 2 1 0 Ω
2.
R π (为整数) l K h 2
K h b h b h b h 1 2 3 1 2 3
其中 Rl和 Kh分别为正格点位矢和倒格点位矢。
R l a l a l a l 1 2 3 1 2 3
h b h b h b ) 1 2 3 l a l a l a ) ( Rl Kh ( 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 π ( l h l h l h ) 1 1 2 2 3 3
2π
3.
3 2 π Ω*
2π d h1h2h3
。
h b h b h b (1)证明 K h 1 2 3 与晶面族(h1h2h3)正交： 1 2 3
设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，
a1 a 2 a 3 ABC在基矢 a1 , a 2 , a 3上的 截距分别为 , , 。 h1 h2 h3
a
i a 2 a 2
j a 2 a 2
a a a k a i 2 2 j 2 a a a 2 a 2 2 2 2 a2 a2
a a a Байду номын сангаас 2 k 2 2 a a a 2 2 2
2 2 π 2 πa 2 π b a a 2 3 j k j k 1 3 Ω a 2 a 2
是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的2 倍。
晶体结构
正格子
倒格子 1.
1. R n a n a n a n 1 2 3 1 2 3
倒格子与布里渊区
4、面心立方格子的布里渊区
（1）面心立方格子的格子常数（立方边长）为a，倒格子为体心 立方，倒格子常数（立方边长）为4/a。 （2）第一布里渊区为截角八面体（十四面体） (3) 几个点的坐标 ： 2/a(0，0，0) X： 2/a(1，0，0) L： 2/a(-½，½ ，½ ) K： 2/a(0，¾，¾ )
2、倒格子
布拉维格子的基矢a1、 a2 、a3为正格子基矢，称Rl=l1a1+l2a2+l3a3决 定的空间为正格子，=a1· (a2×a3)为正格子原胞体积。 × 2 × × 定义 1 2 3 3 1
b
1
= 2π a a Ω
为倒格子基矢，由Kh=h1b1+h2b2+h3b3决定的空间为倒格子， =b1· (b2×b3)为倒格子原胞体积。 正格子空间的长度量纲是m,倒格子空间的长度量纲为m-1。
3、两种格子原胞间的关系
Ω
*
2π =
Ω
3
倒格子原胞体积与正格子原胞体积存在倒数关系。
4、正格子与倒格子互为对方的倒格子 根据倒格子基矢的定义，倒格子的倒格子基矢
b
* 1
×b b = 2π
2
3
Ω*
a1
同理，可以证明 b2*=a2, b3*=a3 倒格子的倒格子就是正格子。
5、正格子（h1h2h3)晶面族与倒格矢Kh正交 Kh•CA=(h1b1+h2b2+h3b3) •(a1/h1-a3/h3)=0 Kh•CB=(h1b1+h2b2+h3b3) •(a2/h2-a3/h3)=0
矢量的乘积
标量积或点积 A· B=|A||B|cos(A,B) 矢量积或叉积 任何两个矢量Ａ和Ｂ的矢量积是一个矢量，它的大小等于这两个矢 量作成的平行四边形的面积，方向与这个平行四边形所在的平面的 垂线方向平行。 |AB|=|ABsin(A,B)|
倒格子与布里渊区
若Gh，Rn分别为正、倒格矢，上 式成立。反之，若上式成立，若已知 一个为正格矢，则另一个必为倒格矢 吗？
证：
Gn
x
晶为面：族(h1h2h3x) 中 离G G原hh 点距m 离为dhmdh的晶面方程 其中
x为晶面上的任意位矢，并不一定是格矢。
由性质（4）
dh
2
Gh
x
G h Gh
x
Gh
（B） c 2
类似可得
b2＝
2
（a3×a1）
b3＝
2
(a1×a2)
2
2
有了倒格子基矢，可构成倒格矢。
Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3 倒格子周期性
其中h1 h2 h3为任意整数，由倒格矢Gh确定的空间 叫倒格子空间。
由上定义可知，Gh与波矢K有相同的量钢。 属同一“空间” Gh是K空间的特定矢量。
精选课件二维正方晶格的布里渊区精选课件二维长方晶格的布里渊区精选课件二维六方晶格的十个布里渊区精选课件面心立方晶格的第一布里渊区精选课件体心立方晶格的第一布里渊区精选课件精选课件作业p63
§1.6 倒格子与布里渊区
一. 倒格子
（先在B格子和基矢坐标系中讨论)
1. 定义：
正格子基矢 a1 a2 a3 倒格子基矢 b1 b2 b3
即 U⊥Gh 同理可证υ⊥Gh Gh与（h1、h2、h3）面内二条非平行直线均 垂直,所以
