第六章 狭义相对论

6.1相对论的基本原理和时空理论

认为时空和质量的测量有绝对意义,与观测者所处的参考系无关,这种绝对时空和绝对质量观念是经典力学的“公理”基础,其集中反映便是伽俐略变换.但从19世纪末年起,人们发现这种观念与电磁现象和高速运动的实验事实不符.

在迈克尔孙等人光速测量实验的基础上,爱恩斯坦于1905年创立了狭义相对论.这一理论的两个基本假设是:

相对性原理——物理定律在所有惯性系都有相同的形式；

光速不变原理——真空中的光速在所有惯性系沿任何方向都是常数c,与光源的运动无关.

间隔不变性间隔不变性是相对性原理与光速不变原理的数学表述.设惯性系中,任意两事件的空时坐标为和

,定义两事件的间隔为

(6.1)在另一惯性系中,这两事件的空时坐标为,,间隔为

(6.

2)

惯性系概念要求空时坐标变换必须是线性变换,即,,而当两个惯性系的相对速度时,这两个惯性系将等同于一个惯性系.因而对任何两个惯性系,应当有

(6.3)

洛伦兹变换设惯性系以速度沿惯性系的x轴正向运动,两参考系相应坐标轴平行,时两参考系的原点重合(一个事件),由(6.3)式,可导出任一事件的空时坐标从系到系的变换——洛伦兹变换

,,, (6.4)

其中 , (6.5)将(6.4)式中的换为,可得逆变换.当, (6.4)过渡到伽俐略变换.

因果律与相互作用的最大传播速度洛伦兹变换表明,时空的测量有相对意义,即测量结果与观测者所处的参考系有关,这是相对论时空观的一个方面.另一方面,是认为事物发展变化的因果关系有绝对意义,即因果关系不因参考系的变换而改变,从时间次序来说,就是在一个惯性系中,作为结果的事件必定发生在作为原因的事件之后,变换到任何其它惯性系,都必须保持这一时间次序.从这一要求出发,由

间隔不变性或洛伦兹变换,可得出推论——真空中的光速c是自然界一切相互作用传播速度的极限.

间隔分类在任何一个惯性系中,任何两事件的间隔只能属于如下三种分类之一：类时间隔；类光间隔；类空间隔.

在一个惯性系中有因果关系的两事件,两者之间必定存在某种相互作用,其传播速度只能小于c或等于c,因而有因果关系的两事件之间隔必定类时或类光,变换到任何其它惯性系,绝对保持因果关系,相互作用的传播速度仍然小于c或等于c,即间隔仍然类时或类光.在一个惯性系中无因果关系的两事件,间隔必定类空,变换到任何其它惯性系,绝对保持非因果关系,间隔仍然类空.

同时相对性在某个惯性系中,如果两事件于不同地点同时发生,即这两事件无因果关系,由洛伦兹变换可推知,在其它惯性系看来,这两事件的发生不同时.这意味着,在某个惯性系不同地点对准的时钟,在其它惯性系看来没有对准.

时钟延缓效应在物体静止的参考系中,测得任一过程进行的时间,称为这过程的“固有时”.由洛伦兹变换,在其它惯性系中,测得这过程进行的时间变慢了：

(6.6)

这效应对于两个惯性系来说是相对的,即在系上看系的时钟变慢,在系上看系的时钟也变慢.但是在有加速运动的情形,时间延缓效应是

绝对效应.

尺度缩短效应当物体以速度相对于惯性系运动,若在平行于运动方向上这物体的静止长度为,由洛伦兹变换,在系中测得这长度缩短为

(6.7)

这效应对于两个惯性系来说,也是相对的.但在垂直于运动的方向,这一效应不会发生.

时钟延缓与尺度缩短效应,是在不同参考系中观察物质运动在时空关系上的客观反映,是统一时空的两个基本属性,与具体过程和物质的具体结构无关.

速度变换由洛伦兹变换(6.4),可导出物体速度从惯性系到之间的变换

, ,

(6.8)

将换为-,可得逆变换.可以证明,若在一个参考系中物体的速度,变换到任何其它参考系仍有.仅当,(6.8)式才过渡到经典速度变换.

6.2 洛伦兹变换的四维形式四维协变量

相对论认为时空是统一的.为此将三维空间与第四维虚数坐标

统一为四维复空间

(6.9)

于是当系以速度沿系的轴正向运动时,洛伦兹变换(6.4)可表为

, (6.10)

重复指标(上式中右方的)意味着要对它从1至4求和.变换系数构成的矩阵为

(6.11)

由于洛伦兹变换(6.10)满足间隔不变性(6.3),亦即

不变量 (6.12)

因此,洛伦兹变换是四维时空中的正交变换,即变换矩阵满足

(6.13)

(6.10)的逆变换为

(6.14)

在洛伦兹变换下,按物理量的变换性质分类为：

标量(零阶张量,不变量) (6.15)

四维矢量(一阶张量) (6.16)

四维二阶张量 (6.17)

例如,间隔和固有时就是洛伦兹不变量.可以证明,每一类四维协变量的平方都是洛伦兹变换下的不变量.利用这一普遍规律,可将物体的速度和光速,能量和动量,电荷密度和电流密度,标势和矢势,电场和磁场等物理量统一为四维协变量,由此可以清楚地显示出被统一起来的物理量之间的内在联系,并将描写物理定律的方程式表示成相对性原理所要求的协变形式.

6.3 相对论力学

相对论力学方程在低速运动情形下,经典力学方程

在伽利略变换下满足协变性.为使高速运动情况下力学方程也满足协变性,构造

四维速度 (6.18)

四维动量 (6.19)

四维力 (6.20) (四维加速度 ),其中是三维速度,是三维力,是力的功率,是四维力的空间分量.由于固有时和静止质量是洛伦兹不变量,因此、和都是按(6.16)方式变换的四维协变矢量,于是相对论力学方程

(6.21)

在洛伦兹变换下满足协变性.由,这方程包含的两个方程为

(6.22)

(6.23)

相对论质量、动量和能量由方程(6.22)和(6.23)可知,高速运动情形下物体的质量、动量和能量分别为

(6.24)