线性变换的可对角化问题

征向量被线性变换变成 0 .
高等代数与解析几何
例如：在 R2 中，向量绕原点按逆时针方向旋转
θ 角的旋转变换 Sθ ，当 0 < θ < π 时，对任意非零 向量 α∈ R2 ， Sθ (α ) 与 α 都不共线 ( 图 7-8所示 )
Sθ (α )
θ
α
O
图 7-8
此时， Sθ 没有实特征值；
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例 3 在空间 Kn-1[x] 中，线性变换
D f (x) = f ′(x)
在基 1 , x , x2 , " , xn−1 下的矩阵是 2! (n − 1)!
⎛0 1 0 " 0⎞
⎜ ⎜
0
0
1
"
0
⎟ ⎟
D=⎜# # #
#⎟
⎜ ⎜
0
0
0
"
1
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 0 0 " 0⎟⎠
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缩（包括方 向相同和方向相反两种 情形），而伸缩的系
数是 λ .
{ } 记Vλ = ξ σ (ξ ) = λξ ,ξ ∈V ,Vλ 显然是V 的子
空间,称为V 的属 λ 的特征子空间.
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几何意义
在几何向量空间 R2 和 R3 中，线性变换 σ 的
特征值与特征向量的几何意义是：特征向量 ξ ( 起 点在坐标原点) 与其像 σ(ξ )同向(或反向)，同向时， 特征值 λ > 0，反向时， λ < 0，且 λ 的绝对值等 于 | σ(ξ )| 与 | ξ | 之比值；如果特征值 λ = 0，则特
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定理 8.3.2 设V 是数域 K 上一个线性空间, σ 是
V 的一个线性变换. σ 在V 的一个基α1 ,α 2 ," ,α n 下的
矩阵为 A ,如果 λ ∈ K ,ξ ≠ 0 ,那么：
（1）λ 是σ 的特征值 ⇔ λ 是矩阵 A 的特征值；
（2） ξ
=
(α1 ,α 2 ,"
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定理 8.3.2 设V 是数域 K 上一个线性空间, σ 是 V 的一个线性变换. σ 在V 的一个基α 1,α 2 ," ,α n 下的
矩阵为 A ,如果 λ ∈ K ,ξ ≠ 0 ,那么：
（1） λ 是σ 的特征值 ⇔ λ 是矩阵 A 的特征值；
（2）ξ = (α 1,α 2 ," ,α n ) X 是σ 的属于特征值 λ 的特
定理 8.3.1 设V 是数域 K 上的 n 维线性空间，σ 是
V 的线性变换，则σ 可对角化的充分必要条件是存在
V 的一个基 α1 ,α2 ,",αn ，使得 σ (αi ) = λiαi ，这里
λi ∈ K , i = 1, 2,", n.
证明：按定义， σ 可对角化就是即存在V 的基
α1,α2,",αn ，使得
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例 8.3.3 设σ 是数域 K 上线性空间V 的一个线性 变换,且 σ 2 = σ . 那么,当 λ 是 σ 的特征值时,存在
ξ ∈V 使σ (ξ ) = λξ ,从而
λξ =σ ( ξ ) = σ 2 (ξ ) = σ (σ (ξ )) = σ ( λξ ) = λ2ξ ,
即
只能是零或非零的常数.
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例 5．令V 表示定义在实数域上的任意次可导实 函数所成的线性空间， D : f ( x) → f ′( x) 是求导运
算，则 D 是线性变换。因对每一个实数 λ 有 D(eλ x ) = λeλ x
所以任何实数 λ 都是 D 的特征值，而 eλ x 是 D 的属于 λ 的特征向量。
意一组基下的矩阵都是 kI，它的特征多项式是
| λI - kI | = (λ - k)n .
因此，数乘变换 K 的特征值只有 k . 由定义可知, 每个非零向量都是属于数乘变换 K 的特征向量.
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例 2 设线性变换 σ 在基ε1 , ε2 , ε3下的矩阵是
⎛1 2 2⎞
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
2 2
1 2
2 1
⎟ ⎟⎟⎠
,
求 σ 的特征值与特征向量.
解 A 的特征多项式为
λ − 1 −2 −2 λ I − A = −2 λ − 1 −2
−2 −2 λ − 1
= (λ + 1)2(λ − 5) .
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所以，A 的特征值为
λ1 = 5 , λ2 = λ3 = −1,
当 λ1 = 5 时, 解方程组
征向量 ⇔ X 是矩阵 A 的属于特征值 λ 的特征向量.
由于ξ ≠ 0 ,故 X 是非零向量,这说明 λ 是矩阵 A
的特征值, X 是矩阵 A 的属于特征值 λ 的特征向量.