Gh垂直于（h1、h2、h3）晶面族。
(4) 某方向最短倒格矢 Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3 之模 和晶面族（h1、h2、h3）的 面间距dh成反比。
dh
2
Gh
（5）倒格矢Gh和正格矢Rn的 标积是2π的整数倍 Gh·Rn＝2πm
布里渊区gamma点的物理意义
布里渊区gamma点的物理意义
【原创版】
目录
1.布里渊区的定义与物理意义
2.布里渊区与倒格子的关系
3.γ点的定义及其在布里渊区中的作用
4.γ点在晶体电子态中的应用
5.总结
正文
布里渊区是固体物理学中的一个重要概念，它描述了晶体中电子状态的分布情况。
布里渊区可以用波矢 k 来描述，其中 kx、ky、kz 构成一个 k 空间（属于倒格子）。
晶体电子的所有状态对应的全部 k，都将均匀分布在倒格子的一个 W-S 原胞中，这个原胞就称为布里渊区。
布里渊区与倒格子有密切的关系。
倒格子是实际空间中晶格点的倒数空间，而布里渊区是描述电子状态的虚拟空间。
在波矢空间中，倒格子的体积就是第一布里渊区所围成的空间的体积。
也就是说，它们实际上是同一个空间，只是基矢不同而已。
在布里渊区中，γ点是一个重要的概念。
γ点是倒格子中的一个特殊点，它与晶体中的电子态有直接的关系。
γ点在布里渊区中的作用是描述电子态的能量和动量。
通过γ点，我们可以了解电子在晶体中的行为和性质。
γ点在晶体电子态中的应用非常广泛。
在晶体的能带理论中，各种电子态按照它们的波矢分类。
通过γ点，我们可以研究电子态的能量分布、电子态的相互作用以及电子态的激发等物理现象。
此外，γ点还可以用于分析晶体的光学性质、电学性质以及磁学性质等。
总之，布里渊区和γ点是固体物理学中非常重要的概念。
1.6 倒格子和布里渊区
第五节 七个晶系和十四种布拉菲格子
根据晶体的对称性特征划分： 32点群； 230种空间群 7个晶系 14种布拉菲格子
晶系 三斜 单斜 正交 三方 四方
对称性特征 只有1或 i 唯一2或 m 三个2或 m 唯一3 或 唯一4 或
第一章 晶体结构 a b c
C1、 Ci a b c ==90º C2、CS、C2h D2、C2V、D2h C 3 、 S6 、 D 3 C3Ｖ、D3d C4、S4、C4h、D4 C4V、D2d、D4h
晶胞参数
所属点群
Bravais格子 简单三斜 简单单斜 底心单斜 简单、底心、体 心、面心正交 三方 简单四方 体心四方 六方
第五节 七个晶系和十四种布拉菲格子
a b c = ＝= 90º a=b=c = ＝ 90º a=b c = ＝= 90º
六方
唯一6 或
a=b c C6、C3h、C6h、D6、 = ＝ 90º =120º C6V、D3h、D6h
第一章 晶体结构
第六节 倒格子和布里渊区
① ② O
③
二维正方格子的布里渊区
二维正方格子的布里渊区
①
②
二维正方格子的布里渊区
①
②
第一章 晶体结构
第六节 倒格子和布里渊区
二维正方格子的10个布里渊区
பைடு நூலகம்
第一章 晶体结构
第六节 倒格子和布里渊区
二维六方格子的10个布里渊区
第一章 晶体结构
第六节 倒格子和布里渊区
立方
四个3
a=b=c = ＝＝ 90º
T、Th、Td O、 Oh
简单、体心、面 心立方
第一章 晶体结构
第五节 七个晶系和十四种布拉菲格子
倒格子和布里渊区
上述第4点的图示。
5. 正点阵和倒易点阵是互易的：由正点阵 a1, a 2 , a3 给出倒易
点阵 b1, b2, b3 现假定 b1, b2 , b3 为正点阵，则其
? iGhkl
?r?) exp(
? iGhkl
? ?Rn
)
K
显然： 即：
? K? e?xp(iG?hkl ?Rn ) ? 1
Ghkl ?Rn ? 2? m
既然 Rn 是正点阵的格矢，符合该关系的 G hkl 就是倒易点阵
的格矢。所以，同一物理量在正点阵中的表述和在倒易点阵中
的表述之间服从Fourier变换关系。
实际上，晶体结构本身就是一个具有晶格周期性的 物理量，所以也可以说： 倒易点阵是晶体点阵的 Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的 Fourier逆变换。 因此，正格子的量纲是长度 L, 称作坐标空间，倒格子 的量钢是长度的倒数 L-1，称作波矢空间。例如：正点 阵取cm,倒易点阵是cm-1, 下一节我们将看到：
晶面系的面间距就是原点到ABC面的距离，由于 G h1h2h3 ? ( ABC )
可以证明：
?
d ? OA ? GG? h1h2h3Βιβλιοθήκη h1h2 h3 h1h2 h3
? ?2?
Gh1h2h3
由此我们得出结论：倒易点阵的一个基矢是和正点阵晶格中 的一族晶面相对应的，它的方向是该族晶面的法线方向，而 它的大小是该族晶面面间距倒数的2π倍。又因为倒易点阵基
第二到第九 Brillouin区约化到第一布里渊区
各布里渊区的形状，不管被分成多少部分，对原点都是对称的
06 固体物理 1.4.1 倒格子
CB OB OC
a2
h2
a3
h3
0
a1/h1
B a2 a2/h2 A
a1
a a Gh1h2 h3 CA (h1b1 h2b 2 h3b 3 ) ( 1 3 ) 2 2 0 h1 h3 同理： Gh1h2h3 CB 0，
i j i j
2 c a1 (a 2 a3 )
由此，可以直接定义倒格子基矢为：
相应的倒格子基矢为：
a2 a3 2 (a2 a3 ) b1 2 a1 (a2 a3 )
a3 a1 2 (a3 a1 ) b2 2 a1 (a2 a3 )
所以有
( r ) 在傅氏 F (K h ) 是物理量 Rl 是正格矢， 空间的表示形式 K h应是 Rl 的倒格矢
e
iK h Rl
1
即：物理量在正格子中表示和在倒格子中表示满足傅氏变换关系； 正空间周期性物理量的傅氏空间就是其倒空间； 正格子和倒格子互为傅氏变换。
ai b j 2ij 确定，则以上条件成立。
K h Rl (h1b1 h2b2 h3b3 ) (l1a1 l2a2 l3a3 ) 2 (h1l1 h2l2 h3l3 ) 2
li , hi 都是整数， 也应是整数， eiKh Rl ei 2 1
2可以证明，Fra bibliotek* (2 )3 /， 即，* (2 )3
* (2 )3 /， 即，* (2 )3
2、倒格子的倒格子是原布拉菲格子
c2， c3 ，可以证明 ci ai , i 1,2,3 按倒格子基矢定义构造基矢 c1， 2 (b 2 b3 ) 2 即令：c1 * b 2 b3 b1 b 2 b3 (2 ) 2 b 2 b3 (a3 a1 ) (a1 a 2 ) 利用 A B C B( A C) C( A B) 2 ( A B) C ( B C) A (C A) B (2 ) 2 (2 ) 2 a1 a1 2 Rl，Kh所代表点的集合 2 2 (2 ) 2 (b 2 b3 ) 都是布拉菲格子，且 a1 c1 * b1 b 2 b3 互为正倒格子。事实 上在
简约布里渊区定义
简约布里渊区定义布里渊区是一种数学概念，它在函数分析和特别是测度论中扮演着重要的角色。
布里渊区是指由笛卡尔坐标系中的一个原点围成的、具有一些特殊性质的平面区域。
它是由布里渊基矢量所生成的晶格的一个基本单元。
为了更好地理解布里渊区的定义，我们需要回顾一些基础知识。
在晶体学中，布拉伐格子是一个周期性排列的点阵，用来描述晶体的结构。
而布里渊区就是由布拉伐格子所生成的晶格的倒格子所围成的区域。
布拉伐格子中的每个点都对应着倒格子中一个向量，这个向量被称为布里渊基矢量。
倒格子中相邻两个基矢量之间的距离被称为布里渊格矢。
简约布里渊区是指由布里渊基矢量所生成的布里渊格点再经过一系列的简约操作得到的最小重复单元。
简约操作包括平移、合并、旋转等操作，通过这些操作可以得到一个具有最小对称性的区域。
简约布里渊区具有许多重要的性质，如对称性、体积等，这些性质对于研究材料的电子结构等问题非常关键。
在实际应用中，布里渊区的定义对于理解材料的能带结构、光学性质等起着重要的作用。
以固体电子学为例，能带结构是描述材料中电子的能量与动量关系的重要概念。
通过布里渊区的划分，我们可以将整个能带结构分割成一些小的区域，这些区域被称为能带。
布里渊区对于分析和理解能带结构中的各种物理现象非常有帮助。
另外，布里渊区还在光学中发挥着重要的作用。
在光学中，布里渊区和能带结构密切相关，通过布里渊区的划分，我们可以得到材料在不同频率下的光学性质。
布里渊区的对称性也决定了材料对不同频率光的响应情况，这对于光学器件的设计和制造非常重要。
总结起来，简约布里渊区定义了由布里渊基矢量所生成的布里渊格点经过一系列简约操作得到的最小重复单元。
布里渊区在函数分析和测度论中具有重要的地位，它对于理解材料的能带结构、光学性质等起着关键作用。
通过对布里渊区的研究，我们可以更好地理解材料的物理性质，并应用于材料科学和工程等领域。
倒格子与布里渊区
布里渊区的形状和大小取决于晶 体的对称性和周期性，它反映了
晶体中电子行为的特征。