如果 λ 是矩阵 A 的特征值,而
X = ( x1, x2,", xn )T 是 A 的属于 λ 的特征向量,那么
AX = λ X , 且 X ≠ 0 , 即 σ (ξ ) 与 λξ 在 基
ξ
=
⎜
(α 1
,
α
2
,"
,
α
n
)
⎜ ⎜
x2 #
⎟ ⎟ ⎟
=
(α1,α2 ,",αn )
X
⎜⎟ ⎝ xn ⎠
又 σ (ξ ) 在 基 α1 ,α2 ," ,α n 下 的 坐 标 为
AX
.
σ
(ξ
)
=
λξ
表明 σ
(ξ
)
在基
α 1
,
α
2
,"
,
α n
下 的坐
标为 λ X . 因此,当 λ 是σ 的特征值时, AX = λ X .
矩阵的对角化问题中具有决定性的意义.
定义 8.3.1 设V 是数域 K 上的线性空间， λ 是 K 中
的一个数，σ 是V 的一个线性变换. 如果存在V 的非零 向量ξ ，使得
σ (ξ ) = λξ ， 那么，称 λ 为σ 的一个特征值，而非零向量ξ 称为σ 的
属于特征值λ 的一个特征向量.
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σ (kξ ) = λ (kξ ) .
这说明特征向量不是被特征值唯一决定的. 相反， 特征值却是被特征向量所唯一决定，因为一个特 征向量只能属于一个特征值.
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例 8.3.1 任何非零向量既是单位变换ι 的属于特征值 1 的特征向量,又是零变换θ 的属于特征值 0 的特征向量.
例 8.3.2 令 K[x]是数域 K 上的一切一元多项式所
矩阵为 A ,如果 λ ∈ K ,ξ ≠ 0 ,那么：
（1） λ 是σ 的特征值 ⇔ λ 是矩阵 A 的特征值；
（2）ξ = (α 1,α 2 ," ,α n ) X 是σ 的属于特征值 λ 的特
征向量 ⇔ X 是矩阵 A 的属于特征值 λ 的特征向量.
举例
例 1 在 n 维线性空间中，数乘变换 K 在任
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假设有关系式
a1ξ1 + a2ξ2 + … + akξk + ak+1ξk+1 = 0 成立. 等式两端乘以 λk+1 ，得
D 的特征多项式是
⎛ λ −1 0 " 0 ⎞
⎜ ⎜
0
λ
−1 "
0
⎟ ⎟
| λ I − D |= ⎜ # # #
# ⎟ = λn .
⎜ ⎜0 0
0 " −1⎟⎟
⎜⎝ 0 0 0 " λ ⎟⎠
因此，D 的特征值只有 0 . 通过解相应的齐次线性
方程组知道，属于特征值 0 的线性无关的特征向量
组只能是任一非零常数. 这表明微商为零的多项式
(λ −λ2)ξ = 0.
又ξ ≠ 0 ,故λ − λ 2 = 0 ,所以 λ = 1 或 λ = 0 .
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附注
现在已经看到,并不是每个线性变换都有特征值；当 线性变换有特征值时,其特征值又可能不止一个. 那么, 该如何判断给定的线性变换是否有特征值呢？在有特 征值时,又该如何求出特征值,进而求出相应的特征向量 呢？定理 8.3.2 圆满地回答了这个问题.
⎪⎩−2 x1 − 2 x2 + 4 x3 = 0
解之得基础解系为
(1 , 1 , 1)T ,
所以属于 λ1 = 5 的一个线性无关的特征向量就是
ξ 1 = ε1 + ε2 + ε3，
全部特征向量就是 k1ξ1 (k1 ∈ K，k1 ≠ 0) .
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当
λ2 = λ3 = −1 时, 解方程组
⎛ ⎜
λ1
(σ (α1 ),σ (α2 ),",σ
(αn ))
=
(α1
,
α
2
,"
,α
n
)
⎜ ⎜
λ2
%
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
⎜ ⎝
λn
⎟ ⎠
这等价于σ (α i ) = λiαi , i = 1, 2," , n.
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附注 定理 8.3.1 告诉我们，具有性质σ (αi ) = λiα i 的V 中向量αi 及 K 中的数 λi ，在研究线性变换和 n 阶
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推论 8.3.3 线性变换属于不同特征值的特征向量 是线性无关的.
证明 设所论线性变换为σ。
我们对对特征值的个数作数学归纳法. 由于特 征向量是不为零的，所以单个的特征向量必然线性 无关. 现在设属于 k 个不同特征值的特征向量线性