布里渊区对于理解固体材料的电 子结构和光学性质具有重要意义， 例如光的吸收、反射和折射等。
倒格子与布里渊区在固体物理中的应用
通过倒格子空间和布里渊区的理论分 析，可以预测和解释固体材料的各种 物理性质，如导电性、光学性质、磁 学性质等。
倒格子与布里渊区的理论分析还为实 验物理学家提供了理解和设计新型固 体材料的有力工具。
这些理论工具在材料科学、电子工程 和光子学等领域有着广泛的应用，对 于新材料的发现和性能优化具有指导 意义。
倒格子与布里渊区的未来发
05
展
倒格子与布里渊区理论的进一步研究
深入研究倒格子与布里渊区的数学模型和物理机制，提高理论预测的精度 和可靠性。
布里渊区是晶体中波矢的定向平移对称性所对应的倒空间中 的区域。
详细描述
布里渊区是晶体中波矢的定向平移对称性所对应的倒空间中 的区域，它反映了晶体中波矢的周期性和对称性。在倒空间 中，布里渊区是一个封闭的区域，其形状和大小取决于晶体 的对称性和周期性。
布里渊区的性质
总结词
布里渊区的性质包括对称性、边界形状和大小、与倒格子的关系等。
倒格子与布里渊区的物理意义
01 倒格子描述了晶体中电子波函数的周期性，而布 里渊区则描述了电子在波矢空间中的行为。
02 倒格子和布里渊区在物理中具有重要意义，它们 是理解晶体中电子行为的关键。
02 倒格子和布里渊区的物理意义在于它们提供了描 述晶体中电子行为的几何框架。
倒格子与布里渊区在物理中的应用
正格子与倒格子的关系
正格子与倒格子之间存在特定的关系，即正格子的波矢 k和倒格子的波矢K之间满足K=2π/a−k，其中a是正格 子的晶格常数。
布里渊区的选取
电子科技大学光电信息学院课程设计论文课程名称固体与半导体物理题目名称布里渊区的选取学号 2905301014 2905301015 2905301016姓名李雄风寿晓峰陈光楠指导老师刘爽起止时间2011.10.1-2011.10.152011年10月1日布里渊区的选取摘要本文着重介绍了布里渊区的选取。
首先，本文给出了倒格子和布里渊区的相关概念；随后，本文以一维的简单格子、二维的有心长方格子、三维的面心立方格子和体心立方格子为例，详细说明了布里渊区的选取过程；最后，本文介绍了制作面心立方格子和体心立方格子的第一布里渊区的实物模型的方法（附上实物模型）。
一、相关概念介绍1.1倒格子假设晶格原胞基失为、和，则对应的倒格子原胞基失为、和，它们满足如下关系：其中为原胞体积。
、和是不共面的，因而由、和也可以构成一个新的点阵，我们称之为倒格子。
倒格子原胞基失也可以通过下式来定义（在处理一维和二维问题时我们将用到它）：倒格子的一个基矢是和晶格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，而它的大小则为该晶面族面间距倒数的2π倍。
倒格子是描述晶体结构周期性的另一种类型的格子，它是在波矢空间的数学表示，它的一个基矢对应于正格子中的一族晶面，因此可将晶格中的一族晶面可以转化为倒格子中的一个点，这在处理晶格的问题上有很大的意义。
尤其是下面介绍的布里渊区，就是在倒格子下定义的。
倒格子与布里渊区有着非常紧密的联系。
在正格子空间中，正格子原胞体积等于威格纳-赛兹原胞体积；在倒格子空间中，倒格子原胞体积则等于第一布里渊区的体积。
1.2布里渊区在倒格子空间中，以某一倒格点为原点，从原点出发作所有倒格点的位置矢量的垂直平分面，这些平面把倒格子空间划分成一些区域，这些区域称为布里渊区。
其中最靠近原点的平面所围成的区域称作第一布里渊区，第一布里渊区界面与次远垂直平分面所围成的区域称作第二布里渊区，以此类推，第n个布里渊区是从原点出发，跨过（n-1）个垂直平分面的所有区域的集合。
单层石墨烯倒格子基矢和第一布里渊区
单层石墨烯倒格子基矢和第一布里渊区下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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固体物理_倒格子与布里渊区_2013
a3 (a1 a2 )
所以：
a3 b3 2
a3 b1/ 2 0
采用同样的方法，我们可以得出：
a2 b2 2 a2 b1/3 0
2 ( a 3 a1 ) b2 2 ( a 2 a3 ) b1
二、特性：
1、第一布里渊区： 在倒格子点阵中，做某一倒格点到其最近邻 倒格点连线的垂直平分面，由这些垂直平分面所 围成的多面体就是第一布里渊区。 除第一布里渊区之外,还有第二布里渊区、第 三布里渊区以及更高阶的布里渊区。
晶面:(111) 面间距：
n
(111)
(111)
法线方向： n
3 a 3
2 2 2 kh i j k 倒格矢： a a a
b3
b2 b1
2 3 k a 面间距： h k 3 h h 法线方向： k i jk kh
三、正格子和倒格子的相互关系
右手定律
2、验证：倒格矢能代表一族晶面吗？
晶面族(h1h2h3) 中最 靠近坐标原点的晶面 ABC在基矢 a1 , a2 , a3
a1 a2 a3 上的截距为 , , h1 h2 h3
kh (1)倒格矢Kh垂直与晶面族 n kh
2 (2)倒格矢的模量等于面间距的倒数成正比。 k h d
3
正格子元胞与倒格 子元胞体积成反比
课堂练习：
试证体心立方格子和面心立方格子互为正、倒格子。
面心立方晶格的初基原胞基矢为：P10 体心立方晶格的初基原胞基矢为：P10 a a a1 ( j k ) a1 (i j k ) 2 2 a a a2 (i j k ) a2 (k i ) 2 2 a a a3 (i j k ) a3 (i j ) 2 2 面心立方晶格的倒格子基矢如下：
倒格子和布里渊区
1.倒格子和布里渊区 2.回旋共振和德哈斯—范阿尔芬效应 3.解释声学支和光学支格波的物理本质 4. 密堆积和配位数（知道各种配位数）［答］在点阵中，和一个粒子最近邻的粒子数目，称为配位数；它反映晶体中粒子排列的紧密程度。
如果晶体由全同的一种粒子组成，并把粒子视为小圆球，则这些小圆球的最紧密的堆积称为密堆积。
5. 晶体结合基本方式6. 热传导、热膨胀和非谐效应相关7. sc,fcc,bcc 倒格子（写结果）8. 爱因斯坦模型、德拜模型9. 各种不同情况的第一布里渊区情况10. 共价结合为什么有“饱和性”和“方向性”？[答] “饱和性”是指共价结合时一个原子只能形成一定数目的共价键，因此依靠共价键只能和一定数目的其它原子相结合。
共价键的数目取决于原子未配对的电子数。
共价结合时，共价键的形成只在特定的方向上，这些方向是配对电子波函数的对称轴方向，在这个方向上交迭的电子云密度最大。
这就是共价键的“方向性”。
11. 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德龙常数为 α=2ln2。
[证明] 相距为r ij 的两个离子的互作用势能可表示成设最近邻原子间的距离为R ，则有r ij =a j R,则总的离子间的互作用势能为其中为离子晶体的马德龙常数， 式中的正、负号分别对应于与参考离子相异和相同的离子。
任选一离子作为参考离子，在求和中对负离子取正号，对正离子取负号，考虑到对一维离子链，参考离子两边的离子是正负对称分布的，则有n ijij ij r b r q r u +=πε4)(2 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-±-==∑∑∑n j j n j j ij j a b R a R q N r u N U ''2'1)1(42)(2πεjj a 1'±=∑α利用下面的展开式并令x=1,得于是，一维离子链的马德龙常数为α＝2ln2 .12. 晶格比热、电子比热13. 非简谐效应当考虑到原子的相互作用势中的δ3以上的高次项时出现的种种效应叫非简谐效应。
固体物理第二章
由于k0=2π/ λ, (2)式:
R ∙(k0 - k)=2 πn
由平移矢量R和倒格式G的关系: R ∙G=2 πm (3) 比较(2)和(3): k0 – k=G (4)
(4)被称为劳厄方程
4.衍射极大条件 劳厄方程 （Laue Equation） a. 坐标空间中的劳厄方程
晶格中任一格点为O，格点A的位矢 Rl=l1a1+l2a2+l3a3, S0和S为单位矢量。 光程差 衍射加强的条件 A
可以证明，每个布里渊区的体积均相等，都等于第一布里渊区的体积， 即倒格子原胞的体积b
立方晶系的简约区
正格子 格常数 倒格子 格常数 简约区
sc
a
sc
2 a
由6个{100}*面 围成的立方体
由12个{110}*面 围成的菱形12面体 由8个{111}*面和6个{100}*面围 成的14面体
bcc
S=2f 当v1 ＋v2 ＋v3＝偶数
7. 晶体衍射
当辐射的波长与晶格中原子间距可以比较或更小时，可发生显著的衍射现象 。 （1）x射线 一种电磁波，由被高电压加速了的电子撞击靶极物质产生。X射线的光子能量为：
SG=celldV j nj(r-rj) exp(-iG•r)
= j exp(-iG•rj) dV nj() exp(-iG• ),
= r-rj . 原子形状因子 (atomic form factor) : fj= dV nj() exp(-iG• ), SG= j fj exp(-iG•rj) rj =xja1+ yja2+ zja3 , G= v1b1+ v2b2+ v3b3 SG(v1 v2 v3) = j fj exp[-2 i (v1xj + v2yj +v3zj )] 例如：体心立方 S=0 当v1 ＋v2 ＋v3＝奇数
倒格子空间与布里渊区
)
a2 h2
h3b3
和ah33正 格2子 2中 晶 0面族
(h1h2h3)正交
接着我们再证明倒格矢长度为 Gh
2π d h1h2h3
由于倒格矢 Gh h1b1 h2b2 h3b3 与晶面族(h1h2h3)
正交. 因而，晶面族(h1h2h3)的法线方向为Gh
一个倒格子基矢是和正格子原胞中一组晶
面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向， 它的大小则为该晶面族面间距倒数的2倍。
晶体结构
正格子
1. Rn n1a1 n2a2 n3a3
2.与晶体中原子 位置相对应； 3.是真实空间中点 的周期性排列；
4.线度量纲为[长 度]
倒格子
1. Gh h1b1 h2b2 h3b3
的波矢,一定也可以描述布拉维格子.这就是倒格 子的由来.
cos(g Rn) 1 g Rn 2 m; where m is int eger
由于波矢的单位是坐标空间中长度单位的倒 数，所以，在固体物理学中，通常把坐标空间 称为正空间，而把波矢空间称为倒易空间或倒 空间。
从而对应上述矢量g描述的布拉维格子称为倒 格子(reciprocal lattice)，而把Rn所描述的布拉 维格子称为正格子(direct lattice)。
C
由图可知：
h1 h3
CB OB OC a2 a3 h2 h3
O
a3
Gh
B a2
A
a1
Gh CA
(h1b1 h2b2
h3b3
)
a1 h1
a3 h3
2
布里渊区图示
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子的第一布里渊区
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形状
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
倒格子原胞的基矢为
b1
2
(a2 k)2ai23a
j
b2
2 (k a1)
4
3a
j
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
选一个倒格点为原点，原点的最近邻倒格矢有6个，分别是
b1, b2 , (b1 b2 )
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
的垂直平分线和第二布 里渊区边界边界所围成 第三布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
第一、第二和第三布里渊区
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
正方格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
正方格子其它布里渊区的形状
—— 每个布里 渊区经过适当 的平移之后和 第一布里渊区 重合
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
平面正三角形，相邻原子间距为a,求正格矢和倒格矢，画 出第一和第二布里渊区
正格子原胞基矢
a1
ai, a2
a 2
i
3 aj 2
取单位矢量k垂直于i, j
则，a1，a2和k构成的体积
3 a2 2
固体物理学：布里渊区(brillouin zone )
在k空间（倒格子空间）中，以任意一个倒 格点为原点，做原点和其它所有倒格点连线（倒 格矢）的中垂面(或中垂线)，这些中垂面(或中 垂线)将倒格子空间分割成许多区域，每个区域 内 E ~ k 是连续变化的, 而在这些区域的边界上 能量E(k)发生突变, 这些区域称为布里渊区。
高序号布里渊区的各个分散的碎片平 移一个或几个倒格矢进入简约布里渊区， 形成布里渊区的简约区图。
二维正方晶格的十个布里渊区
第一区 第二区 第三区 第四区 第五区 第六区 第七区 第八区 第九区 第十区
例1： 简单立方格子
解:
正格子基矢：
倒格子基矢：
简单立方格子的第一布里渊区：原点和6个近 邻格点的垂直平分面围成的立方体。
第一布里渊区(又称为简约布里渊区)是围 绕原点的最小闭合区域；
第二布里渊区是从原点出发经过1个中垂 面(或中垂线，或布拉格反射面)才能到达的区 域；
第n+1布里渊区是从原点出发经过n个中垂 面(或中垂线)才能到区作图法
对于已知的晶体结构，可以按照如下方法画 布里渊区。
简单立方格子的第一布里渊区
例2：画出体心立方的第一布里渊区。设体心立方
晶格常量为a。
解：正格子三个基矢为：
a1
a
a
a 2
2a 2
3a 2
i i i
j j
jk k k
ak
a1
a2 aj
ai
Ω a1 (a2 a3 )
a3
1 a3 2
倒格子的基矢为：
b1 b2
2π
Ω 2π
晶体 结构
原胞
倒格点 排列
中垂面 (中垂线)
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2、倒格子
布喇菲格子的基矢a1、 a2 、a3为正格子基矢，称Rl=l1a1+l2a2+l3a3决 定的空间为正格子，=a1· (a2×a3)为正格子元胞体积。
定义
b1 2
a
2
a3
a2 a a 1 a b3 2 b 2
3 1 2
为倒格子基矢，由Kh=h1b1+h2b2+h3b3决定的空间为倒格子， =b1· (b2×b3)为倒格子元胞体积。 正格子空间的长度量纲是m,倒格子空间的长度量纲为m-1。
第六节 倒格子与布里渊区
一、倒格子的引入与定义
1、 倒格点
布喇菲格子由无数位向不同的晶面族构成，描述一族晶面的特征 必须有两个参量：面间距、晶面法向。 为了处理问题方便，在数学上将晶面族的特征用一个矢量综合体 现出来，矢量的方向代表这族晶面的法向，矢量的模值比例于这 族晶面的面间距，这样确定的矢量称为倒格矢。倒格矢的端点称 为倒格点。 倒格点的总体构成倒格子空间。 每个倒格点都表示了晶体中一族晶面的特征，倒格点的位置矢量 （倒格矢）体现了晶面的面间距和法向。
3，两种格子元胞间的关系
2
3
倒格子元胞体积与正格子元胞体积存在倒数关系。
4、正格子（h1h2h3)晶面族与倒格矢Kh的关系
正格子中任一晶面族（h1h2h3)可以在所对应的倒格子空间找到一 个倒格矢 Kh =h1b1+ h2b2+ h3b3来体现晶面族的法向和面间距。 对于任意给定的倒格矢Kh ´ =h1 ´ b1+ h2 ´ b2+h3 ´ b3都能得到与之 垂直的晶面族的晶面指数（h1h2h3)。 正格子与倒格子是相对应的，二者互为倒格子。 倒格子的倒格子就是正格子。
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Lvdd ZDLP
2、实例
一维格子
图1-42a 一维正晶格、基矢a=ai
图1-42b 一维倒格子空间、基矢b=(2/a) i
图1-42c 各布里渊区分布情况
二维正方格子 (1)设二维正方格子的基矢为a1=ai、a2=aj，则对应的倒格子基 矢为b1=(2/a)i、b2=(2/a)j (2)由b1、b2作出倒格子空间。倒格子元胞仍为正方形，元胞大 小为(2/a)2。
（3）由原点O作最近邻、次近邻等倒格点连线垂直平分线，得 到各布里渊区。
（4）各布里渊区的大小相同，且都与倒格子元胞大小相等。
简单立方格子 （1）设简单立方格子的基矢为a1=ai、a2=aj、a3=ak，则对应的 倒格子基矢为b1=(2/a)i 、b2= (2/a)j、b3=(2/a)k。 （2）由b1 、 b2 、 b3作出倒格子空间。倒格子元胞仍为简单立 方，元胞大小为(2/a)3。 （3）简约布里渊区是原点与六个最近邻倒格点连线的中垂面围 成的立方体，其体积为(2/a)3，且包含了一个格点。
四、布里渊区 1、布里渊区的定义
布里渊区：倒格子空间被倒格矢Kh的垂直平分面分割成的区域。 （1）被倒格矢的垂直平分面包围的、围绕着原点的最小区域 称为第一布里渊区，又称为简约布里渊区。 （2）在第一布里渊区的外面， 由若干块对称分布且不相连的 较小区域分别组成第二、第三等布里渊区。 只要晶体的布喇菲格子类型相同，倒格子类型就相同，布里渊区 的形状就一样。 同一晶格中每个布里渊区占据倒格子空间的体积相同，都等于倒 格子元胞体积*=(2)3/ 。 简约布里渊区以外的各布里渊区可以分别用适当的倒格矢平移到 简约布里渊区内，且既无空隙，又无重叠。
图1-12(a)简单立方
图1-44简单立方格子的简约布里渊区
3、边界方程 布里渊区界面的一般方程，实质上就是倒格子空间倒格矢的中垂 面方程。 布里渊区的界面方程的几何求法： （1）任取一倒格矢Kh，作其中垂面。 （2）考察从原点O到中垂面的任意矢量k，它在Kh上的投影为 Kh长度的一半。
K K K
即
h h
1 2
K
h
1 K K h 2
K
2 h
图1-45 布里渊区界面方程示意图
求简立方格子简约布里渊区 （1）简立方格子的倒格子仍为简单立方，六个最近邻 倒格点的倒格矢为
2 2 2 K h a i, a j , a k
（2）将矢量 k=k x i+k y j+k z k代入 k· k h=½|k h| 2 中，得到
Gh
i
i
G h(r R l )
G hr iG hR l
e
V r R1 V r e
i
G h R l
Gh · Rl=2μ (μ 为整数）。 由于正格矢Rl 与倒格矢Kh之间满足Rl · Kh= 2μ ,因而Gh 必为倒格子中的一个倒格矢 。那么
V r V Kh
3、倒格子的意义
正格子中一族晶面转化成了倒格子中的一个倒格点。
（1）由 和叉乘的几何意义可知，b3沿着a1×a2 的方向，或者说b3就是a1和a2所确定的晶面（001）的法线方向。 同时
b3 2
a a
1
2
倒格子基矢b3的方向表示了正格子中（001）晶面的法向， 其模值比例于（001）面的面间距。 （2）倒格子基矢（b1b2b3)及其对应的倒格点分别表示了正格 子中三族不同位向的晶面。 （3）倒格子空间中任一倒格点都体现了正格子中一族晶面的 特征，倒格点位矢的方向是这族晶面的法向，而它的大小比例于 该晶面族面间距的倒数。 倒格点与x射线斑点存在一一对应关系，从而使晶体衍射分析简 单而直观。
a
b
c
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二、正格子与倒格子的关系 1、两种格子基矢间的关系
a b
正格子基矢ai与倒格子基矢bj之间满足 2 当i等于j时 j 2 ij 0 i 当i不等于j时
（i、j=1、2、3）
2、两种格子格矢间的关系。
正格矢Rl=l1a1+l2a2+l3a3与倒格子Kh=h1b1+h2b2+h3b3之间满 足Rl · Kh =2(为整数）。反之，若两矢量点积为2 的整数倍， 且其中一个矢量为正格矢，则另一矢量必为倒格矢。
K h e
i
K h r
这说明： 具有正格子周期性的函数作傅里叶展开时，只需对倒格矢展开 物理量在正格子中的表述与倒格子中的表述之间遵从傅里叶变 换的关系。
2、波矢空间
波矢 K 2
s
0
பைடு நூலகம்
，其中为波长，S0为波传播方向的单位矢量。
波矢的量纲为m-1,与倒格子 空间的量纲一致，因而可以在倒格 子空间中描述波矢。 倒格子空间又称为波矢空间或状态空间。
三、晶体的傅里叶变换与波矢空间 1、晶体的傅里叶变换
假定在晶格中任意一点r的物理量为V（r），则根据晶格的 周期性有 V（r）=V(r+Rl) 傅里叶展开： i G r h
V r V Gh
G h e
V r R l V Gh e
V r R1 V G h e Gh
K
x
a
,K y
, K a
z
a
图1-44 简单立方格 子的简约布里渊区
作业
11、对于六方密堆积结构，初基元胞基矢为：
a a a1 2 i 3 j ; a 2 2 i 3 j ; a 3 ck
求其倒格子基矢，并判明倒格子也是六方结构。 12、用倒格矢的概念证明：立方晶系的[h k l]晶向与（h k l）晶面 垂直。 13、若轴矢abc构成简单正交系，证明：晶面族（hkl）的面间距为 1 14、试证体心立方格子和面心立 2 方格子互为正倒格子。 1 15、试画出b=2a的二维矩形正格 = d hkl 2 2 2 子的倒格子和前三个布里渊区， h k l + + 并求 出简约布里渊区的边界方程。